2-2大学高数历年期末试题

2-2大学高数历年期末试题

2010-2011年

一. 填空题 (共4小题，每小题4分，共计16分) 1．

22(1,0)ln(),y z xe x y dz =++=

设则

2．设xy y x y x f sin ),(+-=,则

dx

x x f dy y ⎰⎰1

1 0 ),(=

3．设函数21cos ,0()1,0x

x f x x

x x πππ+⎧<<⎪

=-⎨⎪+-≤≤⎩

以2π为周期，

()s x 为的()f x 的傅里叶级数的和函数，则(3)s π-= . 4．设曲线C 为圆周2

2

2

R y x =+,则曲线积分

ds

x y x C

⎰

+）—（322

=

二.选择题（共4小题，每小题4分，共计16分） 1. 设直线L 为32021030,

x y z x y z ++=⎧⎨

--+=⎩平面π为4220x y z -+-=,则 （ ） .

(A) L 平行于平面π (B) L 在平面π上

(C) L 垂直于平面π (D) L 与π相交，但不垂直 2．设有空间区域2

222

:x y z R Ω++≤，则222x y z dv

Ω

++等于

（ ）.

(A)

4

3

2R π (B) 4

R π (C)

4

3

4R π

(D) 4

2R π

3．下列级数中，收敛的级数是（ ）.

(A) ∑∞

=+-1

)1()1(n n n

n n (B)

∑

∞

=+-+1

1

)1(n n

n n

(C)

n

n e

n -∞

=∑1

3

(D)

∑∞

=+

1)

11ln(n n

n

n

4. 设∑∞

=1

n n

a

是正项级数，则下列结论中错误的是（ ）

（A ） 若

∑∞

=1n n

a

收敛，则∑∞

=1

2

n n

a

也收敛 （B ）若

∑∞

=1

n n

a

收

敛，则

1

1

+∞

=∑n n n

a

a 也收敛

（C ）若

∑∞

=1

n n

a

收敛，则部分和n S 有界 （D ）若∑∞

=1

n n

a 收敛，则1lim 1

<=+∞

→ρn n n a a

三．计算题（共8小题，每小题8分，共计64分）

1．设函数f 具有二阶连续偏导数，),(2

y x y x f u +=，

3．计算,)(2

dxdy y x D

⎰⎰+其中

}

4),({22≤+=y x y x D .

4. 设立体Ω由锥面22

z x y =

+及半球面22

11z x y =--围成.已知Ω上任一点(),,x y z 处的密度与该点到x y

o

平面的距离成正比（比例系数为0K >），试求立体

Ω

的质量.

6. 计算第二类曲面积分

⎰⎰∑

++dxdy

zx

xydxdz xyzdydz 2

，其中

∑为球面

1

222=++z y x 的外侧．

7．求幂级数n

n x n ∑

∞

=+111的和函数。

四．证明题（本题4分）

证明下列不等式成立：π≥⎰⎰D x

y

dxdy e

e ，其中

}1|),{(D 22≤+=y x y x .

五．证明题（本题8分）设有一小山，取它的底面所在平面为xoy 坐标面，其底部所占的区域为},75:),{(2

2

≤-+=xy y x y x D 小山的高度函数为

.

75),(22xy y x y x h +--=

（1）设),(0

y x M 为区域D 上一点，问),(y x h 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为),(0

y x g ，试写出),(0

y x g 的表达式。 （2）现欲利用此小山举行攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点也就是说，要在D 的边界线752

2

=-+xy y x 上找使（1）中的),(y x g 达到最大值的点，试确定攀登起点的位置。

2009-2010年

一、填空题（每小题5分，满分30分）

1. 若向量→→→c b a,,两两互相垂直，且

5,12,13

a b c →

→→

===和，则

=

++→

→→

c b a

. 2

．设函数

2

2

sin y z xy x

=，求

z z x

y x y

∂∂+=∂∂

.

3. 设函数(,)f x y 为连续函数, 改变下列二次积分的积分顺序：

22

120

(,)y y dy f x y dx -=

⎰

⎰

. 4. 计算

(1,2)(0,0)

()(2)y y I e x dx xe y dy =++-=

⎰

. 5.

幂

级

数

n

n n x n 21

3∑∞

=的收敛

域

为

：

. 6. 设函数)

()(2πππ<<-+=x x x x f 的傅里叶级数为：

∑∞

=++1

)sin cos (2n n n nx b nx a a ， 则

其

系

数