海南省 2009 年普通高等学校招生全国统一考试 数学科试卷分析
2009年高考数学试卷及答案(海南、宁夏理)A4
2009年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷）数学一、选择题（每小题5分，共60分）（1）已知集合M={x|－3<x ≤5},N={x|－5<x<5},则M ∩N=（ ）(A) {x|－5＜x ＜5} (B) {x|－3＜x ＜5} (C) {x|－5＜x ≤5} (D) {x|－3＜x ≤5}（2）已知复数12z i =-，那么1z=（ ） （A（B（C ）1255i + （D ）1255i -（3）平面向量a 与b 的夹角为060，(2,0)a =，1b = 则2a b +=（ ） （A(B) (C) 4 (D)12（4）已知圆C 与直线x －y=0 及x －y －4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C 的方程为（ ）（A ）22(1)(1)2x y ++-= (B) 22(1)(1)2x y -++= (C) 22(1)(1)2x y -+-= (D) 22(1)(1)2x y +++=（5）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（ ）（A ）70种 （B ） 80种 （C ） 100种 （D ）140种 （6）设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ，若63S S =3 ，则96SS =（ ） （A ） 2 （B ） 73 （C ） 83（D ）3 （7）曲线y=2xx -在点（1，－1）处的切线方程为（ ） （A ）y=x －2 (B) y=－3x+2 (C)y=2x －3 (D)y=－2x+1 (8)已知函数()f x =Acos(x ωϕ+)的图象如图所示，2()23f π=-，则(0)f =（ ） （A ）23-(B) 23 (C)－ 12 (D) 12（9）已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是（ ）（A ）（13，23） (B) ［13，23） (C)（12，23） (D) ［12，23） （10）某店一个月的收入和支出总共记录了 N 个数据1a ，2a ，。
2009海南高考数学试题答案(文数)
小提示：注意国 际度量衡制度的 差异
公制、英制、美 制、国际单位制
38
度量衡制度
例：吨（Ton） 公制 公吨 = 1000公斤 英制 长吨 =1016.047公斤 美制 短吨 =907.2公斤 公制/米制（The Metric System）
英制（The British System） 美制（The U.S. System） 国际单位制/现代米制（International System of Unites，简称国际制） 我国采用以国际单位制为基础的法定计量单位。
2、在凭文字说明买卖时，应针对具体情况在合同中规 定商品的名称、规格、等级、标准、牌名、商标或 产地等。
27
品质机动幅度：
（1）交货品质与样品大致相同或类似条款 （2）品质公差（适用于机械产品） （3）品质机动幅度（适用于初级产品）
例子：中国花生仁 水分 13%（Max）；不完善粒 5%（max）；含油量44%（min）
28
品质机动幅度
1、规定范围 2、规定极限 上限：最大，最高，最多 下限：最小，最低，最少 3、规定上下差异 可增减？%
例：黑龙江小麦
含淀量（最低 90%）；水分（10%+ 3%）；杂质（0 -3%）。
（三）品质公差
例：手表 公差为48小时可误差1秒。
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注意事项
（1）根据商品的特性，合理地选用表示品质的方法 （2）凡能用一种方法表示品质的，一般不宜要两种或以 上的方法来表示。 （3）品质描述准确具体，科学合理，避免笼统含糊：如 大约、左右，又忌绝对化：棉布无瑕疵。 （4）重视应用品质机动幅度和品质公差，掌握灵活性。
指同一类商品，按规格的差异，分品质优劣不相同的若干等级。 如我国出口的冻带骨兔肉分为： 特级：每只净重不低于1500克； 大级：每只净重不低于1000克； 中级：每只净重不低于600克； 小级：每只净重不低于400克 。
2009新课标高考数学试卷分析
1
2B
4
无最大值.
2
x2y 2 3
C
7. 等比数列{an }的前n项和为Sn , 且4a1, 2a2 , a3成等差数列
若a1 1, 则S4 ( C )
A. 7
B. 8
C. 15
D.16
4a1, 2a2 , a3成等差数列, 4a1 a3 4a2 , 即4a1 a1q2 4a1q,q2 4q 4 0, q 2, S4 1 2 4 8 15
2
44
2
T5
将(2
,1)代入y
sin
4 5
x
,
得
sin
8 5
1,
8 2k , k Z ,
5
2
2k 11 , k Z
10
又 ,
所以 9
10
15. 7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区 公益活动。若每天安排3人，则不同的安排方案共 有________1_4_0______种（用数字作答）。
又S2m1 (2m 1)am 38, 得2m 1 19, m 10
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. 为了测量两山顶M, N间的距离,飞机沿水平方向在A, B 两点进行测量. A, B, M, N在同一个铅垂平面内(如示意 图).飞机能够测量的数据有俯角和A, B间的距离.请设计 一个方案,包括:①指出需要测量的数据(用字母表示,并 在图中标出);②用文字和公式写出计算M, N间的距离的 步骤.
(1)求甲、乙两工人都被抽到的概率,其中甲为A类工人,乙 为B类工人;
(1)甲、乙被抽到的概率均为 1 , 10
且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到”相互独立
普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(海南卷,解析版)
2009年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（海南卷，解析版）第I 卷 一， 选择题：（本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中 ，中有一项是符合题目要求的。
（1） 已知集合}{{}1,3,5,7,9,0,3,6,9,12A B ==,则N A C B =I (A) }{1,5,7 (B) }{3,5,7 (C) }{1,3,9 (D) }{1,2,3 解析：易有N A C B =}{1,5,7，选A(2) 复数32322323i ii i+--=-+ （A ）0 （B ）2 （C ）-2i (D)2 解析：32322323i i i i +--=-+()()()()32233223262131313i i i i ii ++---==,选D （3）对变量x, y 有观测数据理力争（1x ，1y ）（i=1,2,…，10），得散点图1；对变量u ，v 有观测数据（1u ，1v ）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断。
（A ）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 （B ）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 （C ）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 （D ）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 解析：由这两个散点图可以判断,变量x 与y 负相关，u 与v 正相关,选C（4）双曲线24x -212y =1的焦点到渐近线的距离为（A）（B ）2 （C（D ）1解析：双曲线24x -212y =1的焦点(4,0)到渐近线y的距离为d ==选A（5）有四个关于三角函数的命题：1p ：∃x ∈R, 2sin 2x +2cos 2x =122p : ∃x 、y ∈R, sin(x-y)=sinx-siny 3p : ∀x ∈[]0,π=sinx 4p : sinx=cosy ⇒x+y=2π其中假命题的是（A ）1p ，4p （B ）2p ，4p （3）1p ，3p （4）2p ，4p 解析：1p ：∃x ∈R, 2sin2x +2cos 2x =12是假命题；2p 是真命题，如x=y=0时成立；3p 是真命题，∀x ∈[]0,π,sin 0sin sin x x x ≥===，=sinx ；4p 是假命题，22πππ≠如x=,y=2时，sinx=cosy,但x+y 。
2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅰ)(含解析版)
2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（ ）A．3个B．4个C．5个D．6个2．（5分）已知=2+i，则复数z=（ ）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i3．（5分）不等式＜1的解集为（ ）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（ ）A．B．2C．D．5．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）A．150种B．180种C．300种D．345种6．（5分）设、、是单位向量，且，则•的最小值为（ ）A．﹣2B．﹣2C．﹣1D．1﹣7．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC 上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（ ）A．B．C．D．8．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（ ）A．B．C．D．9．（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（ ）A．1B．2C．﹣1D．﹣210．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（ ）A．1B．2C．D．411．（5分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（ ）A．f（x）是偶函数B．f（x）是奇函数C．f（x）=f（x+2）D．f（x+3）是奇函数12．（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF交C于点B，若=3，则||=（ ）A．B．2C．D．3二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于 ．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=81，则a2+a5+a8= ．15．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于 ．16．（5分）若，则函数y=tan2xtan3x的最大值为 ．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b ，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．19．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局．（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．20．（12分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+．（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．21．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．22．（12分）设函数f（x）=x3+3bx2+3cx有两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]．（1）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；（2）证明：． 2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（ ）A．3个B．4个C．5个D．6个【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解．【解答】解：A∪B={3，4，5，7，8，9}，A∩B={4，7，9}∴∁U（A∩B）={3，5，8}故选A．也可用摩根律：∁U（A∩B）=（∁U A）∪（∁U B）故选：A．【点评】本题考查集合的基本运算，较简单．2．（5分）已知=2+i，则复数z=（ ）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i【考点】A1：虚数单位i、复数．【分析】化简复数直接求解，利用共轭复数可求z．【解答】解：，∴z=1﹣3i故选：B．【点评】求复数，需要对复数化简，本题也可以用待定系数方法求解．3．（5分）不等式＜1的解集为（ ）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】本题为绝对值不等式，去绝对值是关键，可利用绝对值意义去绝对值，也可两边平方去绝对值．【解答】解：∵＜1，∴|x+1|＜|x﹣1|，∴x2+2x+1＜x2﹣2x+1．∴x＜0．∴不等式的解集为{x|x＜0}．故选：D．【点评】本题主要考查解绝对值不等式，属基本题．解绝对值不等式的关键是去绝对值，去绝对值的方法主要有：利用绝对值的意义、讨论和平方．4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（ ）A．B．2C．D．【考点】KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题．【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b 的关系，从而推断出a和c的关系，答案可得．【解答】解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得ax2﹣bx+a=0，因渐近线与抛物线相切，所以b2﹣4a2=0，即，故选：C ．【点评】本小题考查双曲线的渐近线方程直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题． 5．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）A ．150种B ．180种C ．300种D ．345种【考点】D1：分类加法计数原理；D2：分步乘法计数原理．【专题】5O ：排列组合．【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类型．【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有C 51•C 31•C 62=225种选法；（2）乙组中选出一名女生有C 52•C 61•C 21=120种选法．故共有345种选法．故选：D ．【点评】分类加法计数原理和分类乘法计数原理，最关键做到不重不漏，先分类，后分步！ 6．（5分）设、、是单位向量，且，则•的最小值为（ ）A ．﹣2B ．﹣2C ．﹣1D ．1﹣【考点】9O ：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】16：压轴题．【分析】由题意可得=，故要求的式子即﹣（）•+=1﹣cos=1﹣cos，再由余弦函数的值域求出它的最小值．【解答】解：∵、、是单位向量，，∴，=．∴•=﹣（）•+=0﹣（）•+1=1﹣cos=1﹣cos≥．故选：D．【点评】考查向量的运算法则；交换律、分配律但注意不满足结合律．7．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC 上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（ ）A．B．C．D．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】首先找到异面直线AB与CC1所成的角（如∠A1AB）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出A1B的长度即可；不妨设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之．【解答】解：设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知θ=∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角；并设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，则|AD|=，|A1D|=，|A1B|=，由余弦定理，得cosθ==．故选：D．【点评】本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理．8．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（ ）A．B．C．D．【考点】HB：余弦函数的对称性．【专题】11：计算题．【分析】先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选：A．【点评】本题主要考查余弦函数的对称性．属基础题．9．（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（ ）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程．【解答】解：设切点P（x0，y0），则y0=x0+1，y0=ln（x0+a），又∵∴x0+a=1∴y0=0，x0=﹣1∴a=2．故选：B．【点评】本题考查导数的几何意义，常利用它求曲线的切线10．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（ ）A．1B．2C．D．4【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD 则∠ACQ=∠PBD=60°，在三角形APQ中将PQ表示出来，再研究其最值即可．【解答】解：如图分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD则∠ACQ=∠PDB=60°，，又∵当且仅当AP=0，即点A与点P重合时取最小值．故选：C．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题． 11．（5分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（ ）A．f（x）是偶函数B．f（x）是奇函数C．f（x）=f（x+2）D．f（x+3）是奇函数【考点】3I：奇函数、偶函数．【专题】16：压轴题．【分析】首先由奇函数性质求f（x）的周期，然后利用此周期推导选择项．【解答】解：∵f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，∴函数f（x）关于点（1，0）及点（﹣1，0）对称，∴f（x）+f（2﹣x）=0，f（x）+f（﹣2﹣x）=0，故有f（2﹣x）=f（﹣2﹣x），函数f（x）是周期T=[2﹣（﹣2）]=4的周期函数．∴f（﹣x﹣1+4）=﹣f（x﹣1+4），f（﹣x+3）=﹣f（x+3），f（x+3）是奇函数．故选：D．【点评】本题主要考查奇函数性质的灵活运用，并考查函数周期的求法．12．（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF交C于点B，若=3，则||=（ ）A．B．2C．D．3【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】过点B作BM⊥x轴于M，设右准线l与x轴的交点为N，根据椭圆的性质可知FN=1，进而根据，求出BM，AN，进而可得|AF|．【解答】解：过点B作BM⊥x轴于M，并设右准线l与x轴的交点为N，易知FN=1．由题意，故FM=，故B点的横坐标为，纵坐标为±即BM=，故AN=1，∴．故选：A．【点评】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，属基础题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于 ﹣240 ．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】首先要了解二项式定理：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++C n n a0b n，各项的通项公式为：T r+1=C n r a n﹣r b r．然后根据题目已知求解即可．【解答】解：因为（x﹣y）10的展开式中含x7y3的项为C103x10﹣3y3（﹣1）3=﹣C103x7y3，含x3y7的项为C107x10﹣7y7（﹣1）7=﹣C107x3y7．由C103=C107=120知，x7y3与x3y7的系数之和为﹣240．故答案为﹣240．【点评】此题主要考查二项式定理的应用问题，对于公式：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++C n n a0b n，属于重点考点，同学们需要理解记忆．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=81，则a2+a5+a8= 27 ．【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．【分析】由s9解得a5即可．【解答】解：∵∴a5=9∴a2+a5+a8=3a5=27故答案是27【点评】本题考查前n项和公式和等差数列的性质．15．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于 20π ．【考点】LR：球内接多面体．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】通过正弦定理求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，求出球的半径，然后求出球的表面积．【解答】解：在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120°，可得由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r=2，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，易得球半径，故此球的表面积为4πR2=20π故答案为：20π【点评】本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力．16．（5分）若，则函数y=tan2xtan3x的最大值为 ﹣8 ．【考点】3H：函数的最值及其几何意义；GS：二倍角的三角函数．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】见到二倍角2x 就想到用二倍角公式，之后转化成关于tanx的函数，将tanx看破成整体，最后转化成函数的最值问题解决．【解答】解：令tanx=t，∵，∴故填：﹣8．【点评】本题主要考查二倍角的正切，二次函数的方法求最大值等，最值问题是中学数学的重要内容之一，它分布在各块知识点，各个知识水平层面．以最值为载体，可以考查中学数学的所有知识点．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b ，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．【考点】HR：余弦定理．【分析】根据正弦定理和余弦定理将sinAcosC=3cosAsinC化成边的关系，再根据a2﹣c2=2b即可得到答案．【解答】解：法一：在△ABC中∵sinAcosC=3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有：，化简并整理得：2（a2﹣c2）=b2．又由已知a2﹣c2=2b∴4b=b2．解得b=4或b=0（舍）；法二：由余弦定理得：a2﹣c2=b2﹣2bccosA．又a2﹣c2=2b，b≠0．所以b=2ccosA+2①又sinAcosC=3cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin（A+C）=4cosAsinC，即sinB=4cosAsinC由正弦定理得，故b=4ccosA②由①，②解得b=4．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．属基础题．18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（Ⅰ）法一：要证明M是侧棱SC的中点，作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，解RT△MNE即可得x的值，进而得到M为侧棱SC的中点；法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，并求出S点的坐标、C点的坐标和M点的坐标，然后根据中点公式进行判断；法三：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，构造空间向量，然后数乘向量的方法来证明．（Ⅱ）我们可以以D为坐标原点，分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，我们可以利用向量法求二面角S﹣AM﹣B的大小．【解答】证明：（Ⅰ）作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，在RT△MEB中，∵∠MBE=60°∴．在RT△MNE中由ME2=NE2+MN2∴3x2=x2+2解得x=1，从而∴M为侧棱SC的中点M．（Ⅰ）证法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz ，则．设M（0，a，b）（a＞0，b＞0），则，，由题得，即解之个方程组得a=1，b=1即M（0，1，1）所以M是侧棱SC的中点．（I）证法三：设，则又故，即，解得λ=1，所以M是侧棱SC的中点．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，，设分别是平面SAM、MAB的法向量，则且，即且分别令得z 1=1，y1=1，y2=0，z2=2，即，∴二面角S﹣AM﹣B的大小．【点评】空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值；空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值；空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值；19．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局．（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题．【分析】（1）由题意知前2局中，甲、乙各胜1局，甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，根据各局比赛结果相互独立，根据相互独立事件的概率公式得到结果．（2）由题意知ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3，由于各局相互独立，得到变量的分布列，求出期望．【解答】解：记A i表示事件：第i局甲获胜，（i=3、4、5）B i表示第j局乙获胜，j=3、4（1）记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利，∵前2局中，甲、乙各胜1局，∴甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，∴B=A3A4+B3A4A5+A3B4A5由于各局比赛结果相互独立，∴P（B）=P（A3A4）+P（B3A4A5）+P（A3B4A5）=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648（2）ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3由于各局相互独立，得到ξ的分布列P（ξ=2）=P（A3A4+B3B4）=0.52P（ξ=3）=1﹣P（ξ=2）=1﹣0.52=0.48∴Eξ=2×0.52+3×0.48=2.48．【点评】认真审题是前提，部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分，这是很可惜的，主要原因在于没读懂题．另外，还要注意表述，这也是考生较薄弱的环节．20．（12分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+．（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】11：计算题；15：综合题．【分析】（1）由已知得=+，即b n+1=b n+，由此能够推导出所求的通项公式．（2）由题设知a n=2n﹣，故S n=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），设T n=1++++…+，由错位相减法能求出T n=4﹣．从而导出数列{a n}的前n项和S n．【解答】解：（1）由已知得b1=a1=1，且=+，即b n+1=b n+，从而b2=b1+，b3=b2+，b n=b n﹣1+（n≥2）．于是b n=b1+++…+=2﹣（n≥2）．又b1=1，故所求的通项公式为b n=2﹣．（2）由（1）知a n=2n﹣，故S n=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），设T n=1++++…+，①T n=+++…++，②①﹣②得，T n=1++++…+﹣=﹣=2﹣﹣，∴T n=4﹣．∴S n=n（n+1）+﹣4．【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要注意错位相减法的合理运用．21．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．【考点】IR：两点间的距离公式；JF：圆方程的综合应用；K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）先联立抛物线与圆的方程消去y，得到x的二次方程，根据抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根，可求出r的范围．（2）先设出四点A，B，C，D的坐标再由（1）中的x二次方程得到两根之和、两根之积，表示出面积并求出其的平方值，最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）将抛物线E：y2=x代入圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）的方程，消去y2，整理得x2﹣7x+16﹣r2=0（1）抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根∴即．解这个方程组得，．（II）设四个交点的坐标分别为、、、．则直线AC、BD的方程分别为y﹣=•（x﹣x1），y+=（x﹣x1），解得点P的坐标为（，0），则由（I）根据韦达定理有x1+x2=7，x1x2=16﹣r2，则∴令，则S2=（7+2t）2（7﹣2t）下面求S2的最大值．由三次均值有：当且仅当7+2t=14﹣4t，即时取最大值．经检验此时满足题意．故所求的点P的坐标为．【点评】本题主要考查抛物线和圆的综合问题．圆锥曲线是高考必考题，要强化复习．22．（12分）设函数f（x）=x3+3bx2+3cx有两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]．（1）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；（2）证明：．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；7B：二元一次不等式（组）与平面区域；R6：不等式的证明．【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．【分析】（1）根据极值的意义可知，极值点x1、x2是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域即可；（2）先用消元法消去参数b，利用参数c表示出f（x2）的值域，再利用参数c的范围求出f（x2）的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=3x2+6bx+3c，（2分）依题意知，方程f'（x）=0有两个根x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]等价于f'（﹣1）≥0，f'（0）≤0，f'（1）≤0，f'（2）≥0．由此得b，c满足的约束条件为（4分）满足这些条件的点（b，c）的区域为图中阴影部分．（6分）（Ⅱ）由题设知f'（x2）=3x22+6bx2+3c=0，则，故．（8分）由于x2∈[1，2]，而由（Ⅰ）知c≤0，故．又由（Ⅰ）知﹣2≤c≤0，（10分）所以．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及二元一次不等式（组）与平面区域和不等式的证明，属于基础题．。
【深度解析高考真题】2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅱ)
全国统一高考试卷试题22. 3. 4. 5. 6. 7.8. 9. 2009年全国统一高考数学试卷（理科）、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） (5分) 101A .— 2+4iB .— 2 — 4i C. 2+4i (5分) A . © (5分) A . 12 13 (5分) 设集合 A={ x|| x| > 3} , B={x| v0}，贝U A n B=(C. ( — 2, 1) B . (3, 4) ——，贝U cosA=( 5已知△ ABC 中，cotA=- B . 5 C.函数尸 H 在点（1 ,2x-l1）处的切线方程为（A . x — y — 2=0B . x+y — 2=0C. x+4y — 5=0（5 分）已知正四棱柱 ABCD- A 1B 1C 1D 1 中，AA 1=2AB, 直线BE 与CDi 所形成角的余弦值为（ A .10）c •仁 （5分）已知向量a= （2， 1），电*b =10，| *b | =冈耳， B . A . 口B . | C. 5 (5 分)设 a=log 3 n b=loQ 施，c=log •、他，贝U() A . a >b >c B . a >c >b C. b >a >c （5分）若将函数y=tan （ 3（3>0）的图象向右平移 （全国卷n ）D . D .D .D . 2 — 4i121.3x — 4y+3=0 E 为AA 1中点，则异面 D•一则 IM=()D . 25D . b >c >a K y个单位长度后, 与函数y=tan ( 3 的图象重合，贝U 3的最小值为（） D •丄 A 丄 A. !'（5分）已知直线y=k （x+2） （k > 0 ）与抛物线C:y 2=8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若| FA=2| FB ，则k=（ 1 3 A . B .C. —J10. （5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（全国统一高考试卷试题2 2C＞冷Z严1〔工＞0* b＞0）的右焦点为F,过F且斜率邑2 b?为护［的直线交C于A、B两点，若AT=4FE，则C的离心率为（）12. （5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北.现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标△”的面的方位（）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13. _______________________________________________ （5分）（乂旳-Mi）4的展开式中讨的系数为____________________________ .14. （5分）设等差数列｛a n｝的前n项和为S n,若a5=5a a,则八= _______ .15. （5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C.若圆C的面积等于罟，则球O的表面积等于______ .A. 6种B. 12 种C. 24 种D. 30 种C. D.11. （5分）已知双曲线B.北C•西D.下全国统一高考试卷试题16. (5分)求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上.三、解答题(共6小题，满分70 分)17. (10分)设厶ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为 a b 、c , cos (A -C )18. (12分)如图，直三棱柱 ABC- A 1B 1C 1中，AB 丄AC, D 、E 分别为AA i 、B 1C 的中点，DE 丄平面BCG . (I )证明：AB=AC(U)设二面角A -BD- C 为60°求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小.19. (12分)设数列｛a n ｝的前 n 项和为 S n ,已知 a 1=1，S n +1=4a n +2 (n € N *). (1) 设b n =a n +1 - 2a n ，证明数列｛b n ｝是等比数列； (2) 求数列｛a n ｝的通项公式.+cosB 壬,b 2=ac,求B.全国统一高考试卷试题20. （12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人, 其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核.（I ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（n）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（川）记E表示抽取的3名工人中男工人数，求E的分布列及数学期望.21. （12分）已知椭圆。
2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(宁夏、海南卷)
密码★启用前2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 （宁夏、海南卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟．参考公式：样本数据n x x x ,,,21 的标准差])()()[(122221x x x x x x ns n -++-+-= ，其中x 为样本平均数柱体体积公式Sh V = 其中S 为底面面积，h 为高锥体体积公式：=V Sh 31，其中S 为底面面积，h 为高 球的表面积、体积公式：3234,4R V R S ππ==，其中R 为球的半径第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合}{{}1,3,5,7,9,0,3,6,9,12A B ==,则N A C B =（ ）A. }{1,5,7B. }{3,5,7C. }{1,3,9D. }{1,2,32. 复数32322323i ii i+--=-+（ ） A. 0B. 2C. －2iD. 2i 3. 对变量x ,y 有观测数据（i x ，i y ）（i ＝1,2,…，10），得散点图1；对变量u ，v 有观测数据（,i i u v ，）（i ＝1,2,…，10）,得散点图2，由这两个散点图可以判断（ ）A. 变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B. 变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C. 变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D. 变量x 与y 负相关，u 与v 负相关4. 双曲线24x －212y ＝1的焦点到渐近线的距离为（ ）A.B. 2C.D. 15. 有四个关于三角函数的命题：1p ：∃x ∈R,2sin 2x ＋2cos 2x ＝122p :∃x,y ∈R, sin （x －y ）＝sinx －siny3p :∀x ∈[]0,πsinx4p :sinx ＝cos y ⇒x ＋y ＝2π 其中的假命题是 （ ） A. 1p ，4p B. 2p ，4pC. 1p ，3pD. 2p ，3p6. 设x 、y 满足241,22x y x y z x y x y +≥⎧⎪-≥-=+⎨⎪-≤⎩则（ ）A. 有最小值2，最大值3B. 有最小值2，无最大值C. 有最大值3，无最小值D. 既无最小值，也无最大值 7. 等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，且41a ，22a ，3a 成等差数列.若1a ＝1，则4S ＝（ ）A. 7B. 8C. 15D. 168. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F，且2EF =，则下列结论中错误的是（ ） A. AC BE ⊥ B. //EF ABCD 平面C. 三棱锥A BEF -的体积为定值D. 异面直线,AE BF 所成的角为定值9. 已知点O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且0=++==|,|||||，且⋅=⋅=⋅，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的 （ ） A. 重心、外心、垂心B. 重心、外心、内心C. 外心、重心、垂心D. 外心、重心、内心 （注：三角形的三条高线交于一点，此点称为三角形的垂心） 10. 如果执行下边的程序框图，输入2,0.5x h =-=，那么输出的各个数的和等于 （ ）A. 3B. 3. 5C.4D. 4. 511. 一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c 2m ）为 （ ）A. 48＋B. 48＋C. 36＋D. 36＋12. 用min{a ,b ,c }表示a ,b ,c 三个数中的最小值. 设f （x ）＝min{x2,x ＋2,10－x }（x ≥0）,则f （x ）的最大值为 （ ） A. 4B. 5C.6D. 7第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题；本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上． 13. 已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F （1，0），直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．若AB 的中点为（2，2），则直线l的方程为_____________． 14. 已知函数y ＝sin （ωx ＋ϕ）（ω>0, －π≤ϕ<π）的图象如图所示，则ϕ＝________________．15. 7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排3人，则不同的安排方案共有________________种（用数字作答）．16. 等差数列{n a }前n 项和为n S ．已知1m a -＋1m a +－2m a＝0，21m S -＝38,则m ＝_______．三、解答题：（本大题共6小题，共70分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. （本小题满分12分） 为了测量两山顶M ，N 间的距离，飞机沿水平方向在A ，B 两点进行测量．A ，B ，M ，N 在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A ，B 间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M ，N 间的距离的步骤．18. （本小题满分12分） 某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A 类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B 类工人），现用分层抽样方法（按A 类、B 类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）.（I ）求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为A 类工人，乙为B 类工人； （II ）A 类工人的抽查结果和B 类工人的抽查结果分别如下表1和表2.)（i ）先确定x ，y ，再完成下列频率分布直方图.就生产能力而言，A 类工人中个体间的差异程度与B 类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）（ii）分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）19. （本小题满分12分）如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，倍，P 为侧棱SD上的点．（Ⅰ）求证：AC⊥SD；（Ⅱ）若SD⊥平面P AC，求二面角P －AC－D的大小．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面P AC.若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．20. （本小题满分12分）已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，OPOM＝λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．21. （本小题满分12分）已知函数32()(3)xf x x x ax b e -=+++（Ⅰ）若3a b ==-，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()f x 在(,),(2,)αβ-∞单调增加，在(,2),(,)αβ+∞单调减少，证明βα->6．请考生在第22~24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. （本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，已知ABC ∆的两条角平分线AD 和CE 相交于H ，60B ∠=，F 在AC 上，且AE AF =.（Ⅰ）证明：B ,D ,H ,E 四点共圆： （Ⅱ）证明：CE 平分DEF ∠．23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程.已知曲线C 1：4cos ,3sin ,x t y t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数）， C 2：8cos ,3sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（Ⅰ）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （Ⅱ）若C 1上的点P 对应的参数为2t π=，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线332,:2x t C y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）距离的最小值．24. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲如图，O为数轴的原点，A,B,M为数轴上三点，C为线段OM上的动点，设x表示C与原点的距离，y表示C到A距离的4倍与C到B距离的6倍的和．（I）将y表示为x的函数；（II）要使y的值不超过70，x应该在什么范围内取值？2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（宁夏、海南卷）（解析与答案）一、选择题 1. 答案：A 解析：由已知条件可得}7,5,1{=B C A N ，故应选A.2. 答案：D 解析：i i i i i i i i i i i 213)32)(23(13)32)(23(32233223=+=-+-++=+---+，故应选D. 3. 答案：C解析：由散点图可得两组数据均线性相关，且图1的线性回归方程斜率为负，图2的线性回归方程斜率为正，则由此散点图可判断变量x 与y 负相关，u 与v 正相关，故应选C. 4. 答案：A解析：由双曲线的几何性质知，焦点到渐近线的距离为b ，则双曲线112422=-y x 的焦点到渐近线的距离为3212==b ，故应选A. 5. 答案：A解析：由12cos 2sin,22=+∈∀xx R x 知命题1p 不正确；取0==y x 可得0sin sin )sin(=-=-y x y x ，知命题2p 正确；x xx sin 22cos 1],,0[=-∈∀π成立，知命题3p 正确；Z k k y x y x ∈+=±⇒=,22cos sin ππ，知命题4p 不正确.综上可得假的命题为41,p p ，故应选A.6. 答案：B解析：不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+22,1,42y x y x y x 所表示的可行域如下图所示.当平行直线系z y x =+过点A （0，2）时，目标函数y x z +=取得最小值2，该目标函数无最大值，故应选B.7. 答案：C解析：设等比数列的公比为q ，则1-=n n q a .由321,2,4a a a 成等差数列可得244q q +=，解之得2=q .1584214=+++=∴S ，故应选C. 8. 答案：D解析：由AC ⊥平面B 1D 可得AC ⊥BE ，即A 正确；由EF//BD ，可得EF//平面ABCD ，即B 正确；由点A 到平面B 1D 的距离为222=AC ，可得231ACS V BEF BEF A ⨯=-△三棱锥＝121221222131=⨯⨯⨯⨯，即得C 正确.由此可得错误的结论为“异面直线AE ，BF所成的角为定值”，故应选D.9. 答案：C解析：由||||||==可得点O 是△ABC 的外接圆圆心；取BC 边中点D ，由0=++可得2-=，得点N 为△ABC 的重心；由⋅=⋅可得0)(=⋅=-⋅AC PB PA PC PB ，即得⊥.同理可得⊥.即得点P 是△ABC 的垂心，故应选C.10. 答案：B解析：由流程图可得⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,110,,0,0x x x x y ，当5.0,2=-=h x 时，输出的y 的值分别为0，0，0，0，0，0.5，1，1，1，其对应的各循环变量x 的值分别为－2，－1.5，－1， －0.5，0，0.5，1，1.5，2，输出的各个数和为3.5，故应选B.11. 答案：A 解析：由三视图可得，该几何体为三棱锥D －ABC ，其直观图如图所示.面DBC ⊥面ABC ，AC ⊥AB ，取BC 边中点M ，DM ⊥面ABC ，且DM ＝4，取AC 边中点N ，则MN ＝3，且DN ＝5，由此可得此三棱锥D －ABC 的表面积为262156215621⨯+⨯⨯+⨯⨯×4212486621+=⨯⨯+，故应选A.12. 答案：C 解析：由已知条件可得⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤+<≤=-+=,4,1042,2,20,2}10,2,2min{)(x x x x x x x x f x x ，其函数图象如图所示.由该函数图象可得，当x ＝4时，6)4()(max ==f x f ，故应选C. 二、填空题13. 答案：x y = 解析：由已知条件可得抛物线的标准方程为x y 42=.设直线l 的方程为2)2(+-=y m x .代入抛物线方程可得08842=-+-m my y .由AB 中点坐标为（2，2）可得44=m ，解之得1=m .由此可得直线AB 的方程为x y =.14. 答案：π109解析：由图象可得ωππππ2254322==⎪⎭⎫ ⎝⎛-=T ，解之得54=ω.将⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,43π代入⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ϕx y 54sin 可得153sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ϕπ，则πϕπ2353=+.可解得πϕ109=. 15. 答案：140解析：从7名志愿者中选择3人参加周六的社区公益活动有37C 种安排方法，再在剩下的4人中选择3人参加周日的社区公益活动有34C 种安排方法.由分步计数原理可得不同的安排方案共有1404353437=⨯=C C （种）. 16. 答案：10解析：∵数列{a n }为等差数列，2112m m m m a a a a ==+∴+-.解之得20==m m a a 或.若0=m a ，则0)12()(21212112=-=+-=--m m m a m a a m S ，与3812=-m S 相矛盾；若2=m a ，则24)12()(21212112-=-=+-=--m a m a a m S m m m ＝38，解之得10=m .三、解答题17. 答案：方案一：①需要测量的数据有：A 点到M ，N 点的俯角11,βα；B 点到M ，N 的俯角22,βα；A ，B 的距离d （如图所示）.（3分）②第一步：计算AM.由正弦定理)sin(sin 212ααα+=d AM ；第二步：计算AN.由正弦定理)sin(sin 122βββ-=d AN ；第三步：计算MN.由余弦定理)cos(21122βα-⨯-+=AN AM AN AM MN .方案二：①需要测量的数据有： A 点到M ，N 点的俯角11,βα；B 点到M ，N 点的俯角22,βα；A ，B 的距离d （如图所示）.②第一步：计算BM.由正弦定理)sin(sin 211ααα+=d BM ；第二步：计算BN.由正弦定理)sin(sin 121βββ-=d BN ；第三步：计算MN.由余弦定理)cos(22222αβ+⨯++=BN BM BN BM MN .解析：本试题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形.解决实际生活中的问题.解决该试题的关键是根据题意准确表示边角与实际问题中的量的对应.解决该类试题一般要作出图示帮助求解.18. 答案：（Ⅰ）甲、乙被抽到的概率均为101，且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到”相互独立，故甲、乙两工人都被抽到的概率为1001101101=⨯=p . （Ⅱ）（i ）由题意知A 类工人中应抽查25名，B 类工人中应抽查75名. 故253584=++++x ，得5=x ，7518366=+++y ，得15=y .频率分布直方图如下：从直方图可以判断：B 类工人中个体间的差异程度更小.（ii ）123145253135255125255115258105254=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=A x ， 8.133145751813575361257515115756=⨯+⨯+⨯+⨯=B x ，1.1318.1331007512310025=⨯+⨯=x . A 类工人生产能力的平均数，B 类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123，133.8和131.1.解析：本试题主要考查相互独立事件的概率以及频率分布直方图作图以及利用图表进行求解平均数的运用.解决该试题的关键是理解图表的含义，将实际问题和数学问题联系起来，抽象问题具体化.该试题的易错点是计算.19. 答案：解法一：（Ⅰ）连BD ，设AC交BD 于O.由题意SO ⊥AC.在正方形ABCD 中，AC ⊥BD ， 所以AC ⊥平面SBD ，得AC ⊥SD ，（Ⅱ）设正方形边长为a ，则a SD 2=.又22=OD ，所以∠SDO ＝60°. 连OP ，由（I ）知AC ⊥平面SBD ，所以AC ⊥OP ，且AC ⊥OD ，所以∠POD 是二面角P －AC －D 的平面角.由SD ⊥平面PAC ，知SD ⊥OP ，所以∠POD ＝30°.即二面角P －AC －D 的大小为30°. （Ⅲ）在棱SC 上存在一点E ，使BE ∥平面PAC. 由（Ⅱ）可得a PD 42=，故可在SP 上取一点N ，使PN ＝PD.过N 作PC 的平行线与SC 的交点即为E ，连BN. 在△BDN 中知BN ∥PO.又由于NE ∥PC ，故平面BEN ∥平面PAC ，得BE//平面PAC.由于SN ：NP ＝2：1，故SE ：EC ＝2：1.解法二：（Ⅰ）连BD ，设AC 交BD 于O.由题意知SO ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，OS OC OB ,,分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系O －xyz ，如图.设底面边长为a ，则高a SO 26=. 于是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,22,0,0,0,22,26,0,0a C a D a S ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a SD a OC 26,0,22,0,22,0，0=⋅.故OC ⊥SD.从而AC ⊥SD.（Ⅱ）由题设知，平面PAC 的一个法向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a a DS 26,0,22，平面DAC 的一个法向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a 26,0,0. 设所求二面角为θ，则23||||cos ==DS OS θ，所求二面角的大小为30°.（Ⅲ）在棱SC 上存在一点E ，使BE//平面PAC.由（Ⅱ）知是平面PAC 的一个法向量， 且⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a a 26,22,0,26,0,22.设t =，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+=+=at t a a t 26),1(22,22.而310=⇔=⋅t DS BE .即当SE ：EC ＝2：1时，⊥.而BE 不在平面PAC 内，故BE//平面PAC.解析：本试题主要考查四棱锥的性质以及空间中的二面角，线面平行的判定基本知识的运用.解决该试题的关键是找出二面角的平面角，然后充分利用第二问的结论，解决第三问.解决该试题的方法一般有两种：几何法和空间向量法.20. 答案：（Ⅰ）设椭圆长半轴长及半焦距分别为a ，c.由已知得⎩⎨⎧=+=-.7,1c a c a 解得3,4==c a . 所以椭圆C 的标准方程为171622=+y x . （Ⅱ）设),(y x M ，其中]4,4[-∈x .由已知222||||λ=OM OP 及点P 在椭圆C 上可得2222)(161129λ=++y x x . 整理得11216)916(2222=+-y x λλ，其中]4,4[-∈x .（i ）43=λ时，化简得11292=y . 所以点M 的轨迹方程为)44(374≤≤-±=x y ，轨迹是两条平行于x 轴的线段.（ii ）43≠λ时，方程变形为1161129161122222=+-λλy x ，其中]4,4[-∈x . 当430<<λ时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y 轴上的双曲线满足44≤≤-x 的部分.当143<<λ时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆满足44≤≤-x 的部分；当1≥λ时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆.解析：本试题主要考查椭圆的方程和直线与椭圆的位置关系的运用.解决该试题的关键是运用性质求椭圆的方程，联立方程组研究直线与圆锥曲线的位置关系.该试题的易错点是对含有参数的二次方程中系数的讨论不全.21. 答案：（Ⅰ）当3-==b a 时，x e x x x x f ---+=)333()(23，故 xxe x x ex x x x f ---++--+-=')363()333()(223)9(3x x e x--=- x e x x x -+--=)3)(3(.当303<<-<x x 或时，0)(>'x f ； 当303><<-x x 或时，0)(<'x f . 从而)3,0(),3,()(--∞在x f 单调增加；在),3(),0,3(+∞-单调减少.（Ⅱ）xxe a x x eb ax x x x f --++++++-=')63()3()(223 ])6([3a b x a x e x -+-+-=-.由条件得：0)2(='f ，即0)6(223=-+-+a b a ，故a b -=4.从而]24)6([)(3a x a x e x f x -+-+-='-.因为0)()(='='βαf f ，所以))()(2(24)6(3βα---=-+-+x x x a x a x ])()[2(2αββα++--=x x x .将右边展开，与左边比较系数得，2,2-=-=+a αββα.故a4124)(2-=-+=-αβαβαβ.又0)2)(2(<--αβ，即04)(2<++-βααβ.由此可得6-<a .于是6>-αβ. 解析：本试题主要考查函数与导数以及不等式相关知识的综合运用.解决该试题的关键是根据导数公式表准确求出函数的导数，运用导数分析清楚函数的单调性.而对于该试题中不等式的证明，要充分利用2问的结论进行分析求解.22. 答案：（Ⅰ）在△ABC 中，因为∠B ＝60°，所以∠BAC ＋∠BCA ＝120°. 因为AD ，CE 是角平分线，所以∠HAC ＋∠HCA ＝60°，故∠AHC＝120°.于是∠EHD ＝∠AHC ＝120°， 因为∠EBD ＋∠EHD ＝180°， 所以B ，D ，H ，E 四点共圆. （Ⅱ）连接BH ，则BH 为∠ABC 的平分线，得∠HBD ＝30°.由（Ⅰ）知B ，D ，H ，E 四点共圆，所以∠CED ＝∠HBD ＝30°. 又∠AHE ＝∠EBD ＝60°， 由已知可得EF ⊥AD ，可得∠CEF ＝30°.所以CE 平分∠DEF.解析：本试题主要考查平面几何中的四点共圆，角平分线的运用.解决该试题的关键是能利用图中的角度和边相等来得到对角互补.解决该类试题主要是化未知为已知的转化与化归思想的运用.23. 答案：（Ⅰ）1964:,1)3()4(:222221=+=-++yx C y x C .C 1为圆心是（－4，3），半径是1的圆. C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.（Ⅱ）当2π=t 时，)sin 3,cos 8(),4,4(θθQ P -，故)sin 232,cos 42(θθ++-M . C 3为直线072=--y x ，M 到C 3的距离|13sin 3cos 4|55--=θθd . 从而当53sin ,54cos -==θθ时，d 取得最小值558. 解析：本试题主要考查圆、椭圆、直线的参数方程与普通方程的转化.以及点到直线距离的最值问题的运用.解决该试题第一问，只需消去参数t ，得到y 关于x 的函数，即为所求；第二问用中点坐标公式表示点M再根据点到直线的距离公式求解.24. 答案：（Ⅰ）300|,20|6|10|4≤≤-+-=x x x y .（Ⅱ）依题意，x 满足⎩⎨⎧≤≤≤-+-.300,70|20|6|10|4x x x解不等式组，其解集为]23,9[.所以]23,9[∈x .解析：本试题主要考查函数解析式和绝对值不等式的求解.解决该试题的关键是正确表示两点的距离，分类讨论解绝对值不等式.解决绝对值问题的常用的方法：去掉绝对值符号，可以用定义法和公式法.卖炭翁白居易(唐) 字乐天号香山居士卖炭翁，伐薪烧炭南山中。
【深度解析高考真题】2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅰ)(20200515082636)
2 .3 .4 .5 .6 .7 . 2009年全国统一高考数学试卷（理科）、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）（5 分）设集合A=｛4，5, 7, 9｝，B=｛3，4，7，8,元素共有（）A. 3个（5分）已知A.- 1+3i9｝，全集（全国卷I ）U=A U B,则集合？u （A H B）中的A.—B.—C•丄 D.—64328. （5分）如果函数y=3cos（2x+®的图象关于点（丄-,0）中心对称，那么|创的最小值为（）2B. 4个Z1+1=2+i,则复数z=(B. 1 - 3i（5分）不等式v 1的解集为A. {x| 0v x v 1} U{x|x> 1} C. {x| - 1 v x v 0}心率为（）A.二C. 5个D.C. 3+i D.B. {x| 0v x v 1}D. {x|x v0}22X=（5分）已知双曲线B. 2 （a>0, b>0）的渐近线与抛物线y=/+1相切，则该双曲线的离D. 1■（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学.若从甲、各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（乙两组中A. 150种B. 180种C. 300 种D. 345 种A.- 21的最小值为（）B.二-2C.- 1D. 1-/2（5分）已知三棱柱ABC- A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影中点，则异面直线AB与CG所成的角的余弦值为（D为BC的9. （5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln （x+a）相切，贝U a的值为（）A. 1B. 2C.- 1D.- 210 . （5分）已知二面角a- l - B为60°动点P、Q分别在面a B内，P到B的距离为'呢，Q到的距离为：-.■；,则P、Q两点之间距离的最小值为（）C- 11 . （5分）函数f （x）的定义域为R,若f （x+1）与f （x- 1）都是奇函数，贝U（）A. f （x）是偶函数B. f （x）是奇函数C. f （x）=f （x+2）D. f （x+3）是奇函数12. （5分）已知椭圆C:牙+/=1的右焦点为F,右准线为I，点A€ l，线段AF交C于点B,洞=O ,则I上I =（）A. ：B. 2C.二D. 3二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13. _____________________________________________________________ （5分）（x-y）的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于_____________________________ .14. _____________________________________________________________ （5分）设等差数｛a n｝的前n项和为S n,若S9=81，则a2+a5+a s= _________________________ .15. （5分）直三棱柱ABC- A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA=2,/ BAC=120,则球的表面积等于_______ .TT TT16. （5 分）若—-■ _____________________ ，则函数y=tan2xtan3x 的最三、解答题(共6小题，满分70分)17. (10 分)在厶ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,已知a2-c2=2b,且sinAcosC=3cosAsinC 求b.18. (12分)如图，四棱锥S- ABCD中，底面ABCD为矩形，SD丄底面ABCD AD^2，DC=SD=2 点M在侧棱SC上，/ ABM=60(I)证明：M是侧棱SC的中点；(U)求二面角S- AM - B的大小.SB21 . (12分)如图，已知抛物线E: f=x与圆M : (x-4) 2+y2=r2(r>0)相交于A、B、C、D四个占八、、・(I )求r的取值范围；(U)当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标.19. (12分)甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局.(I)求甲获得这次比赛胜利的概率；(U)设E表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求E的分布列及数学期望.22. (12 分)设函数f (x) =x^+3bx2+3cx有两个极值点X1、血，且X1 € [ - 1，0]，X2 € [ 1，2].(1)求b、c 满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点( b，c)的区域;(2)证明：亠—丄.2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷I ）参考答案与试题解析20. (12分)在数列｛a n｝中，a i=1, a n+i= (1—) a n+ L. 门珂(1 )设b n=：，求数列｛ b n｝的通项公式；n(2)求数列｛a n｝的前n项和S.一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1. （5 分）设集合A={4, 5, 7, 9} , B={3, 4, 7, 8, 9}，全集U=A U B,则集合?U（A H B）中的元素共有（）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个【考点】1H:交、并、补集的混合运算.【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出A H B,再根据补集的含义求解.【解答】解：A U B={3, 4, 5, 7, 8, 9},A H B={4, 7, 9}二?U（A H B）={3, 5, 8}故选A.也可用摩根律：?U（A H B）= （?U A）U（?U B）故选：A.【点评】本题考查集合的基本运算，较简单.2. （5分）已知]=2+i,则复数z=()A.- 1+3iB. 1 - 3iC. 3+iD. 3-【考点】A1:虚数单位i、复数.【分析】化简复数直接求解，利用共轭复数可求z.【解答】解：| •亍「丨’■「，••• z=1 - 3i故选：B.【点评】求复数，需要对复数化简，本题也可以用待定系数方法求解.3. （5分）不等式一」v 1的解集为（）A. {x|0v x v 1} U {x|x> 1}B. {x|0v x v 1}C. {x| - 1v x v 0}D. {x|x v 0} 【考点】7E:其他不等式的解法.【分析】本题为绝对值不等式，去绝对值是关键，可利用绝对值意义去绝对值，也可两边平方去绝对值.【解答】解：•••—< 1,•••|X+1| v|x- 1| ,••• x2+2x+1 v x2- 2x+1.••• xv 0.•••不等式的解集为{x| x v 0}.故选：D.【点评】本题主要考查解绝对值不等式，属基本题.解绝对值不等式的关键是去绝对值，去绝对值的方法主要有：利用绝对值的意义、讨论和平方.2 24. （5分）已知双曲线‘一 - =1 （a> 0, b> 0）的渐近线与抛物线y=xM相切，则该双曲线的离界b2心率为（）A. 「；B. 2C. 口D. . '■【考点】KC:双曲线的性质；KH:直线与圆锥曲线的综合.【专题】11:计算题.【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b的关系，从而推断出a和c的关系，答案可得.2 2 ,【解答】解：由题双曲线的一条渐近线方程为—,a2 L a代入抛物线方程整理得ax2- bx+a=0,因渐近线与抛物线相切，所以b2- 4a2=0,即，-■:--,故选：C.【点评】本小题考查双曲线的渐近线方程直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题.故选：D.【点评】考查向量的运算法则；交换律、分配律但注意不满足结合律.7. （5分）已知三棱柱ABC- A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的5. （5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学.若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A. 150 种B. 180 种C. 300 种D. 345 种【考点】D1:分类加法计数原理；D2:分步乘法计数原理.【专题】50:排列组合.【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类型.【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有C51?C31?C62=225种选法；（2）乙组中选出一名女生有C52?C61?C21=120种选法.故共有345种选法.故选：D.【点评】分类加法计数原理和分类乘法计数原理，最关键做到不重不漏，先分类，后分步!■ ■ -，则〔丄1的最小值为（）【考点】90:平面向量数量积的性质及其运算.【专题】16:压轴题.【分析】由题意可得 b |W2，故要求的式子即日吐-（丑+b） ?c+芒=1 - |邑+b卜| c |cos衣小J ［片1 - . Leos〔「］一，,，再由余弦函数的值域求出它的最小值.【解答】解』是单位向量，八|，二一_ i.，丨•- =:I .r ? \「，=-・：，—（「：,.）? ■+=0-（■:■）? +1=1 -| 一- I .，•COS< ..,=1 - 「cos：二-…J .厂匚A|1'电：；中点，则异面直线AB与CG所成的角的余弦值为（）A. B.匹C. D.-4444【考点】L0:空间中直线与直线之间的位置关系.【分析】首先找到异面直线AB与CG所成的角（如/ A1AB）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出A1B的长度即可；不妨设三棱柱ABC- A1B1C1的侧棱与底面边长为1,利用勾股定理即可求之.【解答】解：设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B,易知9= A1AB即为异面直线AB与CC所成的角；并设三棱柱ABC- A1B1C1的侧棱与底面边长为1,则| AD| = _ , | A1DI =- , | A1 B| =」，〜丄2由余弦定理，得cos 9故选：D.【点评】本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理.8. （5 分）如果函数y=3cos（2x+©）的图象关于点（一,0）中心对称，那么|创的最小值为（）K TT'IT7TA.——B.C.——D.——643且【考点】HB:余弦函数的对称性.【专题】11:计算题.【分析】先根据函数y=3cos（2x+"的图象关于点:—.-中心对称，令代入函数使其等3 -3于0,求出©的值，进而可得I ©I的最小值.【解答】解：•••函数y=3cos（2x+©）的图象关于点:—.-中心对称.3— - t1 1 .—•••：_-：『--- .玄匚E由此易得 |> ' K. 故选：A.【点评】本题主要考查余弦函数的对称性.属基础题.9. （5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln （x+a）相切，贝U a的值为（）D.—2【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程.【解答】解：设切点P (x o, y o),贝U y o=x o+1, y o=ln (x o+a),--x o+a=1【考点】LQ:平面与平面之间的位置关系.【专题】11:计算题；16：压轴题.【分析】分别作QA丄a于A, AC丄l于C, PB丄B于B, PD丄l于D,连CQ BD则/ ACQ=Z PBD=60 , 在三角形APQ中将PQ表示出来，再研究其最值即可.【解答】解：如图分别作QA丄a于A, AC丄l于C, PB丄B于B, PD丄l于D,连CQ, BD 则/ ACQ=/ PDB=60,总二：，I :,又T :厂.“ T- - .： |当且仅当AP=0,即点A与点P重合时取最小值.故选：C.O, x o=—1：B.评】本题考查导数的几何意义，常利用它求曲线的切线10A. 1B. 2C.—1的距离为一•，则P、Q两点之间距离的最小值为（）B内，P到B的距离为V, Q到a【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题.11. (5分)函数f (x)的定义域为R,若f (x+1)与f (x- 1)都是奇函数，贝U( )A. f (x)是偶函数B. f (x)是奇函数C. f (x) =f (x+2)D. f (x+3)是奇函数【考点】31:奇函数、偶函数.【专题】16:压轴题.【分析】首先由奇函数性质求f (x)的周期，然后利用此周期推导选择项. 【解答】解：：f (x+1)与f (x- 1)都是奇函数，•••函数f (x)关于点(1 , 0)及点(-1, 0)对称，二 f (x) +f (2 - x) =0, f (x) +f (- 2 - x) =0,故有 f (2 -x) =f (- 2 -x),函数f (x)是周期T=[2-( - 2) ]=4的周期函数.f (- x- 1+4) =- f (x- 1 +4),f (- x+3) =- f (x+3),f (x+3)是奇函数.故选：D.【点评】本题主要考查奇函数性质的灵活运用，并考查函数周期的求法. 由题意丨—I ■,故FM二，故B点的横坐标为丄，纵坐标为土二3 3 3即BM二-,3故AN=1,故选：A.【点评】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，属基础题.2 「_,12. (5 分)已知椭圆C^-+y2=1的右焦点为F,右准线为I，点A€ I,线段AF交C于点B,若F23FE, 则| '11=()A. 二B. 2C. 「；D. 3【考点】K4:椭圆的性质.【专题】11:计算题；16:压轴题.【分析】过点B作BM丄x轴于M，设右准线I与x轴的交点为N,根据椭圆的性质可知FN=1,进而根据祝二3五，求出BM, AN,进而可得| AF| .【解答】解：过点B作BM丄x轴于M ,二、填空题(共4小题，每小题5分，满分20分)13. (5分)(x-y) 10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于-240【考点】DA:二项式定理.【专题】11:计算题.【分析】首先要了解二项式定理：(a+b) n=C n0a n b0+C n1a n- 1b1+C n2a n-2b2++C n r a n-r b r++C n n a0b n，各项的通项公式为：T r+1=G r a n-r b r.然后根据题目已知求解即可.【解答】解：因为(x-y) 10的展开式中含x7y3的项为C103x10 - 3y3(- 1) 3=- Ce^y3, 含x3y7的项为Ci07x10-7y7 (- 1) 7二-C107x3y7.由Ci03=G07=120知，x7y3与x3y7的系数之和为-240.故答案为-240.【点评】本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径, 这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力.• a2+a5+a8=3a5=27 故答案是27【点评】本题考查前n项和公式和等差数列的性质.16. （5分）若——=，则函数y=tan2xtan3x的最大值为—_15. （5分）直三棱柱ABC- A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA=2,/ BAC=120,则此球的表面积等于20n .【考点】LR球内接多面体.【专题】11:计算题；16:压轴题.【分析】通过正弦定理求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为0',球心为0,在RT^OBO中，求出球的半径，然后求出球的表面积.【解答】解：在△ ABC中AB=AC=2 / BAC=120，可得■ : : ■；由正弦定理，可得△ ABC外接圆半径r=2，设此圆圆心为O',球心为O,在RT\OBO中，易得球半径J.,故此球的表面积为4nR=20n故答案为：20 n【考点】3H：函数的最值及其几何意义；GS:二倍角的三角函数.【专题】11:计算题；16:压轴题.【分析】见到二倍角2x就想到用二倍角公式，之后转化成关于tanx的函数，将tanx看破成整体,最后转化成函数的最值问题解决.n, 3 2tan4z 2t42/. ■' . -ii—.-.-ii. .■- , ^|17“ 丄丄,1 1 ' 1畀t2乜三)刁故填：-8.【点评】本题主要考查二倍角的正切，二次函数的方法求最大值等，最值问题是中学数学的重要内容之一，它分布在各块知识点，各个知识水平层面.以最值为载体，可以考查中学数学的所有知识点.三、解答题（共6小题，满分70分）17. （10分）在厶ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,已知a2- 4=20且sinAcosC=3cosAsinp 【考点】HR余弦定理.【分析】根据正弦定理和余弦定理将sinAcosC=3cosAsin(化成边的关系，再根据a2- c2=2b即可得到答案.【解答】解：法一：在△ ABC中I sinAcosC=3cosAsinC则由正弦定理及余弦定理有：【点评】此题主要考查二项式定理的应用问题，对于公式：（a+b）n=C h0a n b0+C n1a n _1b1+C n2a n_2b2++G r a n 「r b r++C n n a°b n，属于重点考点，同学们需要理解记忆.14. （5分）设等差数列｛a n｝的前n项和为S n,若S9=81，则a2+a5+a s= 27【考点】83:等差数列的性质；85:等差数列的前n项和.【分析】由S9解得a5即可.a5=9【解答】9(ai+an)-【解答】解：令tanx=t,v——宀，^-=-8亠bH屮~2ab —-3―2bZ~'c，化简并整理得：2 (a2- c2) =b2.又由已知a2- c2=2b^ 4b=b2.解得b=4或b=0 (舍)；法二：由余弦定理得：a2- c2=b2- 2bccosA又a2- c2=2b, 0.所以b=2ccosA+2①又sinAcosC=3cosAsinC••• sin AcosC+cosAsi nC=4cosAs in Csin A+C) =4cosAs inC即sinB=4cosAsinC由正弦定理得.…二,c故b=4ccosA②由①，②解得b=4.【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用.属基础题.18. (12分)如图，四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为矩形，SD丄底面ABCD AD农,DC=SD=2 点M在侧棱SC上，/ ABM=60(I)证明：M是侧棱SC的中点；(U)求二面角S- AM - B的大小.【考点】L0:空间中直线与直线之间的位置关系；MJ:二面角的平面角及求法.【专题】11:计算题；14：证明题.【分析】(I )法一：要证明M是侧棱SC的中点，作MN // SD交CD于N,作NE丄AB交AB于E，连ME、NB,贝U MN 丄面ABCD，ME丄AB,砸二设MN=x，贝U NC=EB=x 解RT\ MNE 即可得x的值，进而得到M为侧棱SC的中点；法二：分别以DA、DC DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D-xyz,并求出S点的坐标、C 点的坐标和M点的坐标，然后根据中点公式进行判断；法三：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D-xyz，构造空间向量，然后数乘向量的方法来证明.(U)我们可以以D为坐标原点，分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D- xyz，我们可以利用向量法求二面角S- AM - B的大小.【解答】证明：(I )作MN // SD交CD于N, 作NE丄AB交AB于E,连ME、NB,贝U MN 丄面ABCD, ME丄AB,E=AD=^设MN=x，贝U NC=EB=x在RT\ MEB 中，•••/ MBE=60 、二.在RT\ MNE 中由ME^NE^+MN2：3x2=x2+2解得x=1，从而w二丄一i • M为侧棱SC的中点M .(I )证法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系 D - xyz，则A S，o, OL B(近，c(o?占眄现 o, 2：.设M (0, a, b) (a>0, b>0),解得入=1所以M是侧棱SC的中点.(U)由(I)得1 ：!. 1：1 r, -- 一_：,19. (12分)甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局.(I)求甲获得这次比赛胜利的概率；(U)设E表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求E的分布列及数学期望.设 f j :. ；,.■ . ■■. | , r 分别是平面SAM、MAB 的法向量,」丄y-［「二二，」.:,得严kSM『或-2(") 二12-/(a-2)2+b2f2_2a=2(b-2)个方程组得a=1, b=1即M (0, 1, 1)（口■!!扎二0 f T1 厂N扎二0 上一且工一D!•AS=O n2•AB=O分别令「十，■亍得z i=i, yi=i, y2=o, z2=2,>=2+0+2 _V6面角S- AM - B的大小arcco证法三：设■"：',—亠：.圧「-亠•亠- :"| . ' : : '■【点评】空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值;空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值; 空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值；是侧棱SC的中点.S【考点】C8:相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式; CH:离散型随机变量的期望与方差.【专题】11:计算题. CG:离散型随机变量及其分布列【分析】（1）由题意知前2局中，甲、乙各胜1局，甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，根据各局比赛结果相互独立，根据相互独立事件的概率公式得到结果.（2）由题意知E表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知E的可能取值是2、3, 由于各局相互独立，得到变量的分布列，求出期望.【解答】解：记A i表示事件：第i局甲获胜，（i=3、4、5）B表示第j局乙获胜，j=3、4（1）记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利，•••前2局中，甲、乙各胜1局，•••甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，B=A3A4+ B3A4A5 +A3 B4A5由于各局比赛结果相互独立，•P （B）=P （A3A4）+P （B3A4A5）+P （A3B4A5）=0.6X 0.6+0.4 x 0.6 x 0.6+0.6 x 0.4 x 0.6=0.648（2）E表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知E的可能取值是2、3由于各局相互独立，得到E的分布列P （ E =2 =P （A3A4+B3B4）=0.52P（E =）=1 - p（三=2 =1- 0.52=0.48•E E =X 0.52+3x 0.48=2.48.【点评】认真审题是前提，部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分，这是很可惜的，主要原因在于没读懂题•另外，还要注意表述，这也是考生较薄弱的环节.【专题】11:计算题；15:综合题.【分析】（1 ）由已知得n+1+ -2n，即b n+1=b n+~2n，由此能够推导出所求的通项公式.（2 ）由题设知a n=2 n - '12n_1，由错位相减法能求出T n=4-，故 ( 2+4+-+2n )22（佬+'.从而导出数列｛a n｝的前n项+••+■■2叶1【解答】解：（1 ）由已知得b1=ai=1，且n+1即b n+1=b n+ -，从而b2=b1丄，严I 2护b n=b n- 1 +b3=b2+于是2n_L4丄+••+丄=2 -—-—2尹|严(n> 2).(n> 2).又b1=1，故所求的通项公式为b n=2(2)由(1) 知a n=2n1|2n_1nn-120. （12分）在数列｛&｝中，a1=1，a n+1= （1」）a n+ -.n 2n（1）设山二〜’，求数列｛b n｝的通项公式；n（2）求数列｛a n｝的前n项和S h.【考点】8E:数列的求和；8H：数列递推式.21i +•+•• +-/ -，①23），故S n= (2+4+-+2n)，②1T n=1[1—=2123•T n=4;=2n+22叶1221••• Sn=n (n+1) +)" - - 4.2W【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要注意错位相减法的合理运用. *進弧滲2 2 .4V _ ______________ 解这个方程组得-I— -. "2 221. (12分)如图，已知抛物线E: y2=x与圆M : (x-4) 2+y2=r2(r>0)相交于A、B、C、D四个占八、、・(I )求r的取值范围；(U)当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC BD的交点P的坐标. (II)设四个交点的坐标分别为•「.、匚;工二, > 、u：]・1 .【考点】IR:两点间的距离公式；JF:圆方程的综合应用；K8:抛物线的性质.【专题】15:综合题；16:压轴题.【分析】(1)先联立抛物线与圆的方程消去y,得到x的二次方程，根据抛物线E: f=x与圆M : (x-4) 2+y2=r2 (r>0)相交于A、B、C、D四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根，可求出r的范围.(2)先设出四点A，B，C, D的坐标再由(1)中的x二次方程得到两根之和、两根之积，表示出面积并求出其的平方值，最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点P的坐标. 【解答】解：(I )将抛物线E: y2=x代入圆M： (x- 4) 2+y2=r2(r>0)的方程，消去y2，整理得x2—7x+16- r2=0 (1)抛物线E: y2=x与圆M : (x-4) 2+y2=r2 (r>0)相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：方程(1)有两个不相等的正根[49-4 (16-r2)>0• K [ + 竝2= 了 > 0则直线AC BD的方程分别为y-伍=、：[；"' ? (x-X1), y两J jY 1 (x-X1), 解得点P的坐标为(.—二，0)，则由(I)根据韦达定理有X1+X2=7，X1x2=16-r2，-亠八；-U则=一一・_? | :•: -7 、厂--'■- ■-'■•：I ，「一 . :•：，•- ■：. j-，-:■■- I 一二「丁 . r 一、一—-- i -r -l L令 r -■，则今=(7+2t) 2( 7 - 2t)下面求S2的最大值.由三次均值有：!'当且仅当7+2t=14 - 4t，即十-丄时取最大值.6经检验此时：」「「满足题意.iui故所求的点P的坐标为—-I .【点评】本题主要考查抛物线和圆的综合问题.圆锥曲线是高考必考题，要强化复习.22. (12 分)设函数f (x) =x3+3bx2+3cx有两个极值点X1、x2,且X1 € [ - 1，0]，x2 € [ 1，2].(1)求b、c 满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点( b, c)的区域;Vis(2)证明:亠厂—■丄.【考点】6D:利用导数研究函数的极值；7B:二元一次不等式(组)与平面区域；R6:不等式的证明.【专题】11:计算题；14：证明题；16:压轴题. 【分析】(1)根据极值的意义可知，极值点X1、X2是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域即可；(2)先用消元法消去参数b,利用参数c表示出f (X2)的值域，再利用参数c的范围求出f (X2) 的范围即可.【解答】解：(I) f (x) =3x2+6bx+3c, (2 分)依题意知，方程f (x) =0有两个根*、X2,且X1 € [ - 1，0]，X2€ [1，2] 等价于f (- 1)> 0，f (0)< 0，f (1)< 0，f (2)> 0.r c>2b-l 由此得b，c满足的约束条件为(4分)、亡>-4匕-4满足这些条件的点(b，c)的区域为图中阴影部分.(6分)【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及二元一次不等式(组)与平面区域和不等式的证明，属于基础题.（II ）由题设知f（X2）=3x22+6bx2+3c=0, 则 X _ —■-，故二〔_ 工•- —:：'. （8分）由于X2€ [1, 2]，而由（I ）知c<0，故[I M ■- : i — l •又由（I ）知-2< c<0，（10 分）所以-1 -；'一丄.。
2009海南高考数学试题答案(文数)
连续管焊接技术分析摘要：由于连续管在修井作业，钻井作业中的应用，连续管设备和连续管线的不断增加，提高连续管焊接技术的迫在眉睫。
这篇文章归纳总结了在连续管焊接技术分析中的种种问题：焊接失败的原因分析，焊接过程进行了审查同时各种焊接技术都进行了考虑分析。
引言：近几年来已经进行了大量的实验研究，主要目的是提高连续管的使用寿命。
这种认识已经提高了了连续管工作的可靠性。
焊接是连续管线最薄弱的环节。
在焊接作业过程中通过调整焊接工艺使得连续管焊接的得到了显著提高。
现在在工艺中在材料没有轧制成为管材前把连续管的板材对接起来代替了以前在连续管管材上的管管对接或者角接。
在这种方法的焊接中连续管板材的尾部切出一定的角度或坡口，因此这种焊接方法就是我们所熟知的斜对焊或螺旋轧制焊接方法。
这种斜角导致了焊接时焊缝是沿着管材轴线方向螺旋分布的。
这种钢板焊接技术已经显著提高了连续管管材的可靠性。
在野外工作环境下我们常常需要把两个连续管部分连接起来。
很显然因为在野外施工环境中连续管就是以管材的形式存在这种钢材焊接技术就不能被应用在野外工作环境中。
因此角接是我们必须要使用的。
在成盘的连续管中这种交接接头部位是连续管最不可靠的部分。
气体研究机构（GRI）已经进行了一些研究题目，主要是更好的理解连续管的焊接。
这个GRI 研究课题涉及到三个主要的方面：焊接分析—CETS已经完成了的预先焊接接头的批量实验，这一实验是对将近400个连续进行疲劳断裂实验从而了解连续管焊接接头的疲劳寿命。
GRI利用全部焊接接头中失败的样品进行分析。
焊接工艺—连续管的焊接工艺是通过评定各种焊接工艺过程得到的。
推荐的焊接工艺有四种不同的焊接参数。
供选择的焊接技术—十种不同可供选择的焊接技术被用来实验从而验证是否能够适用于连续管的焊接。
这个研究课题的结果在整个报告中是可供参考使用的。
这篇文章总结了这些结果。
超声波探伤（UT）主要关注的是连续管中引起初生疲劳裂纹和再生疲劳裂纹的原因，特别是在斜对焊焊接的样品上。
2009年高考海南宁夏文科数学详细解析全word版
2009年普通高等学校招生全国统一考试（海南宁夏卷）数学（文史类）第I 卷一、选择题：（本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中 ，中有一项是符合题目要求的。
） （1）已知集合}{{}1,3,5,7,9,0,3,6,9,12A B ==,则AB =（ ）A. }{3,5B. }{3,6C. }{3,7D. }{3,9 （2）复数3223ii+=-（ ） A. 1 B. 1- C. i D. i -（3）对变量,x y 有观测数据（1x ，1y ）（12,...,10i =），得散点图1；对变量,u v 有观测数据（1u ，1v ）（1,2,...,10i =），得散点图2．由这两个散点图可以判断（ ）y x图2图1O123456uv5101520253030252015105654321OA. 变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B. 变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C. 变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D. 变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 （4）有四个关于三角函数的命题：1p ：x ∃∈R ，221sin cos 222x x += 2p ：,x y ∃∈R ，sin()sin sin x y x y -=- 3p ：x ∀∈[]0,π，1cos 2sin 2xx -= 4p ：sin cos 2x y x y π=⇒+=其中假命题的是（ ）A. 1p ，4pB. 2p ，4pC. 1p ，3pD. 2p ，3p（5）已知圆1C ：2(1)x ++2(1)y -1=，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为（ ） A. 2(2)x ++2(2)y -1= B. 2(2)x -+2(2)y +1=C. 2(2)x ++2(2)y +1=D. 2(2)x -+2(2)y -1=（6）设,x y 满足24,1,22,x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩则Z x y =+（ ）A. 有最小值2，最大值3B. 有最小值2，无最大值C. 有最大值3，无最小值D. 既无最小值，也无最大值（7）已知向量()3,2a =-，()1,0b =-，向量a b λ+与2a b -垂直，则实数λ的值为（ ） A. 17-B. 17C. 16- D. 16（8）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2110m m m a a a -++-=，2138m S -=，则m =（ ）A. 38B. 20C. 10D. 9（9） 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱线长为1，线段11B D 上有两个动点E 、F ，且12EF =，则下列结论中错误的是（ ） A. AC BE ⊥ B. //EF ABCD 平面C. 三棱锥A BEF -的体积为定值D. AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等（10）如果执行右边的程序框图，输入2,0.5x h =-=，那么输出的各个数的和等于（ ） A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 4.5F ED 1C 1B 1A 1D CBA是否否否是是x ≥2输出yx=x+hy=xy=1y=0x<1x<0输入x ,h 结束开始（11）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：2cm ）为（ ） A. 48122+ B. 48242+ C. 36122+ D. 36242+（12）用min{,,}a b c 表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设{}()min 2,2,10xf x x x =+-（0x ≥），则()f x 的最大值为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题—第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题—第（24）题为选考题，考生根据要求做答． 二 、填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）曲线21x y xe x =++在点（0,1）处的切线方程为_______________．（14）已知抛物线C 的顶点坐标为原点，焦点在x 轴上，直线y x =与抛物线C 交于A 、B 两点，若()2,2P 为AB 的中点，则抛物线C 的方程为_____________．（15）等比数列{n a }的公比0q >, 已知2a =1，216n n n a a a +++=，则{n a }的前4项和4S =________． （16）已知函数()2sin()f x x ωϕ=+的图像如图所示，则712f π⎛⎫=⎪⎝⎭_______．1102008012050FEDCB A三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A 、B 、C 三点进行测量，已知50AB m =，120BC m =，于A 处测得水深80AD m =，于B 处测得水深200BE m =，于C 处测得水深110CF m =，4俯视图侧视图正视图4633366求∠DEF 的余弦值．（17）解：作//DM AC 交BE 于N ，交CF 于M ．22223017010198DF MF DM =+=+=， 222250120130DE DN EN =+=+=，2222()90120150EF BE FC BC =-+=+=．在DEF ∆中，由余弦定理，2222221301501029816cos 2213015065DE EF DF DEF DE EF +-+-⨯∠===⨯⨯⨯．（18）（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，PAB ∆是等边三角形，90PAC PBC ∠=∠=︒． （Ⅰ）证明：AB PC ⊥；（Ⅱ）若4PC =，且平面PAC ⊥平面PBC ，求三棱锥P ABC -体积． （18）解：（Ⅰ）因为PAB ∆是等边三角形，90PAC PBC ∠=∠=︒, 所以Rt PBC Rt PAC ∆≅∆,可得AC BC =． 如图，取AB 中点D ，连结PD ,CD , 则PD AB ⊥,CD AB ⊥, 所以AB ⊥平面PDC , 所以AB PC ⊥．（Ⅱ）作BE PC ⊥，垂足为E ，连结AE ． 因为Rt PBC Rt PAC ∆≅∆，所以AE PC ⊥，AE BE =．由已知，平面PAC ⊥平面PBC ，故90AEB ∠=︒．因为Rt AEB Rt PEB ∆≅∆，所以,,AEB PEB CEB ∆∆∆都是等腰直角三角形． 由已知4PC =，得2AE BE ==，AEB ∆的面积2S =． 因为PC ⊥平面AEB ， 所以三角锥P ABC -的体积1833V S PC =⨯⨯=． （19）（本小题满分12分）A B CDEFM N5012080200110CBAPE DCBAP某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A 类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B 类工人）.现用分层抽样方法（按A 类，B 类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）． （Ⅰ）A 类工人中和B 类工人中各抽查多少工人？（Ⅱ）从A 类工人中抽查结果和从B 类工人中的抽查结果分别如下表1和表2 表1： 生产能力分组[)100,110[)110,120 [)120,130[)130,140[)140,150人数 48x53表2： 生产能力分组[)110,120[)120,130[)130,140[)140,150人数6y3618（i ）先确定,x y ，再在答题纸上完成下列频率分布直方图．就生产能力而言，A 类工人中个体间的差异程度与B 类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）0.0480.0440.040O 频率/组距生产能力图2 B 类工人生产能力的频率分布直方图1001101201301501400.0040.0080.0120.0160.0200.0240.0280.0320.0360.0360.0320.0280.0240.0200.0160.0120.0080.004140150130120110100图1 A 类工人生产能力的频率分布直方图生产能力频率/组距O（ii ）分别估计A 类工人和B 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人和生产能力的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）． （19）解：（Ⅰ）A 类工人中和B 类工人中分别抽查25名和75名． （Ⅱ）(ⅰ)由485325x ++++=，得5x =， 6361875y +++=，得15y =． 频率分布直方图如下O频率/组距生产能力图1 A 类工人生产能力的频率分布直方图1001101201301501400.0040.0080.0120.0160.0200.0240.0280.0320.0360.0360.0320.0280.0240.0200.0160.0120.0080.004140150130120110100图2 B 类工人生产能力的频率分布直方图生产能力频率/组距O 0.0400.0440.048从直方图可以判断：B 类工人中个体间的差异程度更小．（ii ） 485531051151251351451232525252525A x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 6153618115125135145133.875757575B x =⨯+⨯+⨯+⨯=， 2575123133.8131.1100100x =⨯+⨯=， A 类工人生产能力的平均数，B 类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123，133.8和131.1． （20）(本小题满分12分)已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，OPe OM=（e 为椭圆C 的离心率），求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线． （20）解：（Ⅰ）设椭圆长半轴长及半焦距分别为a 、c ，由已知得1,7,a c a c -=⎧⎨+=⎩ 解得4,3,a c =⎧⎨=⎩所以椭圆C 的方程为221167x y +=． （Ⅱ）设(,)M x y ，1(,)P x y ，其中[]4,4x ∈-，由已知得222122x y e x y+=+． 而34e =，故2222116()9().x y x y +=+ ①由点P 在椭圆C 上得 221112716x y -=．代入①式并化简得29112y =，所以点M 的轨迹方程为47(44)3y x =±-≤≤，轨迹是两条平行于x 轴的线段． （21）（本小题满分12分）已知函数3223()39f x x ax a x a =--+． （Ⅰ）设1a =，求函数()f x 的极值； （Ⅱ）若14a >，且当[]1,4x a ∈时，)('x f 12a ≤恒成立，试确定a 的取值范围． （21）解：（Ⅰ）当1a =时，对函数()f x 求导数，得'2()369f x x x =--． 令 '()0f x =，解得121,3x x =-=． 列表讨论'(),()f x f x 的变化情况：x(,1)-∞-1-(1,3)- 3 (3,)+∞'()f x+-+()f x单调增极大值6单调减极小值26-单调增所以，()f x 的极大值是(1)6f -=，极小值是(3)26f =-．（Ⅱ）'22()369f x x ax a =--的图像是一条开口向上的抛物线，关于x a =对称． 若114a <≤，则'()f x 在[1,4]a 上是增函数， 从而'()f x 在[1,4]a 上的最小值是'2(1)369f a a =--，最大值是'2(4)15f a a =．由'|()|12f x a ≤，得221236912a x ax a a -≤--≤，于是有2(1)36912f a a a '=--≥-，且2(4)1512f a a a '=≤．由'(1)12f a ≥-得113a -≤≤；由'(4)12f a a ≤得405a ≤≤． 所以114(,1][,1][0,]435a ∈-，即14(,]45a ∈．若1a >，则'2|()|1212f a a a =>． 故当[1,4]x a ∈时'|()|12f x a ≤不恒成立．所以使'|()|12([1,4])f x a x a ≤∈恒成立的a 的取值范围是14(,]45．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，已知ABC ∆中的两条角平分线AD 和CE 相交于H ，60B ∠=︒，F 在AC 上，且AE AF =．（Ⅰ）证明：,,,B D H E 四点共圆； （Ⅱ）证明：CE 平分DEF ∠． （22）解：（Ⅰ）在ABC ∆中，因为60B ∠=︒， 所以120BAC BCA ∠+∠=︒． 因为AD ，CE 是角平分线， 所以60HAC HCA ∠+∠=︒， 故120AHC ∠=︒．于是120EHD AHC ∠=∠=︒． 因为180EBD EHD ∠+∠=︒， 所以,,,B D H E 四点共圆．（Ⅱ）连结BH ，则BH 为ABC ∠的平分线，得HBD ∠=30︒， 由（Ⅰ）知,,,B D H E 四点共圆， 所以CED HBD ∠=∠=30︒，又AHE EBD ∠=∠=60°，由已知可得EF AD ⊥， 可得30CEF ∠=︒， 所以CE 平分DEF ∠．（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程。
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得分
表六.考试成绩统计分析表（难度区分度） 文科（考生数：20111）
Ⅱ卷 题号 平均 分 区分 度 标准 差 1.87 1.85 1.84 1.57 3.08 1.20 3.11 1.98 1.89 2.14 0.67 0.65 0.64 0.45 0.47 0.16 0.70 0.36 0.33 0.36 0.84 0.82 0.81 0.56 1.46 0.48 4.09 1.17 1.22 1.10 13 14 15 16 17 18 19 20 21 选考
11， 14， 18 20 22 17 5 10 10 分，占%
分值 合计
27
5
17
5
5
10
5
22
74 分，占 49%
44， 29.3%
22 分，15%
注:1.选做题中选做平面几何、参数方程极坐标、不等式的考生分别约为 30%、65%、 5%； 2.向量题减少一个题（5 分） ，增加了逻辑用语题(5 分)，其他考点基本保持 2008 年 的格局． 表三：文理科数学考点与理科考试成绩统计表（2009 年、2008 年各题的均分、难度比较） 题号 题型、内容 理（2008/2009） 均分 1 2 3 理5文4 理4 文5 6 理7文8 集合（文理姐妹题） 复数四则运算（文理姐妹题） 线性相关（文理同题） 逻辑用语（文理同题） 双曲线几何性质 直线与圆 线性规划（文理同题） 数列 难度
文科20题解析几何（椭圆几何性质与轨 迹） 80 得分率
得分率
系列2 系列1
60 40 20 0 得数与导数（文理姐妹题） 80 60 得分率 40 20 0 0 2 4 6 8 10 12 得分 系列2 系列1 得分率 80 60 40 20 0
文科选做题
12
0
3
6
9
系列2 系列1
（一） 、试题考点及考试成绩统计表 表一：理科数学试卷知识分布表：
代 数 几 何 向量与 三 内 集合与函 数 容 数 计 不 等 式 统 计 概 率 题 号 1，12， 21 15 6 3， 18 逻 辑 用 语 5 10 7， 16 2 8， 11， 19 分值 合计 22 5 5 17 5 5 10 5 22 4， 13， 20 22 17 22 分，15% 5 10 10 分，占% 算 法 列 数 几 几 数 复 立 解 解 三 角 形 17 14 9 22 23 24 像 角 图 向 量 几 平 极 坐 标 不 等 式 选做题
Ⅱ卷
1
0.
表七：09 年文理科数学各题统计数据（文理科均分、难度对比） 题 号 理 科 二 空 1 7 文 18 19 理 填 空 三角（文理 同题） 立体几何 14 20 2. 科 填 15 2. 46 0.48 2 1 ． 2 1 8 文 科 4. 3.02 0 1 9 0.1 0.04 2 21 0.1 0 ． 15 0.12 0 ． 理 文科 题型或考点 平均分 分 理科 文科 满 难度
理 18 19 文 理 20 文 理 21 选 考 Ⅱ 卷 Ⅰ 卷 全卷 文
概率统计 38
2. 9
4.0 2
1 0
0.2 4
0.3
解几 14 函数 94 三选一 71
2. 7 0.
1.1 2 1.22 2
1
0.18 0
0.1
1 8 1 0 7 9 0 9 6 0 0 0.34
0.0
0.10
2. 0 17
文7理9 理8文9 10 11 12 理 13 文 14 理 14 文 16 理 15 理 16 文 15 二
平面向量 立体几何（文理姐妹题，难度接近） 程序框图（文理同题） 立体几何三视图（文理同题） 分段函数最值（文理同题） 直线与抛物线位置关系（文理姐妹题） 三角函数图象（文理难度接近） 排列组合 数列（文理难度接近） 填空 15 5.91/4. 1 7.05/2. 20 9 1.41/2. 14 概率统计（文理题） 38 2.23/2. 0 1.59/2. 14 0.67/0. 94 8 3.90/ 2.93/ 4.49/ 3.74/2. 71 第 1-12 题，每题 5 分 33/36 7 0.55/0.6 0 0.39/ 0.29/ 0.45/ 0.37/0.2 8 0.06/0.0 0.13/0.1 8 0.19/0.2 0.12/0.1 0.59/0.1 0.29/0.2
17
解三角形应用题（文理姐妹题）
文 18 理 19 文 19 理 18
立体几何
20
解析几何（椭圆几何性质与轨迹） （文 理姐妹题）
21
函数与导数（文理姐妹题）
22 23 24 选做 题 Ⅰ卷
平面几何（文理同题） 极坐标与与参数方程（文理同题） 不等式（文理同题） 22，23，24 题加权平均
Ⅱ卷
4 个填空题，每题 5 分；
74 分，占 49%
44，29.3%
注:1.选做题中选做平面几何、参数方程极坐标、不等式的考生分别约为 35%、50%、 15%；
2.向量题减少一个题（5 分） ，增加了逻辑用语题(5 分)，用三角解答题替换数列解答 题(12 分)，其他考点基本保持 2008 年的格局，与 07 年卷类似． 表二：文科数学试卷知识分布表： 代 数 几 何 向量与 三 内 集合与函数 不 等 容 式 统 计 概 率 题 号 1，12，13， 21 6 3， 18 逻 辑 用 语 4 10 8， 15 2 9， 5， 算 法 列 数 几 几 数 复 立 解 解 三 角 形 17 14 7 22 23 24 像 角 图 向 量 几 平 极 坐 标 不 等 式 选做题
海南省 2009 年普通高等学校招生全国统一考试 数学科试卷分析
海口市教育研究培训院 海南华侨中学 蔡芙蓉 李红庆
一．
试题总体评价
海南省 2009 年高考数学试卷，以新课程标准、全国考试大纲和海南考试说明为依据， 试卷的结构沿袭了前两年高考数学试卷风格，试题设计“稳中求新”，紧密贴近中学教学， 在坚持对基础知识和基本技能的考查的同时， 与前两年相比， 更加重视数学思想与方法的考 查．试卷从多角度、多视点、多层次地考查数学理性思维，考查考生对数学本质的理解，考 查考生的数学素养和学习潜能． 试卷将新课程中新增内容和传统内容有机结合， 考查更加科 学、 规范和深化， 并加大了对创新意识和新课程中的研究性学习与综合实践内容的考查力度， 充分体现新课程理念，有利于推进中学数学课程改革，有利于高校选拔考生．
10
0
2
4
6
8
0
2
4
6
8
Ⅱ
难度
0.17
0.16
0.16
0.11
0.26
0.04
0.34
0.10
0.10
0.11
0
满 分
5
5
5
5
12
12
12
12
12
10
理科（考生数：37789）
Ⅱ卷 题号 平均 分 区分 度 标准 差 难度 .2 0 .96 2 .14 0 .24 满 分 5 0 5 8 0.2 4 5 8 1.9 4 0.2 3 1 8 0.7 6 2.1 0.9 0 0.9 1.2 1 14 15 6 0 .78 0 .62 1 .81 0 .16 5 2 8 1 12 2 3 0.1 0.20 0 0.5 62 3.0 2.82 0.57 2.2 2.38 2.1 4 0.5 3 2.6 5 0.1 8 1 12 12 10 0.20 0.08 0.27 2.32 1.66 3.05 0.47 0.52 0.85 2.34 0.94 2.71 1 17 18 19 20 21 选考
表四相应的各题得分率折线图
文科17题解三角形应用题 80 得分率 60 得分率 40 20 0 0 2 4 6 8 10 12 得分 系列2 系列1 80 60 40 20 0 1 3 5 7 得分 9 11 13 系列2 系列1 文科18题立体几何
文科19题概率统计 30 25 20 15 10 5 0 10 12 0 2 4 6 8 得分
1. 试卷的结构充分体现了课改区的命题原则 本次试卷的结构充分体现了课改区的命题原则:超量命题，限量答题．1～21 题继承了 前两年命题的风格，文科选做题今年有所变化，三道选做题是文理同题，考生都可从 22～ 24 题中任选一题作答．22 题为几何证明选讲，23 题为极坐标与参数方程，24 题为不等式选 讲，每题 10 分． 2．试题重视对基础知识、基本技能的考查，试题创新力度加大． 2009 年高考数学试题注重基础，强调通法，不偏不怪．选择填空题对基础知识、基本技 能的考查，循序渐进，层次清晰，16 个小题总体立意简明，内涵丰富，覆盖面广，有很强
1.1
0.2 1 0.1 3 0.6 0 0.28
0.1
12
0.1
36
30
0.5
52
42
150
（二） ．试卷定性分析
纵观整份试卷，给人以“稳中求新”的感觉，体现了数学的基础性、应用性和工具性， 以重点知识主干线来挑选合理背景构建试题的主体， 试卷对新课程中新增内容和传统内容有 机结合的考查更加科学、规范和深化，更加重视数学思想与方法的考查，并加大了对创新意 识和新课程中的研究性学习与综合实践的考查力度， 充分体现新课程理念这份试卷具有以下 特点：
22.6/17
0.25/0.1
必考解答题 5 个，选考解答题 1 个 全卷 53 55 ． 44/ 5
9 0.37/0.3
注:理科第二卷平均分与去年相比，下降了 2.5 分，其中填空题下降 1.76 分，解答题 17 题下降 4.85 分，选做题下降 1.03 分，其他题略有上升或与去年持平． 表四：文科主观题平均分及分段得分率统计表
得分率 0 题号 13 14 15 16 填空 得分率 0 题号 17 18 19 20 21 选做 73．2 74．4 27．9 63．9 60．6 73．8 2．9 18．2 3．0 11．5 8．5 3．3 3．3 2．5 2．1 6．1 9．0 3．1 3．3 1．6 0．5 2．3 9．4 2．2 2．1 0．6 18．9 2．4 2．1 6．9 1．4 0．4 4．8 10．3 3．7 4．7 1．00 1．7 21．0 2．2 5．6 3．2 1．3 0．2 6．3 0．8 0．8 0．8 1．6 0．2 10．0 0．3 0．1 0．7 2．0 0．1 2．9 0．2 0．0 0．4 1．6 0．1 2．02 0．2 0．0 0．8 1．8 0．02 0．70 0．00 0．0 2．08 0．02 0．05 0．02 0．00 1．46 0.48 4．12 1．16 1．23 1．1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 83．2 83．7 83．9 88．8 66．7 16．8 16．3 16．1 11．2 16．9 8．4 5．2 2．8 3．02 5 10 15 20 均分