拉格朗日中值定理的推广及其应用.

嘉应学院本科毕业论文（设计）（2014届）题目：拉格朗日中值定理的推广及其应用姓名：徐佳琳学号：101010045学院：数学学院专业：数学与应用数学（师范）指导老师：温坤文申请学位：学士学位嘉应学院教务处摘要拉格朗日中值定理是微分学的基础定理之一，在理论和应用上都有极其重要的意义.本文先对拉格朗日中值定理作了一定的阐述，并将其进行了推广，然后通过对几种类型问题的解决，对拉格朗日值定理的应用作一些探讨和归纳，以起到对定理的深入理解，熟悉掌握并能够正确应用的作用.关键词：拉格朗日中值定理，定理的推广及应用，极限，不等式，级数的敛散性.AbstractLagrange mean value theorem is one of the basic theorem of differential calculus，It has extremely important meaning in the theory and application.This article first to make the Lagrange theorem certain, and put it to the promotion, then through several types on the solution of the problem,and it will make some discussions and studies on the application of lagrange mean value theorem .It’s purpose is to have in-depth understanding of theorem, the role of expert knowledge and be able to correct application.Keywords： Lagrange mean value theorem,The generalization and application of the theorem, The limit, Inequality, The convergence and divergence of the series.1. 引言罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西定理以及泰勒公式是微分学的基本定理，这些定理都具有中值性，所以统称微分学中值定理，以拉格朗日中值定理为中心，他们之间的关系可用简图示意如下：以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，尤其是拉格朗日中值定理，他建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数研究函数的性态，中值定理的主要作用在于理论分析和证明，例如为利用导数判断函数单调性、取极值、凹凸性、拐点等重要函数性态提供重要理论依据， 从而把握函数图像的各种几何特征.拉格朗日中值定理是微分学的基础定理之一，拉格朗日中值定理作为微分中值定理的核心，它有许多推广，这些推广都有一个基本特点，就是把定理条件中可微性概念拓宽，然后推广微分中值表达公式.除此之外，拉格朗日中值定理在理论和应用上也有着极其重要的意义.该定理叙述简单明了,并有明确的几何意义，一般掌握问题不大，但要深刻认识定理的内容，特别是中值点的含义，就有较大难度.总之，微分学中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具，而著名的拉格朗日中值定理作为其中一个承上启下的定理，是应用数学研究函数在区间整体性态的有力工具，必须深刻认识定理的内容，熟练掌握定理的本质，在解题时游刃有余，若对定理的实质了解不够深刻的话，会进入不少误区.现借下文中的若干例子来对拉格朗日中值定理作一些探讨，以起到对定理深入理解、熟练掌握并正确应用的作用.2.拉格朗日中值定理定理2.1（拉格朗日中值定理） 若函数)(x f 满足下列条件：（i ） )(x f 在闭区间],[b a 上连续；(ii) 在开区间),(b a 内可导， 则在),(b a 内至少存在一点 ，使得ab a f b f f --=')()()(ξ.3. 拉格朗日中值定理的推广命题3.1 若函数)(x f 在开区间),(b a 内可导，函数极限)(lim )(lim bx f x f x ax -+→→与都存在；则至少存在一点),(b a ∈ξ,使得b a f ab x f x f ax b x <<'=--+-→→ξξ),()(lim )(lim .证明 不妨记A x f ax =+→)(lim , B x f x =-→)(lim b,令函数⎪⎩⎪⎨⎧==<<=.,,,,),()(b x B a x A b x a x f x ϕ则函数)(x ϕ在闭区间],[b a 上连续,函数)(x ϕ在开区间),(b a 内可导,)()(x f x '='ϕ.由拉格朗日中值定理,至少存在一点),(b a ∈ξ，使得),()()(ξϕϕϕ'=--ab a b又)(lim )(b x f B b x -→==ϕ，)(lim )(x f A a a x +→==ϕ，)()(ξϕξ'='f ，所以b a f ab x f x f ax b x <<'=--+-→→ξξ),()(lim )(lim .命题 3.2 若函数)(x f 在),(+∞-∞内可导,函数极限)(lim x f x +∞→与)(lim x f x -∞→都存在；则至少存在一点),(+∞-∞∈ξ，使得.),()1()(lim )(lim 2+∞<<-∞'+=--∞→+∞→ξξξπf x f x f x x证明 令,2,2,tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈=ππt t x 则复合函数)(tan )(t f t =ϕ在开区间⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ内可导,其导数为.sec )(tan sec )()(22t t f t x f dtdxdx df t '='==ϕ 由已知函数极限)(lim ][tan lim )(lim 22x f t f t x t t -∞→-→-→==++ππϕ,与)(lim ][tan lim )(lim 22x f t f t x t t +∞→→→==--ππϕ,都存在.由命题3.1，至少存在一点⎪⎭⎫⎝⎛-∈2,2ππη，使得ηηηϕϕϕππ222sec )(tan )()2(2)(lim )(lim f t t t t '='=---+--→→,令ηξtan =,则⎪⎭⎫⎝⎛-∈2,2ππη时，),(+∞-∞∈ξ，并且2221tan 1sec ξηη+=+=.所以，至少存在一点),(+∞-∞∈ξ，使得.),()1()(lim )(lim 2+∞<<-∞'+=--∞→+∞→ξξξπf x f x f x x命题3.3 若函数)(x f 在开区间),(+∞a 内可导,函数极限)(lim x f ax +→与)(lim x f x +∞→都存在，则至少存在一点),,(+∞∈a ξ使得),.()()()(lim )(lim 11211ξξf b a b a b ab x f x f ax x '-+-=--+→+∞→ {}+∞<<>ξa a b ,0,max 1. 证明 令{}0,max 1a b >,且),,(,)(111b a t t b ta b x ∈--=则复合函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=t b t a b f t 11)()(ϕ在开区间),(1b a 内可导，其导数为,)()()()()()()(2111112111t b b a b t b t a b f t b b a b x f dt dxdx df t --⎥⎦⎤⎢⎣⎡--'=--'=='ϕ由已知函数极限)(lim )(lim )(lim 11x f t b t a b f t ax a t a t +++→→→=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=ϕ, 与)(lim )(lim )(lim 1111x f t b t a b f t x b t b t +∞→→→=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--ϕ, 都存在.由命题3.1，至少存在一点),,(1b a ∈η使得,)()()()()(lim )(lim 21111111ηηηηϕϕϕ--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--'='=--+-→→b b a b b a b f ab t t at b t 令,)(11ηηξ--=b a b 则),(111b a a b b ∈=+-ηξξ时，),,(+∞∈a ξ所以，至少存在一点),,(+∞∈a ξ使得{}.,0,max ),()()()(lim )(lim 111211+∞<<>'-+-=--+→+∞→ξξξa a b f b a b a b ab x f x f ax x 命题3.4 若函数)(x f 在开区间),(b -∞,使得{}.,,0min ),()()()(lim )(lim 111211b b a f a b a b a a b x f x f x b x <<-∞<'-+-=---∞→→-ξξξ 证明 令{}b a ,0min 1<，且),,(,)(111b a t a t ta b x ∈--=则复合函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=11)()(a t t a b f t ϕ在开区间),(1b a 内可导，其导数为,)()()()()()()(2111112111a t a b a a t t a b f a t a b a x f dt dxdx df t --⎥⎦⎤⎢⎣⎡--'=--'=='ϕ 由已知函数极限)(lim )(lim )(lim 11x f a t t a b f t bx b t b t ---→→→=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=ϕ, 与)(lim )(lim )(lim 1111x f a t t a b f t x a t a t -∞→→→=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=++ϕ,都存在.由命题3.1，至少存在一点),(1b a ∈η，使得,)()()()()(lim )(lim 21111111a ab a a a b f a b t t a t b t --⎥⎦⎤⎢⎣⎡--'='=--+-→→ηηηηϕϕϕ 令,)(11a a b --=ηηξ则),(111b a a b a ∈=--ηξξ时，),,(b -∞∈ξ所以，至少存在一点),,(b -∞∈ξ使得{}.,,0min ),()()()(lim )(lim 111211b b a f a b a b a a b x f x f x b x <<-∞<'-+-=---∞→→-ξξξ 显然,有如下的推论:若把上述命题的第二个条件加强为：有关的函数极限存在且相等,则至少存在一点ξ属于上述各区间,使得0)(='ξf .于是我们得到了推广的罗尔中值定理.不难看出,推广的罗尔中值定理,有其明确的几何意义:在符合定理的条件下,曲线)(x f y =在点[])(,ξξf 处有水平的切线.4. 拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理的应用广泛，可用于计算、证明、估算、判定等，在应用中灵活性较大，下面从求极限、证明不等式、判别级数敛散性等方面对拉格朗日中值定理的应用做进一步的研究.4.1 利用拉格朗日中值定理求极限用拉格朗日中值定理,最重要的是去找函数)(x f 和相应的区间],[b a ,而公式可变形为:).()()(ξf ab a f b f '=--它的左端是有特点的，恰好是)(x f 在区间],[b a 上的增量与],[b a 的区间长度的比值.因此公式变形后就可以确定函数)(x f 和相应的区间],[b a .例1．求极限：xx e e xx x sin lim sin 0--→.解 函数t e y =在[]x x sin ,或[]x x ,sin 上运用拉格朗日中值定理，得ξe xx e e xx =--sin sin (ξ在x 与x sin 之间).，可知时，当0,0sin 0→→→ξx x 故1lim sin lim 0sin 0==--→→ξξe x x e e xx x .例2．设)(x f ''连续,0)(≠''a f ,有公式)()()(x a f x a f x a f θ+'+=+, （1） 试求.lim 0θ→x解 对函数)(x f '在[]x a a θ+,或],[x x a θ+上运用拉格朗日中值定理，得)()()(1x a f x a f x a f θθθθ+''+'=+' )10(1<<θ,代入（1）式，得)()()()(12x a f x a f x a f x a f θθθ+''+'+=+. （2） 将)(x a f +按泰勒公式展开：)(2)()()(22x a f x a f x a f x a f θ+''+'+=+ )10(2<<θ, （3） 由（2）（3）得)(21)(21x a f x a f θθθθ+''=+'', 故21)(2)()(2)(limlim 1200=''''=+''+''=→→a f a f x a f x a f x x θθθθ.例3．求极限：⎪⎭⎫⎝⎛---→n m x x n x m11lim 1. 解 令yxyy x f -=1),(在],[n m 或],[m n 上对变量y 运用拉格朗日中值定理，得2)1(ln 1)(11ξξξξx xx x n m x n x m n m -+--=--- （ξ在n m ,之间）, 故))(1(2ln )(lim )1(ln 1)(lim 11lim 111211211----→→→--++--=-+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛---ξξξξξξξξξξξξξx x x x x x n m x x x x n m x n x mx x n m x 22lim )()1(2ln lim )(1111nm x x n m x x n m x x -=---=---=--→→ξξξξξ. 4.2 利用拉格朗日中值定理证明不等式拉格朗日中值定理存在的形式并不是不等式的形式.那么怎么能用拉格朗日中值公式去证明不等式呢?我们知道,在拉格朗日中值公式中),,(b a ∈ξ而不知道ξ具体是多少,但根据ξ在),(b a 之间的取值却可以估计)(ξf '的取值范围.或者说可以估计出)(ξf '取值的上、下界，分别用)(ξf '取值的上、下界去代换拉格朗日中值公式中的)(ξf '就可以得到不等式.这就是用拉格朗日中值公式证明不等式的思想. 例4．证明当0>x 时，x x xx<+<+)1ln(1. 证明 设)1ln()(x x f +=，显然)(x f 在区间],0[x 上满足拉格朗日中值定理的条件，故有 )0)(()0()(-'=-x f f x f ξ )0(x <<ξ. （1） 又xx f f +='=11)(,0)0(, 故（1）式为ξ+=+1)1ln(xx )0(x <<ξ, 则x x x x <+<+ξ11, 即x x xx<+<+)1ln(1.例5．设函数)(x f 在],[b a 上连续，有二阶连续导数且)()(b f a f =,若有),(b a c ∈使得)()(a f c f >，则必有),(b a ∈ξ，使得0)(<''ξf .证明 由题知，)(x f 在],[c a ,],[b c 上分别满足拉格朗日中值定理的条件，则有),(,)()()(11c a a c a f c f f ∈--='ξξ,且),(,)()()(22b c cb c f b f f ∈--='ξξ.因)()(b f a f =且)()(a f c f >, 故)(0)(21ξξf f '>>'，又由题知)(x f '在],[21ξξ上满足拉格朗日中值定理， 即0)()()(1212<-'-'=''ξξξξξf f f .例6．证明：当1>x 时，ex e x >.证明 令x e x f =)(，则)(x f 在],1[x 上满足拉格朗日中值定理的条件， 故存在),1(x ∈ξ，使得1)1()()(--='x f x f f ξ,即ξξe x f x e e f x f x )1()()1()1()(-='-=-=-.又因),1(x ∈ξ， 故e e >ξ.当1>x 时，e x e x e e x )1()1(->-=-ξ, 即ex e x >.所以当1>x 时，不等式成立.4.3 利用拉格朗日中值定理证明恒等式由拉格朗日中值定理知，函数在定义域内取两点21,x x （不妨设21x x <），有))(()()(1212x x f x f x f -'=-ξ，那么若)(x f '恒为0，则有0)(='ξf ，所以)()(12x f x f =.由21,x x 的任意性可知，)(x f 在定义域内函数值恒等.即有下面一个推论：推论 如果函数)(x f 在开区间I 内的导数恒为零，那么)(x f 在I 内是一个常数. 利用这个推论可以证明一类反三角恒等式的题目.例7．证明)1(412arccos21arctan 2≥=+-x x x x π恒等. 证明 令).1(12arccos 21arctan )(2≥+-=x x x x x ϕ在)1(≥x 时，212arccos x x+有意义， 且0)1()1(2112111)1(22)1(2)12(112111)(222222222222=+-⋅-+⋅++=+⋅-++-⋅++='x x x x x x x x x xx x x ϕ .所以，在1>x 时，c x =)(ϕ（常数）.又取),1(+∞内任一点，如3，有46213)3(πππϕ=-=，且404)1(ππϕ=-=，所以端点值也成立，由推论有)1(412arccos21arctan 2≥=+-x x x x π恒等. 4.4 利用拉格朗日中值定理证明等式用拉格朗日中值定理证明等式也是它的应用中很重要的一项,证明的目标在于凑出形式类似于拉格朗日中值定理的式子，寻找机会应用.例8．设)(x f 在],[b a 内可导，且1)()(==b f a f ，试证),(,b a ∈∃ηξ，使得1)]()([='+-ηηξηf f e .证明 令)()(x f e x F x =，则)(x F 在],[b a 上满足拉格朗日中值定理条件，故存在),(b a ∈η，使得)]()([)()(ηηηf f e ab a f e b f e a b '+=--，由条件1)()(==a f b f ， 可得)]()([ηηηf f e ab e e ab '+=--， 再令x e x =)(ϕ，则)(x ϕ在],[b a 上满足拉格朗日中值定理条件， 故存在),(b a ∈ξ，使得ξe ab e e ab =--， 综合上述两式可得)]()([ηηηξf f e e '+=，即1)]()([='+-ηηξηf f e .4.5 利用拉格朗日中值定理研究函数在区间上的性质因为拉格朗日中值定理沟通了函数与其导数的联系，很多时候我们可以借助其导数，研究导数的性质从而了解函数在整个定义域区间上的整体认识.比如研究函数在区间上的符号、单调性、一致连续性，凸性等等，都可能用到拉格朗日中值定理的结论，通过对函数局部性质的研究把握整体性质，这是数学研究中一种重要的方法.例9． 证明：若函数)(x f 在有穷或无穷的区间),(b a 内存在有界的导函数)(x f '，则)(x f 在),(b a 内一致连续.证明 设当),(b a x ∈时，,)(M x f ≤'对于),(,21b a x x ∈∀，在以21,x x 为端点的区间上由拉格朗日中值定理，有)()()(1212ξf x x x f x f '=--，ξ在21,x x 之间，那么,)(M f ≤'ξ对于0>∀ε,取Mεδ=，则当),(,21b a x x ∈，且δ<-21x x ，就有εξ<-≤'⋅-=-212121)()()(x x M f x x x f x f （ξ在21,x x 之间）， 由一致连续定义可知，)(x f 在),(b a 内一致连续.4.6 利用拉格朗日中值定理证明估值问题证明估值问题，一般情况下选用泰勒公式证明比较简便，特别是二阶及二阶以上的导函数估值时.但对于某些积分估值，可以采用拉格朗日中值定理来证明.例10．设)(x f ''在],[b a 上连续，且0)()(==b f a f ，试证：)(max 4)(x f a b dx x f bx a ab ≤≤-≥''⎰. 证明 若0)(≡x f ，不等式显然成立； 若)(x f 不恒等于0，),(b a c ∈∃，使)()(max c f x f bx a =≤≤，在],[c a 及],[b c 上分别用拉格朗日中值定理，有),,(,)()(11c a a c c f f ∈-='ξξ ),(,)()(22b c bc c f f ∈-='ξξ,从而))((1))(()()()()()(121212a c cb a bc f f f dx x f dx x f dx x f ab---='-'=''≥''≥''⎰⎰⎰ξξξξξξ)(max 4)(4))((2x f a b a b a b c f b x a ≤≤-=--≥, 这里利用了4)())((2a b c b a c -≤--,所以原不等式得证.4.7 利用拉格朗日中值定理判别级数的敛散性在级数敛散性的判别问题上，可以构造辅助函数，研究在各个区间上的特点，最后相加可以进行化简，利用级数敛散性的判别法则给出判断.例11．证明调和级数 +++++n131211的敛散性.证明 作辅助函数x x f ln )(=，其在区间)1,(+N N 上符合拉格朗日中值定理的条件，则存在一点)1,(+∈N N ξ，使NN N 11ln )1ln(<=-+ξ, 故有11ln 2ln <-,212ln 3ln <-,313ln 4ln <-,nn n 1ln )1ln(<-+.把不等式两边分别累加，得nn 131211)1ln(++++<+ . 由于+∞=++∞→)1ln(lim n n ,所以n S n 131211++++= ，+∞=+∞→n n S lim . 即调和级数是发散的.例12． 若一正项级数∑∞=>1)0(n n n a a 发散，n n a a a S +++= 21，证明级数∑∞=+>11)0(n nnS a δδ收敛. 证明 作辅助函数)0(1)(>=δδx x f ，则δδ+-='1)(x x f ，当2≥n 时，在],[1n n S S -上用拉格朗日中值定理，得))(()()(111n n n n n n n n S S f S S S f S f <<'=-----ξξ，即δδδξδ+--=-1111nn n n a S S ， 于是)11(1111δδδδδξnn n n n n S S a S a -=<-++， 由于⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-=---=∑)11()11()11(1)11(11322112δδδδδδδδδδm m n n mn S S S S S S S Sδδδδm S S 11111-=δδ111S ≤. 所以级数)11(112δδδn n n S S --∞=∑收敛，由比较原则知，级数∑∞=+>11)0(n nnS a δδ收敛. 4.8 利用拉格朗日中值定理证明方程根的存在性证明方程根的存在性,所给根的范围就是区间],[b a ,把所给方程设为函数)(x f ,就可用拉格朗日中值定理证明方程根的存在性(一般用反证法).例13．设)(x f 在]1,0[上可导,且1)(0<<x f ,又对于)1,0(内所有的点有.1)(-≠'x f 证明方程01)(=-+x x f 在)1,0(内有唯一的实根.证明 先证存在性.令1)()(-+=x x f x g ,则)(x g 在]1,0[上可导， 故1)(0<<x f ，0)1()1(,01)0()0(>=<-=f g f g .所以，由零点定理知)(x g 在)1,0(内至少有一个实根. 即01)(=-+x x f .再证唯一性（用反证法）.假设方程01)(=-+x x f 在)1,0(内有两个实根,,21x x 不妨设,1021<<<x x 则有,1)(,1)(2211x x f x x f -=-=对)(x f 在],[21x x 上运用拉格朗日中值定理，有))(()()(1212x x f x f x f -'=-ξ ),(21x x ∈ξ.因此1)1(1)()()(12121212-=----=--='x x x x x x x f x f f ξ.这与已知条件1)(-≠'x f 矛盾.（唯一性得证）.4.9 利用拉格朗日中值定理证明函数的单调性例14．证明 1(x)(1)x f x =+在(0,)+∞内单调增加.证明 因11(x)(1)[ln(1x)lnx ]1x f x x'=++--+，又x ln 在]1,[+x x 上满足拉格朗日中值定理的条件，故.10,1ln )1ln(<<=-+θθxx x从而有0)1()1(1)11()111()11()(>+-++=+-+='x x xx x x x x f x x θθθ.所以，)(x f 在0>x 时单调增加.结语在高等数学中，拉格朗日中值定理所涉及到的应用领域十分丰富，不仅内容广泛，而且方法灵活多样，的确是一个需要认真学习与研究的领域.本文先对拉格朗日中值定理推广进行了证明，然后从高等数学中常用的几个方面概述了拉格朗日中值定理的应用，并相应地举了些例子，以便更好的理解拉格朗日中值定理.拉格朗日中值定理的应用是一个庞大的课题，加上我自身理论、能力方面的欠缺，所以本文中还有许多不足和无法涉及的内容.本文对拉格朗日中值定理的应用的相关论述，不可避免的存在着诸多漏洞与不足，恳请老师予以批评.参考文献[1] 华东师范大学数学系·数学分析[M].第三版.上册.北京；高等教育出版社.2001.[2] 陈文灯.黄先开.数学题型集粹与练习题集[M].世界图书出版公司.2001.3.[3] 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