一元二次方程应用题经典题型汇总

一元二次方程应用题经典题型汇总

列一元二次方程解决实际问题是初中数学的重要知识点，也是中考的热点之一，这就需要学生能够根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程，把方程作为刻画现实世界的一个有效模型。不少同学遇到这类问题总是摸不着头绪，事实上，同学们只要能认真地阅读题目，弄清题意，直接或间接设未知数，然后学会分析题意找出等量关系，根据等量关系列出方程并解答即可。概括起来就是“审”、“设”、“列”、“解”、“答”五环节，其中正确找出应用题的等量关系是列一元二次方程解应用题的难点所在，但一元二次方程的应用题涉及面较广，在这里对常见题型进行归纳总结，以提升学生用一元二次方程解决实际问题的能力。

一、平均增长率

关于增长率的问题,一般有三个常用量：原产量；增长率（降低率）；增长后的产量（降低后的产量）。如果把原产量叫做基数用A 表示，把增长后的产量叫做末数用B表示，增长率（下降率）用x 表示,时间间隔用n增长率问题的数量关系A(1±x)n=B, 在初中阶段，n通常取2 .

例1：某城市居民最低生活保障在2007年是300元，经过连续两年的增加，到2009年提高到432元，则该城市两年最低生活保障的平均年增长率是多少？

解析：此类问题主要考查学生从题目所给的已知条件中提取有价

值的信息，然后利用等量关系建立形如a(1+x)2=b(a>0，b>0)的一元二次方程，利用直接平方法求解即可。

2007年到2009年年增长是经过两次增长，平均年增长率是指每次增长的百分数相同，设平均年增长率为x,则2008年该城市居民最低生活保障为300（1+x），2009年该城市居民最低生活保障为300（1+x）2，其等量关系：300（1+x）2=432，即（1+x）2=1.44，两边直接开平方，得1+x=±1.2，所以x1=0.2=20% ,x2=-2.2（不符合题意，舍去），则该城市两年最低生活保障的平均年增长率是20%。

二、数字问题

例2：有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字之和是5，如果把它的个位数字与十位数字调换位置，所得的两位数与原来的两位数的积为736，求这个两位数是多少？

解析：此类问题关键是会用代数式表示该数。设这个两位数十位上的数为x，则个位上的数为（5-x)，原两位数表示为：10x+5-x,如果把个位数字与十位数字调换位置，新两位数表示为:10(5-x)+x,依题意得（10x+5-x）［10(5-x)+x］= 736, 化简得到x ²-5x+6=0,所以x1=2或x2=3。那么有两种情况：①当个位上的数字为2时，则十位上的数字为3；②当个位上的数字为3时，则十位上的数字为2；所以这个两位数是23或32.

三、传播问题：

例3、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了多少人。

解析：设每轮传染中平均一个人传染了x人，则第一轮后的感染源为x+1人，第二轮是x+1人进行传染，第二轮感染了（x+1）x个人，则第二轮后总共被感染了x+1+（x+1）x个人，依题意得x+1+（x+1）x=121，化简得：x2+2x-120=0，解得：x1=10 ,x2=-12(舍去），所以每轮传染中平均一个人传染了10人。

四、赛事问题

例4、象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，有四个同学统计了全部选手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.

解析：设共有x个选手参加比赛，每个选手都要与(x－1)个选手比赛一局，共计x(x－1)局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为x(x－1)÷2局.由于每局无论结果如何，共计2分，所以全部选手得分总共为x(x－1)÷2×2，即x(x－1)分.显然(x－1)与x是相邻的自然数，容易验证，相邻的两个自然数乘积的末位数字只能为0，2，6，故总分不可能是1979，1984，1985，因此总分只能是1980，依题意得x(x－1)＝1980，化简得x2－x－1980＝0，解得x1＝45，x2＝－44（舍去),所以参加比赛的选手共有45人.

五、面积问题

例5：在长为40cm，宽为22cm的矩形地面内，修筑两条同样宽且互相垂直的公路，余下的铺上草坪，要使草坪的面积达到760m2，

道路的宽应为多少？

解析：此类问题是让学生设计满足一定条件的规划方案，有利于培养学生学习数学的兴趣，学会用数学知识来解决实际问题。由已知条件可知草坪的面积为760m2，设道路的宽为x，建立等量关系，即可利用解一元二次方程的相关知识，求出满足条件的道路的宽。由题意得40x+(22-x)x+760=880，化简得x2-62x+120=0,解得x1=2，x2=60(不符合题意，舍去），所以道路的宽度为2米。

六、利润问题

例六：某商场进一批服装，平均每天出售20件，每件可以赚44元，市场调查发现：在不赔本的条件下，若每件降价1元，则每天可以多出售5件（1）若商场准备以较小的投入，获得较大的利润，预计每天盈利1600元搜索每件降价多少元？（2）降价多少元时，利润可以达到最大？

解析：设每件降价x元（0≤x≤44），则每天多售5x件，每天销售总量为（20+5x）件，降价后每件赚（44-x）元。

（1）利润额为：（44-x）（20+5x）=1600，化简得x²-40x+144=0，解得x1=36，x2=4，经检验，x1，x2均符合题，所以，当每件服装降价36元或降价4元时，预计每天可盈利1600元。

（2）利润额为:（44-x）（20+5x）=-5x²+200x+880=-5（x²-40x-176）=-5（x-20）²+2880，所以当x=20时，利润额最大。经检验，x=20符合题设。所以，降价20元时，利润可以达到最大。

七、储蓄问题