立方和公式

立方和公式

立方差公式

三项立方和公式

推导过程：

完全立方公式

(a- b)3=a3+3ab2- 3a2b- b3

立方和累加

正整数范围中

注：可用数学归纳法证明公式证明

迭代法一

我们知道：

0次方和的求和公式

，即

1次方和的求和公式

，即

2次方和的求和公式

，即

——平方和公式，此公式可由同种方法得出，取公式

，迭代即得。

具体如下：

(k+1) 3 - k3 = (k3 + 3k 2 + 3k + 1) - k3 = 3k 2 + 3k + 1

利用上面这个式子有：

332

×1+1

2 - 1=3×1 +3

332

×2+1

3 - 2=3×2 +3

332

×3+ 1

4 - 3=3×3 +3

332

×4+1

5 - 4=3×4 +3

⋯⋯

332

(n+1)- n= 3 ×n + 3n + 1

把上述各等式左右分别相加得到：

(n+1) 3-1 3= 3 ×(1 2+22 +32+⋯⋯ +n2) + 3×(1+2+3+⋯⋯ +n)+n×1 n3 + 3n 2 + 3n + 1 - 1 = 3 ×(1 2+22 +32+⋯⋯ +n2)+3×n(n+1)/2+n (1)其中12+2 2+32+ ⋯⋯ + n 2 = n(n+1)(2n+1)/6

代入 (1)式，整理後得 1 3 + 2 3 + 3 3 + ⋯⋯ + n 3=[n(n+1)/2]

2

迭代法二

取公式：

系数可由杨辉三角形来确定

那么就得出：

⋯⋯⋯⋯⑴

⋯⋯⋯⋯⑵

⋯⋯⋯⋯⑶

⋯⋯⋯⋯

⋯⋯⋯⋯(n).

于是⑴ +⑵+⑶+⋯+(n) 有

左边 =

右边 =

把以上这已经证得的三个公式代入，得

移项后得

等号右侧合并同类项后得

即

推导完毕。

因式分解证明

几何验证

图象化立方和公式

透过绘立体的图像，也可验证立方和。根据右图，设两个立方，总和为：把两个立方体对角贴在一起，根据虚线，可间接得到：

要得到

，可使用

的空白位置。该空白位置可分割为 3 个部分：

·

·

·

把三个部分加在一起，便得：

=

=

之后，把

减去它，便得：

公式发现两个数项皆有一个公因子，把它抽出，并得：=

可透过完全平方公式，得到：

=

=

这样便可证明：