多面体欧拉定理的发现

多面体欧拉定理的发现【新课引入】让学生观察足球,提问：足球表面有哪些图形?足球表面有几个顶点,几条棱,几个面?以小组为单位，要求学生数一数足球的顶点数、面数及边数，填入数据统计表内。

看一看能否找到一些规律.【设计意图】从生活的实际问题引入,可以调节课堂气氛,激发学生的学习兴趣, 培养学生的观察能力和动手操作的能力,同时可以自然地过渡到数多面体的顶点数,面数,棱数.【新课讲解】1.尝试猜想:以小组为单位,要求学生自己再举一些多面体,数一数它们的面数,棱数,顶点数,把数据填入统计表内，看一看能否找出规律。

多面体顶点数面数棱数规律在个人思考、分组讨论的基础上，由小组的组长总结归纳规律：顶点数+面数-棱数=2教师指出这就是有名的欧拉公式:V+F E=2【设计意图】让学生学会分析、总结，从现象看到本质，掌握从特殊到一般的规律.同时可以培养学生的动手,创新能力和交流协作的能力。

2．介绍欧拉（利用电脑制作一段有关欧拉生平的录像）(大约1-2分钟)欧拉，瑞士数学家，16岁获硕士学位，毕生研究数学，是数学史上最“高产”的数学家，在世发表700多篇论文.欧拉的成功不是偶然，而是靠他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神。

既使在他双目失明后的17年间，也没有停止对数学的研究，口述了好几本书和400余篇的论文。

他的研究论著几乎涉及到所有数学分支，有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。

欧拉还是数学符号发明者，如用 f ( x )表示.函数、∑表示连加、i表示虚数单位、π、e等。

【注】更多介绍见最后【阅读材料】。

【设计意图】通过录像，声情并茂介绍大数学家欧拉，使学生能够更好地了解欧拉的科学精神与顽强地毅力,促进学生非智力因素地发展.3．构造反例先让学生举反例，如果学生举不出，教师用几何画板进行引导演示过程中，要求学生计算这些多面体的顶点数，面数，棱数，然后将数据填入下表中情况1：正方体挖去一个四棱锥（可以动画展示）如下图1图1情况2：拖动O点使之下移（可以动画展示）如下图2图3图2情况3：拖动O点使之上移（可以动画展示）如上图3情况4：侧面两个四棱锥挖掉多面体顶点数棱数面数顶点数+面数 棱数图1图2图3图4【设计意图】深入探究，完善猜想. 可以培养学生空间想象能力,表达能力及创造能力。

4．简单多面体概念的引入提问: 图3中的多面体与我们学过的多面体有什么不同？教师指出：欧拉研究多面体有一种创意，那就是假设它的表面是用橡胶薄膜做成的，然后充气，在连续变形且不破裂的前提下，把平面变成了曲面。

（多媒体演示）教师顺势得出简单多面体的概念。

5．完善猜想如何修正猜想?【设计意图】自然地引入简单多面体概念,同时让学生发现欧拉公式的适用范围,从而完善猜想.通过多媒体动态演示可以更好地理解简单多面体地概念.6．构建平台1：分析欧拉公式：V+F-E=2若棱数和面数都减少相同的数值，则V+F-E的值改变吗？若棱数和顶点数都减少相同的数值，则V+F-E的值改变吗？7．构建平台2：（1）让学生探求平面图形的V+F-E 的值 学生探讨：1.图形中每增加一个顶点，V+F-E 的值为多少2.图形中每减少一个顶点，V+F-E 的值为多少3.图形中每减少一条棱， V+F-E 的值为多少4.图形中每增加一个面， V+F-E 的值为多少图4V ＋F-E=18．欧拉公式的证明提问：现在给你任意一个简单多面体（如下图1），假想它的面也是用橡胶薄膜做成的,内部是空的. 如何证明V+F-E=2？（学生很可能回答不出来，此时教师可进行适当的引导）图8图7图6图5图4图3图2图1DABCCFGGG教师引导1：拉成平面图后（图2） ，它的V+F-E 的值为多少？如何证明平面图的V+F-E=1？能不能通过减少棱数来实现呢？教师引导2：在平面图2中,若去掉它周围的一条棱,)此时V+F-E 有变化吗? 这样可以逐步把 “周围”的棱一 一去掉,同时保持V+F-E 的值不变. 最后剩下什么图形(如图8),此时V+F-E 的值为多少?( V+F-E=1)【设计意图】通过平台1引导学生探讨欧拉公式，其目的是让学生明白同时减少棱数，面数或同时减少棱数，顶点数，V+F-E 的值不变。

通过平台2让学生自主的探讨平面图形的点，线，面的关系，其目的是让学生明白平面图形的V+F-E ＝1，空间问题平面化。

如果学生提出其它证法，可以讨论，辨别后作出评价。

9.归纳反思（1）欧拉公式的探索过程:发现－猜想－再发现－完善猜想－证明猜想 （2）新的几何领域：拓扑学 10. 欧拉公式的另一证明把“立体图”的面ABCDE 煎掉后，其余各面铺开。

展开后，各面的棱数和顶点数没有变，而多边形内角和 只与边数有关，所以多面体各个面内角总和不变。

展开后，各面的棱数和顶点数没有变，而多边形内角和 只与边数有关，所以多面体各个面内角总和不变。

设多面体F 个面，各面边数分别为1n ，2n ，…，F n ， 则内角总和为12()1802180F n n n F ++⋅-⋅+，设多面体有V 个顶点，底面是m 边形，则“展开图”有V m -个顶点在中间， 则内角总和为()180(2)180(2)180(2)360V m m m V -⋅+-⋅+-⋅=-⋅,∴12()1802180(2)360F n n n F V ++⋅-⋅=-⋅+，又∵122F n n n E ++=+，∴2V F E +-=．11．定理的意义（1）数学规律：公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律；（2）思想方法创新训练：在定理的发现及证明过程中，在观念上，假设它的表面是橡皮薄膜制成的，可随意拉伸；在方法上将底面剪掉，然后其余各面拉开铺平，化为平面图形（立体图→平面图）。

（3）引入拓扑新学科：“拉开图”与以前的展开图是不同的，从立体图到拉开图，各面的形状，以及长度、距离、面积、全等等与度量有关的量发生了变化，而顶点数，面数，棱数等不变。

事实上，定理在引导大家进入一个新几何学领域：拓扑学。

我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料（如橡皮波）做成的图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质。

（4）给出多面体分类方法：在欧拉公式中，令E F V p f -+=)(f (p)叫做欧拉示性数。

定理告诉我们，简单多面体的欧拉示性数f (p)=2。

除简单多面体外，还有不是简单多面体的多面体。

例如，将长方体挖去一个洞，连结底面相应顶点得到的多面体。

它的表面不能经过连续变形变为一个球面，而能变为一个环面，它的欧拉示性数为f (p)=16+16-32=0， 所以带一个洞的多面体的欧拉示性数等于零。

A B CD E A ' B 'C 'D 'E 'AD B 'CEA 'B C 'D 'E '【例题讲解】例1:欧拉定理在研究化学分子结构中的应用：1996年诺贝尔化学奖授予对发现60C 有重大贡献的三位科学家。

60C 是由60个C 原子构成的分子，它是形如足球的多面体。

这个多面体有60个顶点，以每一个顶点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，计算60C 分子中五边形和六边形的数目。

解：设60C 分子中有五边形x 个，六边形y 个。

60C 分子这个多面体的顶点数60V =，面数F x y =+，棱数1(360)2E =⨯⨯，由欧拉定理得：160()(360)22x y ++-⨯= （1），另一方面棱数可由多边形的边数和来表示，得11(56)(360)22x y +=⨯ （2），由（1）（2）得：12x =，20y =∴60C 分子中五边形有12个，六边形有20个。

例2：有没有棱数是7 的简单多面体？ 解：假设有一个简单多面体的棱数E=7． 根据欧拉公式得：V +F =E +2=9因为多面体的顶点数V ≥4，面数F ≥4，所以只有两种情形： V =4，F =5或V =5，F =4．但是，有4 个顶点的多面体只有4个面，而四面体也只有四个顶点．所以假设不成立， 没有棱数是7 的简单多面体例3．由欧拉定理证明：正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种。

证明：设正多面体的每个面的边数为n ，每个顶点连有m 条棱，令这个多面体的面数为F ，每个面有n 条边，故共有nF 条边，由于每条边都是两个面的公共边，故多面体棱数2nFE =（1） 令这个多面体有V 个顶点，每一个顶点处有m 条棱，故共有mV 条棱。

由于每条棱有两个顶点，故多面体棱数2mVE =（2） 由（1）（2）得：2E F n =，2E V m =代入欧拉公式：222E EE m n+-=．∴11112m n E+-= （3）， ∵又3m ≥，3n ≥，但m ，n 不能同时大于3，（若3m >，3n >，则有11102m n +-≤，即10E≤这是不可能的）∴m ，n 中至少有一个等于3．令3n =，则1111032m E+-=>， ∴116m >，∴5m ≤，∴35m ≤≤．同样若3m =可得35n ≤≤． 【阅读材料】欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家。

1707年4月15日出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭，自幼受父亲的教育，13岁入读巴塞尔大学15岁大学毕业，16岁获硕士学位，1783年9月18日于俄国彼得堡去逝。

欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。

他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学中的经典著作。

欧拉对数学的研究非常广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。

欧拉的惊人成就并不是偶然的,是他顽强意志的必然结果，他可以在任何不良的环境中工作，经常抱着孩子在膝上完成论文。

欧拉在28岁时，不幸一支眼睛失明，30年以后，他的另一只眼睛也失明了。

他双目失明以后，从没有停止过他的数学研究。

他以惊人的毅力和坚忍不拔的精神继续工作着，在他双目失明至逝世的十七年间，口述著作了几本书和400篇左右的论文。

由于欧拉的著作甚多，出版欧拉全集是十分困难的事情，1909年瑞士自然科学会就开始整理出版，直到现在还没有出完，计划是72卷。

在欧拉的886种著作中，属于他生前发表的有530本书和论文，其中不少是教科书。

他的著作文笔流畅、浅显、通俗易懂，读后引人入胜十分令读者敬佩。

尤其值得一提的是他编写的平面三角课本，采用的记号如,cos ,sin x x ……等等现今已经成为数学的国际语言。

欧拉1720年秋入读巴塞尔大学，由于异常勤奋和聪慧，受到约翰·伯努利的赏识，并给以特别的指导，在此期间欧拉同约翰的两个儿子尼古拉·伯努力和丹尼尔·伯努利也结成了亲密的朋友。