拉格朗日中值定理讲课稿
Lagrange中值定理PPT演示课件
罗尔定理回顾：
若函数 y f (x) 满足:
y
C
y f (x)
(1) 在闭区间a,b上连续；
(2) 在开区间a,b 内可导； A
(3) f (a) f (b).
o a 1
B D
2 b
x
在 a,b 内至少存在一点 , 使 f ( ) 0.
几何意义：在一段每点都有切线的连续曲线上，若两端 点的高度相同，则在此曲线上至少存在一条水平切线.
连续点,或者是f '( x)的第二类间断点.
证明：假设x0是f
(
x
)的第一类间断点，则
lim
x x0
f
'( x)
f ( x0 0)和
lim
x x0
f
'( x)
f ( x0 0)存在,由拉格朗日中值定理:
f '( x0 )
f(
x0
)
lim
h0
f ( x0 h) h
f ( x0 )
lim h0 0ch h
(
x
a)
(1) F ( x)在[a, b]上连续； y
(2) F ( x)在(a, b)内可导；
(3) F (a) F (b) 0.
A
由罗尔定理，存在 (a, b),使
F ( ) f '( ) f (b) f (a) 0. o a
ba
f ( ) f (b) f (a) .
ba
F(x)
一点 C ,在该点处的切
线平行于弦 AB.
A
D
o a 1
2 b
x
5
拉格朗日中值定理的应用
拉格朗日中值定理的等价形式: f ( ) f (b) f (a) .
《拉格朗日中值定理》PPT课件
罗尔定理
微
拉格朗日中值定理
分
中
值
柯西中值定理
定
理
泰勒中值定理
1
罗尔（Rolle）定理
如果函数 f ( x) 满足 （1） 在闭区间 [a, b]上连续； （2） 在开区间(a, b)内可导； （3） 且在区间端点的函数值相等，即 f (a) f (b)；
则在(a, b) 内至少有一点(a b),使得函数 f ( x)在 该点的导数等于零，即 f ' () 0
2
Hale Waihona Puke 何解释: yy f (x)
A
B
O
C
a
bx
实际上, C点处的切线与弦 AB 平行.
把上图做一旋转，得到下图：
3
y
y f (x)
B
A
C
a
bx
O
C点处的切线与弦线 AB 平行.
f ( ) f (b) f (a)
ba
4
拉格朗日（Lagrange）中值定理
如果函数 f ( x)满足 （1） 在闭区间 [a, b]上连续； （2） 在开区间(a, b)内可导；
f ( x1) f ( x2 ) .
10
推论 2
若 f (x) g(x) x I , 则 f (x) g(x) C x I . ( C 为常数 )
证
f (b) f (a) f ( )(b a)
F ( x) ( f ( x) g( x)) f ( x) g( x)
若 f (x) g(x) x I , 则 F(x) ( f (x) g(x)) 0 , x I ,
（3）定理只论证了 的存在性， (a, b) ，不知道
拉格朗日中值定理课件
说明 本例中，若令y=ln t，a=1，b=1+x，亦可利
用拉格朗日中值定理证明所给不等式.这表明证明 不等式时，f(x)与[a,b]的选取不是唯一的.
谢谢大家
放映结束 感谢各位的批评指导！
谢 谢！
让我们共同进步
二、拉格朗日中值定理的应用
例1 函数 f (x) 2x2 x 1在区间[－1,3]上满足拉格
朗日中值定理的 =( ).
A. 3; B. 0; C. 3; D. 1 . 4
分析 由于 f (x) 2x2 x 1在[－1,3]上连续，在(－1,3)
内可导，因此f(x拉格朗日中值定理条件. )在[－
拉格朗日中值定理及其应用
一、拉格朗日中值定理
定理1. 设函数f(x)满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续； (2) 在开区间(a,b)内可导；
则至少存在一点 (a,b)，使f ( ) f (b) f (a) .
ba 分析 与罗尔定理相比，拉格朗日中值定理中缺
少条件是f(a)=f(b).如果能由f(x)构造一个新函数 ( x),
f (x0 x) f (x0 ) f ( )x,
其中为x0与x0 x 为之间的点.也可以记为
f (x0 x) f (x0 ) f (x0 x)x, 0 1
或
y f (x0 x)x, 0 1,
因此又称拉格朗日中值定理为有限增量定理.
使(x) 在[a,b]上满足罗尔定理条件，且由'( ) 0 能导出 f ( ) f (b) f (a) ，则问题可解决.
ba
证 令 (x) f (x) f (a) f (b) f (a) (x a).
命题人系列第8讲：拉格朗日中值定理及应用
命题人系列第8讲：拉格朗日中值定理及应用凌晨讲数学
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本节继续《命题人视角下的函数与导数》第8讲：拉格朗日中值定理及其在导数命题的中的应用.
作为继泰勒展开之后的另一个高观点下的应用范例，我将从以下几个方面入手：
实际上，关于拉格朗日中值定理在导数题目中的应用，目前谈论最多的应该是一类割线斜率恒成立问题，例如2018年全国1卷，但是，仅就拉格朗日中值定理来讨论割线斜率恒成立问题又是不严谨的，即用该定理来解决这类问题会犯错！所以，这类不严谨的做法不是本文讨论的重
点，仅在文末会给出例子说明. 本节的重点是围绕两道高考真题谈论拉格朗日中值定理在导数命
题中最重要的两个应用：利普希茨条件和刘维尔不等式. 因此，本文的基本构架如下：
1.拉格朗日中值定理
2.利普希茨条件与2019天津卷导数题
3.刘维尔不等式与2017天津卷导数题
4.割线斜率的取值范围.更正下面定理为闭区间连续，开区间可导！
如果你喜欢此内容，请在文末为它点个赞和在看!。
说课：拉格朗日中值定理
二. 教法分析
（四）具体措施
根据以上的分析，本节课采用教师引导与学生 自主探究相结合，交流与练习相穿插的活动课 形式，以学生为主体，教师创设和谐、愉快的 环境及辅以适当的引导。同时，利用多媒体形 象动态的演示功能提高教学的直观性和趣味性， 以提高课堂效率。教学中注重数形结合，从形 的角度对概念理解和运用。在这个过程中培养 学生分析解决问题的能力，培养学生讨论交流 的合作意识。
情景 引入
几何 意义 具体 运用
复习 引入
2、时间安排：
新课引入约10分钟， 探索求知约10分钟， 灵活运用约20分钟， 小结提高约5分钟。
概念 建构
演 练
作业
过程反思
本节课设计为一节“科学探究 — 合作学习”的活 动课，在整个教学过程中学生以探索者的身份学 习，在问题解决过程中，通过自身的体验对知识 的认识从模糊到清晰，从直观感悟到精确掌握。 力求使学生体会微积分的基本思想，感受近似与精 确的统一，运动和静止的统一，感受量变到质变的 转化。希望利用这节课渗透辨证法的思想精髓。 教师在这个过程中始终扮演学生学习的协作者和 指导者。学生通过自身的情感体验，能够很快的 形成知识结构，并将其转化为数学能力。
教学过程 （三）灵活运用 透析内涵 求函数 f ( x) x 在[0,2]上满足拉 格朗日中值定理条件的 ？
2
设计意图
' f 解： ( x) 2 x，
由拉格朗日中值定理得：
22 02 2 (2 0)
这是学生思维上升的 又一个层次，设计该 题目的在于加深学生 对导数刻画函数单调 性的理解，通过它及 时发现学生的问题， 及时纠正，能对学生 情况给予及时评价。
拉格朗日中值定理，建立了函数值与导数值之间的定量 联系，因而可用中值定理通过导数去研究函数的性态，如单 调性、变化快慢和极值等性态，这是本章的关键内容。
拉格朗日中值定理说课稿
二、说学生
打好基础，够用为度，少讲推理，多讲应用
三、说教学目标
1.知识目标：记忆Lagrange中值定理的条 件和结论，了解其几何意义，并用它来建立 导数与函数单调性之间的关系。
2.能力目标：会求满足Lagrange中值定理
一般 课后作业：P99-4（1）、7
罗尔（Rolle）定理与Lagrange中值定 理
f()f(b)f(a).
ba
f()0.
f()f(b)f(a).
ba
令 a x 0 ,b x 0 x , y f ( x 0 x ) x ( 0 1 )
总结归纳
知识点总结：三个定理各自的条件和结论 方法总结：形象思维---抽象思维，特殊---
中的 值并应用Lagrange中值定理进行简
单的不等式、等式证明,会用单调性定理求 函数的单调区间。
四、说教学重点、难点
1.教学重点：
Lagrange中值定理及其推论的应用，会用单调 性定理求函数的单调区间。
2.教学难点：
Lagrange中值定理的证明。
五、说教学方法
讲授法 探究法 练习法 启发式
六、说教学过程
遵循着“复习旧知---讲授新知---总结归纳” 的原则，本节课的教学内容由以下六部分组 成：
导入
Fermat引理
Rolle定理
Lagrange中值定理
单调性定理
总结
费尔马引理与罗尔( Rolle )定理
yA
y A y f(x)
B
o x0 x
f(x0)0
o
a bx
课件：15-第15讲 罗尔、拉格朗日中值定理
又 f (a) f (b) f (c) f (d ) 0 ,
f (x) 是四次多项式 , 在 (,) 内可微 , 在 [a, b] ,[b, c] ,[c, d ] 上运用罗尔中值定理 , 得
f (1) f (2) f (3) 0 . 其中, 1 (a, b) , 2 (b, c) , 3 (c, d) .
由罗尔中值定理 , 至少存在一点 1 (a,c), 使得 (1) 0.
同理, 至少存在一点 2 (c,b), 使得 (2) 0. 在 [1,2] 上对函数 (x) 再运用罗尔中值定理 , 则
至少存在一点 (1,2) (a,b), 使得 (( )) ( ) 0,
即 f ( ) g( ). 29
22
例2
设 f (x) C([a, b]) , 在 (a, b)内可导, 证明
2x ( f (b) f (a)) (b2 a2) f (x)
在 (a, b) 内至少有一根 .
证 令 F(x) x2( f (b) f (a)) (b2 a2) f (x)
则由 f (x) 的连续性和可导性 , 得
O x1
x0 x2 x
8
将割线作平行移动, 那么它至少有一次会 达到这样的位置：
在曲线上与割线距离最远的那一点P 处成 为切线, 即在点P 处与曲线的切线重合.
也就是说, 至少存在一点 (x1 , x2) , 使得 f ( ) f (x2 ) f (x1)
x2 x1 该命题就是微分中值定理.
9
极值的定义
设 f (x) 在 U(x0) 内有定义 , 若
f (x) f (x0 ) x Uˆ (x0 ) ,
拉格朗日（Lagrange）中值定理讲义
拉格朗日（Lagrange ）中值定理教学目的：1.熟练掌握中值定理及其几何意义2.能应用拉格朗日中值定理证明不等式3.了解拉格朗日中值定理的推论1和推论2教学重点：1.拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理的应用2.拉格朗日中值定理证明中辅助函数的引入。
3.利用导数证明不等式的技巧。
教学难点：中值定理的应用技巧 教学内容：1．罗尔定理的回顾与拉格朗日中值定理的引入我们简单回顾一下罗尔定理的内容：若函数满足下列条件： )(x f ①在闭区间[连续； ②在开区间]b a ,()b a ,可导； ③)()(b f a f = 则在(内至少存在一点)b a ,ξ，使得'()0f ξ=图1 图2罗尔定理的几何意义大家都清楚了如图1，现在我们把坐标系统绕原点在平面内的旋转α角，使在新坐标系如图2，大家看看有什么不同？2．拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理如果函数满足（1）在闭区间上连续, （2）在开区间内可导, 那么在内至少有一点)(x f (a <],[b a ),(b a ),(b a )b <ξξ, 使得等式成立。
)a )(()('b f a f −=−ξ)(b f 注：a 、深刻认识定理，是两个条件，而罗尔定理是三个条件。
b 、若加上，则)()(b f a f =()()'()0f b f a f b a b aξ−===−−，即：，拉格朗日定理变为罗尔定理，换句话说罗尔定理是拉格朗日定理的特例。
'()0f ξ=拉格朗日（微分）中值定理几何意义我们从几何的角度看一个问题，如下：设连续函数()y f x =，a 与是它定义区间内的两点（a b b <），假定此函数在(,上处处可导，也就是在(,内的函数图形上处处有不垂直于)a b )a b x 轴的切线，那么我们从图2上容易看到，差商()y f x b =(f a)a b Δ−Δ−就是割线的斜率，若我们把割线作平行于自身的移动，那么至少有一次机会达到离割线最远的一点AB AB ()C x ξ=处成为曲线的切线，而切线的斜率为()f ξ′，由于切线与割线是平行的，因此()()()f b f a f b aξ−′=−成立。
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尊敬的评委老师：
大家下午好！
我们知道，导数是研究函数以及曲线的某些形态的重要工具，而微分中值定理则是导数应用的理论基础，因此对微分中值定理的理解和掌握是非常必要的。
下面请同学们回忆一下我们上一节课所学的罗尔定理的基本内容和数学意义，罗尔定理有三个条件分别是在闭区间上连续、在开区间内可导和区间端点的函数值相等，结论是至少存在一点属于开区间，使得函数在这个点的导数值等于零，它的代数意义是方程函数的导数等于零在开区间内至少有一个实根；几何意义是，在曲线段AB上有平行于弦AB的切线存在，那么请大家思考这样一个问题：如果罗尔定理中第三个条件（也就是函数在区间端点的函数值不相等）不成立的话，在曲线段AB上还会有平行于弦AB的切线存在吗？带着这个问题，让我们走进今天的新课：拉格朗日中值定理及其应用。
首先我们来认识一下数学家拉格朗日，拉格朗日是一位法国数学家，他在方程论、解析函数论以及数论等方面做出了重要贡献，是对分析数学产生全面影响的数学家之一。
拉格朗日中值定理就是他的诸多成果中的一个。
下面我们来看一下拉格朗日中值定理的条件和结论，定理的条件是函数满足在闭区间上连续、在开区间内可导，结论是在开区间内至少存在一点，使得函数在该点的导数值等于……，该式也称为拉格朗日中值公式或微分中值公式。
我们来分析一下拉格朗日中值定理的数学意义，首先来看几何意义，通过图示可以看到弦AB的斜率为……，设曲线上两个点……处的切线分别为……，对应的横坐标为……，那么对应切线的斜率分别为……，如果满足……，可以直观的看到两条切线是和弦AB平行的，也就是说拉格朗日中值定理的几何意义是在曲线弧AB上有平行于弦AB的切线存在，这就回答了我们最初提出的问题，很容易知道，罗尔定理就是拉格朗日中值定理在区间的两个端点的函数值相等时的特殊情形。
这个定理的代数意义是方程在开区间内至少有一个实根。
下面我们来证明一下这个定理，首先来看一下该定理的证明思路，我们可以从它的代数意义出发，假设存在一个函数……，那么要证明的结论就化为证明方程……在开区间内至少有一个实根，而这恰恰与罗尔定理的结论不谋而合，因此
可以考虑对函数在闭区间上应用罗尔定理加以证明，如何找到满足罗尔定理条件的函数就成为了证明中的一个难点，所以大家必须注意这个函数的构造方法，下面就是函数构造的思路，注意到待构造的函数满足……，而……，由导数的四则运算法则，……，因此可以选取……，其中…为任意常数。
证明思路已经有了，下面我们来写一下这个定理的证明过程。
首先构造辅助函数（为简化证明过程，这里取常数C=0），由连续函数的性质和导数的性质，有函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且……，显然……，由罗尔定理，至少存在一点属于开区间，使得……，也即……。
证毕。
对于该定理的证明，我们用到了构造辅助函数的思想，也就是通过结论对照条件找合适的函数，这属于逆向思维的过程，这种思想也是未来在应用微分中值定理解决相关问题时的一种常用思想。
在这里，大家应该引起重视，而且对于拉格朗日中值定理的证明，辅助函数的形式并不唯一，今天给出的辅助函数的构造是从定理的代数意义着手的，这里留给大家一个思考题，如果从定理的几何意义出发能成功构造合适的辅助函数吗？请同学们课后试着构造一下。
拉格朗日中值定理是沟通函数和导数的桥梁，也是未来研究函数的极值、单调性以及凹凸性等函数性态的重要工具，所以这里再给出拉格朗日公式的几种常用形式。
第一个形式：……，在由…和…构成的闭区间上应用拉格朗日中值定理就得了第二个形式：……，如果令……，……，则有第三个形式……，在一元函数微分学中，我们介绍过增量的近似表示……，相比这个近似表示，这里实际上给出了增量的一种精确表达式，所以这个公式也成为有限增量公式，相应的拉格朗日中值定理又称为有限增量定理。
下面就通过一个例子来学习一下该如何应用拉格朗日中值定理解决相关问题，首先看一元函数微分学中的一个简单命题，如果函数在区间上是一个常数，那么函数在该区间上的导数恒为零。
请同学们写出这个命题的逆命题，并思考逆命题成立吗？成立的话该如何证明？
大家已经写出了逆命题了，那就是下面这个定理：如果函数在区间上的导数恒为零，那么函数在区间上是一个常数。
该如何证明呢？我们来对这个定理的条件和结论做一个简要的分析，条件非常简单，就是在区间上函数的导数恒为零，要证明结论，只需要在区间上取一个定点，证明对于区间上的任意一点，总
有……，也即……成立即可。
由于拉格朗日中值定理表述的是函数和导数的关系，所以，考虑在区间……上应用拉格朗日中值定理，可得……，由定理条件知，因此有……，请大家独立的写一下该定理规范的证明过程。
这节课我们学习了拉格朗日中值定理的相关知识，通过这节课的学习，我们必须熟记定理成立的条件和结论，应该知道罗尔定理是拉格朗日中日中值定理的特殊情形，重点应该掌握拉格朗日中值定理证明中构造辅助函数的思想。
今天的作业分为两类，一类是必做题，习题3-1，第2题和第6题；一类是选做题，思考拉格朗日中日中值定理的条件是不是必要的？如果不是，请举例说明。
最后，请各位老师多提宝贵意见，谢谢！。