人教版高中数学高三复习《概率与统计专题》
【新】人教A版高考数学(文)二轮复习 专题 概率与统计课件第2讲.ppt
则 K2＝40×13×3×271×0－201×0×20172≈5.584＞5.024，因此在犯错误
的概率不超过 0.025 的前提下可以认为成绩优秀与教学方式有
关．
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归纳总结 ·思维升华
热点二 统计与古典概型的交汇 [微题型 1] 分层抽样与古典概型交汇 【例 2－1】 (2014·日照一模)某市为了解社区群众体育活动的开
＝
100 21
≈4.762＞3.841.
所以，有 95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间
与性别有关”．
探究提高 独立性检验的基本思想类似于反证法，要确定“两
个变量有关系”这一结论成立的可信程度，首先假设结论不成
立，即假设结论“两个变量没有关系”成立，在该假设下构造
的随机变量 K2＝a＋bcn＋add－ab＋cc2b＋d应该很小，如果结果
(3)ห้องสมุดไป่ตู้样本数据中，有 60 位女生的每周平均体育运动时间超过
4 小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断
是否有 95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间
与性别有关”．
附：K2＝a＋bcn＋add－ab＋cc2b＋d
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P(K2≥k0) k0
展情况，拟采用分层抽样的方法从 A，B，C 三个行政区中抽 出 6 个社区进行调查．已知 A，B，C 行政区中分别有 12,18,6 个社区． (1)求从 A，B，C 三个行政区中分别抽取的社区个数； (2)若从抽得的 6 个社区中随机的抽取 2 个进行调查结果的对 比，求抽取的 2 个社区中至少有一个来自 A 行政区的概率．
新教材2024高考数学二轮专题复习分册一专题五统计与概率课件
^
^
(xn ， yn) 的 回 归 方 程 ， 其 中 a ， b 是 待 定 参 数 ， 回 归 方 程 的 斜 率 和 截 距 分 别 为 b ＝
－
－
（x
－
x
）（y
－
y）
i
i
－ －
x
y
－n
x y
ii
i＝1
i＝1
n
n
^
－
^ －
－
－
，a ＝ y －b x ，( x ， y )是样本中心点，
＝
－
2．[2023·辽宁实验中学模拟]已知x，y的对应值如下表所示：
x
0
2
4
6
8
y
1
m＋1
2m＋1
3m＋3
11
若y与x线性相关，且经验回归方程为y＝1.6x＋0.6，则m＝(
A．2
B．3
C．4
D．5
答案：B
0+2+4+6+8
＝4，
5
1+m+1+2m+1+3m+3+11
yത ＝
＝1.2m＋3.4，
5
解析：തx＝
－ 2
（yi－ y ）
i＝1
i＝1
n
n
r<0 表示两个变量负相关；|r|≤1，且|r|越接近于 1，线性相关程度越强，|r|越接近于 0，线性
相关程度越弱．
2
n（ad－bc）
3．“卡方公式”：χ2＝
，
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
n＝a＋b＋c＋d.
1.[2023·江苏天一中学模拟]对两组变量进行回归分析，得到不同的两组样本数据，第一
人教版高中数学高三复习《概率与统计专题》
2 x 27，s 35.
s表示10株甲树苗高度的方差，是描述树苗高度 离散程度的量． s越小，表示长得越整齐， s越大，表示长得越参差不齐．
17
考点3 线性相关分析
例3 某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品 种发芽量之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12 月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种 子中的发芽数，得到如下资料：
作出散点图后，发现散点在一条直线附近，经计算得到 一些数据：
26
10
x 24.5，y 171.5， (xi x)( yi y) 557.5， i 1 10
(xi x )2 82.5.
i 1
刑侦人员在某案发现场发现一对裸脚印，量得每 个脚印长是26.5 cm，请你估计案发嫌疑人的身高
专题 概率与 统计
考点1 三种抽样方法与概率分布直方图
例1 1有一个容量为200的样本，其频率分
布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，
样本数据落在区间10,12内的频数为( )
A．18
B．36
C．54
D．72
2
2 某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有
150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分 层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调 查，应在丙专业抽取的学生人数为 ________．
600
7
解析 ：成绩小于60分的频率为0.002 0.006 0.01210
0.2，所以30000.2 600.
8
考点2 茎叶图与特征数
例2某赛季，甲、乙两名篮球运动员都 参加了7场比赛，他们所有比赛得分的情况用如图所示 的茎叶图表示：
1 求甲、乙两名运动员得分的中位数； 2 你认为哪位运动员的成绩更稳定？ 3 如果从甲、乙两位运动员的7场得
高三数学第一轮复习：概率与统计人教版知识精讲
高三数学第一轮复习：概率与统计人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：概率与统计二. 本周教学重、难点：1. 了解等可能事件的概率，互斥事件的意义，独立事件的意义，会用互斥事件的加法公式，相互独立事件乘法公式计算一些事件的概率。
2. 了解离散型随机变量的意义，会求离散型随机变量的分布列，期望，方差。
【典型例题】[例1] 甲、乙两人进行射击游戏，规则如下：若某人射击一次击中目标，则此人继续射击下一次；若未射中目标，则由另一个接替下一次射击。
已知甲、乙两人射击一次击中目标的概率均为31，且每一次击中目标与否彼此独立。
假设由甲开始第一次射击。
（1）求第四次射击由甲进行的概率；（2）甲、乙两人谁在第四次射击的可能性较大？并说明理由。
解：（1）前三次射击中，符合题意的“中”与“不中”的可能情况有四种：∴第四次射击由甲进行的概率为27133)311(31)31(23=⨯-+（2）“第四次射击由甲进行”与“第四次射击由乙进行”是对立事件 ∴第四次射击由乙进行的概率为271427131=-∴第四次射击由乙进行的可能性更大[例2] 某组过关游戏有3道问答题，规定：答对一道得10分，答错一道得-10分，总得分非负即可过关，小王每题能答对的概率均为0.6，且各题之间答对与否互相没有影响 (1)求小王回答3道题的总得分ξ的概率分布和数学期望 (2)小王能过关的概率有多大解：（1）ξ的可能取值为30,10,10,30--064.04.0)30(3==-=ξP 288.06.04.03)10(2=⨯⨯=-=ξP432.06.04.03)10(2=⨯⨯==ξP 216.06.0)30(3===ξP所以ξ的概率分布为所以数学期望6216.030432.010288.0)10(064.0)30(=⨯+⨯+⨯-+⨯-=ξE （分） （2）小王能过关的概率为648.0216.0432.0)0(=+=≥ξP[例3] 把圆周分成四等份，A 是其中一个分点，动点P 在四个分点上按逆时针方向前进，现在投掷一个质地均匀的正四面体，它的四个面上分别写有1、2、3、4四个数字。
高考数学知识模块复习指导学案——概率与统计【III】人教版
高考数学知识模块复习指导系列学案——概率与统计【III】9．统计学中有哪些基本概念?数理统计的研究对象也是随机现象．概率论是从对随机现象的大量观察中提出随机现象的数学模型，然后再研究数学模型的性质和特点，由此来阐述随机现象的统计规律性；而数理统计则是从对随机现象的观测所得资料出发，用概率论的理论来研究随机现象．比如对随机现象的数学模型中某些参数进行估计，或者检验随机现象的数学模型是否得当，然后在此基础上对随机现象的性质和特点作出推断．现在介绍一些数理统计中的基本概念．在数理统计中，我们最关心研究对象的某项数量指标．我们将研究对象的某项数量指标值的全体称为总体，总体中的每个元素称为个体．每个个体是一个实数．例如，某工厂生产的灯泡寿命的全体是一个总体，每一个灯泡的寿命是一个个体；某学校男学生的身高的全体是一个总体，每个男学生的身高是一个个体．总体按照其包含的个体总数分为有限总体和无限总体．例如，某工厂10月份生产的灯泡寿命所成的总体中，个体的总数就是10月份生产的灯泡数，这是一个有限总体．而这个工厂生产的所有灯泡寿命所成的总体是一个无限总体，它包括以往生产和今后生产的灯泡寿命．当有限总体所包含的个体的总数很大时，可以近似地将它看成是无限总体．例如，我们来考察某工厂10月份生产的灯泡的寿命所成的总体．我们知道灯泡寿命落在各个时间区间内有一定的百分比，如灯泡寿命落在1000小时～1300小时的占灯泡总数的85%．落在1300小时～1800小时的占灯泡总数的5%等等．即灯泡寿命的取值有一定的分布．一般，我们所研究的总体，即研究对象的某项数量指标Ｘ，它的取值在客观上有一定的分布，X 是一个随机变量．我们对总体的研究，就是对相应的随机变量X的分布的研究．据此，Ｘ的分布函数和数字特征分别称为总体的分布函数和数字特征．要将一个总体的性质了解得十分清楚，初看起来，最理想的办法是对每个个体逐个进行观察，但实际上这样做往往是不现实的．例如，要研究灯泡寿命，由于寿命试验是破坏性的，一旦我们获得试验的所有结果，这批灯泡也全部被烧毁了．因此我们只能从整批灯泡中抽取一些灯泡做寿命试验，并记录结果，然后根据这些数据来推断整批灯泡的寿命情况．又如，对于像啤酒瓶盖橡皮垫片这种产品，尽管只要通过简单的测量就能确定它是否合格，而且试验又不是破坏性的，然而，由于垫片的产量为数甚多，逐一测验要花费大量人力和时间，因此，我们仍然只能抽取少量垫片进行测量，并根据所得数据估计整批垫片的合格率．一般地，我们都是从总体中抽取一部分个体进行观察，然后根据所得数据来推断总体的质，这些被抽出的部分个体，叫做总体的一个样本．所谓从总体抽取一个个体，就是对总体X 进行一次观察(即进行一次试验)，并记录其结果．我们在相同的条件下对总体X 进行n 次重复的、独立的观察．将n 次观察的结果按试验的次序记为.X ,,X ,X n 21 由于n 21X ,,X ,X 是对随机变量X 观察的结果，且各次观察的结果是在相同条件下独立进行的，所以有理由认为n 21X ,,X ,X 是相互独立的，且都是与X 具有相同分布的随机变量．这样得到的n 21X ,,X ,X 称为来自总体X 的一个简单随机样本，n 称为这个样本的样本容量．当n 次观察一经完成，我们对这组随机变量n 21X ,,X ,X 就得到一组观察值,x ,,x ,x n 21 它是一组实数，称为样本值．对于有限总体，采用放回抽样就能得到简单随机样本，但放回抽样应用起来不方便，当个体的总数N 比要得到的样本容量n 大得多时，(—般当N ≥10·n 时)，在实际中可将不放回抽样近似地当作放回抽样来处理．综上所述，我们给出以下的定义．定义：设X 是具有分布函数F 的随机变量，若n 21X ,,X ,X 是具有同一分布函数F 的相互独立的随机变量，则称n 21X ,,X ,X 为从分布函数F(或总体X)得到的容量为n 的简单随机样本，简称样本．它们的观察值n 21x ,,x ,x 称为样本值，又称为X 的n 个独立的观察值．10．什么是频数表和频数分布?假定某个数学班的学生的身高(单位：厘米)如下：164 173 168 168 176 170 162 167 171 169168 160 165 168 166 168 167 171 166 172用这种形式给出的数据难以说明什么问题．如果把它们加以整理，就比较容易说明问题了．例如，我们可以按照递增和递降的顺序来排列身高，这叫做排序．于是我们很容易看出：160是最小身高，176是最大身高，身高为168或低于168的约占半数，所测量的最大值和最小值之差称为极差．下面是按递增顺序对身高的排序：160 166 168 168 171162 166 168 169 172164 167 168 170 173165 167 168 171 176整理数据的—个更为有用的方法是频数表，它给出了每一类的频数．如下表所示：表1-22另外，常用的还有点频数图．点频数图是—种表示数据在极差范围内是怎样散布的图形，本例中我们看到身高似乎集中在168左右．如图1—4所示：频数表和点频数图都用来表示数据的分布或频数分布．需要注意的是，频数分布是一个函数，即每个观察值与它的频数相对应．这样，—个频数可以用表示一个函数的三种方式的任何—种来表示：用表、用图或用一个规则(有时是解析式)．在描述数据时，通常用表(频数表)或图(例如点频数图等)．可是，为了描述一种理论频数分布，有时必须要说明给出函数的规则．有时，把数据整理成另一种分布──所谓的累积频数分布图──是方便易行的，如图1-5所示：这种分布图给出了每一观察值与不大于该观察值的频数之间的关系，从图形上看，累积频数分布用一种累积图来表示．横轴上的数表示身高，纵轴左边的数表示累积频数．而右边的数表示累计频数的百分比．于是，每一个纵坐标给出了少于或等于相应横坐标上身高的频数或百分数，从上面的累积图显然看出，身高少于或等于167厘米的频数是8，百分比是40%．累积图上纵坐标为P，百分数的点所对应的横坐标叫做P百分位数．例如，90百分位数是172．这意味着90%的人的身高小于或等于172厘米．50百分位数称为中位数，25百分位数称为下四分位数，而75百分位数称为上四分位数．11．如何对大量的原始数据进行数据分组?当碰到大量原始数据时，把这些数据按适当的区间分组是方便的．为了便于计数，希望所选择的每个区间的中点是诸如5或10的倍数．一般区间数应不少于10个而不多于25个．区间的边界值通常应比原始数据中出现的小数位数多一位，以便使得每一个数据仅包含在一个区间之内．假定下面的数据是有50个高中学生的一个班在某次数学测验中所得到的分数：88 74 67 49 69 38 86 77 66 75 94 67 78 69 84 50 3958 79 70 90 79 97 75 98 77 64 69 82 71 65 68 84 7358 78 75 89 91 62 72 62 74 81 79 81 86 78 90 81乍一看这些分数就知道，最低分为38，最高分为98．于是，如我们要把数据分组，使区间中点为5的整倍数，可分为13个区间，它满足大于10小于25的条件．为了保证每个数据仅被包含在一个区间内，区间的边界确定到小数点后一位．这就得出下面的数学测验得分的分组频数表．表1-23为了从图形上说明分组数据的频数分布，我们用频数直方图来代替点频数图．直方图是一种条线图，其中每一个矩形的底表示一个区间，高表示在给定的区间内观测数据的个数．上述数学测验得分分组直方图如图1—6所示：对未分组的数据作出的累积图给出了累积分布．对分组数据，我们叫做累积折线，也叫尖顶图．这个图的作法是：折线上的点的横坐标取所在区间的右边界，纵坐标取相应的累积频数，然后把所确定的点用线段连接起来，横坐标为第一个区间的左边界、纵坐标为零的点，也包括在累积折线内．如图1-7所示：这样，对于累积折线上的任何一点，纵坐标给出了少于或等于横坐标的观察数据的数目．从前面给出的数学测验的累积折线图上可以看到，少于或等于91分的大约为45人．像在累积图上一样，也可用同样的方法在累积折线上决定百分位数．例如，在上图中可以读出，中位数为76；25百分位数是67；75百分位数是82．前面的问题介绍了频数表和频数分布．这个问题中又介绍了如何对数据进行分组，让我们来看一道例题说明前面这些图表的作法．例下面是30个灯泡的寿命(单位：小时)870 840 920 950 960 810 830 860900 800 940 920 850 840 880 810950 840 830 910 970 930 870 930900 980 910 930 970 880试作出这组数据的总频数图和累积图．另外把这些数据按区间795—815，815—835，835—855，…，975—995分组．作出其频数表、直方图和累积折线．思路启迪为了作出点频数图和累积图，我们先做出这组数据的频数表如下所示：表1-24有了上面的频数表，我们很容易作出点频数图和累积图．规范解法根据所给数据的频数表我们可以作出点频数图和累积图如下所示：按给定的分组可得频数表、直方图和累积折线分别如下：区间区间中点频数频数百分比累积频数累积频数百分比795－815 805 3 10 3 10815－835 825 2 6.7 5 16.7835－855 845 4 13.3 9 30855－875 965 3 10 12 40875－895 885 2 6.7 14 46.7895－915 905 4 13.3 18 60915－935 925 5 16.7 23 76.7935－955 945 3 10 26 86.7955－975 965 3 10 29 96.7975－995 985 1 3.3 30 100表1-2512．如何度量给定数据组的中心趋势和离散程度？资本家和工会公开辩论工人的工资，工会报告说，工人每年拿到的工资平均只有3000元，而资本家却说工人的年平均工资为7300元，到底谁的话更可信呢?在作出判断之前，我们先来看一下用来计算上述结果的工人工资数：3000，3000，3000，3500，4000，4500，6000，6000，15000和25000，在所有这些工资中，哪一层次的最普遍呢?也就是说，在上面所列的工资中，工人拿哪一种工资的人最多?在数据集合中，我们称出现最多的数字为“众数”．在上面给出的集合中，众数是3000．用以代替所考虑的最常出现的工资数，我们把所有工人的工资放在—起求平均数，这样得到的是这组数据的平均数，一般用“x ”表示．即：对给定的数据n 21x ，x ,x ，有下列公式()n 21x x x n1x +++=．按公式可以计算我们给定的工资集合的平均数7300x =元．那么7300元是不是对工人平均工资的合理的估计呢?有时，用来估计数据集合的中心趋势的另一个数是中位数．把一组数据按从小到大的顺序排列．然后取中间的一个数，它就是中位数．如果数据的个数是偶数，那么中位数就取中间两个数的平均数．那么上述工资数据的中位数是多少呢?易得这组数据的中位数是4250，那么在3000，4250，7300这三个数中，哪一个看上去是平均工资的最好估计呢?上面讲的众数、平均数和中位数可统称为平均．一般情况下，如果有人告诉你某一数据集合的平均是某个数，而没告诉你它是一个什么样的平均，则这个信息就没有太大的作用．一般来说，即使告诉了你别人用了哪种平均方法，掌握更多的资料比只知道平均更为有价值．例如，除了知道平均数为7300元以外，我们又知道它由10个人的工资所平均，这样的话，工资总数为73000元．当然，工资总数并不能告诉你工资是如何分配的，这对工会来说似乎是最重要的问题，如果有一份工资为50000元，(例如经理的工资)，那么分给其他9个人的工资就不会太多．换一种情况，如果最高工资为8000元，那么大多数雇员一定会得到7000元左右的工资．这样，很清楚，如果与平均工资一起报出最高和最低工资，我们就能对上述两种说法有比较公正的看法了．如果不是告诉读者最高和最低工资，而是给出了最高和最低工资之差(称为极差)，对于精明的读者，仍然能找到许多有用的信息．例如，如果10份工资的平均数是7300元，极差是22000元，我们就能断定最高工资至少是22000元，更可能是24000元或25000元，因为最少的工资几乎可以肯定会是2000元或多一些．因此有如果10个人的平均工资是7300元，总工资应为73000元．如果一个人的工资大约是24000元，那么其他9个人的总工资应为49000元，9人的平均工资约为5444元．一个数据集合的极差是这组数据离散程度的度量，可是，极差仅仅依赖于数据两端的值．它没有给出关于这两个端点间数据离散程度的任何信息．对一个数据集来说，任何一个数据i x 对平均数x 的离差为.x x i -使用前面关于工资的数据(它的平均数为7300元)，我们计算3000对于平均数的离差：.430073003000x x i -=-=-再计算15000对于平均数的离差：.7700730015000x x i =-=-注意到3000对于x 的离差为负．而15000对于x 的离差为正．计算其余的每一工资数对于x 的离差有：表1-26由上表可知，所有工资数对于x 的离差之和为0．事实上，任何一组数据对平均数的离差之和总是0．因此，不能用对平均数的离差来描述这组数据的离散程度．因为对平均数离差的总和没有给出关于这一数据集合的离散程度的任何信息．可是，我们可以考查对平均数离差的绝对值，由于一个数的绝对值不会是负数，并且除非对所有的i x 有0x x i =-，否则对平均数的离差的绝对值之和就不会是0．就上述工资的数据来计算这个和，我们得到40900，这个和也不是关于数据离散程度的满意的度量，因此我们用测量数据的个数去除40900，得到4090这个值称为平均离差，它常用来度量数据的离散性．虽然数据的平均离差能对数据的离散性进行可靠、合理的度量，但在更高级的数学处理中，绝对值的运算常常会带来一些问题(尤其对大量数据而言)．因此，我们常采用所谓标准差来作为离散性的度量．经过上面的叙述可以知道，之所以使用绝对值函数，主要考虑到它是正的，也就是说，我们只需要考虑绝对值的大小．具有同样性质的另一种函数是将离差平方．这种作法构成了下面标准差概念的基础．定义：已知n 21x ,,x ,x 是一组观测值．x 是这组观测数据的平均数，则该组数据的标准差为：()()().nx x x x x x2n 2221-++-+-=σ 标准差的平方与标准差本身是一样方便的，标准差的平方()()()[]2n 22212xx x x x x n1-++-+-⋅=σ 称为方差．关于上面工资数据的离差和离差的平方如下表：表1-27一个用以简化计算标准差的等价公式是：().x x x x n122n 2221-+++=σ 为了推导这个公式，我们来考查方差的公式：()()()[],x x x x x x nn 2222121-++-+-=σ将和式中每一个二项式平方后得到：[], x x x 2x x x x 2x x x x 2x n12n 2n 222221212+-+++-++-=σ 整理后得到：()[]()2n212n 22212n212n 22212x nx x x x 2x x x n 1 x n x x x x 2x x x n1++++⋅-+++=++++-++-=σ ()(),x x x x n1x x 2x x x n122n 2221222n 2221-+++=+-+++=在上式两端取平方根就得到().x x x x n122n 2221-+++=σ 因为上面的公式和关于标准差的原公式是等价的，所以如果觉得哪个方便就用哪个．例如计算3，5，8，13的标准差，用所推导的公式计算如下：().x x x x n122n 2221-+++=σ ()().8.31622716841426742916964259414138531385341222222≈=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-+++=而运用原公式，我们计算如下：()()()[]⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-++-+-=σ222222222n 2221423434941741 4291342984295429341 x x x x x x n18.31652998128941≈⎪⎭⎫⎝⎛+++=。
专题6：概率与统计(理)高三复习经典教案含答案
专题六：概率与统计【一、基础知识归类：】1、概率（范围）：0≤P(A) ≤1（必然事件：P(A)=1，不可能事件：P(A)=0）2、互斥事件有一个发生的概率：A 、B 互斥： P(A ＋B)=P(A)＋P(B)；A 、B 对立：P(A)＋P(B)＝１3、抽样方法（等概率Nn抽样）：（1）简单随机抽样、系统抽样（等距抽样）、分层抽样（等比例抽样）． 4、频率分布直方图：组的=f 频率N n （频数和样本容量的比）；小长方形面积=组距×组距频率=频率，（面积和为1）；频率分布折线图：连接频率分布直方图中小长方形上端中点，就得到频率分布折线图；5、回归直线bx a y+=ˆ，过定点),(y x P ． 6、独立性检验（分类变量关系）：随机变量2K 越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱． 7、排列、组合和二项式定理（1）排列数公式:mn A =n (n -1)(n -2)…(n -m ＋1)=)!(!m n n -(m ≤n ,m 、n ∈N *), 当m =n 时为全排列：nn A =n (n -1)(n -2)…3.2.1=n ！;（2）组合数公式：123)2()1()1()1(!⋅⋅⋅⋅⋅-⋅-⋅--⋅⋅⋅-⋅==m m m m n n n m A C mn m n（m ≤n ）,10==n n n C C ； （3）组合数性质：m n m n m n m n n mnC C C C C 11;+--=+=；（4）二项式定理：)()(1110*--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a nn n k k n k n n n n n n ①通项：);,...,2,1,0(1n r b a C T rr n r n r ==-+②注意二项式系数与系数的区别；（5）二项式系数的性质： ①与首末两端等距离的二项式系数相等； ②若n 为偶数，中间一项(第2n ＋1项)二项式系数最大；n 为奇数，中间两项(第21+n 和21+n ＋1项)二项式系数最大；③;2;2131221-=⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅+++n n n n n nnn n n n C C C C C C C C（6）求二项展开式各项系数和或奇（偶）数项系数和时，注意运用赋值法． 8、随机变量的分布列：①随机变量分布列的性质：P i ≥0,i=1,2,...； P 1+P 2+ (1)②离散型随机变量：期望：E 1 1 2 2 n n 方差：D X ＝⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-+-n n p EX x p EX x p EX x 2222121)()()( ； 注：DX a b aX D b aEX b aX E 2)(;)(=++=+；③二项分布（独立重复试验）：若X ～B （n ,p ）,则EX ＝np , DX ＝np (1- p )；注：k n kk n p p C k X P --==)1()(．9、条件概率：称)()()|(A P AB P A B P =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率． 注：①0≤P （B|A ）≤1；②P(B ∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)． 10、独立事件同时发生的概率：P （AB ）=P （A ）P （B ）． 11、正态总体2(,)N μσ的概率密度函数：,,21)(222)(R x ex f x ∈=--σμσπ（1）式中σμ,是参数，分别表示总体的平均数（期望值）与标准差； （2）正态曲线的性质：①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交；②曲线是单峰的，关于直线x ＝μ 对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值πσ21；④曲线与x 轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线随μ值的变化沿x 轴平移；⑥当μ一定时，曲线形状由σ确定：σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越集中；σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越分散．注：P )(σμσμ+≤<-x =0.6826；P )22(σμσμ+≤<-x =0.9544； P )33(σμσμ+≤<-x =0.9974．【二、专题练习：】一、选择题（共12小题，每小题5分，总分60分）1．（北京市崇文区2008年高三统一练习）某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共有（ ） A ．15种B ．12种C ．9种D ．6种2．（四川省成都市新都一中高2008级12月月考）在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（ ） A 、56个B 、57个C 、58个D 、60个3．某班有一个7人小组,现任选其中3人相互调整座位,其余4人座位不变,则不同的调整方案的种数为（ ） (A)35(B)70(C)210(D)1054．从6人中选出4人参加数、理、化、英语比赛，每人只能参加其中一项,其中甲、乙两人都不能参加英语比赛，则不同的参赛方案种数共有( )(A)96种 (B)180种 (C)240种 (D)288种5．某服装加工厂某月生产A 、B 、C 三种产品共4000件，为了保证产品质量，进行抽样检验，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：由于不小心，表格中A 、C 产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C 的产品数量是 （ ） A ．80B ． 800C ．90D ．9006．（高州市大井中学2011高三上期末考试）六名学生从左至右站成一排照相留念，其中学生甲和学生乙必须相邻．在此前提下，学生甲站在最左侧且学生丙站在最右侧的概率是（ ）A ．130 B ．110C ．140D ．1207．（2011·汕头期末）下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据：根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为0.70.35y x =+，那么表中t 的值为（ ） A. 3 B. 3.15 C. 3.5D. 4.58．已知随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，且(22)0.9P X μσμσ-<≤+=， ()0.6826P X μσμσ-<≤+=，若4μ=，1σ=, 则(56)P X <<= （ ）A ．0.1358B ．0.1359C ．0.2716D ．0.27189．（2009届高考数学二轮冲刺专题测试）若二项式213nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为 （ ） A ．3927C - B 3927C C ．499C -D ．949C10．（2011福州期末）如图所示，正方形的四个顶点分别为(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)O A B C ，曲线2y x =经过点B ．现将一个质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是 （ ）A ．12B ．14 C ．13D ．2511．（2010届·安徽省合肥高三四模（理））从足够多的四种颜色的灯 泡中任选六个安置在如右图的6个顶点处，则相邻顶点处灯泡颜色 不同的概率为 （ ） A ．64228 B ．64240 C ．64264 D ．6428812．（2011锦州期末）某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设0H ：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用22⨯列联表计算得2 3.918χ≈，经查对临界值表知2( 3.841)0.05P χ≥≈． 对此，四名同学做出了以下的判断：p ：有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”q ：若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒r ：这种血清预防感冒的有效率为95%s ：这种血清预防感冒的有效率为5%则下列结论中，正确结论的序号是（ ） ①p q ∧⌝；②p q ⌝∧；③()()p q r s ⌝∧⌝∧∨；④()()p r q s ∨⌝∧⌝∨（A ）①③ （B ）②④ （C ）①④ （D ）都不对 二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）13．（2009杭州学军中学第七次月考）在边长为2的正三角形ABC 内任取一点P ，则使点P 到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是 ．14．（2011巢湖一检）已知随机变量2~(2,)N ξσ，若3(1)4P ξ>-=，则(5)P ξ>= ． 15．（2011嘉禾一中）从颜色不同的5 个球中任取4 个放入3 个不同的盒子中，要求每个盒子不空，则不同的方法总数为____________．（用数字作答）16．（2009届福建省福鼎一中高三理科）若2005220050122005 (12)()x a a x a x a x x R -=++++∈，则010********...()()()()a a a a a a a a++++++++=____．（用数字作答）三、解答题（共6个小题，总分74分）17．（2011汕头期末）四个大小相同的小球分别标有数字1、1、2、2，把它们放在一个盒子里，从中任意摸出两个小球，它们所标有的数字分别为x 、y ，记y x +=ξ；24131452[185,190)[180,185)[175,180)[170,175)[165,170)[160,165)频数身高（cm ）（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）设“函数1)(2--=x x x f ξ在区间)3,2(上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率．18．（江门2011高三上期末调研测试）甲、乙两同学参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，具体成绩如下茎叶图所示，已知两同学这8次成绩的平均分都是85分． （1）求x ；并由图中数据直观判断，甲、乙两同学中哪一位的成绩比较稳定？（2）若将频率视为概率，对甲同学在今后3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望ξE ．19．（揭阳市2011届高三上学期学业水平考试）为了解高中一年级学生身高情况，某校按10%的比例对全校700名高中一年级学生按性别进行抽样检查，测得身高频数分布表如下表1、表2． 表1:男生身高频数分布表身高（cm ）频数[150,155)[165,170)[170,175)[175,180)[155,160)[160,165)1712631男生样本频率分布直方图频率/cm表2:女生身高频数分布表（1）求该校男生的人数并完成下面频率分布直方图；（2）估计该校学生身高（单位：cm ）在[165,180)的概率； （3）在男生样本中，从身高（单位：cm ）在[180,190)的男生中任选3人，设ξ表示所选3人中身高（单位：cm ）在[180,185)的人数，求ξ的分布列和数学期望．20．（2011东莞期末）为了调查老年人的身体状况，某老年活动中心对80位男性老年人和100位女性老年人在一次慢跑后的心率水平作了记录，记录结果如下列两个表格所示， 表1：80位男性老年人的心率水平的频数分布表（单位：次/分钟）表2：100位女性老年人的心率水平的频数分布表（单位：次/分钟）（1）从100位女性老人中任抽取两位作进一步的检查，求抽到的两位老人心率水平都在[100,110)内的概率；（2）根据表2，完成下面的频率分布直方图，并由此估计这100女性老人心率水平的中位数；（3）完成下面2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“这180位老人的心率水平是否低于100与性别有关”. 表3：附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++21．全球金融危机，波及中国股市，甲、乙、丙、丁四人打算趁目前股市低迷之际“抄底”，若四人商定在圈定的6只股票中各自随机购买一只（假定购买时每支股票的基本情况完全相同）． （1）求甲、乙、丙、丁四人恰好买到同一只股票的概率；（2）求甲、乙、丙、丁四人中至多有两人买到同一只股票的概率；（3）由于中国政府采取了积极的应对措施，股市渐趋“回暖”.若某人今天按上一交易日的收盘价20元/股，女性老年人心率水平频率分布直方图00.010.020.030.040.050.06买入某只股票1000股，且预计今天收盘时，该只股票比上一交易日的收盘价上涨10%（涨停）的概率为0.6持平的概率为0.2，否则将下跌10%（跌停）,求此人今天获利的数学期望（不考虑佣金、印花税等交易费用）．22．（2011苏北四市二调）甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为1,,2a a (01)a <<，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ． （1）求ξ的分布列及数学期望；（2）在概率()P i ξ=(i =0，1，2，3)中, 若(1)P ξ=的值最大, 求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题 1．答案：D2．解析：万位为3的共计A44＝24个均满足；万位为2，千位为3，4，5的除去23145外都满足，共3×A33－1＝17个；万位为4，千位为1，2，3的除去43521外都满足，共3×A33－1＝17个；以上共计24＋17＋17＝58个，答案：C3．【解析】选B.从7人中选出3人,有种方法,3人相互调整座位,共有2种调整方案,故总的调整方案种数为×2=70(种).4．C5．【解析】选B.因为分层抽样是按比抽取，由B 产品知比为101，再由A 产品的样本容量比C 产品 的样本容量多10，易得C 产品的样本容量为800. 6．C7． 2.54 4.53456110.70.350.70.35 3.53444t ty x t +++++++=+=⨯+⇒=⇒=由得，选A ；8—12：B B C C C 二、填空题13．答案：14．答案：14 15．答案180 16．答案：2003三、解答题17．解：（Ⅰ）由题意可知随机变量ξ的可能取值为2，3，4，从盒子中摸出两个小球的基本事件总数为624=C ，当2=ξ时，摸出小球所标的数字为1，1，61)2(==ξP ， 当4=ξ时，摸出小球所标的数字为2，2，61)4(==ξP ，可知，当3=ξ时，3261611)3(=--==ξP ；得ξ的分布列为：12343636E ξ=⨯+⨯+⨯=；（Ⅱ）由“函数1)(2--=x x x f ξ在区间)3,2(上有且只有一个零点”可知0)3()2(<f f ，即0)38)(23(<--ξξ，解得3823<<ξ， 又ξ的可能取值为2，3，4，故2=ξ，∴事件A 发生的概率为61． 18．解：（1）依题意8587978888082819593=++++++++=x x 甲 解得4=x男生样本频率分布直方图频率/cm由图中数据直观判断，甲同学的成绩比较稳定（2）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A ，则4386)(==A P ξ的可能取值为0、1、2、3，且)43 , 3(~B ξ，k k kC k P -==33)41()43()(ξ，其中=k 0、1、2、3所以变量ξ的分布列为：49642736427264916410=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE （或49433=⨯==np E ξ） 19．解：（1）样本中男生人数为40 ，由分层抽样比例为10%可得全校男生人数为400． 频率分布直方图如右图示：（2）由表1、表2知，样本中身高在[165,180)的学生人数为： 5+14+13+6+3+1=42，样本容量为70 ，所以样本中 学生身高在[165,180)的频率423705==f故由f 估计该校学生身高在[165,180)的概率35=p ．（3）依题意知ξ的可能取值为：1,2,3∵14361(1)5C P C ξ===,2142363(2)5C C P C ξ===,34361(3)5C P C ξ=== ∴ξ的分布列为：ξ的数学期望1311232555E ξ=⨯+⨯+⨯=．20．解：（1）从100位女性老人中任抽取两位，共有2100C 个等可能的结果，抽到的两位老人心率都在[100,110) 内的结果有250C个，由古典概型概率公式得所求的概率250210049198C p C ==（2）频率分布直方图，略； 由0.510(0.010.02)0.2-⨯+=可估计，这100女性老人心率水平的中位数约为0.2100101040.0510+⨯=⨯.（3）2×2列联表， 表3：22180(50703030)19.01258010080100K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯. 由于210.828K >，所以有99.9%的把握认为“这180位老人的心率水平是否低于100与性别有关” ．21．【解析】（1）四人恰好买到同一只股票的概率1111116.6666216P =⨯⨯⨯⨯= （2）解法一：四人中有两人买到同一只股票的概率22223426462224135.6216C C A C A A P +== 四人中每人买到不同的股票的概承率4634605.621618A P ===所以四人中至多有两人买到同一只股票的概率231356019565.21621621672P P P =+=+== 解法二：四人中有三人恰好买到同一只股票的概率324644205.621654C A P === 所以四人中至多有两人买到同一只股票的概率14195651.21672P P P =--== （3）每股今天获利ξ的分布列为：所以,1000股股票在今日交易中获利的数学期望为()1000100020.600.220.2800E ξ=⨯⨯+⨯+-⨯=⎡⎤⎣⎦21．解：(1)()P ξ是“ξ个人命中,3ξ-个人未命中”的概率.其中ξ的可能取值为0，1，2，3.0022121122(0)C 1C (1)(1)P a a ξ⎛⎫==--=- ⎪⎝⎭, 1020121212111222(1)C C (1)C 1C (1)(1)P a a a a ξ⎛⎫==⋅-+--=- ⎪⎝⎭, 1102221212111222(2)C C (1)C 1C (2)P a a a a a ξ⎛⎫==⋅-+-=- ⎪⎝⎭,21221212(3)C C 2a P a ξ==⋅=. 所以ξ的分布列为ξ的数学期望为 22221112222410(1)1(1)2(2)32a a E a a a a ξ+=⨯-+⨯-+⨯-+⨯=. (2) ()221(1)(0)1(1)(1)2P P a a a a ξξ⎡⎤=-==---=-⎣⎦, 22112(1)(2)(1)(2)22a P P a a a ξξ-⎡⎤=-==---=⎣⎦, 222112(1)(3)(1)22a P P a a ξξ-⎡⎤=-==--=⎣⎦. 由2(1)0,120,21202a a a a ⎧⎪-≥⎪-⎪≥⎨⎪⎪-≥⎪⎩和01a <<，得102a <≤,即a 的取值范围是10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.。
高三年级复习概率与统计复习PPT1
炼
高考卷13题,XX高考卷6题等,20XXXX高考卷12题,XX高考
课 后 强
卷13题,全国卷Ⅲ13题.20XXXX卷3题,XX卷6题,全国卷
化
作 业
Ⅲ16题等.
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选修Ⅰ 第12章 统计
知 识
20XXXX卷7题,XX卷8题,XX卷3题,XX卷6题等．主要考查
梳
理 了抽样方法、总体的期望与方差,对于这一现象应引起高
法
提 炼
不如采用分层抽样可靠性高,且统一编号统一选择加大了
工作量；C中总体采用了分层抽样,但在每个层次中没有考
课
后 强
虑到个体的差层<如健壮程度,灵活程度>,貌似随机,实则各
化
作 业
个个体概率不等,故选D.
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选修Ⅰ 第12章 统计
知
识 梳
<2009·XX,5>某单位共有老、中、青职工430人,其
梳
理 和各组的频数如下：
课 堂
组别 (0,10] (10,20] (20,30] (30,40] (40,50] (50,60] (60,70]
题
型 设
频数
12
13
24
15
16
13
7
计
规
则样本数据落在<10,40]上的频率为
<>
律
方 法
A．0.13 B．0.39 C．0.52 ? D．0.64
提
炼
解析：由列表可知样本数据落在<10,40]上的频数为
计
<>
B．把所有白鼠都加上编有不同号码的颈圈,用随机抽
人教高中数学B版必修二第五章《统计与概率》复习课件
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A．08
B．07
C．02
D．01
栏目 导引
第五章 统计与概率
(3)某学校的高一、高二、高三 3 个年级共有 430 名学生，其中 高一年级学生 160 名，高二年级学生 180 名，为了解学生身体 状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中高二学 生有 32 人，则该样本中高三学生人数为________． 【解析】 (1)在简单随机抽样中，总体中的每个个体在每次抽 取时被抽到的可能性相同，故选 C.
栏目 导引
第五章 统计与概率
【解析】 (1)由题意可知，甲的成绩为 4，5，6，7，8，乙的 成绩为 5，5，5，6，9.所以甲、乙的成绩的平均数均为 6，A 错； 甲、乙的成绩的中位数分别为 6，5，B 错；甲、乙的成绩的方 差分别为15×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2， 15×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝152，C 对； 甲、乙的成绩的极差均为 4，D 错．故选 C.
栏目 导引
第五章 统计与概率
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 (2)由正整数组成的一组数据 x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数 都是 2，且标准差等于 1，则这组数据为________．(从小到大 排列)
抽出件数 a
50 100 200 300 400 500
次品件数 b
3
4
5
5
8
9
次品频率ba
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解析 1 运动员甲得分的中位数为22，运动员乙得分的
中位数为23.
2因为x甲 14 17 15 24 22 23 32 21，
7 x乙 12 13 11 23 27 31 30 21，
7
10
s甲2
21 142
5
3．对于频率分布直方图，要注意如下关系：
1每个小矩形的面积 频率，小矩形面积之
和 1.
2
每一组的频率
频率 组距
组距；每一组的频数 样本容量
该组的频率；频率之和 1.
6
变式1.某中学为了解学生数学课程的学习 情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200 名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布 直方图(如图)．根据频率分布直方图推测3000名学生在 该次数学考试中成绩小于60分的学生数是______.
21 17 2
7
21 152
21
242
21 222 21 232 21 322 236
7
7
s乙2
21 122
21 132
7
21 112
21
232
21 272 21 312 21 302 466
17
考点3 线性相关分析
例3 某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品 种发芽量之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12 月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种 子中的发芽数，得到如下资料：
18
该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2 组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的 2组数据进行检验．
答案：(1)B (2)16
4
1．抓住三种抽样方法的特征，有明显差异用分
层抽样，除此之外总量大用系统抽样，总量小用随
机抽样．
2．分层抽样中公式运用要准确．
1
抽样比
样本容量 个体容量
Байду номын сангаас
各层样本容量 各层个体容量
.
2层1的数量∶层2的数量∶层3的数量 样本1的
容量∶样本2的容量∶样本3的容量．
切入点：1 抓住频数与频率的关系； 2理解分层抽样在各层抽取的比例都相同，均为 n .
N
3
解析 1频数为200 1 20.05 0.02 0.15 0.19 36. 2 总体个数为1000，样本容量为40.所以抽样比为40∶1000.
由400 4 ，得在丙专业应抽取的学生人数为16. 100
从而甲的得分大于乙的得分的概率为P 26 . 49
12
1．茎叶图不仅能够保留原始数据，而且能 展示数据的分布情况．注意领会茎叶图反映的数 据信息．
2．平均数描述了数据的平均水平，方差描 述了一组数据围绕平均数波动的大小．一般是先 比较平均数的大小，在平均数相同的条件下，再 比较方差，方差越小，说明数据越稳定．
分中各随机抽取一场的得分，求甲的 得分大于乙的得分的概率． (参考数据：92 82 102 22 62 102 92 466，72 42 62 32 12 22 112 236)
9
切入点：1 将茎叶图的数据从小到大排序，位于中间 者为中位数； 2 判断哪位运动员成绩稳定，其关键是 比较两个特征量-----平均数与方差的大小； 3 属于
1 根据抽测结果，完成下面的
茎叶图，并根据你填写的茎叶 图，对甲、乙两种树苗的高度 作比较，写出两个统计结论；
14
2设抽测的10株甲种树苗高
度的平均值为x.将这10株树苗 的高度依次输入，按程序框 图进行运算，问输出的s大小 为多少？并说明s的统计学 意义．
15
解析 1茎叶图如下：
600
7
解析 ：成绩小于60分的频率为0.002 0.006 0.01210
0.2，所以30000.2 600.
8
考点2 茎叶图与特征数
例2某赛季，甲、乙两名篮球运动员都 参加了7场比赛，他们所有比赛得分的情况用如图所示 的茎叶图表示：
1 求甲、乙两名运动员得分的中位数； 2 你认为哪位运动员的成绩更稳定？ 3 如果从甲、乙两位运动员的7场得
专题 概率与 统计
考点1 三种抽样方法与概率分布直方图
例1 1有一个容量为200的样本，其频率分
布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，
样本数据落在区间10,12内的频数为( )
A．18
B．36
C．54
D．72
2
2 某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有
150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分 层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调 查，应在丙专业抽取的学生人数为 ________．
统计结论： ①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度； ②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐； ③甲种树苗的中位数为27，乙种树苗的中位数为28.5； ④甲种树苗的高度基本上是对称的，而且大多数集中 在均值附近；乙种树苗的高度分布较为分散．
16
2 x 27，s 35.
s表示10株甲树苗高度的方差，是描述树苗高度 离散程度的量． s越小，表示长得越整齐， s越大，表示长得越参差不齐．
7
7
所以s甲2 s乙2，从而甲运动员的成绩更稳定．
11
3从甲、乙两位运动员的7场得分中随机抽取一场的
得分的基本事件为49， 其中甲的得分大于乙的得分的情况是：甲得14分
时，有3场，甲得17分时，有3场，甲得15分时，有3场， 甲得24分时，有4场，甲得22分时，有3场，甲得23分 时，有3场，甲得32分时，有7场，共计26场．
13
变式2.某市在每年的春节后，市政府 都会发动公务员参与植树活动．为保证树苗的质量， 林管部门在植树前都会对树苗进行检测．现从甲、乙 两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，得到的数据如 下(单位：cm )： 甲：37, 21,31, 20, 29,19,32, 23, 25,33 乙：10,30, 47, 27, 46,14, 26,10, 44, 46