大学物理上册课后题答案

习题1

1-1．已知质点位矢随时间变化的函数形式为

(cos sin )r =R ωt i ωt j + 其中ω为常量．求：（1）质点的轨道；(2)速度和速

率。 解：(1) 由(cos sin )r

=R ωt i ωt j +，知：

cos x R t ω= ，sin y R t ω=

消去t 可得轨道方程：222

x y R +=

∴质点的轨道为圆心在（0，0）处，半径为R 的圆； （2）由d r

v

dt

=

，有速度：sin Rcos v R t i t j ωωωω=-+

而

v v

=，有速率：

1

222[(sin )(cos )]v R t R t R

ωωωωω=-+=。

1-2．已知质点位矢随时间变化的函数形式为

24(32)r t i t j =++，式中r 的单位为m ，

t 的单位为s 。求：

（1）质点的轨道；（2）从0=t 到1=t 秒的位移；

（3）0=t 和1=t 秒两时刻的速度。 解：（1）由24(32)r

t i t j =++，可知

24x t = ，32y t =+

消去t 得轨道方程为：x =2

(3)

y -，∴质点

的轨道为抛物线。

（2）由d r

v

dt

=

，有速度：82v t i j =+

从0=t 到1=t 秒的位移为：

11

(82)42r v d t t i j d t i j

∆==+=+⎰⎰ （3）0=t

和1=t 秒两时刻的速度为：

(0)2v j =，(1)82v i j =+ 。

1-3．已知质点位矢随时间变化的函数形式为

22r t i t j =+，式中r 的单位为m ，t 的单位

为s .求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时

刻的切向加速度和法向加速度。 解：(1)由d r

v

dt

=

，有：22v t i j =+，

d v a dt

=

，有：2a i

=；

（2）而

v v

=，有速率：

1

2

222[(2)2]21v t t =+=+

∴t dv a dt =221

t t =

+，利用222

t n a a a =+有：

222

21

n t a a a t =-=

+。

1-4．一升降机以加速度a 上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升降机的天花板与底板相距为

d ，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。

解法一：以地面为参照系，坐标如图，设同一时间内螺钉下落的距离为1y ，升降机上升的高度

为

2y ，运动方程分别为

2101

2

y v t gt =-

（1）

2201

2

y v t at =+

（2）

12y y d +=

（3）

（注意到

1y 为负值，有11y y =-）

联立求解，有：2d t g a

=

+。

解法二：以升降机为非惯性参照系，则重力加速度修正为

'g g a =+，

利用21

'2

d g t =，有：

22'd

d

t g g a

=

=+。

1-5．一质量为m 的小球在高度

h 处以初速度0v 水

平抛出，求：

（1）小球的运动方程；

（2）小球在落地之前的轨迹方程；

（3）落地前瞬时小球的

d r

d t

，

d v d t ，d v d t

。 解：（1）如图，可建立平抛运动学方程：

0x v t = ，21

2y h g t =- ，∴

201

()2

r v t i h g t j =+-；

（2）联立上面两式，消去t 得小球轨迹方程：

2

20

2gx y h v =-+（为抛物线方程）

； （3）∵2

01()2

r v t i h g t j =+-，∴

0d r

v i g t j d t

=-， 即：0v v i g t j =-，

d v

g j d t

=- 在落地瞬时，有：2h t

g

=

，∴

02d r

v i gh j d t

=- 又∵

v =

2222

0()x y v v v gt +=+-，∴

21222200

22[()]g gh g t dv dt v gh v gt ==

++ 。

1-6．路灯距地面的高度为1h ，一身高为2h 的人在路灯下以匀速1v 沿直线行走。试证明人影的顶端作

匀速运动，并求其速度2v .

证明：设人向路灯行走，t 时刻人影中头的坐标为1x ，

足的坐标为

2x ，

由相似三角形关系可得：

122

11x x h x h -=，

∴11212

h x x h h =

- 两边对时间求导有：112

12d x h d x d t h h d t

=- 考虑到：

2

1d x v d t

=， 知人影中头的速度：21

112

d x h v v d t h h ==-影（常数）。

1-7．一质点沿直线运动，其运动方程为

2

242t t x -+=(m)，在 t 从0秒到3秒的时

间间隔内，则质点走过的路程为多少？

解：由于是求质点通过的路程，所以可考虑在0~3s 的时间间隔内，质点速度为0的位置：

t dt

dx

v 44-==

若0=v 解得 s t 1=，

m

x x x 22)242(011=--+=-=∆ x x x 2

42()32342(2133-+-⨯-⨯+=-=∆

m

x x x 1021=∆+∆=∆。

1-8．一弹性球直落在一斜面上，下落高度

cm 20=h ，斜面

对水平的倾角

30=θ，问它第

二次碰到斜面的位置

距原来的下落点多远

(假设小球碰斜面前后速度数值相等，碰撞时人射角等

x y 0v h O