数学人教版九年级上册切线长定理三角形内切圆内心
人教版数学九年级(上)切线长定理三角形的内切圆内心PPT-公开课
【名师示范课】人教版数学九年级上 册 24.2.2切线长定理、三角形的内切圆、 内心课 件-公 开课课 件（推 荐）
例3. 如图，四边形ABCD的边 AB，BC，CD， DA和⊙O分别相切于L，M，N，P。
（1）图中有几对相等的线段？ （2）由此你能发现什么结论？ 为什么？
D
∵L，AMB，，BNC，，P是CD切，点D，A都与⊙O相切，P
下列图形有切线长吗
A
F
EO
CD
B
【名师示范课】人教版数学九年级上 册 24.2.2切线长定理、三角形的内切圆、 内心课 件-公 开课课 件（推 荐）
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内切圆和内心
• 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内 切圆
§24.2.2直线和圆的位置关系
-----切线长定理
教学目标： 1.理解切线长的概念，并可在图中识别切线长 2会推导切线长定理 3掌握切线长定理，并会利用它解决相关计算和证 明． 重点：切线长定理及应用 难点：培养学生分析总结问题的习惯 提高学生综合 运用知识解题的能力，培养数形结合的思想．
复习 （1）和圆有唯一公共点的直线叫 圆的切线 （2）圆的切线 垂直于 过切点的半径 （3）圆心到切线的距离 等于 半径
二探索
这是一位同学运动完后放的篮球，如果截它的 平面，那么你能从中发现什么几何知识呢？
P
A
B
地面
墙
经过圆外一
点可以有两
P
条直线与圆 相切
问题：过圆上一点可 以作圆的切线吗？可 以作几条？
O
P
问题：过圆内一点可 以作圆的切线吗？
初中数学人教版九年级上册切线长定理、三角形的内切圆、内心
圆的切线长定理的证明
证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点
∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°
∵ OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
试用文字语言叙述 你所发现的结论
∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB B
。
P
O
A
切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线， 它们的切线长相等，这一点和圆心 的连线平分两条切线的夹角。
切线长定理的基本图形的研究
A
PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线
OP交于⊙O于点D、E，交AB于C。
E
O CD
P
（1）写出图中所有的垂直关系 B
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
（2）写出图中与∠OAC相等的角 ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
（3）写出图中所有的全等三角形
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP （4）写出图中所有的等腰三角形
A
F E
B
D
C
拓展1：如图，△ABC中,∠C =90º,它的
内切圆O分别与边AB、BC、CA相切
于点D、E、F，且BD=12，AD=8，
则⊙O的半径r=？
A
D
F O
B
E
C
拓展2：如图，△ABC中,∠C =90º,它的内切圆 O分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F， 且AB=c，AC=b，BC=a,求⊙O的半径r. A
（2）连结OD 、OE，若∠P=40 °，则∠DOE=__7_0__°;
(180 k)
若∠P=k,∠DOE=______2_____ 度 。
人教版数学九年级上册《切线长定理、三角形的内切圆、内心》说课稿1
人教版数学九年级上册《切线长定理、三角形的内切圆、内心》说课稿1一. 教材分析人教版数学九年级上册《切线长定理、三角形的内切圆、内心》这一节主要介绍了切线长定理及其应用，三角形的内切圆和内心的性质。
通过这一节的学习，学生可以掌握切线长定理，了解三角形的内切圆和内心的性质，为后续学习圆的性质和解析几何打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识和三角形的相关性质，具备了一定的逻辑思维能力和图形直觉。
但是，对于切线长定理的理解和应用，以及内切圆和内心的性质，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解切线长定理的内涵，并通过具体的例子让学生感受内切圆和内心的性质。
三. 说教学目标1.知识与技能：学生能够理解切线长定理，掌握三角形的内切圆和内心的性质，并能运用切线长定理解决一些与三角形相关的问题。
2.过程与方法：通过观察、分析、推理等方法，引导学生发现并证明切线长定理，培养学生的逻辑思维能力和图形直觉。
3.情感态度价值观：通过学习切线长定理和三角形的内切圆、内心的性质，培养学生对数学的兴趣，提高学生对数学美的感受。
四. 说教学重难点1.教学重点：切线长定理的理解和应用，三角形的内切圆和内心的性质。
2.教学难点：切线长定理的证明，三角形内切圆和内心的性质的证明和应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、合作学习法等，引导学生主动探索、发现和证明切线长定理，提高学生的逻辑思维能力和图形直觉。
2.教学手段：利用多媒体课件、几何画板等辅助教学，直观展示切线长定理的证明过程和内切圆、内心的性质，增强学生的直观感受。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题引入切线长定理，激发学生的兴趣和好奇心。
2.新课导入：介绍切线长定理的定义和基本性质，引导学生通过观察和分析来发现切线长定理。
3.证明切线长定理：引导学生通过逻辑推理和几何画板辅助，证明切线长定理。
人教版数学九年级上册切线长定理、三角形的内切圆、内心课件[1]
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人教版数学九年级上册切线长定理、 三角形 的内切 圆、内 心课件
4.创设情境，导入新知
A
O·
P
在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之 间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
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（2）写出图中与∠OAC相等的角
∠1=∠2=∠3=∠4
（3）写出图中所有的全等三角形
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP （4）写出图中所有的等腰三角形 △ABP， △AOB
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跟踪训练：判断
1. 圆的切线长就圆的切线的长度。（ 错 ） 2. 过任意一点总可以作圆的两条切线。（错 ）
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典例讲解一
如图, AB、AC、BD是⊙O的切线, 切点 分别为P、C、D, 如果AB=5, AC=3, 求 BD的长.
探究切线与切线长的区别和联系：
区别
联系
切线
是直线，无法度
量。
切线长是
圆外一点与切点 切线上一 切线长 间的距离，可度 部分
量。
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观察与思考: 过圆外一点能作几条圆的切线？它们的切线长PA、 PB有怎样的数量关系？PO与∠APB又有怎样的关 系？（折一折，猜一猜，量一量，看还有什么结 论。）
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B
想一想：切线和切线长是什么关系？
比一比
A
O
P
B
切线和切线长是两个不同的概念： 1、切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 2、切线长是切线上圆外一点和切点线段的长， 可以度量。
人教版数学九年级上册24.2.2切线长 定理、 三角形 的内切 圆、内 心课件
探索发现
1、从⊙O外的一点P引两条切线PA，PB，
BD、CE的长。
解：设AE=x
(cm),3则cmAF=x
5cm
(cm)
4cm
CD=CE=AC﹣AE=13﹣x
A
BD=BF=AB﹣AF=9﹣x ∵ BD+CD=BC
x
x F9
9﹣x
E
∴（13﹣x）+（9﹣x）=14 13
O
B
解得 x = 4
因此 AE=4 cm
13﹣x
9﹣x
D14
BD=5 cm
13﹣x
24.2.2直线与圆的位置关系（3）
切线长定理
复习
1、切线的判定定理
经过半径的 外端 且
垂直于 这条半径的直线
是圆的切线.
.O
数学的符号语言：
l
∵OA是半径，OA⊥l于A.
A
∴l是⊙ O 的切线.
复习 2、切线的判定定理
圆的切线 垂直于 经过 切点的半径。
数学的符号语言： ∵L是⊙ O 的切线 切点为A ∴OA⊥l
人教版数学九年级上册24.2.2切线长 定理、 三角形 的内切 圆、内 心课件
知识点三 三角形的内切圆
从前面的知识我们可知：从圆外一点可以引圆的
两条切线。假如在其中一条切线上找一点，再向引
圆的切线，你发现了什么？ A
人教版数学九年级上册切线长定理、三角形的内切圆、内心精品课件PPT
PA = PB
∠OPA=∠OPB
人 教 版 数 学 九 年级 上册2 4.2.2： 切线长 定理、 三角形 的内切 圆、内 心 课 件
三：运用新知，解决问题;
已知⊙O切线PA、PB，A、B
为切点，AP=8cm, ∠BPA=600
E B
(1)则BP=
, ∠BPO= 。 C O
（2）你能求⊙O的半径吗？
五：课堂反思，师生小结
1.通过本节课的学习你学会了
哪些知识？ 2.掌握了哪些方法？ 3.还有哪些疑惑？
人 教 版 数 学 九 年级 上册2 4.2.2： 切线长 定理、 三角形 的内切 圆、内 心 课 件
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一：情境引入，激发兴趣
在一张三边分别是9cm，13cm，14cm的三角形纸 片上裁下一个圆形，使所裁得的圆尽可能大。请看动 画演示：其中哪一个圆是最符合要求的？
怎样画这个圆呢？
人 教 版 数 学 九 年级 上册2 4.2.2： 切线长 定理、 三角形 的内切 圆、内 心 课 件
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▪
5、人们都期望自我的生活中能够多 一些快 乐和顺 利，少 一些痛 苦和挫 折。可 是命运 却似乎 总给人 以更多 的失落 、痛苦 和挫折 。我就 经历过 许多大 大小小 的挫折 。
▪
6、我就经历过许多大大小小的挫折。 大海因 为有了 狂风的 袭击， 才显示 出了它 顽强的 生命力 ，它把 狂风化 成了朵 朵浪花 ，给人 们带来 美丽；
板书设计
切线长定理
定义：切线长
人教版数学九年级上册 切线长定理及三角形的内切圆
第二十四章圆24.2.2 直线和圆的位置关系第3课时切线长定理及三角形的内切圆学习目标：1.掌握切线长的定义及切线长定理.2.初步学会运用切线长定理进行计算与证明.3.认识三角形的内切圆及其有关概念，会作一个三角形的内切圆，掌握内心的性质.重点：1.掌握切线长的定义及切线长定理.2.认识三角形的内切圆及其有关概念，会作一个三角形的内切圆，掌握内心的性质.难点：初步学会运用切线长定理进行计算与证明.一、知识链接1.切线的判定定理和性质定理是什么？2.角平分线的判定定理和性质定理是什么？二、要点探究探究点1：切线长定理及应用问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如下图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？知识要点：1.切线长的定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．2.切线长与切线的区别在哪里？问题2 P A为⊙O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B．图中OB 是⊙O的一条半径吗？PB是⊙O的切线吗？P A、PB有何关系？⊙APO和⊙BPO有何关系？要点归纳：切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.推理验证已知：如图P A、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点.求证：P A=PB，⊙APO=⊙BPO.想一想：若连接两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.例1 已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切与点E、F、G、H.求证：AB+CD=AD+BC.变式训练如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB=10，CD=15，则四边形ABCD的周长为______．例 2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得P A=5cm，求铁环的半径．方法总结：切线长定理包括线段相等和角相等两个结论，解题时应有选择地应用，它是证明线段相等、角相等以及垂直关系的重要依据.练一练P A、PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，OA=3.(1)若AP=4，则OP= ；(2)(2) 若⊙BP A=60°，则OP= .探究点2：三角形的内切圆及作法互动探究小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？问题1 如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？问题2 如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？(1) 如果半径为r的⊙I与⊙ABC的三边都相切，那么圆心I应满足什么条件？(2) 在⊙ABC的内部，如何找到满足条件的圆心I呢？做一做已知：⊙ABC.求作：和⊙ABC的各边都相切的圆O.知识要点：1.与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心. 3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.探究点3：三角形的内心的性质问题1 如图，⊙O是⊙ABC的内切圆，那么线段OA，OB，OC有什么特点？问题2 如图，分别过点O作AB、AC、BC的垂线，垂足分别为E、F，G，那么线段OE、OF、OG之间有什么数量关系？知识要点：三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点.三角形的内心到三角形的三边距离相等.例3 如图，⊙ABC中，⊙ B=43°，⊙C=61°，点I是⊙ABC的内心，求⊙BIC的度数.例4 ⊙ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13，BC=14，CA=9，求AF、BD、CE的长.方法总结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.比一比：三、课堂小结切线长定义切线上一点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．切线长定理定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角.作用提供了证线段和角相等的新方法辅助线作法⊙分别连接圆心和切点；⊙连接两切点；⊙连接圆心和圆外一点.三角形内切圆有关概念与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三角角平分线的交点，叫做三角形的内心.三角形的内心到三角形的三边距离相等.应用运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.1.如图，PA、PB是☉O的两条切线，切点分别是A、B，若AP=4，∠APB= 40°，则∠APO= °，PB= .第1题图第2题图2.如图，☉O为△ABC的内切圆，AC=10，AB=8，BC=9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为☉O的切线，则△CDE的周长为________.3.如图，在△ABC中，点I是内心，(1)若∠ABC=50°，∠ACB=70°，则∠BIC= °；(2)若∠A=80 °，则∠BIC = °；(3)若∠BIC=100 °，则∠A = °；(4)试探索：∠A与∠BIC之间存在怎样的数量关系？当堂检测4.如图，在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC.5.如图，△ABC中，I是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.求证：DI＝DB.参考答案自主学习一、知识链接1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径2.角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角两边的距离相等.角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.课堂探究二、要点探究探究点1：切线长定理及应用问题1：连接OP，以OP的中点为圆心，OP的一半为半径作圆，与⊙O交于点A，B，连接P A，PB，直线P A，PB即为所求做的切线.过圆外的一点，可以作圆的两条切线.知识要点：⊙切线是直线，不能度量.⊙切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是 圆外一点和切点，可以度量．问题2：OB 是☉O 的一条半径，PB 是⊙O 的切线，P A =PB ，⊙APO =⊙BPO. 推理验证：证明：⊙P A 、PB 是☉O 的两条切线，⊙ OA ⊙P A ，OB ⊙PB . ⊙OA =OB ，OP =OP ，⊙Rt⊙OAP ⊙Rt⊙OBP ，⊙P A =PB ，⊙APO =⊙BPO . 想一想 解：OP 垂直平分AB .证明：⊙P A ，PB 是⊙O 的切线，点A ，B 是切点⊙P A = PB ，⊙OP A =⊙OPB⊙⊙P AB 是等腰三角形，PM 为顶角的平分线.⊙OP 垂直平分AB .典例精析例1 证明：⊙AB 、BC 、CD 、DA 与⊙O 分别相切与点E 、F 、G 、H ，⊙ AE =AH ，BE =BF ，CG =CF ，DG =DH .⊙ AE +BE +CG +DG =AH +BF +CF +DH .⊙AB +CD =AD +BC . 变式训练 50例2 解：设铁环的圆心为O ，连接OP 、OA.⊙AP 、AB 为⊙O 的切线，⊙OP ⊙AP ，⊙P AO =⊙BAO .又⊙⊙BAC ＝60°，⊙P AO ＋⊙BAO ＋⊙BAC ＝180°，⊙⊙P AO ＝⊙BAO ＝60°.⊙⊙POA ＝30°.在Rt⊙OP A 中，P A ＝5，⊙POA ＝30°，⊙OA =2P A =10，⊙OP =225 3.OA PA -=即铁环的半径为53cm.练一练： （1） 5 （2） 6 探究点2：三角形的内切圆及作法 问题1 最大的圆与三角形三边都相切问题2 圆心I 应是三角形的三条角平分线的交点.作三角形任意两个角的平分线，其交点即为所求作的圆心I . 做一做 作法：1.作⊙ABC 和⊙ACB 的平分线BM 和CN ，交点为O .2.过点O 作OD ⊙BC ，垂足为D .3.以O 为圆心，OD 为半径作圆O . ⊙O 就是所求的圆.探究点3：三角形的内心的性质问题1 OA ，OB ，OC 分别平分⊙CAB ，⊙ABC ，⊙BCA . 问题2 OE =OF =OG例3 解：连接IB ，IC .⊙点I 是⊙ABC 的内心，⊙BI ，CI 分别平分⊙ABC ，⊙ACB ，在⊙IBC 中，⊙BIC =180°-（⊙IBC +⊙ICB ）=180°-12(⊙ABC +⊙ACB )=180°-12（43°+61°）=128°. 例 4 解：设AF =x cm ，则AE =x cm.⊙CE =CD =AC -AE =9-x ，BF =BD =AB -AF =13-x .由 BD +CD =BC ，可得 (13-x )+(9-x )=14，解得x =4.⊙ AF =4cm ，BD =9cm ，CE =5cm.比一比：名称确定方法图形性质外心：三角形外接圆的圆心三角形三边中垂线的交点1.OA=OB=OC2.外心不一定在三角形的内部．内心：三角形内切圆的圆心三角形三条角平分线的交点1.到三边的距离相等；2.OA、OB、OC分别平分⊙BAC、⊙ABC、⊙ACB3.内心在三角形内部．当堂检测1.20 42.113.（1）120 （2）130 （3）20 （4）⊙BIC=90°+12⊙A4.方法①证明：连接OD，⊙AC切⊙O点D，⊙OD⊙AC，⊙⊙ODC=⊙B=90°.∵OD＝OB，OC＝OC，⊙Rt⊙ODC⊙Rt⊙OBC（HL）.⊙⊙DOC=⊙BOC.⊙OD=OE，⊙⊙ODE=⊙OED.⊙⊙DOB=⊙ODE+⊙OED，⊙⊙BOC=⊙OED，⊙DE⊙OC．方法②证明：连接BD，如图.⊙BC⊙AB，⊙BC切⊙O于点B，⊙AC切⊙O于点D，BC切⊙O于点B，⊙DC=BC，OC平分⊙DCB．⊙OC⊙BD．⊙BE为⊙O的直径，⊙DE⊙BD．⊙DE⊙OC．5.证明：连接BI.⊙I是⊙ABC的内心，AD平分⊙BAC，⊙ 点I在AD上，⊙ABI =⊙CBI.⊙⊙CBD=⊙CAD，⊙⊙BAD=⊙CBD.⊙⊙BID=⊙BAD+⊙ABI，⊙IBD=⊙CBI+⊙CBD，⊙⊙BID=⊙IBD.⊙BD=ID．。
人教版数学九年级上册24.2.3切线长定理课件(共26张PPT)
三角形外心、内心的区别：
名称
外心
内心
图形
性质
三角形的外心到三角形三个 三角形的内心到三角形
顶点的距离相等
三条边的距离相等
位置 外心不一定在三角形内部 内心一定OC=90°+
1 2
∠A
例2 如图， △ABC的内切圆⊙O与BC，CA， AB
分别相交于点D ， E ， F ，且AB＝9，BC ＝14，
CA ＝13，求AF，BD，CE的长.
解：设AF=x,则AE=x,
A
CD=CE=AC-AE=13-x,
E
BD=BF=AB-AF=9-x.
F
由BD+CD=BC,可得
(13-x)+(9-x)=14.解得，x=4. B
D
C
因此，AF=4，BD=5，CE=9.
随堂练习 1.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分 别相切于点D，E，F，且AB=11cm，BC=14cm， CA=13cm，则AF的长为( C ) A.3cm B.4cm C.5cm D.9cm
解：∵ 点O是△ABC的内心，
∴∠OBC= 1 ∠ABC= 1 ×50°=25°，
2
2
∴∠OCB= 1 ∠ACB = 1×75°=37.5° ，
2
2
∴∠BOC=180°-25°-37.5°=117.5° B
A O
C
【选自教材P100 练习 第2题】
5. △ABC的内切圆半径为r， △ABC的周长为l，求△ABC的
2.如图，点O是△ABC的内心，若∠BAC=86°， 则∠BOC=( C ) A.172° B.130° C.133° D.100°
3.如图，已知VP、VQ为⊙T的切线，P，Q为
人教版数学九年级上册24.2.2切线长定理、三角形的内切圆、内心教案
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《切线长定理、三角形的内切圆、内心》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在画图或制作模型时，是否遇到过需要求出某个点到三角形三边的距离？”这个问题与我们将要学习的内切圆的性质密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索三角形内切圆的奥秘。
-三角形内切圆的作法及其性质：学生需要了解内切圆的定义，掌握内切圆的作法，以及内切圆与三角形边、角的关系。
-内心的性质及其应用：学生应掌握内心的定义，理解内心与三角形的关系，并能够利用内心的性质解决几何问题。
举例：
-通过具体图形，演示切线长定理的推导过程，强调定理中的关键点，如切点、切线与半径的关系。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解三角形内切圆的基本概念。三角形内切圆是与三角形三边都相切的圆，它能够帮助我们解决与三角形边长和面积相关的问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何利用内切圆的性质来求解三角形的面积，以及它如何简化我们的计算过程。
-以实际操作的方式，让学生动手画出三角形的内切圆，并观察内切圆与三角形边、角的关系，突出内切圆的性质。
2.教学难点
-切线长定理的证明：理解并掌握切线长定理的证明过程对于学生来说是难点，需要教师通过直观演示和逻辑推理相结合的方式进行讲解。
-内切圆与内心的综合应用：在解决具体问题时，学生可能会难以将内切圆和内心的性质与问题相结合，需要教师引导和训练。
2.在教学中，将理论知识与实际问题相结合，能够激发学生的兴趣，提高他们解决实际问题的能力。
九年级数学上册《切线长定理三角形的内切圆内心》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.了解切线长定理的定义，能够运用定理解决实际问题。
2.熟悉三角形内切圆的概念，掌握内切圆半径的计算方法。
3.掌握三角形内心的定义，能够准确找出三角形的内心。
4.能够运用切线长定理和内切圆知识解决与三角形相关的问题。
1.学生对几何图形的观察能力和空间想象能力，引导他们通过观察、操作、思考等途径，逐步理解并掌握内切圆的性质。
2.学生在解决实际问题时，可能对切线长定理的应用感到困惑。教师需要通过典型例题的讲解和练习，帮助学生巩固知识，提高解题能力。
3.针对不同学生的学习水平和认知风格，教师应采取分层教学和个性化指导，使每位学生都能在课堂上获得成功的体验，增强学习信心。
4.小组合作，探讨以下问题：如何利用切线长定理解决三角形面积问题？请给出至少两种不同的解题方法，并说明各自的优势。
5.思考题：在一个等边三角形内，如何作出一个最大的内切圆？请给出具体的作图步骤，并解释为什么这是最大的内切圆。
6.撰写一篇关于切线长定理和三角形内切圆在生活中的应用的小短文，字数不限，要求内容真实、具体，体现数学在实际生活中的价值。
-设想二：利用几何画板动态演示内切圆半径的变化，帮助学生理解内切圆半径与三角形边长的关系。
2.创设问题情境，引导学生通过自主探究、小组合作等方式，发现并理解切线长定理。
-设想一：设计一系列层层递进的问题，引导学生从特殊三角形出发，探索切线长定理的形成过程。
-设想二：组织小组讨论，让学生在交流中碰撞思维火花，共同推导切线长定理的证明过程。
-设想一：根据学生的认知水平和学习风格，提供不同层次的指导，使学生在各自的基础上得到提高。
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让学生回忆三角 形角平分线的交 点到三边的距离 相等，为内切圆 的学习做准备。 回忆切线的判定 定理和性质定 理，为新课的学 习做铺垫。 。
活动 2： 1.观察图形中得切线， 哪一部分是 切线长，明确切线长的定义 2.布置动手操作： 在你手中的纸上 画出⊙O， 并画出过 A 点的唯一切 线 PA，•连结 PO，•沿着直线 PO 将纸对折，设圆上与点 A 重合的 点为 B，这时，OB 是⊙O 的一条 半径吗？PB 是⊙O 的切线吗？利 用图形的轴对称性，说明圆中的 PA 与 PB，∠APO 与∠BPO 有什么 关系？ 引导学生观察 二、探索 新知 从上面的操作几何我们可以得到 PA=PB，∠OPA=∠OPB． ：
三角形的内切圆 的定义学生不难 理解，而例题中 求 AF、BD、CE 的 长，学生可能会 无从下手．因此 让学生分组讨论 解题思路，并由 部分学生说出解 题思路。
学生通过画图， 结合切线长定 理，明确三角形 内切圆的圆心是 三条角平分线的 交点，再通过例 题巩固切线长定 理的运用，加强 解决问题的能 力。
角． 活动 4： .例题 1：如图，PA、PB 分别切圆 O 于 A、B，并与圆 O 的切线 CD， 分别相交于 C、 D， •已知 PA=7cm， 则△PCD 的周长等于多少？
例题的补充让学 生充分的理解切 线长定理的运 用，培养学生的 在老师的引导下 解决问题的能力 学生观察 PA 与 PB ， DA 、 CB 与 DC 有什么关系,
活动 6： 1.课本 98 页第 1 题 学生尝试，提高 四、练习 2．如图，已知⊙O 是△ABC 的内 升华 巩固，小 切圆， 切点为 D、 E、 F， 如果 AE=1， 结 CD=2 ， BF=3 ，且 △ABC 的面积为 6．求内切圆的半径 r．
通过练习，强化 学生主动参与、 合作交流的意 识，从中获取知 识，并会举一反 三。教师通过练 习，及时发现问 题，评价教学效 3.小结本课时 学生回忆、交流 果 这节课我们学到了哪些知识？你 完成。 能说说吗？ 强化本节知识点 4.作业：课本 103 页第 12 题
学生动手操作发 现两条切线长 PA 与 PB，的数量关 系，∠ APO 与∠ BPO 有 什 么 关一个自主探究的 过程，从而激发 学生的学习兴 趣，发现切线长 定理。
证明定理是为了 培养学生的数学 思维能力， “知其 活动 3： 然并知其所以 下面，我们给予逻辑证明． 在老师的引导下 然”。 如图， 已知 PA、 PB 是⊙O 的两条 学生对上述过程 切线． 总结，得出切线 求证：PA=PB，∠OPA=∠OPB． 长定理 证明：略 因此，我们得到切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切 线，它们的切线长相等，这一点 和圆心的连线平分两条切线的夹
三、归纳 认识，明 确切线长 定理与三 角形内切 圆的关系
活动 5： 结合切线长定理与所画得三角形 的角平分线有什么关系呢？ 从 而引出： 与三角形各边都相切的圆叫 做三角形的内切圆，•内切圆的圆 心是三角形三条角平分线的交 点，叫做三角形的内心． 课本 97 页例题： 例题 2：如图，△ABC 的内切圆⊙ O，与 BC、CA、AB 切点为 D、E、 F ， 且 AB=9cm ， BC=14cm ， AC=13cm，求 AF、BD、CE 的长．
教学环节 教师活动
预设学生行为
设计意图
活动 1： 演示课件：1.已知△ABC，作三个 内角平分线，说说它具有什么性 质？ 一、复习 2．直线和圆有什么位置关系？切 引入 线的判定定理和性质定理，它们 如何？ 并会用数学语言描述。 注意观察学生能否完成？
学生动手画三 角形三个内角平 分线 学生回忆切线的 判定定理和性质 定理，