1.1.1角的概念的推广4
高中数学_1.1.1 角的概念的推广教学设计学情分析教材分析课后反思
人教B版高中数学教科书必修4《角的概念的推广》教学设计【教材内容和学生情况分析】本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念，终边相同的角的表示方法。
树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念。
教学方法可以选为讨论法，通过实际问题，使角的推广变得更为必要，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，突出角的概念的理解与掌握。
通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的。
【教学目标】1.体会任意角的概念的形成过程；知道象限角的概念；能初步判断出一个角所在的象限。
2. 通过布置课前任务，培养学生搜集、处理信息的能力；通过教学，培养学生的观察分析能力；通过动手作图，让学生体会数形结合的思想，提高学生的动手能力；3.通过生活实例的应用，学生感悟数学的在生活中的广泛应用性；在任意角的相关概念形成过程中，培养学生用运动变化的观点来审视事物；【教学重点、难点】教学重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法。
教学难点：终边相同的角的表示。
【教学过程】一、问题情境（多媒体）：1．师：回忆：初中学过的角是如何定义的？生：展示课前预习结果。
共同复习初中角的定义：有公共端点的两条射线所围成的图形。
师：这种概念的优点是形象、直观、容易理解，角的范围是0°≤α≤360°，但其仅从图形的形状来定义角，弊端在于“狭隘”。
设计意图：检测学生课前自学情况，巩固初中所学的角的知识。
师：初中学过哪些角？它们的大小、范围是多少？生：共同回答。
二、导入新课（多媒体）：观看动画，动画中有角产生吗？这些角还是0-360°？师：生活中是否很多实例会不在范围0°≤α≤360°内呢？生：观看动画。
高中数学 1.1.1 角的概念的推广配套课件 新人教B版必修4
2．过程与方法
易 错
法
易
分 析
借助于角、直角坐标系和单位圆等工具来引导学生了解
误 辨
析
教 任意角的概念，引导学生用数形结合的思想方法来认识问题．
学
当
方
案
3．情感、态度与价值观
堂 双
设
基
计
(1)通过对角的概念的探究提高学生的推理能力．
达 标
课
前 自
(2)通过本节学习和运用实践，培养学生应用意识，体会 课
易 错 易 误 辨 析
当 堂 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
菜单
RB ·数学 必修4
易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
【提示】 终边可能落在坐标轴上或四个象限内．
堂
互
动
探
究
教 师 备 课 资 源
菜单
RB ·数学 必修4
教
学
易
教
错
法
易
分
误
析
辨
析
教
学 方
平面内任意一个角都可以通过移动，使角的 顶点 与坐标
当 堂
案
双
设 计
原点重合，角的 始边与 x 轴正半轴重合，这时角的 终边在
基 达
标
课 前
第几象限，就把这个角叫做第几象限的角．
堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
人教B版 角的概念的推广
1.1.1 角的概念的推广一、学习目标1、 理解任意角的概念，并会用“旋转”定义角的概念；2、 理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
二、复习引入：初中角的定义是什么？三、概念形成角的概念的推广⑴一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按 旋转到另一个位置OB ，就形成角α。
旋转开始时的射线OA 叫做 ，旋转终止的射线OB 叫做 ，射线的端点O 叫做 。
⑵正角是 ，负角是 ， 零角是 ，转角是 。
注：引入正角、负角的概念以后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即，αβ-可以转化为 。
这就是说 。
即学即练：经过2个小时，分针转过的角度是多少？时针呢？⑶象限角：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 重合，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）即学即练：30︒是第几象限角？390︒是第几象限角？330︒-，300︒，60︒-，585︒，2000︒-又分别是第几象限角？⑷终边相同的角① 观察390,330︒︒-的角，它们的终边与30︒角有什么关系？② 终边与30︒相同的角都可以表示成 。
③所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合 ， 即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成 。
四、典型例题1、已知30AOC ︒∠=，若终边OA 绕端点顺时针旋转60︒，则AOC ∠是多少？顺时针旋转90,120,180,300︒︒︒︒呢？并找出它们分别在第几象限。
（若逆时针旋转呢？）2、在0~360︒︒范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限的角：(1)120︒-； (2)750︒； (3) 270︒-； (4)72115'︒-3、写出终边落在x 轴，y 轴上，直线0x y +=以及直线0x y -=上的角的集合。
4、 分别写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中满足不等式360720β︒︒-≤<的元素β写出来；(1) 30︒； (2) 90︒-； (3) 720︒五、快乐体验1、设集合A ={锐角}，B ={小于90︒}，C ={第一象限的角}，D ={小于90︒的正角}，则下列等式成立的是( )(A) A =B (B) B =C (C) A =C (D) A =D2、角α的终边经过点M （0，-3），则α（ ）A 是第三象限的角B 是第四象限的角C 既是第三象限的角又是第四象限的角D 不是任何象限的角3、若α为锐角，180()k k Z α︒∙+∈所在的象限是（ ）A 第一象限B 第二象限C 第一、二象限D 第一、四象限4、集合{30,}A k k Z αα==∙︒∈与{6030,}B n n Z ββ==∙︒+︒∈的关系是 A A B ⊂ B A B ⊃ C A=B D A B ⊆。
1.1.1角的概念
角的概念1.角是一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.按逆时针方向旋转形成的角叫正角.按顺时针方向旋转形成的角叫负角.如果一条射线没作任何旋转，我们称它形成了一个零角.其中正角、负角、零角统称为任意角.2.在直角坐标系中研究角时，如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.若角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.3.所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合，{β|β=α+k·360°,k ∈Z },即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.4.终边落在x 轴非负半轴的角的集合为：{α|α=k·360°,k ∈Z }；终边落在y 轴非负半轴的角的集合为：{α|α=90°+k·360°,k ∈Z }；终边落在x 轴负半轴的角的集合为：{α|α=180°+k·360°,k ∈Z }；终边落在y 轴负半轴的角的集合为：{α|α=270°+k·360°,k ∈Z }；5.第一象限角的集合为：{α|k·360°＜α＜k·360°+90°,k ∈Z }；第二象限角的集合为：{α|k·360°+90°＜α＜k·360°+180°,k ∈Z }；第三象限角的集合为：{α|k·360°+180°＜α＜k·360°+270°,k ∈Z }；第四象限角的集合为：{α|k·360°+270°＜α＜k·360°+360°,k ∈Z }.一、角的概念的推广1.角：角可以看成是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形，旋转开始时的射线叫做角α的始边，旋转终止时的射线叫做角α的终边，射线的端点叫做角α的顶点.2.角的分类：正角、零角、负角.3.象限角：如果把角放在直角坐标系内来讨论，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角.α是第一象限角可表示为{α|2kπ＜α＜2kπ+2π,k ∈Z }； α是第二象限角可表示为{α|2kπ+2π＜α＜2kπ+π,k ∈Z }； α是第三象限角可表示为{α|2kπ+π＜α＜2kπ+23π,k ∈Z }； α是第四象限角可表示为{α|2kπ+23π＜α＜2kπ+2π,k ∈Z }.4.轴线角：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，如果角的终边落在坐标轴上，就称该角为轴线角.终边落在x 轴非负半轴上的角的集合可记作：α|α=2kπ,k ∈Z ；终边落在x 轴非正半轴上的角的集合可记作：α|α=2kπ+π,k ∈Z ;终边落在y 轴非负半轴上的角的集合可记作： {α|α=2kπ+2π,k ∈Z }; 终边落在y 轴非正半轴上的角的集合可记作：{α|α=2kπ+23π,k ∈Z }； 终边落在坐标轴上的角可表示为：{α|α=2πk ,k ∈Z }. 5.终边相同的角:所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{β|β=α+2kπ,k ∈Z }.二、弧度制1.角度制:规定周角的1360为1度的角，这种计量角的度量方法称为角度制.2.弧度的定义：规定圆弧上弧长等于半径的弧所对的圆心角为1弧度的角，即1360周角=1°，12π周角=1 rad.3.弧度与角度的换算:360°=2π rad;180°=π rad;1°=180πrad≈0.017 45 rad ； 1 rad=（180π）°≈57.30°=57°18′.4.弧长公式： l=|α|·r （其中r 为扇形的半径，α为扇形圆心角的弧度数）.5.扇形的面积公式：S 扇形=21l·r=21|α|r 2（其中r 为扇形的半径，α为扇形圆心角的弧度数）.知识导学要理解任意角概念，可通过创设情境：“转体720°，逆（顺）时针旋转”，从而知晓角有大于360°角、零角和旋转方向不同所形成的角等；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；再通过创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器.1.角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1-1-1.图1-1-12.角的概念的推广按逆时针方向旋转形成的角叫做正角,按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线没有作任何旋转,我们称它形成一个零角.如图1-1-2中的角是一个正角,等于750°,图1-1-3中,正角α=210°,负角β=-150°,γ=-660°.图1-1-2 图1-1-33.在直角坐标系内讨论角象限角:当角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴正半轴重合,如果角的终边在第几象限,就把这个角叫做第几象限角.4.终边相同的角所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示为角α与整数个周角的和.5.几个重要的角的集合(1)象限角的集合第一象限角的集合为{α|k·360°＜α＜90°+k·360°,k∈Z}={α|α=β+k·360°,0°＜β＜90°,k∈Z}.第二象限角的集合为{α|k·360°+90°＜α＜180°+k·360°,k∈Z}={α|α=β+k·360°,90°＜β＜180°,k∈Z}.第三象限角的集合为{α|180°+k·360°＜α＜270°+k·360°,k∈Z}={α|α=β+k·360°,180°＜β＜270°,k∈Z}.第四象限角的集合为{α|270°+k·360°＜α＜360°+k·360°,k∈Z}={α|α=β+k·360°,270°＜β＜360°,k∈Z}.(2)几种特殊角的集合终边落在x轴正半轴上的角的集合为{α|α=k·360°,k∈Z}.终边落在x轴负半轴上的角的集合为{α|α=k·360°+180°,k∈Z}.终边落在x轴上的角的集合为{α|α=k·180°,k∈Z}.终边落在y轴正半轴上的角的集合为{α|α=k·360°+90°,k∈Z}.终边落在y轴负半轴上的角的集合为{α|α=k·360°+270°,k∈Z}.终边落在y轴上的角的集合为{α|α=k·180°+90°,k∈Z}.终边落在坐标轴上的角的集合为{α|α=k·90°,k∈Z}.终边落在y=x上的角的集合为{α|α=k·180°+45°,k∈Z}.终边落在y=-x上的角的集合为{α|α=k·180°+135°,k∈Z}.终边落在y=±x上的角的集合为{α|α=k·90°+45°,k∈Z}.题组一：基础概念．【题目】．在直角坐标系中，作出下列各角：（1）360°（2）－270°（3）390°（4）－540°【解】．【题目】．设集合M={θ|θ为小于90°的角}，N={θ|θ为第一象限的角}，则M∩N 等于( )A．{θ|θ为锐角} B．{θ|θ为小于90°的角}C．{θ|θ为第一象限角} D．以上均不对解：小于90°的角由锐角、零角、负角组成.而第一象限角包括锐角及终边在第一象限的角.M∩N由锐角及其终边在第一象限的负角组成.故选D.提示（1）上述几个概念用起来容易混淆，要加以辨别，搞清它们之间的关系. （2）角的集合还常与集合的交、并、补运算联合起来命题，是知识点的交汇，欲引起注意.．【题目】．下列各命题正确的是( )A．终边相同的角一定相等B．第一象限角都是锐角C．锐角都是第一象限角D．小于90°的角都是锐角解析：可根据各种角的定义,利用排除法予以解答.对于A,-60°和300°是终边相同的角,它们并不相等,应排除A.对于B,390°是第一象限角,可它不是锐角,应排除B.对于D,-60°是小于90°的角,但它不是锐角,∴应排除D.综上,应选C.答案：C．【题目】．下列命题中，正确的是（）A．终边相同的角一定相等B．锐角都是第一象限角C．第一象限的角都是锐角D．小于90°的角都是锐角解析：终边相同的两个角彼此相差360°的整数倍，它们可能相等也可能不等，所以排除A;第一象限的角是指{α|k·360°＜α＜k·360°+90°，k∈Z}，所以锐角组成的集合是第一象限的角所成集合的子集，故C错;小于90°的角也可以是负角，因此D错；因此正确的答案为B.答案：B．【题目】．给出下列四个命题：（1）小于90°的角是锐角；（2）钝角是第二象限角；（3）第一象限角一定是负角；（4）第二象限角必大于第一象限角。
1.1.1角的概念扩展
角的概念推广以后，它包括任意大小的正
角、负角和零角．
要注意，正角和负角是表示具有相反意义 的旋转量，它的正负规定纯属于习惯，就好象 与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好
象数零无正负一样．
用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋
转中心、旋转方向和旋转量） （1）旋转中心：作为角的顶点. （2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针 和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根 据以往的经验，我们可以把一对意义相反的 量用正负数来表示，那么许多问题就可以解 决了；
1770=305×360 (k=－5)
⑶ 结论： 所有与终边相同的角连同在内可以构 成一个集合：{β| β=α+k· 360º }(k∈Z) 即：任何一个与角终边相同的角，都可 以表示成角与整数个周角的和
⑷注意以下四点：
① k∈Z；
② 是任意角；
③ k· 360º 与之间是“+”号，如k· 360º －30º ,应
6、若α是第四象限角，则180º －α是（ C ） A 第一象限角 B 第二象限角 C 第三象限角 D 第四象限角
7、在直角坐标系中，若α与β终边互相垂直，
那么α与β之间的关系是（ D ）
A. β=α+90o
B β=α±90o
C β=k· 360o+90o+α,k∈Z
D β=k· 360o±90o+α, k∈Z
它是第二象限角．
例2. 写出与下列各角终边相同的角的集合S，
并把S中在－360º ~720º 间的角写出来：
(1) 60º ；(2) －21º ；(3) 363º 14′.
解：(1) S={β| β=k· 360º +60º (k∈Z) }, S中在－360º ～720º 间的角是 －1×360º +60º =－300º ； 0×360º +60º =60º ； 1×360º +60º =420º ．
1.1.1角的概念的推广
第一章基本初等函数（Ⅱ）1.1.1角的概念的推广课前自主学习学习目标1.知道用运动变化的官邸啊了解角的概念和推广，能正确区分正角、负角和零角.2.学会正确区分象限角与终边在坐标轴上的角，知道终边相同的角的表示方法，并能判断角的终边的位置.知识梳理知识点1：任意角的概念正角、负角、零角是怎样定义的？思考1零角的终边和始边重合，如果一个叫得终边和始边重合，那么这个角一定是零角吗？知识点2：终边相同的角对于任意一个角α，与它终边相同的角的集合应如何表示？思考2终边相同的角有什么特点?知识点3：象限角象限角是如何定义的？思考3任意一个角都是象限角吗？课前体验1.下列角中终边与330°相同的角是（）A．30° B．-30° C．630° D．-630°2.－1120°角所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3.把－1485°转化为α＋k·360°（0°≤α＜360°, k∈Z）的形式是（）A．45°－4×360°B．－45°－4×360°C．－45°－5×360°D．315°－5×360°4.写出-720°到720°之间与-1068°终边相同的角的集合___________________．课堂互动探究问题探究1. 锐角是第一象限角吗？第一象限角是锐角吗？为什么？2. 对于直角坐标系中任意一条射线OB ，以它为终边的角是否唯一?如果不惟一,那么终边相同的角有什么关系?3.若α是第二象限的角，那么2α是第几象限的角？典例剖析例1. 在0360︒︒~范围内，找出与角终边相同的角，并判定它是第几象限角.（注：0360︒︒－是指0360β︒︒≤<）解题反思：终边相同的角如何表示？如何找出与95012'︒－终边相同的角？例2. 写出终边在y 轴上的角的集合.解题反思：1.在0360︒︒~范围内，终边在y 轴上的角有几个？与这几个个角终边相同的角的集合可以合并吗？2.你能写出终边在x 轴上，终边坐标轴上的角的集合吗？第一、二、三、四象限角的集合呢？例3.若α是第二象限角，则α2，2α分别是第几象限的角？ 解题反思：α是第二象限角，如何表示？由α的取值范围，来确定2α，2α的取值范围？规律方法总结（1）判断一个角是第几象限角，只要把改写成，，那么在第几象限，就是第几象限角，若角与角适合关系：，，则、终边相同；若角与适合关系：，，则、终边互为反向延长线．判断一个角所有象限或不同角之间的终边关系，可首先把它们化为：，这种模式（），然后只要考查的相关问题即可．另外，数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法．（2）要注意某一区间内的角和象限角的区别，象限角是由无数各区间角组成的；要学会正确运用不等式进行角的表述同时要会以k取不同的值讨论型如θ=a+k×1200（k∈Z）所表示的角所在的象限。
角与角的概念
1．1．1 角的概念的推广1．角(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)图示，称它形成了一个零角2．象限角:是第几象限的角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角:所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k·360°，k ∈Z }，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．1．与405°角终边相同的角是( )A ．k ·360°－45°，k ∈Z B ．k ·180°－45°，k ∈ZC ．k ·360°＋45°，k ∈ZD ．k ·180°＋45°，k ∈Z2．若α＝45°＋k ·180° (k ∈Z )，则α的终边在( )A ．第一或第三象限 B ．第二或第三象限C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限3．设A ＝{θ|θ为锐角}，B ＝{θ|θ为小于90°的角}，C ＝{θ|θ为第一象限的角}，D ＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( )A ．A ＝B B ．B ＝C C ．A ＝C D ．A ＝D4．若α是第四象限角，则180°－α是( )A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角 D ．第四象限角5．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°2±45°，k ∈Z ，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°4±90°，k ∈Z ，则M 、P 之间的关系为( ) A ．M ＝P B ．M P C ．M P D ．M ∩P ＝∅6．已知α为第三象限角，则α2所在的象限是( )A ．第一或第二象限 B ．第二或第三象限 C ．第一或第三象限 D ．第二或第四象限7．若角α与β的终边相同，则α－β的终边落在______．8．经过10分钟，分针转了________度．9．如图所示，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是_____________________．10．若α＝1 690°，角θ与α终边相同，且－360°<θ<360°，则θ＝________．11．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′．12．如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．13．如图所示，写出终边落在直线y ＝3x 上的角的集合(用0°到360°间的角表示)．14．设α是第二象限角，问α3是第几象限角？弧度制和弧度制与角度制的换算1．角的单位制(1)角度制：规定周角的1360为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． (2)弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad ．(3)角的弧度数求法：如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么l ，α，r 之间存在的关系是：____________；这里α的正负由角α的终边的旋转方向决定．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．2．角度制与弧度制的换算31集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π±π2，k ∈Z 的关系是()A ．A ＝B B ．A ⊆B C ．B ⊆A D 以上都不2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A ．2 B ．sin 2 C ．2sin 1D ．2sin 1 3．扇形周长为6 cm ，面积为2 cm 2，则其中心角的弧度数是( )A ．1或4B ．1或2C ．2或4D ．1或54．已知集合A ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 等于( )A ．∅B ．{α|－4≤α≤π}C ．{α|0≤α≤π}D ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}5．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是( )A ．π4 B ．－π4 C ．34π D ．－34π 6．扇形圆心角为π3，半径长为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) A ．1∶3 B ．2∶3 C ．4∶3 D ．4∶97．将－1 485°化为2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式是________．8．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为____．9．若2π<α<4π，且α的终边与－7π6角的终边垂直，则α＝______． 10．若角α的终边与角π6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝__________． 11．把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角：(1)－1 500° (2)236π (3)－4 12．已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？13．已知一圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么其圆心角的弧度数的绝对值为________．14．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R ．(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c (c >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？1.2.1 三角函数的定义1．任意角三角函数的定义2．六种三角函数值在各象限的符号3．三角函数的定义域1．若α的终边与y 轴重合，则α的六种三角函数中，函数值不存在的是( )A ．sin α与cos αB ．tan α与cot αC ．tan α与sec αD ．cot α与csc α2．点A (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，则y x 的值为( )A ． 3 B ．－ 3 C ．33 D ．－333．若sin α<0且tan α>0，则α是( )A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角 D ．第四象限角4．角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－35，则b 的值为( )A ．3 B ．－3 C ．±3 D ．5 5．已知x 为终边不在坐标轴上的角，则函数f (x )＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |tan x的值域是( ) A ．{－3，－1,1,3} B ．{－3，－1}C ．{1,3} D ．{－1,3}6．已知点P ⎝⎛⎭⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A ．π4 B ．3π4 C ．5π4 D ．7π47．若角α的终边过点P (5，－12)，则sin α＋cos α＝______．8．已知α终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a 的取值范围为________．9．代数式：sin 2cos 3tan 4的符号是________．10．若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝________．11．判断下列各式的符号：(1)sin α·cos α(其中α是第二象限角)；(2)sin 285°cos(－105°)；(3)sin 3·cos 4·tan(－23π4)． 12．已知角α终边上一点P (－3，y )，且sin α＝34y ，求cos α和tan α的值．13．若θ为第一象限角，则能确定为正值的是( )A ．sin θ2 B ．cos θ2 C ．tan θ2D ．cos 2θ 14．已知角α的终边上一点P (－15a,8a ) (a ∈R 且a ≠0)，求α的各三角函数值．1.2.22．角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为( )A ．π4B ．3π4C ．7π4D ．3π4或7π43．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是( )A ．sin α＋cos α>1B ．sin α＋cos α＝1C ．sin α＋cos α<1D ．不能确定4．利用正弦线比较sin 1，sin 1．2，sin 1．5的大小关系是( )A ．sin 1>sin 1．2>sin 1．5B ．sin 1>sin 1．5>sin 1．2C ．sin 1．5>sin 1．2>sin 1D ．sin 1．2>sin 1>sin 1．55若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12，则角α的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－π3，π3B ．⎝⎛⎭⎫0，π3C ．⎝⎛⎭⎫5π3，2π D ．⎝⎛⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫5π3，2π 6．如果π4<α<π2，那么下列不等式成立的是( )A ．cos α<sin α<tan α B ．tan α<sin α<cos α C ．sin α<cos α<tan α D ．cos α<tan α<sin α7．在[0,2π]上满足sin x ≥12的x 的取值范围为____________8．集合A ＝[0,2π]，B ＝{α|sin α<cos α}，则A ∩B ＝__ 9．不等式tan α＋33>0的解集是______________．10．求函数f (x )＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________． 11．在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合．(1)sin α≥32； (2)cos α≤－12． 12．设θ是第二象限角，试比较sin θ2，cos θ2，tan θ2的大小． 13．求下列函数的定义域．f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝⎛⎭⎫sin x －22． 14．如何利用三角函数线证明下面的不等式？当α∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，求证：sin α<α<tan α．1．2．1 三角函数的定义1．C 2．B3．C 4．A5．D 6．D 7．－7138．－2<a ≤3 9．负号10．2 11．解 (1sin α·cos α<0．(2)sin 285°·cos(－105°)>0．(3)sin 3·cos 4·tan ⎝⎛⎭⎫－23π4<0． 12．解 sin α＝y 3＋y 2＝34y ．当y ＝0时，sin α＝0，cos α＝－1，tan α＝0． 当y ≠0时，由y 3＋y 2＝3y 4，解得y ＝±213．当y ＝213时，P ⎝⎛⎭⎫－3，213，r ＝433． ∴cos α＝－34，tan α＝－73．当y ＝－213时，P (－3，－213)，r ＝433∴cos α＝－34，tan α＝73． 13．C 14．解 ∵x ＝－15a ，y ＝8a ，∴r ＝(－15a )2＋(8a )2＝17|a | (a ≠0)．(1)若a >0，则r ＝17a ，于是sin α＝817，cos α＝－1517，tan α＝－815． (2)若a <0，则r ＝－17a ，于是sin α＝－817，cos α＝1517，tan α＝－815． 弧度制和弧度制与角度制的换算1．A2．C 3．A 4．C 5．D 6．B 7．－10π＋74π 8．25 9．73π或103π 10．－11π3，－5π3，π3，7π311．解 (1)是第四象限角．2)是第四象限角．(3)第二象限角．12．解 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r ．∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100． ∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010＝2 rad ． 13．42 设圆半径为r ，圆心角为θ，则内接正方形的边长为2r ，圆弧长为42r ．∴|θ|＝42r r＝42． 14(1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓，∵α＝60°＝π3，R ＝10，∴l ＝αR ＝10π3(cm)． S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－12×102×sin 60°＝50⎝⎛⎭⎫π3－32 (cm 2)． (2)扇形周长c ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴α＝c －2R R ，∴S 扇＝12αR 2＝12·c －2R R ·R 2＝12(c －2R )R ＝－R 2＋12cR ＝－(R －c 4)2＋c 216．当且仅当R ＝c 4，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是c 216． 角的概念的推广1．C 2．A 3．D 4．C 5．B 6．D 7．x 轴的正半轴8．－609．{α|k ·360°－45°≤α≤k ·360°＋120°，k ∈Z }10．－110°或250°11．(1)是第三象限角．(2)是第四象限角．(3)是第二象限角．12．①{α|k ·360°＋30°≤α<k ·360°＋105°，k ∈Z }．②{α|k ·360°＋210°≤α<k ·360°＋285°，k ∈Z }．∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k ·180°＋30°≤α<k ·180°＋105°，k ∈Z }．13．{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z }．14．第一、二、四象限角。
1.1.1 角的概念的推广
张喜林制1.1.1 角的概念的推广考点知识清单1．角角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形，射线的端点叫做____；旋转开始时的射线叫做 ；旋转终止时的射线叫做____． 2．正角、负角和零角一条射线绕着它的端点，按 旋转形成的角叫做正角；按 一旋转形成的角叫做负角；如果一条射线 旋转，称它形成了一个零角．3．象限角在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与一，角的终边落在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角．注意：终边落在坐标轴上的角不属于任一象限．4．终边相同的角所有与角a 终边相同的角，连同角a 在内，可构成一个集合一，即任一与角任终边相同的角，都可以表示成角a 与整数个周角的和．5．(1)当射线绕其端点按照逆时针方向或按照顺时针方向旋转时，旋转的绝时量可以是____．在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量．旋转生盛的角，常叫做 (2)各角和的旋转量等于各角 一， 要点核心解读1．角的概念的理解 ．角可以看做是平面内j 条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形，其中逆时针旋转形成正角，顺时针旋转 转形成负角，没有旋转形成零角， 2．终边相同的角 ． 设a 是任意角，所有与a 终边相同韵角以及a 本身相成一 个集合，这个集合记为},360|{Z k k S ∈⋅+== αββ3．在直角坐标系内讨论角（象限角，象限界角） (1)象限角 当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴正半轴童合， 角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角，如300,420,30-o角都是第一象限的角；,480,124240-角都是第二象限的角o 150,570,210-角都是第三象 限的角，o o o 45660,300-角都是第四象限的角．(2)象限界角（轴线角） ‘当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴正半轴重合， 角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，称之为象 限界角．如,270,180,90,360,270,180,90,0o o o o ---o 360-等都是象限界角．4．几个重要角的集合(1)象限角的集合 第一象限角的集合 第二象限角的集合=∈⋅+<<⋅},36090360|{Z k k k o αα ⋅∈<<⋅+=},900,360|{z k k ββαα第三象限角的集合,36018036090|{o k k ⋅+<<⋅+ αα=∈}z k⋅∈<<⋅+=},18090;360|{Z k k ββαα第四象限角的集合+<<⋅+ 270360180|{ααO o k=∈⋅},360z k k⋅∈<<⋅+=},270180,360|{z k k o ββαα(2)象限界角的集合+<<⋅+ 03360270||6ααk =∈⋅},360z k k⋅∈<<⋅+=},360270,3601{Z k k o o ββαα终边落在x 轴正半轴上的角的集合为 终边落在x 轴负半轴上的角的集合为⋅∈⋅=},3|{z k k o ωαα终边落在x 轴上的角的集合为+⋅=o k 360|{αα }.,180z k o ∈终边落在y 轴正半轴上的角的集合为⋅∈⋅=},180|{z k k αα终边落在y 轴负半轴上的角的集合为+⋅= 03|{6k αα }.,90z k o ∈终边落在y 轴上的角的集合为+⋅= 360|{k αα},270z k ∈终边落在坐标轴上的角的集合为⋅∈+⋅=},90180|{z k k αα典例分类剖析⋅∈⋅=},90|{Z k k αα考点1概念辨析问题命题规律’ 给出对基本概念的不同理解或不同表述，判断或选择正确结论． [例1]下列说法正确的是( )．A ．终边相同的角一定相等C ．第一象限的角都是锐角D ．小于90。
1.1.1 角的概念的推广
鸡西市第十九中学学案
如图，一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点
就形成角α. 旋转开始时的射线OA叫做角的
叫做叫α的顶点.初中所研究的角的范围为
【复习二】举例实际生活中是否有些角度超出初中所学的范围？
①体操比赛中术语：“转体720o”（即转体
②时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？（
小结：角的终边在坐标轴上，属于哪一个象限？
思考：与60°终边相同的角有、、…都可以用代数式表示为那么，与α终边相同的角如何表示？
新知：与α角终边相同的角,都可用式子k×360°＋α表示，k∈Z
3.写出终边在直线y=－。
1.1.1角的概念的推广—任意角
【课题】 1.1．1 角的概念的推广-任意角【学习目标】:理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念.【学习重点】：任意角概念的理解；区间角的集合的书写．【学习难点】:终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写．【教学用具】：直尺、三角板【学法指导】：自主学习；合作探究；能力提升（启发、引导、讨论）【课时】：【教学过程】：一、复习引入：1．角的定义①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．二、新知探究1探究角的有关概念2探究象限角的概念3探究终边相同的角的表示三、典例精析例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角．⑴ 60°；⑵ 120°；⑶ 240°；⑷ 300°；⑸ 420°；⑹ 480°；例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角．⑴－120°；⑵640 °；⑶－950°12＇．例4．写出终边在y轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ．y 上的角的集合S,并把S中适合不等式－360°例5．写出终边在x≤β＜720°的元素β写出来．四、课堂练习教材P5练习第1-5题五、总结提升1角的定义；2角的分类；3象限角；4终边相同的角的表示法．六、课后作业教材P.9习题1.1第1、2、3题【板书设计】【我的反思】。
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23
例2、在0°到360°范围内，找出与下列 各角终边相同的角，并判断它是哪个象限 的角？ （1）－120°（2）640 °（3）－950 ° 12' 解（1）-120°= -360 °+240 ° 所以与-120 °角终边相同的角是240 ° 角，它是第三象限角。
24
（2）640°=360°+280°
所在的象限是( C )
A.第一象限 B.第一、二象限
C.第一、三象限 D.第一、四象限
30
小结：
1.任意角 的概念
2.象限角
正角：射线按逆时针方向旋 转形成的角 负角：射线按顺时针方向 旋转形成的角 零角：射线不作旋转形成的角 1)置角的顶点于原点 2)始边重合于X轴的非负半轴
终边落在第几象限就是第几象限角
定义2：平面内一条射线绕着端点从一 个位置旋转到另一个位置所成的图形 叫做角。运动观点
B 终边
顶 点
记法：角 或
o
A
始边
可简记为
10
逆时针
规定：
任 意 角
顺时针
正角：按逆时针方向旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角
零角：射线不作旋转时形成的角
11
如图，以OA为始边的角α=210°，β=－ 150°。
1.1.1 角的概 念的推广
1
学习目标:
1.通过实例,理解角的概念推广的
必要性
2.理解任意角的概念，根据角的终边
旋转方向,能判定正角、负角和零角
3.学会建立直边
相同角的表示方法
2
教学难点: 把终边相同的角用集合和符号语言
正确地表示出来
教学重点:
解 S={β∣β= -45º + k· 360°,k∈Z}.
S中适合-720º ≤β＜ 360º 的 元素是: -45º 315º -405º
26
1.与-496°终边相同的角
是 -496°+k· 360° (k∈Z) ;
224° 它们中最小正角是_____ 它是第 三 象限的角;
27
2.下列命题中正确的是( D ) A.终边在y轴上的角是直角
3 . 终边与 角ａ相同的角
S { | k 360 , k Z}
o
31
所以与640°角终边相同的角是280°角， 它是第四象限角。 （3）-950°12’ = -3×360°+129°48' 所以与-950°12’ 角终边相同的角是 129°48 ’ 角，它是第二象限角。
25
模仿一下吧
写出与-45º 角终边相同的角的集合S, 并把S中适合不等式-720º≤β＜360º 的元素β写出来.
例如：角的终边落在X轴或Y轴上。
y y
o
x
o
x
18
1 .在直角坐标系中，作出下列各角 （1） 30° （2）120 ° （3）-60 ° （4） 225°
指出它们是第几象限角
30° 是第一象限角 120 °是第二象限角 -60 °是第四象限角 225° 是第三象限角
19
2. 在 同 一 直 角 坐 标 系 内 作 出 30° 、 390°、 -330°、 750°, 观察它们终 边的关系 390°= 1·360° 30°+＿＿＿
B.第二象限角一定是钝角
C.第四象限角一定是负角 D.若β＝α＋ｋ· 360°（ｋ∈Z），则α
与β终边相同
28
· 已知A={第一象限的角}, B={锐角},C={小于90º 的角},
则下列关系式正确的是( D )
A. A=B=C C. A∩C=B B. B∪C=A D. B∪C=C
29
· 若α是锐角,则k·180º+α, (k∈Z)
原点重合,始边与x轴的非负半轴
重合,那么角的终边在第几象限， 我们就说这个角是第几象限角.
16
象限角
终边
y o
终边
x 始边 终边
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
终边
要点 1)置角的顶点于原点 2)始边重合于X轴的非负半轴 终边落在第几象限就是第几象限角
17
2,轴线角 坐标轴上的角：
如果角的终边落在了坐标轴上，就认为 这个角不属于任何象限。
21
(四)角的关系:
终边相同的角的表示方法 一般地,所有与角α 终边相同的角，
连同角α 在内，可构成一个集合 S=｛β ︱β =α+k·360°,k∈Z｝ 即任何一个与角α终边相同的角,都可以
表示成角α与周角的整数倍的和.
22
注意以下四点：
(1)
(2) 是任意角；
k Z
(3)终边相同的角不一定相等，但相等 的角，终边一定相同，终边相同的角 有无数多个，它们相差360°的整数倍．
1.任意角的概念，象限角的概念
2.掌握终边相同的角的表示方法
及判定
3
一、角的定义 1 初中角的定义 静止观点 定义1：有公共端点的两条射线组成 的几何图形叫做角。
边
顶点 边
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初中学习过哪些角？ 锐角、直角、钝角、 平角、和周角
初中学习的角的范围？ 0º<α≤360º
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思考: 生活中的角是不是都在范围(00 ,3600 ]内
观察一组图片 1.钟表的指针旋转
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2.自行车的车轮周而复始地转动 一根辐条
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3.在跳水运动中，
“转体720º”、 “转体 1080º”等动
作名称的含义
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这些例子所提到的角不仅不在范围 (00 ,3600 ] 中，而且有的方向还不相同， 有必要将角的概念进行推广。 用运动的观点来看待角的变化。
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(＿＿＿ 1)·360° -330°=30°+ 750°= 30°+＿＿＿ 2·360° 归纳: 与30°终边相同的角的集合
｛β ︱β = 30°＋ k·360°,k∈Z｝
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写出与－60°终边相同的角的集合
｛β︱β= －60 °＋ k·360°,k∈Z｝ 写出与0°终边相同的角的集合
｛β︱β= 0 °＋ k·360°,k∈Z｝
2100
-1500
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1.从中午12点到下午3点，
-900 时针走过的角度是＿＿
2.钟表经过4小时，时针与
分针各转了_____________ -120º、 -1440º
看谁答得快
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画出750°、210°、－150°、－660°角
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(三)角的位置:
1.象限角 在直角坐标系内,角的顶点与