中考数学二轮复习专题水平测试操作性问题
中考数学第二轮复习专题(14个)
中考数学二轮专题复习之一：配方法与换元法把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
【范例讲析】： 例1： 填空题：1）．将二次三项式x 2+2x －2进行配方，其结果为 。
2）．方程x 2+y 2+4x －2y+5=0的解是 。
3）．已知M=x 2－8x+22，N=－x 2+6x －3，则M 、N 的大小关系为 。
例2.已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，且a 2+b 2+c 2=ab+bc+ac ，则△ABC 的形状为 。
例3.解方程：422740x x --=【闯关夺冠】 1.已知13x x +=．则221x x+的值为__________． 2．若a 、b 、c 是三角形的三边长，则代数式a 2–2ab+b 2–c 2的值 （ ） A 大于零 B 等于零 C 小于零 D 不能确定 3已知：a 、b 为实数，且a 2+4b 2－2a+4b+2=0，求4a 2－b1的值。
4. 解方程： 211()65()11x x +=--对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果．通过变形与比较．建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使问题获解．这种方法称为待定系数法． 【范例讲析】：【例1】二次函数的图象经过A(1，0)、B(3，0)、C(2，－1)三点．(1)求这个函数的解析式．(2)求函数与直线y=－x+1的交点坐标．【例2】一次函数的图象经过反比例函数xy 8-=的图象上的A 、B 两点，且点A 的横坐标与点B 的纵坐标都是2。
（1）求这个一次函数的解析式；（2）若一条抛物线经过点A 、B 及点C （1，7），求抛物线的解析式。
2013年中考数学二轮专题复习(专题四 操作方案设计问题)
(3)价格变动后，A种鱼的利润＝[100×0.1×(1＋ a%)－(2.3＋3)](百元)， B种鱼的利润＝55×0.4×(1－20%)－(4＋5.5)＝ 8.1(百元)．
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专 题 解 读
设A、B两种鱼上市时价格利润相等，则有
100×0.1×(1＋a%)－(2.3＋3)＝8.1，
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【例题1】 (2011· 浙江温州)如
专 题 解 读
图，O是正方形ABCD的对角 线BD上一点，⊙O与边AB， BC都相切，点E，F分别在
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专 题 突 破
AD，DC上，现将△DEF沿着
EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆 心O处．若DE＝2，则正方形ABCD的边长是(
决．一次函数和不等式的方案设计是最近几年中考 的命题热点，正确理解题意，找出等量关系，列出 函数表达式是解题的关键，分类讨论一定要全面， 不能有遗漏．
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【例题6】 (2012· 浙江省杭州市一模)小王家是新农
专 题 解 读
村建设中涌现出的“养殖专业户”．他准备购置 80只相同规格的网箱，养殖A、B两种淡水鱼(两
【例题4】 (2012· 浙江义乌改编)在锐角△ABC中，AB
＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，将△ABC绕点B按逆
专 题 解 读
时针方向旋转，得到△A1BC1. (1)如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求 ∠CC1A1的度数； (2)如图2，连接AA1，CC1.若△ABA1的面积为4，求
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4.7(百元)，
2024年中考数学二轮复习模块专练—化归思想(含答案)
2024年中考数学二轮复习模块专练—化归思想（含答案）在于将未知的，陌生的，复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的，熟悉的，简单的问题．三角函数，几何变换，因式分解，乃至古代数学的尺规作图等数学理论无不渗透着转化的思想．常见的转化方式有：一般特殊转化，等价转化，复杂简单转化，数形转化，构造转化，联想转化，类比转化等．转化思想亦可在狭义上称为化归思想．化归思想就是将待解决的或者难以解决的问题A 经过某种转化手段，转化为有固定解决模式的或者容易解决的问题B ，通过解决问题B 来解决问题A 的方法．考点解读：有理数减法转化为有理数的加减，有理数的除法转化为有理数的乘法；多项式乘以多项式转化为单项式乘以单项式，异分母的分式相加减转化为同分母的分式相加减；数式的化归，递进式变化，构建起数式知识与方法的脉络．【例1】（2023·广东江门·统考一模）1．在《九章算术》“割圆术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种由有限到无限的转化思想．比如在求234111112222+++++⋅⋅⋅的和中，“…”代表按此规律无限个数相加不断求和．我们可设234111112222x =+++++⋅⋅⋅．则有234111*********x ⎛⎫=++++++⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，即112x x =+，解得2x =，故2341111122222+++++⋅⋅⋅=．类似地，请你计算：2468111113333+++++⋅⋅⋅=．（直接填计算结果即可）【变1】考点解读：从一般的三角形到等腰三角形、等边三角形，从平行四边形到矩形、菱形，试卷第2页，共14页A ．BEA ∠B ．DEB ∠C ．ECA ∠D ．ADO∠【变1】（2023·浙江·统考中考真题）4．小贺在复习浙教版教材九上第81页第5题后，进行变式、探究与思考：如图1，O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且8CE =，2DE =．(1)复习回顾：求AB 的长．(2)探究拓展：如图2，连接AC ，点G 是 BC上一动点，连接AG ，延长CG 交AB 的延长线于点F ．①当点G 是 BC的中点时，求证：GAF F ∠=∠；②设CG x =，CF y =，请写出y 关于x 的函数关系式，并说明理由；③如图3，连接DF BG ，，当CDF 为等腰三角形时，请计算BG 的长．考点解读：三元一次方程转化为二元一次方程，分式方程转化为整式方程，一元二次方程转化为一元一次方程．方程化归，构成了方程知识和方法体系．【例1】（2019·浙江台州·统考中考真题）考点解读：由正比例函数图像的平移来研究一次函数图像及性质，试卷第4页，共14页(1)求点C，D的坐标；(2)当13a=时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B直线AD上方抛物线上一点，将直线PD沿直线AD 2试卷第6页，共14页三、解答题（2023·山西忻州·校联考模拟预测）16．下面是小彬同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．用上面方法所作出的正方形，有一个顶点恰好是直角三角形的直角顶点．△的内接正方形的一边恰好在斜边AB上，我就可用如下方法，如图2，如果Rt ABC⊥，垂足为D；第一步：过直角顶点C作CD AB第二步，延长AB到M，使得BM AD=，连接CM；试卷第8页，共14页试卷第10页，共14页试卷第12页，共14页(1)求EPF ∠的度数；(2)设PE x =，PF y =，随着点P 的运动，32x y +的值是否会发生变化？若变化，请求出它的变化范围；若不变，请求出它的值；(3)求EF 的取值范围（可直接写出最后结果）．试卷第14页，共14页参考答案：答案第2页，共31页∵O 的直径CD 垂直弦∴10CD CE DE =+=，∴152OA OD CD ===在Rt OAE △中，AE =∵点G 是 BC的中点，∴»»CGBG =，∴GAF D ∠=∠，答案第4页，共31页∵O 的直径CD 垂直弦AB 于点∴ AC BC=，∴CAF CGA ∠=∠，在Rt CEF △中，2EF CF CE =-在Rt DEF △中，2EF DF DE =-在Rt CEF △中，2CF CE EF =+∴464BF EF BE =-=-，同理FGB FAC ∽△△，答案第6页，共31页次方程转化为二元一次方程组是解题关键．7．D【分析】利用“倍值点”的定义得到方程()210t x tx s +++=，则方程的0∆>，可得2440t ts s -->，利用对于任意的实数s 总成立，可得不等式的判别式小于0，解不等式可得出s 的取值范围．【详解】解：由“倍值点”的定义可得：()()2212x t x t x s =++++，整理得，()210t x tx s +++=∵关于x 的二次函数()()212y t x t x s =++++（,s t 为常数，1t ≠-）总有两个不同的倍值点，∴()22=41440,t t s t ts s ∆-+=-->∵对于任意实数s 总成立，∴()()24440,s s --⨯-<整理得，216160,s s +<∴20,s s +<∴()10s s +<，∴010s s <⎧⎨+>⎩，或010s s >⎧⎨+<⎩，当010s s <⎧⎨+>⎩时，解得10s -<<，当010s s >⎧⎨+<⎩时，此不等式组无解，∴10s -<<，故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式以及二次函数与不等式的关系，理解新定义并能熟练运用是解答本题的关键．答案第8页，共31页答案第10页，共31页（3）解：①当1a =时，抛物线解析式为∴4EH EF FG ===，∴()16H ，，()56G ，，②如图3-1所示，当抛物线与∵当正方形EFGH 的边与该抛物线有且仅有两个交点，∴点T 的纵坐标为2+151 4.5a -++=如图3-2所示，当抛物线与∵当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，∴15 2.5a-=，解得0.4a=（舍去，因为此时点如图3-3所示，当抛物线与∵当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，∴21152 a aa a⎛⎫-⋅+⋅+⎪⎝⎭17 3.5aa=．综上所述，0.5【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，轴对称的性质，正方形的性质等等，利用分类讨论和数形结合的思想求解是解题的关键．9．C答案第12页，共31页答案第14页，共31页抛物线223y x x =+-交于C 、D 两点，∵0m n >>，关于x 的方程2230x x m +--=的解为()1212,x x x x <，关于x 的方程2230x x n +--=的解为3434,()x x x x <，∴1234，，，x x x x 分别是A 、B 、C 、D 的横坐标，∴1342x x x x <<<，故选B ．【点睛】本题主要考查了抛物线与一元二次方程的关系，正确把一元二次方程的解转换成直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键．13．12x y =⎧⎨=⎩【分析】根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解．【详解】解：∵一次函数y =3x -1与y =kx （k 是常数，k ≠0）的图象的交点坐标是（1，2），∴联立y =3x -1与y =kx 的方程组31y x y kx =-⎧⎨=⎩的解为：12x y =⎧⎨=⎩，即310x y kx y -=⎧⎨-=⎩的解为：12x y =⎧⎨=⎩，答案第16页，共31页答案第18页，共31页证明：FD AB ⊥ ，FE AC ⊥，90AEG GDF ∴∠=∠=︒，AGE FGD ∠=∠ ，180BAC ∠=BAC DFE ∴∠=∠；（2）解：BC CD ⊥ ，90BCD ∴∠=︒，在Rt BCD 中，tan BC CD BDC =∠在Rt BCE 中，BC CE =答案第20页，共31页解得：9m BC =，9 1.610.6m AB BC AC ∴=+=+=，答：大树的高度AB 为10.6m ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．19．(1)当Δ0=时，方程有两个相等的实数根，∴二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与一次函数()0y sx t s =+≠的图像有一个交点；当Δ0<时，方程没有实数根，∴二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与一次函数()0y sx t s =+≠的图像没有交点；(2)16t =；(3)y x =-，答案不唯一，合理即可．【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式说明根的情况和函数图像交点的情况即可；（2）联立方程组，化简成一元二次方程的一般形式，用根的判别式Δ0=，代入求解；（3）函数图像有两个交点，保证根的判别式0∆>即可．【详解】（1）解：根据一元二次方程根的判别式可得：当Δ0=时，方程有两个相等的实数根，∴二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与一次函数()0y sx t s =+≠的图像有一个交点；当Δ0<时，方程没有实数根，∴二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与一次函数()0y sx t s =+≠的图像没有交点；（2）联立函数表达式：253y x x y x t ⎧=-+⎨=-+⎩，可得：253x x x t -+=-+，答案第22页，共31页由旋转的性质，可证明△BPP ′是等边三角形，再证明C 、P 、A ′、P ′四点共线，最后由勾股定理解答．【详解】（1）解：∵ACP ABP ' ≌，∴AP ′＝AP ＝3、CP ′＝BP ＝4，∠AP ′C ＝∠APB ，由题意知旋转角∠PAP ′＝60°，∴△APP ′为等边三角形，PP ′＝AP ＝3，∠AP ′P ＝60°，由旋转的性质可得：AP ′＝AP ＝PP ′=3，CP ′＝4，PC=5，∵32+42=52∴△PP ′C 为直角三角形，且∠PP ′C ＝90°，∴∠APB ＝∠AP ′C ＝∠AP ′P ＋∠PP ′C ＝60°＋90°＝150°；故答案为：150°；（2）证明：∵点P 为△ABC 的费马点，∴120APB ∠=︒，∴60APD ∠=︒，又∵AD AP =，∴APD 为等边三角形∴AP PD AD ==，60PAD ADP ∠=∠=︒，∴120ADE ∠=︒，∴ADE APC ∠=∠，在△APC 和△ADE 中，PAC DAE AP AD APC ADE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质、费马点等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识，正确做出辅助线是解题关键．21．(1)120︒(2)不会；9(3)9219 7EF≤<【分析】（1）延长EP交BC于点G，根据平行线的性质得出答案第24页，共31页，∵PE CD∠=∠，∴PGB DCB∥，∵PF AB∠=∠，∴PFC ABC答案第26页，共31页则90EHP ∠=︒，∵120EPF ∠=︒，∴18012060EPH ∠=︒-︒=︒，∴906030PEH ∠=︒-︒=︒，22．（1）60︒；（2）①丙；②10【分析】（1）连接BC '，则A BC ''△为等边三角形，即可求得既不相交也不平行的两条直线BA '与AC 所成角的大小；（2）①根据正方体侧面展开图判断即可；②根据对称关系作辅助线即可求得PM PN +的最小值．【详解】解：（1）连接BC '，∵//AC A C ''，BA '与A C ''相交与点A '，即既不相交也不平行的两条直线BA '与AC 所成角为BA C ''∠，根据正方体性质可得：A B BC A C ''''==，∴A BC ''△为等边三角形，∴=60BA C ''∠︒，即既不相交也不平行的两条直线BA '与AC 所成角为60︒；（2）①根据正方体展开图可以判断，甲中与原图形中对应点位置不符，乙图形不能拼成正方体，故答案为丙；②如图：作M 关于直线AB 的对称点M '，答案第28页，共31页∵90ABC ∠=︒，DQ ∴四边形DBNQ 是矩形，∴90DQN ∠=︒，QN答案第30页，共31页∵A ABN BNQ AQN ∠+∠+∠+∠∴180ABN AQN ∠+∠=︒，∴AQN PBN ∠=∠．。
中考数学二轮复习专题水平测试.操作性问题
2010年中考数学二轮复习专题水平测试 操作性问题1．（2009年江苏省）（1）观察与发现小明将三角形纸片()ABC AB AC >沿过点A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD ，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A 和点D 重合，折痕为EF ，展平纸片后得到AEF △（如图②）．小明认为AEF △是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．（2）实践与运用将矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，折痕为BE （如图③）；再沿过点E 的直线折叠，使点D 落在BE 上的点D '处，折痕为E G （如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中α∠的大小．2．（2009年铁岭市）如图所示，在Rt ABC △中，9030C A ∠=∠=°，°． （1）尺规作图：作线段AB 的垂直平分线l （保留作图痕迹，不写作法）；（2）在已作的图形中，若l 分别交AB AC 、及BC 的延长线于点D E F 、、，连接BE ． 求证：2EF DE =．3．（2009年杭州市）如图，已知线段a ．（1）只用直尺（没有刻度）和圆规，求作一个直角三角形ABC ，以AB 和BC 分别为两条直角边，使AB =a ，BC =a 21（要求保留作图痕迹，不必写出作法）； ACBa（2）若在（1）作出的RtΔABC 中，AB =4cm ，求AC 边上的高．4．（2009年台州市）定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点．．．．如图1，PH PJ =，PI PG =，则点P 就是四边形ABCD 的准内点．（1）如图2， AFD ∠与DEC ∠的角平分线FP EP ，相交于点P ． 求证：点P 是四边形ABCD 的准内点．（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点． （作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明） （3）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”． ①任意凸四边形一定存在准内点．（ ） ②任意凸四边形一定只有一个准内点．（ ）③若P 是任意凸四边形ABCD 的准内点，则PD PC PB PA +=+ 或PD PB PC PA +=+．( )5．（2009年宁波市）（1）如图1，把等边三角形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作等边三角形，并去掉居中的那条线段，得到一个六角星，则这个六角星的边数是 ．（2）如图2，在5×5的网格中有一个正方形，把正方形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作正方形，并去掉居中的那条线段．请你把得到的图形画在图3中，并写出这个图形的边数．（3）现有一个正五边形，把正五边形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作正五边形，并去掉居中的那条线段，得到的图形的边数是多少？6．（2009年义乌)（1）如图1，正方形网格中有一个平行四边形，请在图1中画一条直线把平行四边形分成面积相等的两部分；(2)把图2中的平行四边形分割成四个全等．．．．的四边形（要求在图2中画出分割线），并把图2图4FEDC B A PG HJI 图1BJIH GD CA P（图1） （第21题）（图2） （图3）所得的四个全等的四边形在图3中拼成一个轴对称图形或中心对称图形，使所得图形与原图形不全等且各个顶点都落在格点上。
九下中考数学第二轮复习专题6 操作型问题
D A C B
E
F
二、展开与折叠
折叠和展开是认识、研究立体图形的 一个重要方法。折叠和展开是一个互逆的 操作过程过程，解决这类问题可以直接操 作，也可以通过头脑想象操作的过程（思 维实验），从而解决问题。
操作型问题是指通过动手实验，获得 数学结论的研究性活动。这类活动采用以 动手为基础，手脑结合的科学研究形式， 需要动手操作、合理猜想和验证，有助于 实践能力和创新能力的培养，更有助于养 成实验研究的习惯，符合新课程标准特别 强调的发现式学习、探究式学习和研究式 学习要求。
二、问题分类解析
（一）基本作图和格点作图
练习5： 已知矩形ABCD的长AB=4,宽AD=3,按
如图放置在直线AP上,然后不滑动地转动, 当它转动一周时( A到A/),顶点A所经过的 路线长等于 6π 。
A1
A2
C1
四、图形割补
分割图形和图形的重新组合问题由于解 题策略多样，方法多样，剪裁线的不定性， 使得组合图形变得多姿多彩。分割和组合 其实是思考的结果，理性的思考是解题的 关键。解决问题的方法有实验法、分析法、 类比法、联想法和验证法。
练习6：
已知△ABC中AB＝AC,AD⊥BC于D且 AD＝BC＝4，若将此三角形沿AD剪开成两 个三角形，在平面上把这两个三角形再拼成 一个四边形，你能拼出所有的不同形状的四 边形吗？画出你所拼的四边形的示意图(标 出图中直角),并分别写出所拼四边形对角线 的长(只写结果)。
九年级数学中考第二轮专题复习第四讲操作型问题
九年级数学中考第二轮专题复习第四讲操作型问题在近几年的中考试题中，为了体现教育部关于中考命题改革的精神，出现了动手操作题。
动手操作题是让学生在通过实际操作的基础上设计有关的问题。
这类题对学生的能力有更高的要求，有利于培养学生的创新能力和实践能力，体现新课程理念。
操作型问题是指通过动手测量、作图（象）、取值、计算等实验，猜想获得数学结论的探索研究性活动，这类活动完全模拟以动手为基础的手脑结合的科学研究形式，需要动手操作、合情猜想和验证，不但有助于实践能力和创新能力的培养，更有助于养成实验研究的习惯，符合新课程标准特别强调的发现式学习、探究式学习和研究式学习，鼓励学生进行“微科研”活动，提倡要积极引导学生从事实验活动和实践活动，培养学生乐于动手、勤于实践的意识和习惯，切实提高学生的动手能力、实践能力的指导思想。
因此，实验操作问题将成为今后中考的热点题型。
题型1动手问题此类题目考查学生动手操作能力，它包括裁剪、折叠、拼图，它既考查学生的动手能力，又考查学生的想象能力，往往与面积、对称性质联系在一起。
题型2证明问题动手操作的证明问题，既体现此类题型的动手能力，又能利用几何图形的性质进行全等、相似等证明。
题型3探索性问题此类题目常涉及到画图、测量、猜想证明、归纳等问题，它与初中代数、几何均有联系，此类题目对于考查学生注重知识形成的过程，领会研究问题的方法有一定的作用，也符合新课改的教育理念。
例1、将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺平，•得到的图形是（）【答案】C例2、如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3至图6中统一用F 表示）（图1） （图2） （图3）小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决．（1）将图3中的△ABF 沿BD 向右平移到图4的位置，使点B 与点F 重合，请你求出平移的距离；（2）将图3中的△ABF 绕点F 顺时针方向旋转30°到图5的位置，A 1F 交DE 于点G ，请你求出线段FG 的长度；（3）将图3中的△ABF 沿直线AF 翻折到图6的位置，AB 1交DE 于点H ，请证明：AH ﹦DH（图4） （图5） （图6） 解：（1）图形平移的距离就是线段BC 的长（2分）又∵在Rt △ABC 中，斜边长为10cm ，∠BAC ＝30，∴BC ＝5cm ， ∴平移的距离为5cm ．（2分） （2）∵∠130A FA =，∴∠60GFD =，∠D ＝30°． ∴∠90FGD =．（1分）在Rt EFD 中，ED ＝10 cm ，∵FD ＝53，（1分）∵53FC =．（2分） （3）△AHE 与△1DHB 中，∵130FAB EDF ∠=∠=，（1分）∵FD FA =，1EF FB FB ==，∴1FD FB FA FE -=-，即1AE DB =．（1分） 又∵1AHE DHB ∠=∠，∴△AHE ≌△1DHB （AAS ）（1分）． ∴AH DH =．（1分）例3、在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：第一步：对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展开（如图1）； 第二步：再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，同时得到线段BN （如图2）．（图1） （图2）请解答以下问题：（1）如图2，若延长MN 交BC 于P ，△BMP 是什么三角形？请证明你的结论． （2）在图2中，若AB ＝a ，BC ＝b ，a 、b 满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD 上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP ？（3）设矩形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝4，并建立如图3所示的直角坐标系. 设直线BM '为y kx =，当M BC '∠＝60°时，求k 的值.此时，将△ABM ′沿BM′折叠，点A 是否落在EF 上（E 、F 分别为AB 、CD 中点）？为什么？（图3）解：（1）△BMP 是等边三角形．证明：连结AN ，∵EF 垂直平分AB ∴AN ＝ BN ，由折叠知 AB ＝ BN ∴AN ＝ AB ＝ BN ∴△ABN 为等边三角形，∴∠ABN ＝60° ∴∠PBN ＝30° 又∵∠ABM ＝∠NBM ＝30°，∠BNM ＝∠A ＝90°， ∴∠BPN ＝60° ∠MBP ＝∠MBN ＋∠PBN ＝60°，∴∠BMP ＝60°，∴∠MBP ＝∠BMP ＝∠BPM ＝60°，∴△BMP 为等边三角形 ．（2）要在矩形纸片ABCD 上剪出等边△BMP ，则BC ≥BP 在Rt △BNP 中， BN ＝ BA ＝a ，∠PBN ＝30°，∴BP ＝cos30a∴b ≥cos30a ∴a ≤23b ．∴当a ≤23b 时，在矩形上能剪出这样的等边△BMP ． （3）∵∠M′BC ＝60° ∴∠ABM′ ＝90°－60°＝30°，在Rt △ABM′中，tan ∠ABM′ ＝AM AB ' ∴tan 30°＝2AM ' ∴AM′ ＝233，∴M ′(233，2). 代入y ＝kx 中 ，得k ＝2233＝3设△ABM′沿BM′折叠后，点A 落在矩形ABCD 内的点为A '，过A '作A 'H ⊥BC 交BC 于H ．∵△A 'BM′ ≌△ABM′ ∴A BM ''∠＝ABM '∠＝30°， A 'B ＝ AB ＝2 ∴A BH MBH ''∠=∠－A BM ''∠＝30°．在Rt △A 'BH 中， A 'H ＝12A 'B ＝1 ，BH ＝3 ∴()3,1A '，∴A '落在EF 上。
中考数学专题复习：操作性问题【多套合集,原卷+解析版】
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析． 【解析】 试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．
考点：作图—应用与设计作图． 8 ．（ 2016 甘 肃 省 兰 州 市 ） 如 图 ， 已 知 ⊙O ， 用 尺 规 作 ⊙O 的 内 接 正 四 边 形 ABCD ．（ 写 出 结 论 ， 不 写 作 法 ， 保 留 作 图 痕 迹 ， 并 把 作 图 痕 迹 用 黑 色 签 字 笔 描黑）
是
．
【答案】到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、 B 都在线段 PQ 的垂 直平分线 上）．
理由：如图，∵PA=PQ，PB=PB，∴点 A、点 B 在线段 PQ 的垂直平分线上，∴直线 AB 垂
.
.
.
.
直平分线段 PQ，∴PQ⊥AB．
考点：作图—基本作图． 2．（2016 四川省凉山州）如图，在边长为 1 的正方形网格中，△ABC 的顶点均在格点上， 点 A、B 的坐标分别是 A（4，3）、B（4，1），把△ABC 绕点 C 逆时针旋转 90°后得到 △A1B1C． （1）画出△A1B1C，直接写出点 A1、B1 的坐标； （2）求在旋转过程中，△ABC 所扫过的面积．
（3）求△A1B1C1 与△A2B2C2 重合部分的面积．
4．（2016 四川省广安市）在数学活动课上，老师要求学生在 5×5 的正方形 ABCD 网格中 （小正方形的边长为 1）画直角三角形，要求三个顶点都在格点上，而且三边与 AB 或 AD 都不平行．画四种图形，并直接写出其周长（所画图象相似的只算一种）．
.
.
.
.
考点：作图—复杂作图．学科网 7．（2016 江西省）如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，AB 是其中一个小 长方形的对角线，请在大长方形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度直尺， ②保留必要 的画图痕迹．[来源:学#科#网]
2024年中考数学二轮专题复习常考题八大模型
∴ = + = + = ， = + = + = ，
∴ =
+ =
+ = .
类型三 手拉手模型
5.
（1）问题发现：如图1，△ ACB和△ DCE均为等边三角形，当△ DCE旋
∘
转至点A，D，E在同一直线上时，连接BE.则①∠AEB的度数为_____；②
在△ 和△ 中，
∠ = ∠,
∴△ ∼△ .
【思考探究】
（2）如图2，若CE//AD，∠C =
45∘
，AD =
CE
2AB，求 的值；
BC
解：如图1，过点作 ⊥ ，交于点，
∵ ∠ = ∘ ，∴ ∠ = ∘ + ∘ = ∘ ，
∠ = ∘ ，
∴ ∠ − ∠ = ∠ − ∠，即∠ = ∠，
∴△ ≌△ ，∴ ∠ = ∠ = ∘ ，
∴ ∠ = ∠ = ∘ ，∴ //.
（2）如图2，已知△ ABC，△ ADE均为等边三角形，连接CE，BD，若
180
解：发生变化， = .
证明：由（1）得，∠ = ∠，∠ = ∠，
∴△ ∼△ ，∴
=
= ，∴ = .
（3）拓展延伸：如图3，正方形ABCD的边长为6，点E是边AD上一点，
且AE = 2，把线段CE逆时针旋转90∘ 得到线段EF，连接BF，直接写出线
第二部分 专题突破卷
专题卷（八） 几何模型
类型一 一线三垂直模型
1.【模型建立】如图，已知Rt △ ABC中，∠ACB = 90∘ ,AC = CB，过点C
任作一条直线l（不与CA，CB重合），过点A作AD ⊥ l于D，过点B作
备考2024年中考数学二轮复习-利用统计图表分析实际问题-单选题专训及答案
备考2024年中考数学二轮复习-利用统计图表分析实际问题-单选题专训及答案利用统计图表分析实际问题单选题专训1、(2018房山.中考模拟) 某班体育委员对本班所有学生一周锻炼时间（单位：小时）进行了统计，绘制了统计图，如图所示，根据统计图提供的信息，下列推断正确的是（）A . 该班学生一周锻炼时间的中位数是11B . 该班学生共有44人C . 该班学生一周锻炼时间的众数是10D . 该班学生一周锻炼12小时的有9人2、(2020西宁.中考模拟) 为了解九（1）班学生的体温情况，对这个班所有学生测量了一次体温（单位：℃），小明将测量结果绘制成如下统计表和如图所示的扇形统计图．下列说法错误的是（）体温（℃）36.136.236.336.436.536.6人数（人）48810x2A . 这些体温的众数是8B . 这些体温的中位数是36.35C . 这个班有40名学生D . x=83、(2018黄浦.中考模拟) 一个民营企业10名员工的月平均工资如下表，则能较好反映这些员工月平均工资水平的是（）人次1112113工资3032 1.5 1.220.8（工资单位：万元）A . 平均数；B . 中位数；C . 众数；D . 标准差．4、(2019温州.中考模拟) 某班预开展社团活动，对全班42名学生开展“你最喜欢的社团”问卷调查（每人只选一项），并将结果制成如下统计表，则学生最喜欢的项目是（）社团名称篮球足球唱歌器乐人数（人）11x98A . 篮球B . 足球C . 唱歌D . 器乐5、(2019秀洲.中考模拟) 某电动车厂2018年第三、四季度各月产量情况如图所示。
某电动车厂2018年第三、四季则下列说法错误的是（ )A . 7月份产量为300辆B . 从10月到11月的月产量增长最快C . 从11月到12月的月产量减少了20%D . 第四季度比第三季度的产量增加了70%6、(2019绍兴.中考模拟) 以下是某手机店1～4月份的两个统计图，分析统计图，对3、4月份三星手机的销售情况四个同学得出的以下四个结论，其中正确的为（）A . 4月份三星手机销售额为65万元B . 4月份三星手机销售额比3月份有所上升C . 4月份三星手机销售额比3月份有所下降D . 3月份与4月份的三星手机销售额无法比较，只能比较该店销售总额7、(2019温州.中考模拟) 小红同学5月份各项消费情况的扇形统计图如图所示，其中小红在学习用品上共支出100元，则她在午餐上共支出（）A . 50元B . 100元C . 150元D . 200元8、(2018西湖.中考模拟) 右图是某市10月1日至7日一周内“日平均气温变化统计图”．在这组数据中，众数和中位数分别是（）A . 13，13B . 14，14C . 13，14D . 14，139、(2018福清.中考模拟) 下图是某学校全体教职工年龄的频数分布直方图（统计中采用“上限不在内”的原则，如年龄为36岁统计在36≤x＜38小组，而不在34≤x＜36小组），根据图形提供的信息，下列说法中错误的是（）A . 该学校教职工总人数是50人B . 年龄在40≤x＜42小组的教职工人数占该学校总人数的20%C . 教职工年龄的中位数一定落在40≤x＜42这一组D . 教职工年龄的众数一定在38≤x＜40这一组10、(2018龙湾.中考模拟) 如图是某手机店去年8﹣12月份某品牌手机销售额统计图，根据图中信息，可以判断相邻两个月该品牌手机销售额变化量最大的是（）A . 8月至9月B . 9月至10月C . 10月至11月D . 11月至12月11、(2018龙湾.中考模拟) 下面的统计图反映了我市2011﹣2016年气温变化情况，下列说法不合理的是（）A . 2011﹣2014年最高温度呈上升趋势B . 2014年出现了这6年的最高温度C . 2011﹣2015年的温差成下降趋势D . 2016年的温差最大12、(2019嘉兴.中考真卷) 年月日第届中国国际大数据产业博览会召开．某市在五届数博会上的产业签约金额的折线统计图如图．下列说法正确的是（）A . 签约金额逐年增加B . 与上年相比，2019年的签约金额的增长量最多C . 签约金额的年增长速度最快的是2016年D . 2018年的签约金额比2017年降低了22.98%13、(2018合肥.中考模拟) 为了解初三学生的体育锻炼时间，小华调查了某班45名同学一周参加体育锻炼的情况，并把它绘制成折线统计图．由图可知，一周参加体育锻炼时间等于9小时的人数是（）A . 5B . 18C . 10D . 414、(2019威海.中考真卷) 甲、乙施工队分别从两端修一段长度为380米的公路．在施工过程中，乙队曾因技术改进而停工一天，之后加快了施工进度并与甲队共同按期完成了修路任务．下表是根据每天工程进度绘制而成的．施工时间/天123456789累计完成施工量/3570105140160215270325380米下列说法错误的是( )A . 甲队每天修路20米B . 乙队第一天修路15米C . 乙队技术改进后每天修路35米D . 前七天甲，乙两队修路长度相等15、(2019五华.中考模拟) (2019·五华模拟) 如图，是根据九年级某班50名同学一周的锻炼情况绘制的条形统计图，下面关于该班50名同学一周锻炼时间的说法错误的是（）A . 平均数是6B . 中位数是6.5C . 众数是7D . 平均每周锻炼超过6小时的人数占该班人数的一半16、(2018河池.中考模拟) 数学小组的同学为了解“阅读经典”活动的开展情况，随机调查了50名同学，对他们一周的阅读时间进行了统计，并绘制成下图．这组数据的中位数和众数分别是（）A . 中位数和众数都是8小时B . 中位数是25人，众数是20人C . 中位数是13人，众数是20人，D . 中位数是6小时，众数是8小时17、(2019巴中.中考真卷) 如图所示，是巴中某校对学生到校方式的情况统计图．若该校骑自行车到校的学生有200人，则步行到校的学生有（）A . 120人B . 160人C . 125人D . 180人18、(2018泸州.中考真卷) 某校对部分参加夏令营的中学生的年龄（单位：岁）进行统计，结果如下表：年龄1314151617人数12231则这些学生年龄的众数和中位数分别是（）A . 16，15B . 16，14C . 15，15D . 14，1519、(2019醴陵.中考模拟) 若干名工人某天生产同一种玩具，生产的玩具数整理成条形图(如图所示)．则他们生产的玩具数的平均数、中位数、众数分别为（）A . 5，5，4B . 5，5，5C . 5，4，5D . 5，4，420、(2019盘龙.中考模拟) 如图分别是某班全体学生上学时乘车、步行、骑车人数分布的条形统计图和扇形统计图(两图都不完整)，下列结论错误的是( )A . 该班总人数为50人B . 骑车人数占20%C . 乘车人数是骑车人数的2.5倍D . 步行人数为30人21、(2020嘉兴.中考模拟) 乐乐把报纸上看到甲、乙两公司2013年年的销售收入情况如图所示：关于两家公司年的销售收入的增长速度，下列说法正确的是（）A . 甲快B . 乙快C . 一样快D . 无法比较22、(2020呼和浩特.中考模拟) 小明家1至6月份的用水量统计如图所示，则5月份的用水量比4月份增加的百分率为( )A . 25％B . 20％C . 50％D . 33％23、(2020广元.中考真卷) 下列各图是截止2020年6月18日的新冠肺疫情统计数据，则以下结论错误的是（）A . 图1显示印度新增确诊人数大约是伊朗的两倍．每百万人口的确诊人数大约是伊朗的B . 图1显示俄罗斯当前的治愈率高于四班牙C . 图2显示海外新增确诊人数随时间的推移总体呈增长趋势D . 图3显示在2-3月之间，我国现有确诊人数达到最多24、(2021福建.中考模拟) 随着智能手机的普及，“支付宝支付”和“微信支付”等手机支付方式倍受广大消费者的青睐，某商场对2019年7−12月中使用这两种手机支付方式的情况进行统计，得到如图所示的折线图，根据统计图中的信息，得出以下四个推断，其中不合理的是（）A . 6个月中使用“微信支付”的总次数比使用“支付宝支付”的总次数多；B . 6个月中使用“微信支付”的消费总额比使用“支付宝支付”的消费总额大；C . 6个月中11月份使用手机支付的总次数最多；D . 9月份平均每天使用手机支付的次数比12月份平均每天使用手机支付的次数多；25、(2021辉.中考模拟) 为了解高校学生对5G移动通信网络的消费意愿，从在校大学生中随机抽取了1000人进行调查，下面是大学生用户分类情况统计表和大学生愿意为5G套餐多支付的费用情况统计图（例如，早期体验用户中愿意为5G套餐多支付10元的人数占所有早期体验用户的50%）．用户分类人数A：早期体验用户（目前已升级为5G用户）260人B：中期跟随用户（一年内将升级为5G用户）540人C：后期用户（一年后才升级为5G用户）200人下列推断中，不合理的是（）A . 早期体验用户中，愿意为5G套餐多支付10元，20元，30元的人数依次递减B . 后期用户中，愿意为5G套餐多支付20元的人数最多C . 愿意为5G套餐多支付10元的用户中，中期跟随用户人数最多D . 愿意为5G套餐多支付20元的用户中，后期用户人数最多26、(2020东城.中考模拟) 党的十八大以来，全国各地认真贯彻精准扶贫方略，扶贫工作力度、深度和精准度都达到了新的水平，为2020年全面建成小康社会的战略目标打下了坚实基础．以下是根据近几年中国农村贫困人口数量（单位：万人）及分布情况绘制的统计图表的一部分．年份人数地区201720182019东部30014747中部1112181西部1634916323（以上数据来源于国家统计局）根据统计图表提供的信息，下面推断错误的是（）A . 2018年中部地区农村贫困人口为597万人B . 2017﹣2019年，农村贫困人口数量都是东部最少C . 2016﹣2019年，农村贫困人口减少数量逐年增多D . 2017﹣2019年，虽然西部农村贫困人口减少数量最多，但是相对于东、中部地区，它的降低率最低27、(2020朝阳.中考模拟) 生活垃圾分类回收是实现垃圾减量化和资源化的重要途径和手段．为了解2019年某市第二季度日均可回收物回收量情况，随机抽取该市2019年第二季度的天数据，整理后绘制成统计表进行分析．日均可回收物回收量（千吨）合计频数123频率0.050.100.151表中组的频率满足．下面有四个推断：①表中的值为20；②表中的值可以为7；③这天的日均可回收物回收量的中位数在组；④这天的日均可回收物回收量的平均数不低于3．所有合理推断的序号是（）A . ①②B . ①③C . ②③④D . ①③④28、(2021潍坊.中考真卷) 如图为2021年第一季度中国工程机械出口额TOP10国家的相关数据（同比增速是指相对于2020年第一季度出口额的增长率），下列说法正确的是（）A . 对10个国家出口额的中位数是26201万美元B . 对印度尼西亚的出口额比去年同期减少C . 去年同期对日本的出口额小于对俄罗斯联邦的出口额D . 出口额同比增速中，对美国的增速最快29、(2021赤峰.中考真卷) 五一期间，某地相关部门对观光游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理后绘制了两幅统计图(尚不完整)，下列结论错误的是（）A . 本次抽样调查的样本容量是5000B . 扇形统计图中的m为10%C . 若五一期间观光的游客有50万人，则选择自驾方式出行的大约有20万人D . 样本中选择公共交通出行的有2400人30、为了减轻学生课外作业负担，数学老师准备按照学生每天课外作业完成量(完成题目个数)实行分档布置作业．作业量分档递增，计划使第一档、第二档和第三档的作业量覆盖全校学生的70%，20%和10%，为合理确定各档之间的界限，随机抽查了该校500名学生过去一个阶段完成作业量的平均数(单位：个)；绘制了统计图．如图所示，下面四个推断合理的是( )A . 每天课外作业完成量不超过15个题的该校学生按第二档布置作业B . 每天课外作业完成量超过21个的该校学生按第三档布置作业C . 该校学生每天课外作业完成量的平均数不超过18D . 该校学生每天课外作业完成量的中位数在15﹣18之间利用统计图表分析实际问题单选题答案1.答案：A2.答案：A3.答案：B4.答案：B5.答案：C6.答案：B7.答案：D8.答案：D9.答案：D10.答案：C11.答案：C12.答案：C13.答案：B14.答案：D15.答案：A16.答案：A17.答案：B18.答案：A19.答案：B20.答案：D21.答案：A22.答案：B23.答案：24.答案：25.答案：26.答案：27.答案：28.答案：29.答案：30.答案：。
中考数学二轮复习专题练习(上)二次函数与相切新人教版
二次函数与相切1.如图，抛物线2y ax bx c ＝＋＋经过点(00)O ，，(34)A ，和(110)C ，，点(0)P t ，是x 轴上的一个动点，连接AP ，取AP 的中点M ，将线段MP 绕点P 顺时针旋转90︒得线段PB ，连接AB 、BC 、AC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）当t 为何值时，点B 在此抛物线上；（3）在点P 运动过程中，是否存在ABC ∆为等腰三角形？若存在，请求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；（4）在点P 运动过程中，若以PB 为直径的圆与直线AC 相切，直接写出t 的值．解析：（1）设该抛物线的解析式为1()1y ax x -＝，把(34)A ，代入得331(4)1a -＝，解得16a =- ∴1(11)6y x x =--，即211166y x x =-+（2）分别过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足为D 、E∵90APB ∠︒＝，∴90APD BPE ∠∠︒＋＝∵90APD PAD ∠∠︒＋＝，∴BPE PAD ∠∠＝又∵90PEB ADP ∠∠︒＝＝，∴PEB ADP V V ∽ ∴PE BE PB AD PD AP ==，即1432PE BE t ==- ∴2PE ＝，132BE t =-，∴3(2)2t B t -+， 把B 点坐标代入抛物线的解析式，得21113(2)(2)662t t t --+++= 整理得：24270t t --＝，解得：2t =+或2t =-∴当2t =或2t =-时，点B 在此抛物线上（3）存在∵(34)A ，，3(2)2t B t -＋，，(110)C ， ∴2223()()214A t B t ---＝＋，2223(()29)BC t t --＝＋ 2228480AC ＝＋＝若AB AC ＝，则223(1)(4)802t t --+-=，解得3t ±＝∴1(30)P ，，2(30)P -， 若AB ＝BC ， 则222233(14)()29()()2t t t t -----＋＝＋ 解得133t ＝，∴313(0)3P ，若AC BC ＝，则22803()()92t t --＝＋，解得395t ±=∴439(0)5P +，，539(0)5P -，（4）18131t =或11t ＝提示：设PB 的中点为N ，过点N 作NFx ⊥轴，交AC 于G ，作NH AC ⊥于H∵(34)A ，，(110)C ，，∴4AD ＝，8CD ＝，AC ＝∵(0)P t ，，3(2)2t B t -+，，∴3(1)4t N t -+， ∴1OF t ＝＋，1PF ＝，34t NF -＝， ∴11110()CF OC OF t t ---＝＝＋＝,2211(3)16PN t =+- 由Rt CGF Rt CAD ∆∆∽， 得11522GF CF t -＝＝ ∴1315(233)244t NG GF NF t t ----=-＝＝ ∵GF AD ∥，∴NGH CAD ∠∠＝又∵90GHN ADC ∠∠︒＝＝，∴GHN ADC ∆∆∽∴NH NG CD CA =，即1(233)8t NH -=3)NH t - ∵以PB 为直径的圆与直线AC 相切，∴NP NH ＝ ∴22111+(3)(233)1620t t -=- 整理得：23152219910t t -＋＝，解得：18131t =或=11t2.如图，在平面直角坐标系中，点(60)A -，、点(04)C ，，四边形OABC 是矩形，以点O 为圆心的O e过点0)D ，，点P 从点O 出发，沿O C B A ---以每秒1个单位的速度运动，设运动时间为t 秒．（1）当t 为何值时，AP 与O e 相切？（2）当直线AP 将O e 的周长分成1:2的两部分时，求t 的值；（3）直线l 为AP 的垂直平分线，垂足为E ．当点P 在OC 、BA 上运动时，是否存在点P ，使直线l 与O e 相切？若存在，求t 的值；若不存在，说明理由．解析：（1）设AP 与O e 相切于点F ，连接OF则OF AP ⊥，∴AF ==由AOF APO ∆∆∽得：OF AF OP AO=∴6OP =，∴11OP ＝∴当11t =时，AP 与O e 相切 （2）设直线AP 交O e 于M 、N ，O e 与x 轴交于另一点F连接OM 、ON 、MF 、ND ，作OIMN ⊥于I ∵直线AP 将O e 的周长分成1:2的两部分∴120MON ∠︒＝，∴60MOI NOI ∠∠︒＝＝∴122OI OM =＝，322MI =＝ ∴23MN MI ＝＝设AM x =，则3AN x =＋∵180AMF FMN ∠∠︒＋＝，180ADN FMN ∠∠︒＋＝∴AMF ADN ∠∠＝又MAF DAN ∠∠＝，∴AMF ADN ∆∆∽ ∴AM AD AF AN =63x +=+ 整理得：23330x x -+＝解得：132x --=（舍去），232x -+＝∴322AI x +=＝ 由OIP AIO ∆∆∽得：OP AO OI AI=22=，∴47OP =即47t =（3）设直线l 与O e 相切于点Hi ）当点P 在OC 上时，连接OH ，直线l 与x 轴相交于点G设OG x ＝，AE y ＝，则6AG x -＝，2AP y ＝由AGE OGH ∆∆∽得：AE OH AG OG =即6y x x=-① 由AGE APO ∆∆∽得：AE AO AG AP= 即662y x y=-②由①②得：62x y =，即3x y =，代入②并整理得：2180y -=，解得：1y =-，2y =∴OP===即t =ii ）当点P 在BA 上时，则四边形OAEH 是矩形∴AE OH ＝2AP AE ＝＝∴46414t -=-＝＋＋综上所述，当23t=或1423-时，直线l 与O e 相切3.矩形ABCD 内接于O e ，将ADC ∆沿AC 翻折，点D 落在O e 上点E 处，连接BE ． （1）如图1，判断四边形AEBC 的形状，并说明理由；（2）如图2，PA 是O e 的切线，切点是A ，交CB 的延长线于点P ．动点M 从点P 出发，以2cm/s 的速度沿射线PC 的方向运动，以点M 为圆心，PM 长为半径作圆，设点M 运动的时间为t （秒）．若O e 的直径为5，34AB PB =． ①当t 为何值时，M e 与直线BE 相切；②根据M e 与线段AC 公共点的个数，直接写出相应的t 的值或取值范围．解析：（1）四边形AEBC 是等腰梯形，理由如下：连接EC由题意，AE AD BC ==，EAC DAC ACB ∠=∠=∠∵ABEACE ∠=∠，EAB ECB ∠=∠ ∴ACE BAC ∠=∠，∴ABE BAC ∠=∠ ∴BE AC ∥，∴四边形AEBC 是等腰梯形（2）①设M e 与直线BE 相切于点F ，连接MF则BF MF ⊥∵O e的直径为5，∴5AC ＝易证ABC PBA ∆∆∽，∴34BC AB AB PB == 设3BC m ＝，则4AB m ＝ 在Rt ABC ∆中，22234()()5m m ＋＝解得1m ＝，∴3BC ＝，4AB ＝，16=3PB ∵PA 是O e 的切线，∴90PAB BAC ∠∠︒＋＝∵ABF BAC ∠∠＝，∴90PAB ABF ∠∠︒＋＝∴BF PA ⊥，∴MF PA ∥，∴BMF P ∠∠＝∴MFB PBA ∆∆∽，∴MFB ABC ∆∆∽∴45MF AB MB AC ==∵2MF MP t ＝＝，∴2416523t t =-，解得32=27t ∴当32=27t 秒时，M e 与直线BE 相切②当Me与线段AC 公共点的个数是0个时，50027t ＜＜或2512t ＞当Me 与线段AC 公共点的个数是1个时，50=27t 当M e 与线段AC 公共点的个数是2个时，50252712t <≤4.如图，直线35y x -＝-与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线CD 与x 轴正半轴交于点C ，与y 轴负半轴交于点D ，且95OC OB ＝，45OCD ∠︒＝．点(0)P t ，为线段OB 上的一个动点，过点P 作x 轴的平行线分别交直线AB 、CD 于点E 、F ． （1）设线段EF 的长为l ，求l 与t 之间的函数关系式； （2）当45EOF ∠︒＝时，求点P 的坐标；（3）是否存在点P ，使得过D 、E 、F 三点的圆与x 轴相切？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．解析：（1）在35y x --＝中，令0x ＝，得5y ＝-∴(05)B -，，5OB ＝∵45OCD ∠︒＝，∴995OD OC OB =＝＝∵直线CD 与x 轴正半轴交于点C ， 与y 轴负半轴交于点D∴(90)C ，，(09)D -，设直线CD 的解析式为9y kx -＝，把(90)C ，代入099k -＝，∴1k ＝∴直线CD 的解析式为9y x -＝在35y x -＝-中，当y t ＝时，53t x +＝- 在9y x -＝中，当y t ＝时，9x t ＝＋∴54329()(50)335t l t t t +--=+-＝＋≤≤ （2）设线段EF 的中点为M ，以EF 为斜边向上作等腰Rt EFN ∆ 以N 为圆心，NE 长为半径作N e∵45EOF ∠︒＝，∴N e过O 点∴2ON EN EF ＝＝，∴2212ON EF ＝ 由（1）知，5()3t E t +-，，(9)F t t +，， 43233EF t =+∴11()3t M t +，,11516()33t t N ++， ∴22211516()()33t t ON ++=+ ∴222115161432()()()33233t t t +++=+ ∴整理得：226150t t -＋＝解得：132t -+=（舍去），232t --＝∴点P 的坐标为3(0)2--，（3）假设存在设过D 、E 、F 三点的圆为H e显然圆心H 是线段DF 的中垂线和线段EF 的中垂线的交点 由题意，EF OC ∥，∴45PFD OCD ∠∠︒＝＝ ∴45HPF ∠︒＝，PDF ∆是等腰直角三角形 ∴线段DF 的中垂线过P 点设线段DF 的中垂线交x 轴于G ，直线GH 的解析式为y kx t ＝＋ ∵45OCD ∠︒＝，∴45OGP ∠︒＝ ∴(0)G t，，代入y kx t ＝＋，得1k ＝-∴直线GH 的解析式为y x t +＝-设线段EF 的中点为M ，H e 与x 轴相切于点K由（2）知11()3t M t +， 把113t x +=代入y x t =-＋，得2113t y -= ∴11211()33t t H +-， 由DH KH ＝，得22211211211()(9)()333t t t +--++=整理得：21302560tt ＋＋＝，解得：12t ＝-，22=18t -（舍去）∴存在点(02)P -，，使得过D 、E 、F 三点的圆与x 轴相切5.如图，抛物线l 交x 轴于点(30)A -，，(10)B ，，交y 轴于点(03)C ，－，将抛物线l 沿y 轴翻折得抛物线1l ． （1）求1l 的解析式；（2）在1l 的对称轴上找出点P ，使点P 到点A 的对称点1A 及C 两点的距离差最大，并说出理由（3）平行于x 轴的一条直线交抛物线1l 于E 、F 两点，若以EF 为直径的圆恰与x 轴相切，求此圆的半径．解析：（1）由题意知，抛物线l 上的点A 、B 、C 关于y 轴的对称点为1(30)A ，，1(10)B -，，(03)C ，-设1l 的解析式为2(0)y axbx c a ≠＝＋＋则309330a b a b --=⎧⎨+-=⎩∴12a b =⎧⎨=-⎩ ∴l 1的解析式为223y xx --＝（2）1l 的对称轴为1x ＝，P 在直线1x ＝上，故11PA PC PB PC --＝当点P 与点1B 、点C 不在一直线上时，1PB C ∆中，11PB PC B C -＜当点P 与点1B 、点C 在一直线上时，这些线段间关系为：111PA PC PB PC B C --＝＝故此时点P 到1A 、C 两点的距离差最大 设1B C 的解析式为3y kx -＝，将1(10)B -，代入上式得3k ＝-∴直线1B C 的解析式为33y x -＝-而直线33y x -＝-和直线1x ＝的交点即为P由133x y x =⎧⎨=--⎩得16x y =⎧⎨=-⎩ ∴(16)P ，-即为所求（3）设1()E x y ，，2()F x y ，，所求圆的半径为r ，由图可知212x x r －＝∵对称轴为1x ＝，∴122x x ＋＝由211222x x rx x -=⎧⎨+=⎩得21x r ＝＋，即(1)F r y ＋， 将(1)F r y ＋，代入1l 的解析式223y x x --＝得2()1213()y r r --＝＋＋，即24y r -＝∵圆与x 轴相切，∴r y ±＝当0y ＞时，240r r --＝，解得112r +＝，212r -＝（舍去）当0y ＜时，240rr -＋＝，解得112r -+＝，212r --＝（舍去）故所求的圆有两个，在x 轴上方的圆半径为1172+，在x 轴下方的圆半径为1172-+6.已知过原点O 的两条直线与圆心为(04)M ，，半径为2的圆相切，切点分别为P 、Q ，PQ 交y 轴于点K ，抛物线经过P 、Q 两点，顶点为(06)N ，，且与x 轴交于A 、B 两点．（1）求点P 的坐标； （2）求抛物线解析式；（3）直线y m ＝与抛物线交于不同的两点C 、D ，当该直线与M e 相切时，求点A 、B 、C 、D 围成的多边形的面积（结果保留根号）．解析：（1）∵直线与M e相切于P 、Q∴90MPO ∠︒＝，OM PQ ⊥∵2MP ＝，4OM ＝，∴30MOP ∠︒＝，OP ＝∴KP ，3KO ＝∴3)P ，（2）设抛物线解析式为26y ax＝＋，把点3)P ，代入得： 336a ＝＋，∴1a ＝－∴抛物线解析式为26y x =-＋（3）令260x-＋＝，解得1x ＝2x ∴(60)A -，，(60)B ，，∴26AB ＝当直线y m ＝与M e 相切时，2m ＝令262x-＋＝，解得12x =-，x 2＝2∴(20)D -，，(20)C ，，∴4CD ＝∴11()4)2422ABCD S AB CD m +⋅=+⨯=+四边形＝7.已知抛物线2(317)4y axa x a +--＝＋（0a ＞）恒过定点E 、F （E 在F 的左侧）．（1）求E 、F 两点的坐标； （2）点D 在直线EF 下方的抛物线上，当DEF ∆面积的最大值为1258时，求抛物线的解析式；（3）若经过点F 的P e始终与x 轴相切，设()P x y ，，求y 与x 的函数关系式，并求点P 到点(44)，距离的最小值．解析：（1）∵23147()()()147y ax a x a a x x x +-++---＝＝＋对于任意实数a ，当1x ＝-时，8y ＝；当4x ＝时，3y ＝∴抛物线恒过定点(18)-，和(43)，∵E 在F 的左侧，∴(18)E -，，(43)F ， （2）设直线EF 的解析式为y kx b ＝＋∴843k b k b -+=⎧⎨+=⎩解得17k b =-⎧⎨=⎩∴直线EF 的解析式为7y x =-+过点D 作DC y ∥轴，交直线EF 于点C设(7)C x x -+，，则2(3147))(D x ax a x a +--，＋∴CD ＝2 73[()]147x ax a x a -+-+-+-234ax ax a ++=-∴DEF DEC DFC S S S =+=V V V 11(1)(4)22CD x CD x ⋅++- ＝25(34)2ax ax a -+-25151022ax ax a =-++ ∵DEF ∆面积的最大值为1258∴25154()10()12522584()2a a a a ⨯-⋅-=⨯- 解得1a ＝∴抛物线的解析式为243y xx -+＝（3）∵(43)F ，，()P x y ，， P e 过点F 且与x 轴相切∴y PF ＝，∴222(()43)y x y =--＋ 即21425636y x x =-+ 设点()P xy ，到点(44)，的距离为d 则22222()()(44432))+7(d x y x y y +=-+----＝22()2716y y y =+=--＋∴2d 的最小值为6∴d 8.如图，在平面直角坐标系中，AOB ∆和OCD ∆是两个全等的直角三角形，90OBA CDO ∠︒＝＝，OB CD ＝，直角边OB 、OD 在x 轴上，点C 的坐标为(42)--，，抛物线2y ax bx c ++＝经过O 、A 、C 三点，与x 轴的另一个交点为E ．（1）求抛物线的解析式；（2）点F 为线段OC 上一动点（不与O 、C 重合），过点F 作y 轴的平行线交抛物线于点G ，连接BF 、AG ，当四边形ABFG 为等腰梯形时，求点F 的坐标；（3）在抛物线的EC 段上（包括C 点）是否存在点P ，使P e 既与x 轴相切，又与直线CO 相交？若存在，求点P 横坐标P x 的取值范围，若不存在，请说明理由．解析：（1）∵Rt AOB Rt OCD ∆∆≌，(42)C --，，OB CD ＝ ∴2OB CD ＝＝，4AB OD ＝＝∴(24)A --，，(20)B -，∵抛物线2y ax bx c +=+经过点(00)O ，∴0c ＝，∴2y ax bx +＝∵抛物线过A 、C 两点∴4241642a b a b -=-⎧⎨-=-⎩解得34a ＝，72b ＝ ∴抛物线的解析式为237=42y x x +（2）设直线OC 的解析式为y kx ＝∴24k -＝-，∴12k ＝，∴12y x ＝ 设1()2F m m ，，则237()42G m m m +， 作FH AB ⊥于H ，GK AB ⊥于K∵四边形ABFG 为等腰梯形，∴BH AK ＝∴||||B H A K y y y y --＝，∴21370=(4)242m m m -+-- ∴4m ＝－或43m =- 当4m ＝－时，1(4)22y =⨯-=-，∴(42)F --， 此时点F 与点C 重合，不能形成等腰梯形当43m =-时，142()233y ⨯-=-＝，∴42()33F --，∴当四边形ABFG为等腰梯形时，点F的坐标为42()33--，（3）作DOC∠的平分线OP交CD于Q，交抛物线于P，作QM OC⊥于M，则QD QM＝设QD QM n＝＝，则2QC n-＝∵4OD＝，2CD＝，∴OC易证Rt CQM Rt COD∆∆∽，∴QC QMOC OD=4n=，∴8n-，∴(48Q--，易得直线OP的解析式为2)y x-＝令2372)42x x x-=+，解得1x＝（舍去），2223x-＝∵Pe既与x轴相切，又与直线CO相交∴点P 横坐标P x 的取值范围为：2243p x -<≤-9.如图，直线2y kx k =-+与抛物线2115424y x x =-+交于A 、B 两点，抛物线的对称轴与x 轴交于点Q ．（1）证明直线2y kx k -＝＋过定点P ，并求出点P 的坐标；（2）当0k ＝时，证明AQB ∆是等腰直角三角形；（3）对于任意的实数k ，是否都存在一条固定的直线与以AB 为直径的圆相切？若存在，请求出该直线的解析式；若不存在，请说明理由．解析：（1）∵2y kx k =-+)2(1k x -+＝∴当1x ＝时，2y ＝∴直线2y kx k =-+过定点(12)P ，（2）当0k ＝时，直线22y kx k =-+=交点A 11()x y ，、22()B x y ，的坐标符合方程组：22115424y y x x =⎧⎪⎨=-+⎪⎩解得1112x y =-⎧⎨=⎩2232x y =⎧⎨=⎩ ∴(12)A -，，(32)B ，∴222()1321)36(AB -+--＝＝ ∵221151(1)14244y x x x -+=-+＝,，∴(10)Q ， ∴222()(118)20AQ =-+-=-，222()108)32(BQ =+-=-∴AQ BQ ＝，222AB AQ BQ ＝＋∴AQB ∆是等腰直角三角形（3）存在一条固定的直线与以AB 为直径的圆相切，此直线即x 轴，解析式是0y ＝ 理由如下：交点11()A x y ，、22()B x y ，的坐标符合方程组：22115424y kx k y x x =-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩ ∴2113()0424x k x k -++-= 即2()24430x k x k ++--＝∴1224x x k ＋＝＋，1243x x k-＝ ∴22121212)(4()x x x x x x -+-＝2224443161)()6(k k k =-=-++222421212 1616()()y y k x x k k -=-=+12y y ＋12()()22kx k kx k =－＋＋－＋12()24k x x k +-=+244k ＝＋∴AB244k =+即以AB 为直径的圆的半径为222k ＋∵AB 的中点是1212()22x x y y ++，，即2(2122)k k ++， ∴以AB 为直径的圆的圆心坐标为2(2122)kk ++，∵圆心到x 轴的距离等于圆的半径∴存在定直线与以AB 为直径的圆相切，此直线即x 轴，解析式是0y ＝10.如图，已知抛物线与坐标轴分别交于(20)A -，、(20)B ，、(01)C -，三点，过坐标原点O 的直线y kx ＝与抛物线交于M 、N 两点．分别过点C 、(02)D -，作平行于x 轴的直线1l 、2l ．（1）求抛物线对应二次函数的解析式；（2）求证以ON 为直径的圆与直线1l 相切；（3）求线段MN 的长（用k 表示），并证明M 、N 两点到直线2l 的距离之和等于线段MN 的长．解析：（1）设抛物线对应二次函数的解析式为2y axbx c ++＝ 把(20)A -，、(20)B ，、(01)C -，三点坐标代入得0420421a b c a b c c =-+⎧⎪=++⎨⎪-=⎩解得1401a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩∴2114y x =- （2）设11()M x y ，，22()N x y ，，∵点M 、N 在抛物线上 ∴211114y x -＝，222114y x -＝，∴222(41)x y ＝＋ 又∵2222222222()41)2(ON x y y y y ＝＋＝＋＋＝＋，∴22||ON y ＝＋ ∵21y ≥-，∴22ON y ＝＋设ON 的中点E ，分别过点N 、E 向直线1l 作垂线，垂足为P 、F 则2222OC NP y EF ++=＝，∴2ON EF ＝ 即ON 的中点到直线1l 的距离等于ON 长度的一半∴以ON 为直径的圆与直线1l 相切（3）过点M 作MH NP 丄交NP 于点H则222222121()()MN MH NH x x y y ==-+-＋又∵11y kx ＝，22y kx ＝，∴2222121()()y y k x x -=-∴22221()1()MN k x x =-＋∵点M 、N 既在y kx ＝的图象上又在抛物线上∴2114kx x -＝，即2440x kx --＝，解得2x k ±＝∴2221(16)()1x x k -=+，∴222=(161+)MN k∴2=41()+MN k延长NP 交2l 于点Q ，过点M 作2MSl ⊥于点S 则1222MS NQ y y ＋＝＋＋＋＝22221212111114()2444x x x x -+-+=++ 又∵22222122441++=[+()]=+168x x k k k∴22+=42+2=41++()=MS NQ k k MN即M 、N 两点到2l 距离之和等于线段MN 的长。
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2010年中考数学二轮复习专题水平测试 操作性问题1．（2009年江苏省）（1）观察与发现小明将三角形纸片()ABC AB AC >沿过点A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD ，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A 和点D 重合，折痕为EF ，展平纸片后得到AEF △（如图②）．小明认为AEF △是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．（2）实践与运用将矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，折痕为BE （如图③）；再沿过点E 的直线折叠，使点D 落在BE 上的点D '处，折痕为E G （如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中α∠的大小．2．（2009年铁岭市）如图所示，在Rt ABC △中，9030C A ∠=∠=°，°． （1）尺规作图：作线段AB 的垂直平分线l （保留作图痕迹，不写作法）；（2）在已作的图形中，若l 分别交AB AC 、及BC 的延长线于点D E F 、、，连接BE ． 求证：2EF DE =．3．（2009年杭州市）如图，已知线段a ．（1）只用直尺（没有刻度）和圆规，求作一个直角三角形ABC ，以AB 和BC 分别为两条直角边，使AB =a ，BC =a 21（要求保留作图痕迹，不必写出作法）； ACBa（2）若在（1）作出的RtΔABC 中，AB =4cm ，求AC 边上的高．4．（2009年台州市）定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点．．．．如图1，PH PJ =，PI PG =，则点P 就是四边形ABCD 的准内点．（1）如图2， AFD ∠与DEC ∠的角平分线FP EP ，相交于点P ． 求证：点P 是四边形ABCD 的准内点．（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点． （作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明） （3）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”． ①任意凸四边形一定存在准内点．（ ） ②任意凸四边形一定只有一个准内点．（ ）③若P 是任意凸四边形ABCD 的准内点，则PD PC PB PA +=+ 或PD PB PC PA +=+．( )5．（2009年宁波市）（1）如图1，把等边三角形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作等边三角形，并去掉居中的那条线段，得到一个六角星，则这个六角星的边数是 ．（2）如图2，在5×5的网格中有一个正方形，把正方形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作正方形，并去掉居中的那条线段．请你把得到的图形画在图3中，并写出这个图形的边数．（3）现有一个正五边形，把正五边形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作正五边形，并去掉居中的那条线段，得到的图形的边数是多少？6．（2009年义乌)（1）如图1，正方形网格中有一个平行四边形，请在图1中画一条直线把平行四边形分成面积相等的两部分；(2)把图2中的平行四边形分割成四个全等．．．．的四边形（要求在图2中画出分割线），并把图3图2图4FEDC B A PG HJI 图1BJIH GD CA P（图1） （第21题）（图2） （图3）所得的四个全等的四边形在图3中拼成一个轴对称图形或中心对称图形，使所得图形与原图形不全等且各个顶点都落在格点上。
温馨提示：作图时，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用0.5毫米及以上的黑色签字笔涂黑。
7．（2009年义乌）如图，在矩形ABCD 中，AB=3,AD=1,点P 在线段AB 上运动，设AP=x ，现将纸片折叠，使点D 与点P 重合，得折痕EF （点E 、F 为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原。
（1）当x=0时，折痕EF 的长为 # .；当点E 与点A 重合时，折痕EF 的长为 # .； （2）请写出使四边形EPFD 为菱形的x 的取值范围，并求出当x=2时菱形的边长； （3）令2y EF ，当点E 在AD 、点F 在BC 上时，写出y 与x 的函数关系式。
当y 取最大值时，判断EAP 与PBF 是否相似？若相似，求出x 的值；若不相似，请说明理由。
温馨提示：用草稿纸折折看，或许对你有所帮助哦！8．（2009丽水市）．绿谷商场“家电下乡”指定型号冰箱、彩电的进价和售价如下表所示：(1) 按国家政策，农民购买“家电下乡”产品可享受售价13%的政府补贴.农民田大伯到该商场购买了冰箱、彩电各一台，可以享受多少元的政府补贴？(2)为满足农民需求,商场决定用不超过85 000元采购冰箱、彩电共40台, 且冰箱的数量不少于彩电数量的65. 类别冰箱 彩电 进价（元/台） 2 320 1 900 售价（元/台）2 4201 980①请你帮助该商场设计相应的进货方案；②哪种进货方案商场获得利润最大（利润=售价-进价），最大利润是多少？ 9．（2009恩施市）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷()A 和世界级自然保护区星斗山()B 位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，50km AB A =，、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ，向A 、B 两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP 与直线X 垂直，垂足为P ），P 到A 、B 的距离之和1S PA PB =+，图（2）是方案二的示意图（点A 关于直线X 的对称点是A '，连接BA '交直线X 于点P ），P 到A 、B 的距离之和2S PA PB =+． （1）求1S 、2S ，并比较它们的大小； （2）请你说明2S PA PB =+的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B 到直线Y 的距离为30km ，请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q ，使P 、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．10．（2009年广西南宁）已知ABC △在平面直角坐标系中的位置如图10所示．（1）分别写出图中点A C 和点的坐标； （2）画出ABC △绕点C 按顺时针方向旋转90A B C '''°后的△；（3）求点A 旋转到点A '所经过的路线长（结果保留π）．11．问题背景 在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm 的竹竿的影长为60cm. 乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm.BA PX图（1）YX BAQP O图（3）BAP XA '图（2） 图10 y x876 5 4321 0 8 7 6 5 4 32 1 B C A丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm ，影长为156cm. 任务要求（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图3，设太阳光线NH 与O 相切于点M .请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG 的影长；需要时可采用等式222156208260+=）.12．（2009年天津市）如图，有一个边长为5的正方形纸片ABCD ，要将其剪拼成边长分别为a b ，的两个小正方形，使得2225a b +=．①a b ，的值可以是________（写出一组即可）；②请你设计一种具有一般性的裁剪方法，在图中画出裁剪线，并拼接成两个小正方形，同时说明该裁剪方法具有一般性：13．（2009年济宁市）坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子灵踪塔始建于北宋（公元1112年），为砖彻八角形十三层楼阁式建筑.数学活动小组开展课外实践活动，在一个阳光明媚的上午，他们去测量太子灵踪塔的高度，携带的测量工具有：测角仪、皮尺、小镜子.（1）小华利用测角仪和皮尺测量塔高. 图1为小华测量塔高的示意图.她先在塔前的平地上选择一点A ，用测角仪测出看塔顶()M 的仰角35α=，在A 点和塔之间选择一点B ，测出看塔顶()M 的仰角45β=，然后用皮尺量出A 、B 两点的距离为18.6m,自身的高度为1.6m.请你利用上述数据帮助小华计算出塔的高度（tan 350.7≈，结果保留整数）.DFE900cm 图2 B CA60cm80cm 图 1GHN156cm M O200cm图 3K （第11题）AB CD MNα β 图1图2PMNDCBA（2）如果你是活动小组的一员，正准备测量塔高，而此时塔影NP 的长为a m （如图2）,你能否利用这一数据设计一个测量方案？如果能，请回答下列问题：①在你设计的测量方案中，选用的测量工具是: ；②要计算出塔的高，你还需要测量哪些数据？ .14．（2009年长沙）某中学拟组织九年级师生去韶山举行毕业联欢活动．下面是年级组长李老师和小芳、小明同学有关租车问题的对话：李老师：“平安客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵200元．”小芳：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到韶山参观，一天的租金共计5000元．”小明：“我们九年级师生租用5辆60座和1辆45座的客车正好坐满．” 根据以上对话，解答下列问题：（1）平安客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？（2）按小明提出的租车方案，九年级师生到该公司租车一天，共需租金多少元？15．（2009年牡丹江）已知Rt ABC △中，90AC BC C D ==︒，∠，为AB 边的中点，90EDF ∠=°，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．当EDF ∠绕D 点旋转到D E A C ⊥于E 时（如图1），易证12DEF CEF ABC S S S +=△△△．当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC 和不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，DEF S △、CEF S △、ABC S △又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．16．（2009年哈尔滨）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有一个ABC △和一点O ，ABC △的顶点和点O 均与小正方形的顶点重合．AE CF BD图1图3ADFECBADBCE 图2FAC BO（1）在方格纸中，将△ABC 向下平移5个单位长度得到111A B C △，请画出111A B C △； （2）在方格纸中，将△ABC 绕点O 旋转180°得到222A B C △，请画出222A B C △。