拉格朗日中值定理1
拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微积分中的一个重要定理，该定理在数学分析领域中具有广泛的应用。
它由法国数学家拉格朗日于18世纪提出，并被证明为一个基本的中间值定理。
拉格朗日中值定理表明，对于一个在闭区间[a, b]上连续的且在开区间(a, b)上可导的函数f(x)，在该区间内存在一个点c，其斜率等于函数在区间[a, b]上的平均斜率。
具体地说，如果f(x)满足上述条件，则存在一个c∈(a, b)，使得f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)。
这个定理在几何上具有重要的几何解释，即在光滑曲线上存在着斜率与切线平均斜率相等的点。
换句话说，拉格朗日中值定理可以用来证明在曲线上的某一点上一定存在与切线斜率相同的斜率值。
下面我们来具体证明拉格朗日中值定理。
假设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，且在开区间(a, b)上可导。
考虑函数g(x) = f(x) - ((f(b) -f(a))/(b - a))(x - a)，其中((f(b) - f(a))/(b - a))代表函数f(x)在[a, b]上的平均斜率。
由于g(x)在闭区间[a, b]上连续且在开区间(a, b)上可导，我们可以应用罗尔定理，得到在(a, b)内存在一个点c，使得g'(c) = 0。
因为g'(c) = f'(c) - (f(b) - f(a))/(b - a) = 0，所以f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
从上述证明可以看出，拉格朗日中值定理的关键在于构造一个辅助函数g(x)，通过应用罗尔定理找到其导数为零的点c，从而得到f'(c)与平均斜率相等的结论。
拉格朗日中值定理在微积分的应用中具有广泛的意义。
例如，可以用该定理证明函数的单调性，判断函数的最值，解方程和不等式等。
此外，拉格朗日中值定理还为高阶导数提供了计算的方法，通过多次应用该定理可以推导出一些重要的数学公式和定理。
ln(1+x)的拉格朗日中值定理
ln(1+x)的拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微积分中非常重要的定理之一，用于研究函数的平均变化率与导数之间的关系。
该定理具体描述了函数在某个区间内的平均变化率与该区间内某一点的导数之间存在的关系。
在本文中，我们将讨论使用拉格朗日中值定理证明ln(1+x)函数在某个区间内存在某个点，使得函数的导数等于函数的平均变化率。
首先，我们先来说明一下ln(1+x)函数的定义域。
由于ln函数的输入值必须大于零，所以要求1+x大于零，即x大于-1。
因此，ln(1+x)的定义域为(-1, +∞)。
接下来，我们来详细介绍拉格朗日中值定理。
拉格朗日中值定理是数学分析中的一个基本定理，用于描述函数的平均变化率与导数之间的关系。
在数学上，拉格朗日中值定理可以表述为：若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，那么存在一个点c∈(a, b)，使得f'(c)等于函数f(x)在闭区间[a, b]上的平均变化率。
现在我们来证明ln(1+x)函数在区间(0, x)内满足拉格朗日中值定理的条件。
首先，根据ln(1+x)的定义域，可以得知该函数在区间(0,x)内连续。
然后，我们需要证明ln(1+x)在区间(0, x)内可导。
根据定义，我们可以求出ln(1+x)的导数，即(ln(1+x))' = 1/(1+x)。
可以看出，对于区间(0, x)内的任意x值，1/(1+x)都存在且不等于零，因此导数存在且连续。
所以，我们可以得出结论：ln(1+x)在区间(0, x)内满足拉格朗日中值定理的条件。
接下来，我们需要找到满足拉格朗日中值定理的点c，并计算其导数f'(c)。
根据定理的描述，f'(c)等于函数f(x)在闭区间[0, x]上的平均变化率，即f'(c) = (f(x) - f(0)) / (x - 0)。
对于ln(1+x)函数，我们将其带入公式中，便得到f'(c) = (ln(1+x) - ln(1+0)) / (x - 0) = ln(1+x) / x。
拉格朗日中值定理怎么证明
拉格朗日中值定理怎么证明拉格朗日中值定理是微积分中的重要定理之一，它的证明可以采用数学归纳法来展开。
假设函数f(x)在[a,b]上连续且在(a,b)内可导，且f(a)≠f(b)。
令x∈(a,b)，则根据拉格朗日中值定理，存在一点c∈(a,b)使得：f'(c)=[f(b)-f(a)]/[b-a]证明过程如下：1.当n=1时，即只有一个区间[a,b]时，由于f(x)在[a,b]上连续且在(a,b)内可导，因此一定存在一点c∈[a,b]使得：f'(c)=[f(b)-f(a)]/[b-a]成立。
2.假设当n=k时，定理成立，即对于任意的区间[x0,xk]，存在一点c∈(x0,xk)使得：f'(c)=[f(xk)-f(x0)]/[xk-x0]3.现在考虑当n=k+1时的情况，即有k+1个点x1,x2,…,xk+1。
我们将这些点划分成两组：第一组包括x1,x2,...,xk，第二组是包括xk,xk+1。
由于假设n=k时定理成立，因此对于第一组，存在一点c1∈(x1,xk)使得：f'(c1)=[f(xk)-f(x1)]/[xk-x1]而对于第二组，由于f(x)在[xk,xk+1]上连续且在(xk,xk+1)内可导，因此存在一点c2∈(xk,xk+1)使得：f'(c2)=[f(xk+1)-f(xk)]/[xk+1-xk]令λ=(xk-c1)/(c2-xk)，则由于c1<xk<c2，因此0<λ<1，于是我们可以得到：c=λc2+(1-λ)c1∈(x1,xk+1)同时，根据增量中值定理，有：[f(xk+1)-f(x1)]/[xk+1-x1]=f(c2)-f(c1))/[c2-c1]=[f(xk+1)-f(xk)]/[c2-xk]--[f(xk)-f(x1)]/[xk-c1]即存在一点c∈(x1,xk+1)使得：f'(c)=[f(xk+1)-f(x1)]/[xk+1-x1]根据数学归纳法原理，定理成立。
拉格朗日中值定理
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1 定理的表述 3 定理的应用 5 定理的哲学意义
2 定理的证明 4 定理的推广 6 总结
1
定理的表述
定理的表述
拉格朗日中值定理，又被称为拉氏定理、有限增量定理，是微分学中的基本 定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点 的局部变化率的关系
定理的现代形式如下
如果函数f(x)在闭区间上
[
a,b]连续，在开区间(a,b)上可导，那么在开区间(a,b)内至少 存在一点ξ使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)
2
定理的证明
定理的证明
以下是使用罗尔 中值定理来证明 拉格朗日中值定
理的步骤
定理的证明
01
02
03
构造新的函数：我们构造一 个新的函数F(x)，该函数为 f(x)在[a,b]上的每一点的 值的两倍减去f(a)和f(b)的 差。即，F(x)=2f(x)-f(a)-
f(b)
使用罗尔中值定理：根据罗 尔中值定理，如果函数F(x) 在[a,b]上连续且在(a,b)上 可导，并且F(a)=F(b)，那 么在(a,b)之间至少存在一
点ξ使得F'(ξ)=0
应用罗尔中值定理的结果： 根据我们在第一步构造的函 数，F'(x)=2f'(x)。所以，
F'(ξ)=0意味着 f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)
能更好地理解和解释世界
6
总结
总结
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总结
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拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，它反 映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间 内某点的局部变化率的关系
这个定理在数学和其他领域有着广泛的应用，同时也 具有深远的哲学意义
高等数学第6章第1节拉格朗日中值定理和函数的单调性
第六章 微分中值定理及其应用§1.拉格朗日中值定理和函数的单调性引言为了了解中值定理的背景，我们可作以下叙述:弧AB 上有一点P ，该处的切线平行与弦AB ．如何揭示出这一叙述中所包含的“数量"关系呢？联系“形”、“数”的莫过于“解析几何"，故如建立坐标系，则弧AB 的函数是y=f(x)，x ∈［a,b]的图像,点P 的横坐标为x ξ=．如点P 处有切线，则f （x ）在点x ξ=处可导,且切线的斜率为()f ξ';另一方面,弦AB 所在的直线斜率为()()f b f a b a --，曲线y=f(x ）上点P 的切线平行于弦AB ⇔()()()f b f a f b aξ-'=-． 撇开上述几何背景，单单观察上述数量关系,可以发现：左边仅涉及函数的导数,右边仅涉及函数在端点的函数值．这样这个公式就把函数及其导数联系起来．在二者之间架起了一座桥梁，这座“桥”就是导数在研究函数方面应用的理论基础．鉴于(,)a b ξ∈，故把类似公式称为“中值公式”；把类似的定理称为中值定理．剩下的问题是：中值定理何时成立呢？观察如下事实，可以发现：如果y=f(x)在［a,b]上不连续或不可导（无切线），是不一定有上述结论的．换言之，如保证类似点P 存在，曲线弧AB 至少是连续的，而且处处有切线．反映到函数y=f （x ）上,即要求y=f （x)在[a,b ］上连续，在（a,b)内可导．一、 罗尔中值定理与拉格朗日中值定理1、罗尔中值定理定理6．1：若f 满足如下条件：（1）f ∈[a,b ］;（2）f 在(a ，b ）内可导；(3）f （a)=f （b)，则存在ξ∈（a,b),使得()0f ξ'=．（分析)由条件（1)知f 在[a ，b]上有最大值和最小值，再由条件(2)及(3），应用费马定理便可得到结论．证明:因为f 在[a,b ］上连续，所以有最大值与最小值,分别用M 与m 表示,现分两种情况讨论：(i)若M = m ， 则 f 在［a ，b ］上必为常数，从而结论显然成立．(ii ）若m ＜ M ，则因 f （a)=f (b ），使得最大值M 与最小值m 至少有一个在（a ，b)内某点ξ处取得,从而ξ是f 的极值点，由条件（2) f 在点ξ处可导，故由费马定理推知)(ξf '=0。
拉格朗日中值定理的ξ怎么求
拉格朗日中值定理的ξ怎么求摘要：一、拉格朗日中值定理简介二、ξ的求解方法1.公式推导2.实例演示三、求解过程中的注意事项四、总结与拓展正文：一、拉格朗日中值定理简介拉格朗日中值定理是微分中值定理的一个重要组成部分，它揭示了函数在某一区间内的性质。
该定理表示：在闭区间[a, b]上连续的函数f(x)，在开区间(a, b)内可导，则在此区间内存在一点ξ（a < ξ < b），使得：f"(ξ) = (f(b) - f(a)) / (b - a)。
二、ξ的求解方法1.公式推导根据拉格朗日中值定理的定义，我们可以得到以下公式：f"(ξ) = (f(b) - f(a)) / (b - a)2.实例演示以函数f(x) = x^2在区间[0, 2]上为例，我们可以求解ξ的值。
已知f(0) = 0，f(2) = 4，f"(x) = 2x。
根据公式，我们有：f"(ξ) = (f(2) - f(0)) / (2 - 0)2ξ = 4ξ= 2所以，在这个例子中，ξ的值为2。
三、求解过程中的注意事项1.确保函数在所给区间上连续，否则定理不成立。
2.确保函数在所给区间内可导，否则无法求解导数值。
3.注意区间的开闭性质，闭区间包括端点，开区间不包括端点。
四、总结与拓展拉格朗日中值定理是微分中值定理的基础，它揭示了函数在某一区间内的性质。
通过公式推导和实例演示，我们可以求解出ξ的值。
在实际应用中，拉格朗日中值定理有着广泛的应用，例如在求解泰勒公式、函数的性质分析等方面。
拉格朗日中值定理条件
拉格朗日中值定理条件拉格朗日(Lagrange)中值定理函数f(x)满足条件：（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。
拉格朗日法国数学家。
1754年开始研究数学，1766年接替了欧拉在柏林皇家科学院的职位，在那里工作达20年。
1786年去法国，先后担任巴黎高等师范学校和多科工艺学校教授。
他是18世纪仅次于欧拉的大数学家，工作涉及数论、代数方程论、微积分、微分方程、变分法、力学、天文学等许多领域。
在数学上，他最早的重要贡献是1759年解决了等周问题，从而开创了变分问题分析形式的一般解法。
1766～1787年是他科学研究的多产时期，1766～1773年，他在数论方面做了一系列研究，1766年证明了所谓佩尔(Pell)方程(x-Ay=1)的解的存在性，1770年证明费马的著名命题，每个正整数可表为至多4个平方数之和；1771年证明了著名的所谓威尔逊(Wilson)定理;1773年关于整数的型表示问题获得关键性成果。
1767～1777年，他又系统地研究了代数方程论，引入对称多项式理论，置换理论及预解式概念，指出根的排列理论是整个问题的真谛，对后来伽罗华的工作产生了重要影响。
在这期间，他还在微积分、微分方程、力学、天文学领域广泛开展研究，导致了他的两部不朽巨著《分析力学》(1788)、《微分原理中的解析函数论》(1797)。
著名的拉格朗日中值定理、拉格朗日余项、拉格朗日方程，对黎卡提方程的重要研究，对线性微分方程组的研究，对奇解与通解的联系的系统研究，都是这一时期的工作。
他也是最先试图为微积分提供严格基础的数学家之一，这使他成为实变函数论的先驱。
他还以在数学上追求简明与严格而被誉为第1个真正的分析学家。
拿破仑曾评价说：“拉格朗日是数学科学方面高耸的金字塔。
拉格朗日中值定理的几种形式
拉格朗日中值定理的几种形式拉格朗日中值定理是微积分中的一项重要定理，它在数学分析和物理学等领域中具有广泛的应用。
拉格朗日中值定理有几种形式，下面将对其中的几种形式进行介绍。
首先是拉格朗日中值定理的第一种形式。
设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那么存在一点c，使得a<c<b，并且f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
这个定理表明，对于连续可导的函数，存在一个点c，它的导数等于函数在[a,b]区间上的平均变化率。
第二种形式是柯西中值定理。
设函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，并且g'(x)≠0，则存在一点c，使得(a-b)f'(c)=(f(b)-f(a))g'(c)。
这个定理表明，在一定条件下，存在一个点c，使得两个函数在[a,b]上的导数之比等于它们在区间端点上函数值之比。
第三种形式是拉格朗日中值定理的推广形式。
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内n阶可导，则存在n-1个点c1, c2,...,cn-1，使得f'(c1)/1!+f''(c2)/2!+...+f^(n-1)(cn-1)/(n-1)!=(f(b) -f(a))/(b-a)。
这个定理表明，对于n阶可导的函数，存在n-1个点，它们的导数与函数在[a,b]上的平均变化率之和相等。
拉格朗日中值定理是微积分中的重要工具，它在数学分析中有广泛的应用。
例如，它可以用来证明一些函数的性质，计算一些特殊函数的导数，以及解决一些实际问题。
它的几种形式在不同情况下可以应用于不同的问题，为我们提供了解决问题的有效方法。
总而言之，拉格朗日中值定理具有多种形式，它为我们研究函数的性质和解决实际问题提供了重要的数学工具。
通过应用这些定理，我们可以更深入地理解函数的变化规律，为数学和物理学等领域的研究提供有力支持。
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一拉格朗日中值定理1．定理内容拉格朗日中值定理，又被称为有限增量定理，是微积分中的一个基本定理。
拉格朗日中值公式的形式其实就是泰勒公式的一阶展开式的形式。
在现实应用当中，拉格朗日中值定有着很重要的作用。
拉格朗日中值定理是所有的微分中值定理当中使用最为普遍的定理。
拉格朗日中值定理的形成和发展过程都显示出了数学当中的一个定理的发展是一个推翻陈旧，出现创新的一个进程。
发现一些新的简单的定理去替代旧的复杂的定理，就是由初级走向高级。
用现代的语言来描述，在一个自变量x从x变为x+1的过程中，如果函数f(x)本身就是一个极限值，那么函数f(x+1)的值也应该是一个极限值，其值就应该和f(x)的值近似相等，即f(x+1)−f(x)≈01这就是非常著名的费马定律，当一个函数f(x)在x=a处可以取得极值，并且函数是可导函数，则f′x=0。
著名学者费马再给出上述定理时，此时的微积分研究理论正处于初始阶段，并没有很成熟的概念，没有对函数是否连续或者可导作出限制，因此在现代微积分理论成熟阶段这种说法就显得有些漏洞。
在所有的微分中值定理中，最重要的定理就是拉格朗日中值定理。
最初的拉格朗日中值定理和现在成熟的拉格朗日中值定理是不一样的，最初的定理是函数f(x)在闭区间[a,b]内任取两点x0和x1，并且函数f x在此闭区间内是连续的，f′(x)的最大值为A，f′x最小值为B，则f(x1)−f(x0)的值必须是A和B之间的一个x1−x0值。
下述就是拉格朗日中值定理:如果存在一个函数满足下面两个条件，（1）函数f 在闭区间[a，b]上连续；（2）函数f 在开区间（a，b）内可导；那么这个函数在此开区间内至少存在着一点，使得f′ξ=f(b)−f(a).b−a2.定理意义拉格朗日中值定理在数学的微积分属于重要的定理，是微分中值定理中应用最为广泛的定理，在发展过程中推算出了其他的微分中值定理，在实际应用中，具有重要的使用价值。
其中，拉格朗日中值定理在几何运算中所具有的意义是：若一个连续函数y=f(x)在两点A a,f a、B(b,f(b))之间不存在垂直于x轴的切线，那么在这两点之间至少存在这一点C c,f c，这一点的切线平行于直线AB。
在运动学中所具有的意义是，在任意的一个曲线运动过程中至少存在着一个时间点的速度等于这个曲线运动的平均速度。
二拉格朗日中值定理的应用在前人对微分中值定理的研究当中，统计经历了几百年的时间，由费马提出费马定理开始，经历了从简单到复杂，从特殊情况到一般情况，从简单的概念到复杂的概念这样的发展阶段。
在微积分当中，拉格朗日中值定理是一个非常重要的基础知识。
拉格朗日中值定理是导数的一个延伸概念，在导数运算中是的很基本概念。
拉格朗日中值定理在属于微积分当中的微分中值定理中有着承前启后的作用，在研究理论上拉格朗日中值定理即是罗尔定理的延伸又衔接了柯西定理，因此，不言而喻的是拉格朗日中值定理在研究函数的进程中有着非常重要的作用。
在数学知识应用当中，拉格朗日中值定理是对函数研究的一个重要工具，并且有着十分广泛的应用。
这些作用主要表现在以下几种情况，比如在求导极限定理、求函数极限、证明不等式、说明函数单调性、讨论方程的根是否存在的情况和对导数估值等，它在解决数学问题时通常将问题从难化简，对解决难题起到很好的作用。
本文着重讲解的是拉格朗日中值定理各种的应用。
1.求极限例1. 求解lim x→a x a−a xa−x。
分析：我们先将此式子的分子加上一个a a，然后再减去一个a a。
如，x a −a x a −x =x a −a x −a a +a a a −x =a a −a x a −x =a a −a x a −x −a a −x aa −x此时，容易看出应该构建的函数的形式，令f t =a t ，g t =t a ，假设这两个函数都在闭区间[a,t]或者[t,a]上连续并且在相同开区间上面可导的，并且这两个函数的两个端点值都分别相等，就是满足拉格朗日中值定理的条件，这是就分别存在着两个点μ，ξ在x 和a 之间，当x →a 时，有μ→a ，ξ→a 得lim x →a x a −a x =lim x →a [a a −a x −a a −x a] =lim ξ→a a ξln a −lim μ→a aa μ−1=a a (ln a −1)例 2. 存在函数f ′′(x)是连续的并且有f ′′(a)≠0,满足下列式子f b +x =f b +xf ′ b +μx (0<μ<1)①，求x→0 时μ的极限。
解：运用拉格朗日中值定理可以由式子①可以计算出函数f ′(x)在闭区间[b,b+x]或者[b+x,b]的拉格朗日中值定理的形式f b+x −f(b)x =f ′ b +μx ,继上式可以推得f ′ b +μx =f ′ b +μxf ′′ b +μ1μx (0<μ1<1)。
将这个结果带入式子①可以计算得出f b +x =f b +xf ′′ b +μx 2f ′′ b +μx ②运用泰勒展开公式把函数f b +x 展开得以得到f b +x =f b +xf′ b +12x 2f ′′ b +μ2x ③由式子②③可以综合计算得到，μf′′ b +μμ1x =12f ′′ b +μ2x 然后求极限，所以μx →0lim =f ′′ b+μ2xμf′′ b+μμ1x =f ′′(b)2f (b)=12。
例3：求出函数极限lim x →∞x 2[Inarctan x +1 −Inarctanx]。
解：首先，我们先建立一个辅助函数f x=Inarctanx，然后再求解。
令f x=Inarctanx，此函数在闭区间[x,x+1]上面明显是满足拉格朗日中值定理的需求条件的，因此存在一点ξ在此闭区间上面。
根据拉格朗日中值定理可以得出，Inarctan x+1−Inarctanx=1∙12因为点ξ是在闭区间[x,x+1]内的一点，所以x<ξ<x+1，可以得到x22>x22>x22那么在x→∞时，ξ→∞，则limx→∞x21+x2=1，limx→∞x21+(1+x)2=limx→∞x21+x2=1，通过夹逼定理就可以知道lim x→∞x21+ξ2=1所以，根据上面的计算，原函数=limx→∞x2arctanξ∙11+ξ=limx→∞1arctanξ∙limx→∞x21+ξ=2π。
在运用拉格朗日中值定理求解极限的过程中，最主要的步骤就是找到函数f x和其定义域的取值范围此时假设为闭区间[a,b]，这个时候的拉格朗日中值定理公式就可以列为f b−f ab−a=f′ξ，这个式子的左边是这个函数在这个闭区间上面两个端点值的差与闭区间长度的比值。
因此公式在变成这种形式之后，就可以得出相应的函数与区间。
当极限形式为0的未定式，就可以想到需要构建一个中间函数，此函数满足拉格朗日中值定理的需求条件，然后对函数采用拉格朗日中值定理的方法去解决问题。
在解决这种类型的题目要采用罗尔定理的原因，在现目前大多数微积分的相关教材中，在解决类型问题时多采用构建中间函数运用罗尔定理解决问题。
在面对一些题目时，这些函数有可能并不满足拉格朗日中值定理的条件，需要去构建一个中间函数，去满足拉格朗日中值定理的需求条件，然后将构建的这一函数与原函数紧密联系起来，再将构建的函数转化为原函数，从而运用拉格朗日中值定理去解决问题。
当遇到典型的极限形式为∞∙0型，在此我们应该先应用洛必达法则去求解。
但是在计算过程中会发现，如果采用洛必达法则反而更加麻烦的时候，应该多观察题目是否可以运用拉格朗日中值定理来求解题目，简化题目，因此我们可以观察给出的式子中，然后构建出拉格朗日中值定理的基本形式，运用拉格朗日中值定理去求解这道题目。
2证明等式例 4.假设函数f x = ln 1−t t x 0dt 在区间（-1,1）有意义，证明：f x +f −x =12f x 2 。
证明：令g x =f x +f −x −12f x 2 =0，求得这个函数的导数g ′ x =f ′ x −f ′ −x −xf ′ x 2 =0我们可以根据题意求得f ′ x =ln 1−x x ，因此，g ′ x =ln 1−x +ln 1+x −ln 1−x 2 2=0 根据常数的导数为0，可以得出g x =0，因此证明了原式成立。
例5：假设函数f x =arccosx +arcsinx 在闭区间[0,1]上面是连续的，并且在开区间(0,1)上面是可导函数，证明：f x =arccosx +arcsinx =π2。
证明：由于该函数f x 闭区间[0,1]上面是连续的，并且在开区间(0,1)上是可导函数，那么在该去间内存在着一点b ，使得f ′ b =f 1 −f(0) 又 arccosx ′=− 11−x ， arcsinx ′= 11−x因此， arccosx ′+ arcsinx ′=0，得到f ′ x =0，则f x 是一个常数函数。
在零点有，f 0 =arccos0+arcsin0=π2所以，f x =arccosx +arcsinx =π2。
根据拉格朗日中值定理可以推导出一个结论，如下所示。
假设函数f x在一个固定区间内可导，设这个可导区间为A，则在点x处于区间A中，就存在着f x的导函数等于0，那么就证明f x在区间A中是一个常数。
利用拉格朗日中值定理去证明等式这是该定理十分重要的一项运用，在证明等式的过程中，用题目中给出的证明等式的式子去构建出类似于拉格朗日中值定理形式的式子。
在证明恒等式时，可以先假设这个恒等式两边的式子相减为0，构建出一个新的函数，然后根据常熟的导数为0来证明这个恒等式成立。
2.证明不等式例6.证明：2<arcsinx<x，x>0。
证明：先假设f x=arcsinx，在区间[0,x]上运用拉格朗日中值定理可以得到arcsinxx =12⇒arcsinx=x1−ξ2又因为ξ是存在于闭区间[0,x]内的，所以ξ<x。
x1−ξ2>x1−x2那么，2<arcsinx<x。
例7.证明x1−x<ln1+x<x(x>0).证明：令f a=ln(1+a)，由题意可知0<a<x，则函数f a在0<a< x这个区域内是连续并且可导的函数，根据拉格朗日中值定理运算可以得到f x−f0=f′ξx(0<ξ<x),则，可以得到ln(1+a)=x 1−ξ由于0<ξ<x，则1<1<1所以就可以得到x 1−x <ln 1+x <x (x >0)。
在求解不等式的时候，把异于其他式子的函数用拉格朗日中值定理表示出来，推算出相似的式子进行比较，然后证明原式的大小。