立体几何二 垂直.
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二、垂直关系
一.线线垂直的判定
①相交时,边长关系比较明显时,利用勾股定理或等腰三角形的高的垂直关系; ②转化为线面垂直;
③垂直于平行线中的一条,必垂直于另一条。
二.线面垂直的判定
判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面。 注:性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。
三.面面垂直
①定义:两个平面相交成直二面角。
②判定定理: (线面垂直⇒面面垂直)证明一个平面经过另一个平面的一条垂线。 注:性质定理:(面面垂直⇒线面垂直)若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。
1:如图,在三棱锥P -ABC 中,AB =BC =CA ,P A ⊥底面ABC ,D 为AB 的中点.
求证:CD ⊥PB ;
2:已知ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体,E 、F 分别是棱AA 1和CC 1
的中点,G 是A 1C 1的中点.求证平面BFD 1E ⊥平面BGD 1;
3:四边形ABCD 中.AD ∥BC ,AD =AB ,∠BCD =45°,∠BAD =90°,将
△ABD 沿对角线BD 折起,记折起点A 的位置为P ,且使平面PBD ⊥平 面BCD .(1)求证:CD ⊥平面PBD ;(2)求证:平面PBC ⊥平面PDC ;
S
4:在三棱锥S -ABC 中,已知SA =4,AB =AC ,BC =3 6 ,∠SAB =∠SAC =45°,
SA 与底面ABC 所的角为30°.求证:SA ⊥BC ;
5. 在四棱锥P -ABCD 中,已知PD ⊥底面ABCD ,底面ABCD 为等腰梯形,且∠DAB =60°, AB =2CD ,∠DCP =45°,设CD =a .求证:AD ⊥PB .
6. 如图,正三角形ABC 与直角三角形BCD 成直二面角,且∠BCD =90°,∠CBD =30°. 求证:AB ⊥CD ;
6.(全国卷)已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形,AB ∥DC ,=∠PA DAB ,90
底面ABCD ,且PA=AD=DC=2
1
AB=1,M 是PB 的中点证明:面PAD ⊥面PCD ;
B
A P
D
C
E
C C
B
A
A
A
B
C
D
A C
D
P
M
7.(全国卷)如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB =BC ,D 、E 分别为BB 1、AC 1的中点. (Ⅰ)证明:ED 为异面直线BB 1与AC 1的公垂线;
(Ⅱ)设AA 1=AC =2AB ,求二面角A 1-AD -C 1的大小.
8.(全国卷1)四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 为平行四边形,侧面SBC ⊥底 面ABCD .已知45ABC =∠,2AB =,22BC =3SA SB ==.
(Ⅰ)证明SA BC ⊥;(Ⅱ)求直线SD 与平面SAB
9.(全国卷2)如图,在四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 为正方形,侧棱SD ⊥底 面ABCD E F ,,分别为AB SC ,的中点.(1)证明EF ∥平面SAD ;(2)设2SD DC =,
求二面角A EF D --的大小.
10.(全国一)四棱锥A BCDE -中,底面BCDE 为矩形,侧面底面,2BC =,2CD =AB AC =.(Ⅰ)证明:AD CE ⊥;(Ⅱ)设CE 与平面ABE 所成的角为45,求二面角C AD E --的大小.
11.(全国二)如图,正四棱柱1111ABCD A B C D -中,124AA AB ==,点E 在
1CC 上且EC E C 31=.(Ⅰ)证明:1A C ⊥平面BED ;(Ⅱ)求二面角1A DE B --的大
小.
12.(北京卷16)如图,在三棱锥P ABC -中,2AC BC ==,90ACB ∠=,
AP BP AB ==,PC AC ⊥.(Ⅰ)求证:PC AB ⊥;(Ⅱ)求二面角B AP C --的大小; (Ⅲ)求点C 到平面APB 的距离.
13.(四川卷)如,平面ABEF ⊥平面ABCD ,四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形,
090,BAD FAB BC
∠=∠=//=
1
2
AD ,BE //=
1
2
AF (Ⅰ)证明:,,,C D F E 四点共面; (Ⅱ)设AB BC BE ==,求二面角A ED B --的大小;
A
B C
D E A 1
B 1
C 1
D B
C
A
S
A C
F
S
D H G
M
C D E
A
B A
B
C
D E A 1
B 1
C 1
D 1 A
C
B
P
N
M
A B
D
C
O
14. (天津卷)如图,在四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 是矩形.已知
60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB .(Ⅰ)证明⊥AD 平面PAB ;
(Ⅱ)求异面直线PC 与AD 所成的角的大小;(Ⅲ)求二面角A BD P --的大小.
15.(安徽卷)如图,在四棱锥O ABCD -中,底面ABCD 四边长为1的菱形,4
ABC π
∠=
,
OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点,N 为BC 的中点(Ⅰ)证明:直线 MN OCD 平面‖;(Ⅱ)求异面直线AB 与MD 所成角的大小; (Ⅲ)求点B 到平面
OCD 的距离。
16. (山东卷)如图,已知四棱锥P -ABCD ,底面ABCD 为菱形,P A ⊥平面ABCD ,60ABC ∠=︒,E ,F 分别是BC , PC 的中点.(Ⅰ)证明:AE ⊥PD ; (Ⅱ)若H 为PD 上的动点,EH 与平面P AD 所成最大角的正切值为6
2
,求二面角E —AF —C 的余弦值.
17、(江苏模拟)一个多面体的直观图和三视图如图所示,其中M 、N 分别是AB 、AC 的中点,G 是DF 上的一动点.(1)求证:;AC GN ⊥(2)当FG=GD 时,在棱AD 上确定一点P ,使得GP//平面FMC,并给出证明。