《数学模型》分析
解析中考数学几何模型1：截长补短模型
中考数学几何模型1：截长补短模型有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或"差”及其比例关系. 这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解. 所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系. 所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等. 然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系. 有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解.例1、如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，点E为AD中点，且BC=AB+CD，求证：CE平分∠BCD．证明：在BC上截取BF=BA，连接EF．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠FBE．在△BAE和△BFE中，，∴△BAE≌△BFE．∴EF=AE．∵E是AD的中点，∴DE=AE=EF．又∵BC=AB+CD，BF=AB，∴CD=CF，∴．∴△CED≌△CEF（SSS），∴∠FCE=∠DCE，即CE平分∠BCD．分析：在BC上截取BF=BA．根据SAS证明△BAE≌△BFE．再证明△CEF≌△CED即可．点评：此题考查全等三角形的判定和性质，运用了截取法构造全等三角形进行证明，这是解决有关线段和差问题时常作的辅助线．变形1 如图，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点．求证：CE⊥BE．证明：延长CE，BA，相交于点F．∵AB∥CD，∴∠DCE=∠F，∠D=∠FAE．又∵DE=AE，∴△CDE≌△FAE（AAS），∴FA=CD=1，CE=FE．∵AB=2，BC=3，∴BC=3=BA+AF=BF ．∴CE ⊥BE ．分析：由已知AB ∥CD 和E 是AD 中点，不难想到作延长CE ，BA ，相交于点F 的辅助线．则得△CDE ≌△FAE ，得CE=CF ，结合结论CE ⊥BE 易联想到只需证BC=BF ，这容易从题中的数值中推得．变形2、如图，在△ABC 中，∠B=2∠C ，∠BAC 的角平分线交BC 于D ．求证：AB+BD=AC ．证明：在AC 取一点E 使AB=AE ，在△ABD 和△AED 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝∠EAD ，AD ＝AD∴△ABD ≌△AED ，∴∠B=∠AED ，BD=DE又∵∠B=2∠C ，∴∠AED=2∠C∵∠AED 是△EDC 的外角，∴∠EDC=∠C ，∴ED=EC ，∴BD=EC∴AB+BD=AE+EC=AC例2、已知△ABC 中，∠A=60°，BD ，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB ，BD 、CE 交于点O ，试判断BE ，CD ，BC 的数量关系，并说明理由．分析 在CB 上取点G 使得CG=CD ，可证△BOE ≌△BOG ，得BE ═BG ，可证△CDO ≌△CGO ，得CD=CG ，可以求得BE+CD=BC ．解：在BC 上取点G 使得CG=CD ，∵∠BOC=180°-21（∠ABC+∠ACB ）=180°-21（180°-60°）=120°，∴∠BOE=∠COD=60°，∵在△COD 和△COG 中，∴△CODF ≌△COG （SAS ），∴∠COG=∠COD=60°，∴∠BOG=120°-60°=60°=∠BOE ，∵在△BOE 和△BOG 中，∴△BOE ≌△BOG （ASA ），∴BE+CD=BG+CG=BC ．点评 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角、对应边相等的性质，本题中求证CD=CG 和BE=BG 是解题的关键．分析：延长BD 至E ，使BE=AB ，连接AE 、CE ，可得△ABE 是等边三角形，即可求得AC=AE ，可得∠ACE=∠AEC ，即可求得∠DCE=∠DEC ，可得DE=CD ，即可解题．变形1、 已知：△ABC 中，AB ＝AC ，D 为△ABC 外一点，且∠ABD ＝60°，∠ADB ＝90°﹣ ∠BDC ．试判 断线段 CD 、BD 与 AB 之间有怎样的数量关系？并证明你的结论AB=BD+CD ，证明1：延长CD 到E ，使DE=BD ，连接AE ，∵∠ADB=90°-21∠BDC ， ∴∠ADE=180°-（90°-21∠BDC ）-∠BDC=90°-21∠BDC ，∴∠ADB=∠ADE ，在△ABD 和△AED 中AD ＝AD∠ADB ＝∠ADE BD ＝DE∴△ABD ≌△AED （SAS ），∴∠E=∠ABD=60°，AB=AE ，∵AB=AC ，∴AE=AC ，∴△ACE 是等边三角形，∴AB=CE=CD+DE=BD+CD ．证明2：以AD 为轴作△ABD 的对称△AB ′D （如图），则有B ′D=BD ，AB ′=AB=AC ，∠B ′=∠ABD=60°，∠ADB ′=∠ADB=90°- 21∠BDC ，所以∠ADB ′+∠ADB+∠BDC=180°-∠BDC+∠BDC=180°，所以C 、D 、B ′在一条直线上，所以△ACB ′是等边三角形，所以CA=CB ′=CD+DB ′=CD+BD ．证明3：（1）AB=BD+CD ；（2）延长BD 至E ，使BE=AB ，连接AE 、CE ，∵∠ABD=60°，∴△ABE 是等边三角形，∴AE=AB ，∠AEB=60°，∵AB=AC ，∴∠ACE=∠AEC，∵∠ACD=60°，∴∠ACE-∠ACD=∠AEC-∠AEB，即∠DCE=∠DEC，∴DE=CD，∴BE=BD+DE=BD+CD，∴AB=BD+CD例题 3. 如图所示，在五边形 ABCDE 中，AB＝AE，BC+DE＝CD，∠ABC+∠AED＝180°，求证：DA平分∠CDE．分析：连接AC，延长DE到F，使EF=BC，连接AF，易证△ABC≌△AEF，进而可以证明△ACD ≌△AFD，可得∠ADC=∠ADF即可解题．证明1：连接AC，延长DE到F，使EF=BC，连接AF，∵BC+DE=CD，EF+DE=DF，∴CD=FD，∵∠ABC+∠AED=180°，∠AEF+∠AED=180°，∴∠ABC=∠AEF，在△ABC和△AEF中，AB=AE∠ABC=∠AEFBC=EF∴△ABC≌△AEF（SAS），∴AC=AF，在△ACD和△AFD中，AC=AFCD=FDAD=AD∴△ACD≌△AFD（SSS）∴∠ADC=∠ADF，即AD平分∠CDE．变形1 如图，在五边形ABCDE中，AB＝AE、BC＋DE＝CD，∠ABC＋∠AED＝180°．求证：AD平分∠CDE．证明2：如图．连结AC，将△ABC绕点A旋转∠BAE的度数到△AEF的位置．因为AB＝AE，所以AB与AE重合．因为∠ABC＋∠AED＝180°，∠AEF＝∠ABC，所以∠AEF＋∠AED＝180°．所以D、E、F三点在同一直线上，AC＝AF，BC＝EF．在△ADC与△ADF中，DF＝DE＋EF＝DE＋BC＝CD，AF＝AC，AD＝AD．所以△ADC≌△ADF(SSS)．因此∠ADC＝∠ADF，即AD平分∠CDE．思路解析：要证AD平分∠CDE，则需证∠ADC＝∠ADE；而∠ADC是在四边形ABCD中，∠ADE是在△ADE中，且已知BC＋DE＝CD，AB＝AE，∠ABC＋∠AED＝180°，这时想到，连结AC，将四边形ABCD分成两个三角形，把△ABC绕A点旋转∠BAE的度数到△AEF的位置，这时可知D、E、F在同一直线上，且△ADC与△ADF是全等的，因此命题即可证得．变形2 如图，△ABC 是等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，M 是 AB 延长线上一点， N 是 CA 延长线上一点，且∠MDN＝60°．试探究 BM、MN、CN 之间的数量关系，并给出证明．解：CN=MN+BM证明：在CN上截取点E，使CE=BM，连接DE，∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，又△BDC为等腰三角形，且∠BDC=120°，∴BD=DC，∠DBC=∠BCD=30°，∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠BCD=∠ECD=90°，在△MBD和△ECD中，，∴△MBD≌△ECD（SAS），∴MD=DE，∠MDB=∠EDC，又∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠EDN=∠BDC﹣（∠BDN+∠EDC）=∠BDC﹣（∠BDN+∠MDB）=∠BDC﹣∠MDN=120°﹣60°=60°，∴∠MDN=∠EDN，在△MND与△END中，，∴△MND≌△END（SAS），∴MN=NE，∴CN=NE+CE=MN+BM．变形3、如图①△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD=CD，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N，连接MN．（1）探究BM、MN、NC之间的关系，并说明理由．（2）若△ABC的边长为2，求△AMN的周长．（3）若点M是AB的延长线上的一点，N是CA的延长线上的点，其它条件不变，在图②中画出图形，并说出BM、MN、NC之间的关系．分析：（1）延长AC至E，使得CE=BM并连接DE，构造全等三角形，找到相等的线段MD=DE，再进一步证明△DMN≌△DEN，进而等量代换得到MN=BM+NC；（2）利用（1）中结论，将△AMN的周长转化为AB、AC的和来解答；（3）按要求作出图形，BM、MN、NC之间的关系是MN=NC-BM，理由为：先证△BMD≌△CED，再证△MDN≌△EDN（SAS），即可得证．解：（1）MN=BM+NC，理由如下：延长AC至E，使得CE=BM（或延长AB至E，使得BE=CN），并连接DE，如图1所示：∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，又BD=DC，且∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°，∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，∴∠MBD=∠ECD=90°，在△MBD与△ECD中，BD=CD∠MBD=∠ECDCE=BM∴△MBD≌△ECD（SAS），∴MD=DE，∠BDM=∠CDE，∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠BDM+∠CDN=60°，∴∠CDE+∠CDN=60°，即∠EDN=60°，∴∠EDN=∠MDN，在△DMN和△DEN中，ND=ND∠EDN=∠MDNMD=ED，∴△DMN≌△DEN（SAS），∴MN=EN=NC+CE=BM+NC；（2）利用（1）中的结论得出：△AMN的周长=AM+MN+ANAB--BM+MN+AC--NC=AB--CE+NE+AC--NCAB+AC=2+2=4；（3）按要求作出图形，如图2所示，（1）中结论不成立，应为MN=NC-BM，理由如下：在CA上截取CE=BM，∵△ABC是正三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，又∵BD=CD，∠BDC=120°，∴∠BCD=∠CBD=30°，∴∠MBD=∠ECD=90°，又∵CE=BM，BD=CD，在△BMD和△CED中，∵CE=BM ∠MBD=ECD=90° BD=CD，∴△BMD≌△CED（SAS），∴DE=DM，在△MDN和△EDN中，∵ND=ND ∠EDN=∠MDN MD=ED ，∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN=NE=NC-CE=NC-BM．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质及等腰三角形的性质；此题从不同角度考查了作相等线段构造全等三角形的能力，要充分利用等边三角形及等腰三角形的性质，转换各相等线段解答．变形4、操作：如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得5分．AN=NC（如图②）；②DM∥AC（如图③）．附加题：若点M、N分别是射线AB、CA上的点，其它条件不变，再探线段BM、MN、NC 之间的关系，在图④中画出图形，并说明理由．解：（1）BM+CN=MN证明：如图，延长AC至M1，使CM1=BM，连接DM1由已知条件知：∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，∴∠ABD=∠ACD=90°．∵BD=CD，∴Rt△BDM≌Rt△CDM1∴∠MDB=∠M1DC，DM=DM1∴∠MDM1=（120°-∠MDB）+∠M1DC=120°．又∵∠MDN=60°，∴∠M1DN=∠MDN=60°．∴△MDN≌△M1DN．∴MN=NM1=NC+CM1=NC+MB．（2）附加题：CN-BM=MN证明：如图，在CN上截取CM1，使CM1=BM，连接MN，DM1∵∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，∴∠DBM=∠DCM1=90°．∵BD=CD，∴Rt△BDM≌Rt△CDM1∴∠MDB=∠M1DC，DM=DM1∵∠BDM+∠BDN=60°，∴∠CDM1+∠BDN=60°．∴∠NDM1=∠BDC-（∠M1DC+∠BDN）=120°-60°=60°．∴∠M1DN=∠MDN．∵ND=ND，∴△MDN≌△M1DN．∴MN=NM1=NC-CM1=NC-MB．分析：根据已知先证明Rt△BDM≌Rt△CDM1从而得到BM=CM1，然后再证明△MDN≌△M1DN，从而推出MN=NM1=NC-CM1=NC-MB．在证明时，需添加辅助线，采用“截长补短”法，借助三角形全等进行证明．点评：此题主要考查等边三角形，等腰三角形的性质及三角形全等的判定等知识；正确作出辅助线是解答本题的关键．该题是一个纯图形探索证明题，注意培养自己的探索精神和钻研精神．例题 4. 在四边形 ABDE 中，C 是 BD 边的中点．（1）如图（1），若 AC 平分∠BAE，∠ACE＝90°，则线段 AE、AB、DE 的长度满足的数量关系为；（直接写出答案）（2）如图（2），AC 平分∠BAE，EC 平分∠AED，若∠ACE＝120°，则线段 AB、BD、DE、AE 的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；（3）如图（3），BD＝8，AB＝2，DE＝8，若 ACE＝135°，求线段 AE 长度的最大值．分析（1）在AE上取一点F，使AF=AB，及可以得出△ACB≌△ACF，就可以得出BC=FC，∠ACB=∠ACF，就可以得出△CEF≌△CED．就可以得出结论；（2）在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CG．可以求得CF=CG，△CFG是等边三角形，就有FG=CG=12BD，进而得出结论；（3）在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CG．可以求得CF=CG，△CFG是等腰直角三角形，由勾股定理求出FG的值就可以得出结论．解：（1）AE=AB+DE；理由：在AE上取一点F，使AF=AB．如图1∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC．在△ACB和△ACF中，∵AB=AF∠BAC=∠FACAC=AC，∴△ACB≌△ACF（SAS），∴BC=FC，∠ACB=∠ACF．∵C是BD边的中点．∴BC=CD，∴CF=CD．∵∠ACE=90°，∴∠ACB+∠DCE=90°，∠ACF+∠ECF=90°∴∠ECF=∠ECD．在△CEF和△CED中，∵CF=CD∠ECF=∠ECDCE=CE，∴△CEF≌△CED（SAS），∴EF=ED．∵AE=AF+EF，∴AE=AB+DE，故答案为：AE=AB+DE；（2）如图（2），AC 平分∠BAE，EC 平分∠AED，若∠ACE＝120°，则线段 AB、BD、DE、AE 的长 度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；（2）猜想：AE=AB+DE+21BD ． 证明：如图（2），在AE 上取点F ，使AF=AB ，连结CF ，在AE 上取点G ，使EG=ED ，连结CG ． ∵C 是BD 边的中点，∴CB=CD=21BD ．∵AC 平分∠BAE ，∴∠BAC=∠FAC ．在△ACB 和△ACF 中，∵AB=AF ∠BAC=∠FACAC=AC ，∴△ACB ≌△ACF （SAS ），∴CF=CB ，∴∠BCA=∠FCA ．同理可证：CD=CG ，∴∠DCE=∠GCE ．∵CB=CD ，∴CG=CF∵∠ACE=120°，∴∠BCA+∠DCE=180°-120°=60°．∴∠FCA+∠GCE=60°．∴∠FCG=60°．∴△FGC 是等边三角形．∴FG=FC=21BD ．∵AE=AF+EG+FG ．∴AE=AB+DE+21BD ．（3）如图（3），BD ＝8，AB ＝2，DE ＝8，若 ACE ＝135°，求线段 AE 长度的最大值．（3）如图（3），在AE 上取点F ，使AF=AB ，连结CF ，在AE 上取点G ，使EG=ED ，连结CG ． ∵C 是BD 边的中点，∴CB=CD=21BD ．∵AC 平分∠BAE ，∴∠BAC=∠FAC ．在△ACB 和△ACF 中，∵AB=AF ∠BAC=∠FACAC=AC ，∴△ACB ≌△ACF （SAS ），∴CF=CB ，∴∠BCA=∠FCA ．同理可证：CD=CG ，∴∠DCE=∠GCE ．∵CB=CD ，∴CG=CF∵∠ACE=135°，∴∠BCA+∠DCE=180°-135°=45°．∴∠FCA+∠GCE=45°．∴∠FCG=90°．∴△FGC 是等腰直角三角形．∴FC=21BD ．∵BD=8，∴FC=4，∴FG=42．∵AE=AF+FG+GE ，∴AE=AB+42+DE ．∵AB=2，DE=8，∴AE=AF+FG+EG=10+42．点评 本题考查了和四边形有关的综合性题目，用到的知识点有：角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，勾股定理的运用，解答时证明三角形全等是关键．例题 5.在△ABC 中，∠BAC ＝90°．（1）如图 1，直线 l 是 BC 的垂直平分线，请在图 1 中画出点 A 关于直线 l 的对称点 A ′，连接 A ′C ， A ′B ，A ′C 与 AB 交于点 E ；（2）将图 1 中的直线 A ′B 沿着 EC 方向平移，与直线 EC 交于点 D ，与直线 BC 交于点 F ，过点 F 作 直线 AB 的垂线，垂足为点 H ．①如图 2，若点 D 在线段 EC 上，请猜想线段 FH ，DF ，AC 之间的数量关系，并证明； ②若点 D 在线段 EC 的延长线上，直接写出线段 FH ，DF ，AC 之间的数量关系．分析 （1）根据轴对称的性质画出即可；（2）过点F 作FG ⊥CA 于点G ，求出四边形HFGA 为矩形．推出FH=AG ，FG ∥AB 求出∠GFC=∠EBC ，根据线段垂直平分线的性质得出BE=EC ，求出∠ECB=∠EBC=∠GFC ，∠FDC=∠A=90°，∠FDC=∠FGC=90°，根据AAS 推出△FGC ≌△CDF ，推出CG=FD 即可；（3）过F 作FH ⊥BA 于H ，过点C 作CG ⊥FH 于G ，求出四边形ACGH 为矩形．推出AC=GH ，CG ∥AB ，证△FGC ≌△CDF ，根据全等三角形的性质得出FG=FD ，即可得出答案． 解：（1）如图：；（2）①DF+FH=CA ，①证明：过点F 作FG ⊥CA 于点G ，∵FH⊥BA于H，∠A=90°，FG⊥CA，∴∠A=∠FGA=∠FHA=90°，∴四边形HFGA为矩形．∴FH=AG，FG∥AB，∴∠GFC=∠EBC，∵直线l是BC的垂直平分线，∴BE=EC，∴∠EBC=∠ECB，由（1）和平移可知，∠ECB=∠EBC=∠GFC，∠FDC=∠A=90°，∴∠FDC=∠FGC=90°．在△FGC和△CDF中∵∠GFC=∠DCF ∠FGC=∠CDF CF=CF∴△FGC≌△CDF，∴CG=FD，∴DF+FH=GC+AG，即DF+FH=AC；②解：FH-DF=AC，理由是：过F作FH⊥BA于H，过点C作CG⊥FH于G，∵FH⊥BA于H，∠BAC=90°，CG⊥FH，∴∠CAH=∠CGH=∠FHA=90°，∴四边形ACGH为矩形．∴AC=GH，CG∥AB，∴∠GCF=∠EBC，∵直线l是BC的垂直平分线，∴BE=EC，∴∠EBC=∠ECB=∠FCD，∴∠GCF=∠FCD，由（1）和平移可知，∠FDC=∠A=90°，∴∠FDC=∠FGC=90°．在△FGC和△CDF中∵∠GFC=∠DCF ∠FGC=∠CDF CF=CF∴△FGC≌△CDF，∴FG=FD，∵FH-FG=GH，∴FH-DF=AC．点评本题考查了平移的性质，线段垂直平分线性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，此题是一道综合性比较强的题目，难度偏大．变形1 （1）已知：如图1，在四边形ABCD中，BC⊥CD，∠ACD=∠ADC．求证：AB+AC＞已知：如图2，在△ABC中，AB上的高为CD，试判断)(2BCAC与AB2+4CD2之间的大小关系，并证明你的结论．分析：（1）连接BD，利用三角形三边关系可得AB+AD＞BD，再利用勾股定理和等量代换即可证明．（2）如图，作EB⊥AB，EB=2CD，利用（1）的结论即可证明．证明：（1）连接BD，∵∠ACD=∠ADC，∴AC=AD，∵AB+AD＞BD，∵BC⊥CD，∴∠BCD=90°，∴BD=，∴AB+AC＞；（2）大小关系是（AC+BC）2＜AB2+4CD2，理由为：如图，作EB⊥AB，EB=2CD，∵AB+AC＞（1）的结论；两边平方得（AC+AB）2＞BC2+CD2，∴（AC+BC）2＜AB2+4CD2．点评：此题主要考查三角形三边关系和勾股定理等知识点，难易程度适中，是一道典型的题目．例题 6. 如图 1，在△ABC 中，∠ACB＝2∠B，∠BAC 的平分线 AO 交 BC 于点 D，点 H 为AO 上一动点，过点 H 作直线 l⊥AO 于 H，分别交直线 AB、AC、BC、于点 N、E、M．（1）当直线 l 经过点 C 时（如图 2），求证：BN＝CD；（2）当 M 是 BC 中点时，写出 CE 和 CD 之间的等量关系，并加以证明；（3）请直接写出 BN、CE、CD 之间的等量关系．解：（1 ）证明：连接ND ，∵AO 平分∠BAC ，∴∠1= ∠2 ，∵直线l ⊥AO 于H ，∴∠4= ∠5=90 °，∴∠6= ∠7 ，∴AN=AC ，∴NH=CH ，∴AH 是线段NC 的中垂线，∴DN=DC ，∴∠8= ∠9 ．∴∠AND= ∠ACB ，∵∠AND= ∠B+ ∠3 ，∠ACB=2 ∠B ，∠B+ ∠3= ∠7+∠9=2 ∠B ∴∠B= ∠3 ，∴BN=DN ，∴BN=DC ；（2 ）如图，当M 是BC 中点时，CE 和CD 之间的等量关系为CD=2CE 。
数学模型和物理模型在动力学仿真中的比较分析
数学模型和物理模型在动力学仿真中的比较分析数学模型和物理模型在动力学仿真中都起着非常重要的作用，它们都用来描述和预测复杂系统的运动行为。
然而，它们之间存在一些显著的区别，可以通过比较分析来更好地理解它们在动力学仿真中的作用和适用情况。
一、数学模型和物理模型的定义和特点数学模型是一种用数学语言和符号描述系统行为和特性的模型。
它通常以方程或者图形的形式表示，能够精确描述系统的运动规律，提供了对系统的定量分析和预测能力。
数学模型的特点是抽象性强，可以忽略系统的具体物理结构和机制，着重于描述系统的数学关系和规律。
物理模型是一种用物理理论和实验数据建立的模型，它通过对系统的物理结构和特性进行建模，描述系统的运动和行为。
物理模型常常是通过实验数据和物理定律得到的，更直观地反映了真实系统的性质和特征。
物理模型的特点是具体性强，能够直观地展现系统的物理特性和行为。
二、数学模型和物理模型在动力学仿真中的作用和应用数学模型在动力学仿真中具有重要的作用，它能够通过建立数学方程来描述系统的动力学行为，并进行数值计算和仿真分析。
例如，在机械系统动力学仿真中，可以利用牛顿运动方程和拉格朗日方程建立机械系统的数学模型，对系统的运动轨迹和受力情况进行仿真分析。
数学模型能够提供对系统的精确描述和深入分析，具有广泛的应用领域和灵活的建模方法。
物理模型在动力学仿真中也扮演着重要的角色，它能够通过对系统实际物理结构和特性的建模来进行仿真分析。
例如，在流体动力学仿真中，可以利用纳维-斯托克斯方程建立流体系统的物理模型，对流场和压力场进行仿真分析。
物理模型能够直观地展现系统的物理特性和行为，具有较强的可视化效果和直观性。
三、数学模型和物理模型的优缺点比较分析数学模型的优点包括：1.精确性高：数学模型能够提供对系统的精确描述和深入分析，能够准确预测系统的行为和性能。
2.灵活性强：数学模型具有灵活的建模方法和丰富的数学工具，能够适应不同系统的建模需求和仿真分析。
《数学建模》课程教案
《数学建模》课程教案一、教学内容本节课选自《数学建模》教材第四章第二节，详细内容为多变量线性回归模型的构建与应用。
通过本节课的学习，使学生了解多变量线性回归模型的基本原理，掌握模型的建立、求解及分析步骤。
二、教学目标1. 知识与技能：掌握多变量线性回归模型的建立与求解方法，能够运用所学知识解决实际问题。
2. 过程与方法：培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的数据分析、逻辑思维和团队协作能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、积极进取的精神。
三、教学难点与重点重点：多变量线性回归模型的建立与求解。
难点：模型的适用条件及其在实际问题中的应用。
四、教具与学具准备多媒体设备、黑板、粉笔、计算器、教材、《数学建模》学习指导书。
五、教学过程1. 导入（5分钟）利用多媒体展示实际案例，如房地产价格影响因素分析，引导学生思考如何运用数学知识解决此类问题。
2. 知识讲解（15分钟）（1）回顾一元线性回归模型，引导学生思考多变量线性回归模型的建立方法。
（2）介绍多变量线性回归模型的基本原理及其适用条件。
（3）讲解模型的建立、求解及分析步骤。
3. 例题讲解（20分钟）（1）给出一个实际案例，如多因素影响下的学绩分析。
（2）引导学生根据所学知识建立多变量线性回归模型，并求解。
（3）分析模型的拟合程度，讨论各因素对成绩的影响。
4. 随堂练习（10分钟）（1）发放练习题，要求学生独立完成。
（2）教师巡回指导，解答学生疑问。
5. 小组讨论（10分钟）（1）多变量线性回归模型在实际问题中的应用。
（2）如何判断模型的适用性。
（3）如何改进模型的拟合效果。
六、板书设计1. 多变量线性回归模型基本原理2. 建立与求解步骤3. 模型适用条件4. 实际案例：学绩分析七、作业设计1. 作业题目：根据教材第四章第二节课后习题，选取两道多变量线性回归模型的题目。
2. 答案：教材课后习题答案。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课的教学效果，学生掌握程度，教学难点是否讲解清楚。
数学模型在财务分析中的应用
数学模型在财务分析中的应用随着数字时代的到来，财务分析在企业中的重要性越来越突出，而数学模型也扮演着越来越重要的角色。
数学模型，是指通过数学理论和方法对特定问题进行描述、表达和预测的方法。
将数学模型引入财务分析中，可以更加准确、高效地解决一些复杂的财务分析问题。
接下来，本文将从以下三个方面来介绍数学模型在财务分析中的应用。
一、风险评估模型风险是企业面临的一个重要问题。
产生风险的原因可能包括市场变化、政策调整、行业竞争等。
如何对风险进行评估，是企业财务分析中必须要解决的问题之一。
风险评估模型是一种通过数学方法对风险进行量化评估的模型。
目前，最常用的风险评估模型之一是VaR模型，也称之为价值风险模型。
VaR模型是一种对投资组合风险进行量化的方法，它通过对投资组合的历史收益率数据进行分析，确定一个最坏情况下的亏损幅度，并计算出该亏损幅度发生的概率。
VaR模型既可以用于单个投资品种的风险评估，也可以用于投资组合的风险评估。
通过VaR模型对投资组合进行风险评估，可以帮助企业较为精细地把握风险情况，减少投资失败的风险。
二、利润预测模型企业经营的目的是获取最大的利润。
为了实现这个目标，财务分析师需要对未来的利润进行预测。
然而，由于市场环境的复杂性和不确定性，利润预测难度很大。
这时，利润预测模型可以派上用场了。
利润预测模型是一种将数学模型应用于财务分析的解决方案。
它可以通过对过去的业绩数据进行分析、建立数学模型，来预测未来的业绩变化趋势。
在建立利润预测模型时，需要将企业的财务指标作为参考，包括收入、成本、资产负债等，以便更加全面地考虑企业经营情况。
三、现金流模型现金流量是企业经营的生命线，企业要保证现金流量的稳定性，才有可能实现良好的经营业绩。
在财务分析中，现金流模型就是一种对现金流量进行量化分析的方法。
现金流模型可以帮助企业预测未来现金流量变化趋势、分析现金流量的来源和去向，并针对具体问题建立相应的数学模型。
高中数学数形结合法的运用探讨——《数形结合与数学模型》读后感
高中数学数形结合法的运用探讨——《数形结合与数学模型》
读后感
近年来，随着社会的发展，中国的中学教育正在不断的进步，其中，高中数学教育是必不可少的。
本文以《数形结合与数学模型》为
主要内容，利用数学知识和工具，以涉及数学模型及构建数学模型，探讨高中数学数形结合法的运用。
首先，《数形结合与数学模型》提出了高中数学数形结合法的概
念和原理，它是将数学的解决思路与形式思维、推理、抽象和空间思
维相结合，使之成为一种完整的数学思维模式。
它不仅涉及数学的基
础知识，还要求学生完成证明和推理，把数学的基础提升到一个新的
高度。
书中指出，数学模型有许多种类，比如线性模型、极限模型、函数模型和封闭模型等，并且，以数学模型驱动的数据分析也已经成
为现代数学课程的重要组成部分。
其次，《数形结合与数学模型》涉及的内容很全面，其中涉及了
许多重要的概念和思想，比如，对数形结合法的概念、对空间思维的
认识以及如何构建数学模型以及如何从数据中进行数学推理等。
书中
还深入浅出地阐释了数形结合法的重要性，将其作为决定数学应用能
力和拓宽数学思维视野的基石。
最后，书中还结合实例，详细地介绍了数形结合法的应用，以及
对数学模型建模的技术，同时，还探讨了如何利用数学的解决思路，进行数据推理和建模。
总之，《数形结合与数学模型》不仅丰富了我们对高中数学数形
结合法的研究，还推动了现代数学教育的发展，帮助学生更好地掌握数学知识和技能，建立数学模型，促进对数学问题的深入理解和分析。
本文的研究分析，深刻地反映了《数形结合与数学模型》的重要性，它是中学数学教学的重要参考书籍，值得教师、学生和学者深入研究和研究。
企业利润数学模型的建立与分析
企业利润数学模型的建立与分析摘要利润是企业可持续发展的基石，如何用最小的成本获得更多的利润是股东继续经营企业的根本。
本文以企业利润最大化为目标，通过对其进行数学模型的建立及相应的方法分析，并以某企业往年利润数据为例，进行企业过程数据分析，为将数学模型分析方法应用于企业经营等日常经济管理提供思路。
关键词利润数学模型数据分析最值一、引言随着社会生产的专业化与规模化发展，在社会资源有限的情况下，人力成本越来越高、环保压力越来越大，造成企业的生产压力不断增大，利润空间也饿越来越小。
很多情况下，企业会通过升级技术装备、减少用工成本，进而提高实际盈利能力，但是装备设施的升级成本也很高，很多企业无法承受，这就给许多企业带来困扰，甚至由于经营不善最终导致破产。
近些年随着一些先进管理理念的引进，企业家们开始不断尝试采用基于数学分析的方法，为企业经营提供新的思路与方法。
基于数学分析的管理方法主要是借助数学模型对企业全过程进行精密管理，通过对实际经营过程的不断分析优化，为企业生产节约资源，减少不必要的成本支出，给企业带来新的利润空间。
本文主要结合数学建模方法，阐述了经济分析中的典型数学工具，并以某工厂的利润进行了应用分析，为企业经营发展提供新的方向与基础。
二、经济分析中的数学工具（一）数学模型数学模型从概念上说，是借助数理逻辑与数学语言建立的一种描述对象的某种特性所呈现的关系表达式。
从广义上来理解，数学模型是由数学中的相关概念、公式与理论所组成，建立数学模型就是要对现实物理世界进行抽象描述，从某种意义上来说，整个数学基础可以看成是一门有关建立数学模型，并进行数学分析的科学。
从狭义上来理解，数学模型是指描述那些特定问题或特定事物及系统的数学关系式，这也可理解为是对一个系统内各变量间关系的一种数学表达方式。
数学模型的应用历史可以追溯到早期使用数字的时代，随着人类采用数字来进行简单的计数到现在进入数字化时代，就开始不断地采用并建立各种对象的数学模型，以解决日常生产生活中的各种现实问题。
美赛数学建模常用模型及解析
美赛数学建模常用模型及解析
数学建模是数学与实际问题的结合，解决实际问题的具体数学模型是数学建模的核心。
以下是一些美赛中常用的数学模型及其解析。
1. 线性规划模型
线性规划模型是一种最常见的优化模型，它的目标是在给定的约束条件下，寻找一个线性函数的最大值或最小值。
线性规划模型可以用于解决资源分配、生产计划、运输优化等问题。
2. 整数规划模型
整数规划是线性规划的一个扩展，它要求决策变量只能取整数值。
整数规划模型可以应用于旅行商问题、装配线平衡问题等需要整数解决方案的实际问题。
3. 动态规划模型
动态规划是一种将多阶段决策问题转化为单阶段决策问题求解的方法。
动态规划模型可以用于解决背包问题、序列对齐问题等需要在不同阶段做出决策的问题。
4. 排队论模型
排队论模型用于分析系统中的排队现象，包括到达率、服务率、系统稳定性等指标。
排队论模型可以用于研究交通流量、电话系统、服务器排队等实际问题。
5. 随机过程模型
随机过程模型用于描述随机事件的演变过程，其中最常见的是马尔可夫链和布朗运动。
随机过程模型可以用于模拟金融市场、天气预测、股票价格等随机变化的问题。
这些模型只是数学建模中常用的几种类型，实际问题通常需要综合运用多种模型进行分析和求解。
对于每个具体的问题，需根据问题的特点和要求选择合适的数学模型，进行合理的建模和求解。
初中数学模型思想渗透现状分析及策略研究
初中数学模型思想渗透现状分析及策略研究近年来，随着改革开放的推进和教育理念的不断发展，现行的中国初中数学教育呈现出诸多新变革，深受学校、家长和学生的普遍欢迎。
在新教育理念的指导下，初中数学教学不仅拓宽了学生视野，健全提高了数学水平，还更加重视了数学模型思想的渗透。
数学模型思想是当今中国教育界不可忽视的热门话题，随着教育改革的推进，学校开展数学模型思想渗透教学也备受关注。
然而，由于诸多原因，当前初中数学模型思想渗透的现状仍然不太理想，存在的一些问题需要重视和解决。
首先，教师的知识和技能不足是影响数学模型思想渗透教学的一个重要原因。
目前，许多中学教师在进行数学模型思想渗透教学时存在缺乏教学讲授、实验教学、活动教学等知识和技能的问题，这对于提高开展数学模型思想渗透教学质量有一定的负面影响。
此外，学校教学环境也是影响数学模型思想渗透教学的重要因素。
当前，许多初中学校的数学实验设备落后，同时，课上教学时间有限，学生自主学习也较少，这都是影响数学模型思想渗透教学的一大障碍。
针对上述问题，应采取一系列积极和有效的措施。
首先，加强教师教学能力建设，帮助教师学会运用数学模型思想在教学实践中。
学校应重视教师的专业技能培训，扩大教师的知识面，提高教师的专业教学能力。
其次，学校应加大对教学环境的改善，以确保教师在教学中拥有良好的环境。
学校可以投入资金，多采用数学实验仪器、数学软件，同时，学校也可以通过拓宽学生的学习时间和开展学生自主学习活动，来提高学生的学习水平。
最后，学校要重视数学模型思想在教学中的重要性，把数学模型思想渗透教学作为当前中学教育重要内容之一。
学校要制定有针对性的课程，引入相关数学模型思想课程，便于教师将知识融入教学实践，实现数学模型思想的深入渗透。
综上所述，我们可以看出，开展初中数学模型思想渗透教学具有重要意义，但由于诸多原因，当前初中数学模型思想渗透的现状仍然不太理想。
应当采取一系列积极措施，从教师培训、教学环境改善以及重视数学模型思想渗透等方面努力，提高开展数学模型思想渗透教学的质量，增强初中学生的数学知识，为培养初中生的创新思维和综合能力打下良好的基础。
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第 1 页 共 6 页 《数学模型》考试大纲 适应专业：数学与应用数学、信息与计算科学、统计学、应用统计学专业 一、课程性质与目的要求 数学模型课亦称为数学建模课，它是数学与应用数学、信息与计算科学、统计学、应用统计学专业必修课或限选课，教育部1998年颁布的高等学校本科专业目录中，把“数学模型”课作为数学类专业的必开课。数学模型是架于实际问题与数学理论之间的桥梁。数学模型就是应用数学语言和方法，对于现实世界中的实际问题进行抽象、简化和假设所得到的数学结构。本课程是研究数学建模的理论、思想和方法，研究建立数学模型、简单的优化模型、数学规划模型、微分方程模型、代数方程与差分方程模型、稳定性模型、离散模型、概率模型等。 数学模型课需要用到数学分析、高等代数、微分方程、图论、概率统计、运筹学等数学知识，它是学生所学数学知识的综合应用，是培养学生综合素质以及应用数学知识解决实际问题的能力的良好课程。该课程的考试评价依据是按照课程目标、教学内容和要求，把握合适的难易程度出试卷，用笔试的方法对学生学习情况和学习成绩做出评价。
二、课程内容和考核要求 第一章 建立数学模型 １、考核知识点： 数学建模的背景及重要意义、数学模型与数学建模、数学模型的分类与特点、数学建模的基本方法和步骤、数学建模举例等。 ２、考核要求： （1）理解数学建模的背景及意义、原型、模型、数学模型、数学建模等概念。 （2）理解数学模型的各种分类、数学模型的特点。 （3）理解数学建模的基本方法和步骤、通过实例初步了解数学建模的思想和方法。 第二章 简单的优化模型 １、考核知识点： 存储模型、生猪的出售时机、森林救火、冰山运输等。 第 2 页 共 6 页
２、考核要求： （1）掌握应用微积分理论建立存储问题模型。 （2）理解应用微积分理论建立生猪的出售时机模型和森林灭火模型。 （3）理解应用微积分理论建立冰山运输问题模型。 第三章 数学规划模型 １、考核知识点： 数学规划问题的基本概念、数学规划问题图解法步骤、生产安排问题、奶制品的生产与销售等。 ２、考核要求： （1）掌握数学规划问题的基本概念、数学规划问题图解法步骤。 （2）掌握生产安排问题的模型及图解法。 （3）理解奶制品的生产与销售的模型及求解。 第四章 微分方程模型 １、考核知识点： 传染病模型、正规战与游击战、药物在体内的分布与排除、香烟过滤嘴的作用等。 ２、考核要求： （1）理解传染病问题的建模及讨论。 （2）理解战争问题、房室问题的建模及讨论。 （3）了解香烟过滤嘴作用问题的建模及讨论。 第五章 代数方程与差分方程模型 １、考核知识点： 量纲、量纲齐次原理、量纲分析法、差分方程的基本概念、市场经济中蛛网模型、节食与运动问题等。 ２、考核要求： （1）掌握量纲、量纲齐次原理、量纲分析法建模及解法步骤。 （2）掌握市场经济中蛛网模型及解法步骤。 （3）理解理解差分方程的基本概念、减肥问题的建模思想。 第六章 稳定性模型 第 3 页 共 6 页
１、考核知识点： 捕鱼业的持续收获、军备竞赛 ２、考核要求： （1）掌握捕鱼业的持续收获问题的建模、解法步骤及相关讨论。 （2）理解军备竞赛问题的建模及分析讨论。 第七章 离散模型 １、考核知识点： 层次分析法的概念、思想和方法，循环比赛的名次问题，公平席位分配问题 ２、考核要求： （1）理解层次分析法的概念、思想、方法和建模思想。 （2）理解循环比赛及竞赛图的思想和方法。 （3）知道应用初等数学理论来构造公平席位分配的数学模型。 第八章 概率模型 １、考核知识点： 传送系统的效率、报童的诀窍、蛋糕问题、随机存贮策略。 ２、考核要求： （1）理解传送系统效率问题的建模与讨论。 （2）掌握报童等相关问题建模与讨论。 （3）了解随机存贮策略问题的建模思想。 三、考试形式、试卷结构及样题 1、考试形式为闭卷、笔试。 2、试卷满分为100分，考试时间为120分钟。成绩采用百分制. 总成绩=平时30%+期末笔试70%。 3、试题类型与比例：填空题约占16%；简答题约占24%；应用计算题约占60%。
4、样题与目标定位示例：
1）填空题：着重考察学生对概念知识的了解、理解程度。 例： 第 4 页 共 6 页
1．数学建模方法大体上可分为 和 两种. 2．按照对模型结构的了解程度来分类的模型名称有： 、 、 . 3．n阶正互反阵A是一致阵的充要条件为 ． 4．一般的n个顶点的竞赛图具有以下性质（1） ； （2） ． 5.从层次分析法的原理、步骤、应用等方面的讨论看出它有以下优点： ； ； ． 6．甲乙双方在t时刻的军备分别记作()xt和()yt，其变化过程可用方程组 ()()xtxkygytlxy
表示，则平衡点00(,)xy为0x ，0y .
7．考虑传送系统效率：n个工人的生产是相互独立的，一周期内带走的产品数s与生产的全部产品数之比D，若能对一周期内的m只钩子求出每只钩子非空(即挂上产品)的概率p，则s ． 8. 每对顶点之间都有一条边相连的 称为竞赛图； 称为双向连通图． 2）简答题：着重考察学生对知识的理解、掌握程度。 例： 1．一饲养场每天投入5元资金用于饲料、设备、人力，估计可使一头70公斤重的生猪每天增加r公斤．目前生猪出售的市场价格为每公斤10元，但是预测每
天会降低g元，试写出生猪最佳出售时机的纯利润函数（目标函数）． 2. 基于思想性、艺术性、娱乐性、票房等四项因素，拟用层次分析法在电影A、电影B、电影C这三个方案中选一个，画出目标为“评选影片”的层次结构图.
3. 考虑正规战争问题. 假设甲乙交战双方时刻t的兵力分别为tx和ty，其战斗减员率都与对方兵力成正比，比例系数分别为a、b；甲乙双方的增援率函数分别为tu和tv；而非战争减员率与本方的兵力成正比，比例系数分别为、. 试写出正规战争数学模型. 4．简述层次分析法的基本步骤，并写出一致性指标的定义. 3）应用计算题：着重考察学生对知识的掌握与应用程度。 例： 第 5 页 共 6 页
1．已知深水中波的传播速度v与波长、水深d、水的密度和重力加速度g有关，试用量纲分析方法给出波的速度v的表达式． 2. 已知某商品在k时段的数量和价格分别为kx和ky，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)(kkxfy和
114kkk
yyxg．试建立关于商品价格ky的差分方程模型，并讨论稳定平衡
条件． 3. 设某渔场鱼量)(tx(时刻t渔场中鱼的数量)的自然增长规为：
()[1]dxtxrxdtN
其中r为固有增长率，N为环境容许的最大鱼量，而单位捕捞量为hEx． (1)．求渔场鱼量的非负平衡点，并讨论其稳定性；
(2)．试确定捕捞强度mE，使渔场单位时间内具有最大持续产量mh．
4．某生产作坊每天要生产A、B两种肉制品，已知生产单位产品A所需1台机器设备和4kg的猪肉，生产单位产品B所需1台机器设备和4kg的牛肉，该生产作坊可供生产的机器设备一共是8台，并且每天的猪肉库存为16kg，牛肉库存为12kg.每单位产品A可获利2元，每单位产品B可获利3元.如何安排生产，使得该作坊的获利最大？ 四、学习用书与参考书目
1、姜启源、谢金星、叶俊编《数学模型》（第四版）[M]..北京：高等教育出版社.2011.1. 2、韩中庚编著. 数学建模方法及其应用（第二版）[M]. 北京：高等教育出版社.2009.6. 五、其它模拟练习题 1． 写出5个按照建立模型的目的分类的数学模型名称；写出5个按照建立数学模型的数学方法分类的模型名称．叙述数学模型的概念，并给出建立数学模型的基本步骤？数学建模的全过程分为哪几个阶段？ 2． 4个顶点的竞赛图共有几种形式？ 循环比赛（竞赛图的定义、由得分向量写出竞赛图或邻接矩阵、双向连通图、排名次等）．
3. 层次分析法的基本步骤, 层次分析模型（写出层次结构图、一致性矩阵定义
等）． 第 6 页 共 6 页
4．求正互反矩阵的最大特征根和特征向量的实用算法？n阶正互反阵A是一致阵的充要条件? 5．有4支球队A、B、C、D进行单循环赛，比赛结果是这样的：A胜B和C，B胜C和D，C胜D，D胜A.试给出这4支球队比赛对应的竞赛图或其邻接矩阵，得分向量.它是否为双向连通图？并给出这4支球队的名次. 6．已知5个顶点A、B、C、D、E的竞赛图P的得分向量为)0,1,2,3,4(s.试作出满足条件的竞赛图，并写出此图对应的邻接矩阵. 7. 基于经济效益、社会效益、学术创新、环境效益、技术创新五项因素来评价科技成果，拟用层次分析法在项目A、项目B、项目C这三个科技成果中选一个，画出目标为“科技成果评价”的层次结构图.
8．已知水泵的输出功率N 与单位体积水的重量g、单位体积流量Q 、扬程
高度H 有关，用量纲分析方法求水泵输出功率的表达式. 9．某工厂生产甲、乙两种化工产品,生产每吨产品需要电消耗、煤消耗、劳动力（以一个工作日计算）及产值如下表所示： 产品 电消耗（千瓦） 煤消耗(吨) 劳动力(人) 产值(万元) 甲产品 4 9 3 6 乙产品 5 4 10 14 已知每天电消耗不超过200千瓦；煤消耗不超过350吨；全厂劳动力满员为300人.试安排每天的生产任务,使产值最大,并求出最大产值. 10. 与Logistic模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz模型：
xNrxdttdxln)(. 其中r和N的意义与Logistic模型相同
设渔场鱼量的自然增长服从这个模型,又单位捕捞量为Exh.讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性,求最大持续产量mh及获得最大产量的捕捞强度mE和渔场鱼量
水平*0x. 11.已知某商品在k时段的数量和价格分别为kx和ky，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)(kkxfy和
1111()22kkkxgyy.试建立关于商品价格ky的差分方程模型，并讨论稳定平衡
条件.