一元二次方程应用题经典题型汇总
一元二次方程应用题经典题型汇总
列一元二次方程解决实际问题是初中数学的重要知识点，也是中考的热点之一，这就需要学生能够根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程，把方程作为刻画现实世界的一个有效模型。
不少同学遇到这类问题总是摸不着头绪，事实上，同学们只要能认真地阅读题目，弄清题意，直接或间接设未知数，然后学会分析题意找出等量关系，根据等量关系列出方程并解答即可。
概括起来就是“审”、“设”、“列”、“解”、“答”五环节，其中正确找出应用题的等量关系是列一元二次方程解应用题的难点所在，但一元二次方程的应用题涉及面较广，在这里对常见题型进行归纳总结，以提升学生用一元二次方程解决实际问题的能力。
一、平均增长率
关于增长率的问题,一般有三个常用量：原产量；增长率（降低率）；增长后的产量（降低后的产量）。
如果把原产量叫做基数用A 表示，把增长后的产量叫做末数用B表示，增长率（下降率）用x 表示,时间间隔用n增长率问题的数量关系A(1±x)n=B, 在初中阶段，n通常取2 .
例1：某城市居民最低生活保障在2007年是300元，经过连续两年的增加，到2009年提高到432元，则该城市两年最低生活保障的平均年增长率是多少？
解析：此类问题主要考查学生从题目所给的已知条件中提取有价
值的信息，然后利用等量关系建立形如a(1+x)2=b(a>0，b>0)的一元二次方程，利用直接平方法求解即可。
2007年到2009年年增长是经过两次增长，平均年增长率是指每次增长的百分数相同，设平均年增长率为x,则2008年该城市居民最低生活保障为300（1+x），2009年该城市居民最低生活保障为300（1+x）2，其等量关系：300（1+x）2=432，即（1+x）2=1.44，两边直接开平方，得1+x=±1.2，所以x1=0.2=20% ,x2=-2.2（不符合题意，舍去），则该城市两年最低生活保障的平均年增长率是20%。
二、数字问题
例2：有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字之和是5，如果把它的个位数字与十位数字调换位置，所得的两位数与原来的两位数的积为736，求这个两位数是多少？
解析：此类问题关键是会用代数式表示该数。
设这个两位数十位上的数为x，则个位上的数为（5-x)，原两位数表示为：10x+5-x,如果把个位数字与十位数字调换位置，新两位数表示为:10(5-x)+x,依题意得（10x+5-x）［10(5-x)+x］= 736, 化简得到x ²-5x+6=0,所以x1=2或x2=3。
那么有两种情况：①当个位上的数字为2时，则十位上的数字为3；②当个位上的数字为3时，则十位上的数字为2；所以这个两位数是23或32.
三、传播问题：
例3、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了多少人。
解析：设每轮传染中平均一个人传染了x人，则第一轮后的感染源为x+1人，第二轮是x+1人进行传染，第二轮感染了（x+1）x个人，则第二轮后总共被感染了x+1+（x+1）x个人，依题意得x+1+（x+1）x=121，化简得：x2+2x-120=0，解得：x1=10 ,x2=-12(舍去），所以每轮传染中平均一个人传染了10人。
四、赛事问题
例4、象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，有四个同学统计了全部选手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.
解析：设共有x个选手参加比赛，每个选手都要与(x－1)个选手比赛一局，共计x(x－1)局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为x(x－1)÷2局.由于每局无论结果如何，共计2分，所以全部选手得分总共为x(x－1)÷2×2，即x(x－1)分.显然(x－1)与x是相邻的自然数，容易验证，相邻的两个自然数乘积的末位数字只能为0，2，6，故总分不可能是1979，1984，1985，因此总分只能是1980，依题意得x(x－1)＝1980，化简得x2－x－1980＝0，解得x1＝45，x2＝－44（舍去),所以参加比赛的选手共有45人.
五、面积问题
例5：在长为40cm，宽为22cm的矩形地面内，修筑两条同样宽且互相垂直的公路，余下的铺上草坪，要使草坪的面积达到760m2，
道路的宽应为多少？
解析：此类问题是让学生设计满足一定条件的规划方案，有利于培养学生学习数学的兴趣，学会用数学知识来解决实际问题。
由已知条件可知草坪的面积为760m2，设道路的宽为x，建立等量关系，即可利用解一元二次方程的相关知识，求出满足条件的道路的宽。
由题意得40x+(22-x)x+760=880，化简得x2-62x+120=0,解得x1=2，x2=60(不符合题意，舍去），所以道路的宽度为2米。
六、利润问题
例六：某商场进一批服装，平均每天出售20件，每件可以赚44元，市场调查发现：在不赔本的条件下，若每件降价1元，则每天可以多出售5件（1）若商场准备以较小的投入，获得较大的利润，预计每天盈利1600元搜索每件降价多少元？（2）降价多少元时，利润可以达到最大？
解析：设每件降价x元（0≤x≤44），则每天多售5x件，每天销售总量为（20+5x）件，降价后每件赚（44-x）元。
（1）利润额为：（44-x）（20+5x）=1600，化简得x²-40x+144=0，解得x1=36，x2=4，经检验，x1，x2均符合题，所以，当每件服装降价36元或降价4元时，预计每天可盈利1600元。
（2）利润额为:（44-x）（20+5x）=-5x²+200x+880=-5（x²-40x-176）=-5（x-20）²+2880，所以当x=20时，利润额最大。
经检验，x=20符合题设。
所以，降价20元时，利润可以达到最大。
七、储蓄问题
例七：李明将2000元人名币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若银行存款的利率不变，到期后得本金和利息共1155元，求这种存款方式的年利率？
解析：设这种存款方式的年利率为x,则将2000元按一年定期存入银行一年后获得利息2000×x×1=2000x，支出1000元后，剩下的金额为（2000+2000x）-1000=1000+2000x，将剩下的金额又全部按一年定期存入银行后得到本金与利息（1000+2000x)(1+x),由题意得，（1000+2000x)(1+x)=1155，化简得400x2+600x-31=0，解得x1=-1.55, （不符合题意，舍去），x2=0.05=50%，所以年利率为50%。
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一元二次方程的应用题涉及面较广，诸如行程问题、浓度问题、动点问题等，在这里，我们只探讨这么多，希望对同学们有所帮助，以提升大家用一元二次方程解决实际问题的能力。
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一元二次方程的应用题综合(整理)
题型一：送卡片、握手、比赛问题1.毕业之际，某校九年级数学兴趣小组的同学相约到同一家礼品店购买纪念品，每两个同学都相互赠送一件礼品，礼品店共售出礼品30件，则该兴趣小组的人数为 。
2.国庆“五一”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛， 这次有 队参加比赛．题型二：传播问题有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？题型三：平均增长（下降）率问题雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元．（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？题型四：利润问题1.种新商品每件进价为120元，商场在试销阶段发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70件。
当每件商品售价高于130元时，每涨价2元，日销售量就减少4件，据此规律，商场要想达到每日赚取1600元利润的目标，应涨价多少元？2.某商场试销一种成本为60元/件的T 恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不得高于40%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元/件）符合一次函数b kx y +=，且70=x 时，50=y ；80=x 时，40=y ；（1）写出销售单价x 的取值范围；（2）求出一次函数b kx y +=的解析式；（3）销售单价定为多少时，商场可获得利润500元？3.销售某种商品，根据经验，销售单价不少于30元∕件，但不超过50元∕件时，销售数量N （件）与商品单价M （元∕件）的函数关系的图象如图所示中的线段AB ． （1）求y 关于x 的函数关系式； （2）若商品的成本为20元，要想获利1200元时，那么该商品的单价应该定多少元？题型五：面积问题1.为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召，我市某单位准备将院内一块长30m ，宽20m 的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m 2，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）例2：如图，利用一面墙（墙EF 最长可利用25米），围成一个矩形花园ABCD ，与围墙平行的一边BC 上要预留3米宽的入口（如图中MN 所示，不用砌墙），用砌46米长的墙的材料，当矩形的长BC 为多少米时，矩形花园的面积为299平方米．例3：在一块长16m 、宽12m 的矩形荒地上，要建一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半． （1）如果如图①所示设计，并使花园四周小路宽度都相等，那么小路的宽是多少？ （2）如果如图①所示设计，并使小路宽度都相等，那么小路的宽是多少？题型六:根的判别式对比练习:例1:已知关于x 的一元二次方程x 2-2kx+12k 2-2=0.求证:不论k 为何值,方程总有两不相等实数根.例2:已知一元二次方程2-40x x k +=有两个不相等的实数根。
一元二次方程应用题经典题型汇总
一元二次方程应用题经典题型汇总认真阅读题目，分析题意，学会分解题目，从而找到已知的条件和未知问题，必要时可以通过画图、列表等方法来帮助理顺已知与未知之间的关系，找到一个或几个相等的式子，从而列出方程求解，同时还要及时地检验答案的正确性并作答.现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的几大典型题目，举例说明.一、面积问题：例1：如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（）A．100×80-100x-80x=7644 B．（100-x）（80-x）+x2=7644C．（100-x）（80-x）=7644 D．100x+80x=356二、增长率问题：（变化前的基数a，增长率x，变化的次数n，变化后的基数b，关系：a（1+x）n=b）例2：恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.三、商品价格问题例3：某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件。
若商场要求该服装部每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？四、储蓄问题例4：王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）五、情景对话类例5：春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图对话中收费标准.某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？六、动点问题：例6：如图所示，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面8m，如果梯子顶端下滑1m，那么（1）底端滑动的距离是多少？（2）梯子顶端下滑多少米正好等于底端后滑的距离？七、趣味问题例7：一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？各类题型变式练习1、用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的长方形．设长方形的长为xcm，则可列方程为（）A、x（20+x）=64B、x（20﹣x）=64C、x（40+x）=64D、x（40﹣x）=642、某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率.设该果园水果产量的年平均增长率为，则根据题意可列方程为（）A. B. C. D.3、要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，问应邀请多少个球队参加比赛？A、5个B、6个C、7个D、8个4、某企业今年3月份产值为a万元，4月份比3月份减少了10%，5月份比4月份增加了15%，则5月份的产值是（）A．（a-10%）（a+15%）万元B．a（1-10%）（1+15%）万元C．（a-10%+15%）万元D．a（1-10%+15%）万元5、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？6、游行队伍有8行12列，后又增加了69人，使得队伍增加的行、列数相同，增加了多少行多少列？7、18.一元二次方程解应用题将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，如果该商品每涨价1元，其销售量就减少10个。
一元二次方程应用题(含答案)
一元二次方程应用题(含答案)精品文档1：某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？解：设没件降价为x，则可多售出5x件，每件服装盈利44-x元。
依题意x≤1044-x)(20+5x)=1600展开后化简得：x²-44x+144=0即(x-36)(x-4)=0x=4或x=36(舍)即每件降价4元要找准关系式2.游行队伍有8行12列，后又增加了69人，使得队伍增加的行·列数相同，增加了多少行多少列？解：设增加x。
(8+x)(12+x)=96+69.x=3增加了3行3列3.某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现：单价每千克70元时日均销售60kg；单价每千克降低一元,日均多售2kg。
在销售过程中,每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时,按一天计算）.如果日均获利1950元,求销售单价解: (1)若销售单价为x元,则每千克降低了(70-x)元,日均多售出2(70-x)千克,日均销售量为[60+2(70-x)]千克,每千克获利(x-30)元.依题意得:y=(x-30)[60+2(70-x)]-5002x^2+260x-650030<=x<=70)元,而>时且-=元.销售单价最高时获总利最多,且多获利元.精品文档佳构文档4.运动员起跑20m后速度才能达到最大速度10m/s,若运动员的速度是均匀增加的,则他起跑开始到10m处时需要多少s?解：0+10)除2为平均增加为50+5a）除2乘a5.一辆警车停在路边,当警车发现一辆一8M/S的速度匀速行驶的货车有违章行为,决定追赶,经过2.5s,警车行驶100m追上货车.试问1)从开始加速到追上货车,警车的速度平均每秒增加多少m?2)从开始加速到行驶64m处是用多长工夫?解：100/【（0+10a）/2】=10解方程为264/【（0+2a)/2】=a解方程为86.一装满20L纯酒精，第一次倒出若干升后，用水加满，第二次又倒出同样升数的混合液，再用水加满，里只有5L的纯酒精，第一次倒出的酒精多少升？（过程）解：设第一次倒出x升，则第二次为x（20-x）/20.(此处为剩下的酒精占总体积20升的多少即比率然后乘上倒出的升数即为倒出的纯酒精数则20-x-x(20-x)/20=5解得x=106.1一个长方体的长与宽的比为5：2，高为5厘米，外表积为40平方厘米。
一元二次方程应用(7个考点七大题型)(解析版)-九年级数学上册《重难点题型-高分突破》(人教版)
专题 1.4一元二次方程应用（7个考点七大题型）【题型1变化率问题】【题型2传播问题】【题型3树枝分叉问题】【题型4单循环和双循环问题】【题型4销售利润与一次函数综合问题】【题型5销售利润每每问题】【题型6几何图形问题】【题型7几何中动点问题】1．（2023•渝中区校级模拟）我校初三某班第一次体育模拟测试平均分为43.2分，经过专业的体育指导和训练后，在之后的第二次和第三次体育模拟测试中，班级平均分稳步提升，第三次体育模拟测试平均分达到46.7分，设该班每次测试班级平均分较上次的增长率相同，均为x，则可列方程为（）A．43.2（1+x）＝46.7B．46.7（1﹣x）＝43.2C．43.2（1+x）2＝46.7D．46.7（1﹣x）2＝43.2【答案】C【解答】解：根据题意得：43.2（1+x）2＝46.7．故选：C．2．（2023•重庆模拟）某社区为改善环境，加大对绿化的投入，4月对绿化投入25万元，计划6月绿化投入49万元，5月、6月绿化投入的月平均增长率相同．设这两月绿化投入的月平均增长率为x，根据题意所列方程为（）A．25（1+x）2＝49B．25（1+x）+25（1+2x）＝49C．25（1+x）+25（1+x）2＝49D．25+25（1+x）+25（1+x）2＝49【答案】A【解答】解：根据题意得：25（1+x）2＝49．故选：A．3．（2023春•萨尔图区校级期中）某校图书馆六月份借出图书100本，计划七、八月份一共借出图书480本，设七、八月份借出的图书每月平均增长率为x，则根据题意列出的方程是（）A．100（1+x）2＝480B．100（1+x）+100（1+x）2＝480C．100（1﹣x）2＝480D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝480【答案】B【解答】解：由题意得，100（1+x）+100（1+x）2＝480，故选：B．4．（2023•渝中区校级二模）随这疫情消退我国经济强势崛起，2023年某外贸企业二月份的销售额为3亿元，四月份的销售额为6.75亿元．设该企业二月到四月销售额平均月增长率为x，根据题意，可列出的方程是（）A．3（1+x）＝6.75B．3（x+1）2＝6.75C．3+3（1+x）2＝6.75D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝6.75【答案】B【解答】解：若设该企业二月到四月销售额平均月增长率为x，则四月份的产值为3（1+x）（1+x）＝3（1+x）2，由此得到方程：3（x+1）2＝6.75．故选：B．5．（2023•长沙一模）长沙已成为国内游客最喜欢的旅游目的地城市之一，调查显示，长沙在2021年五一假期，共接待游客200万人次，在2023年五一假期，共接待游客288万人次．（1）求长沙2021至2023五一假期接待游客人次的平均增长率；（2）茶颜悦色已经成为外地游客在长沙的打卡地，其中幽兰拿铁和声声乌龙是游客最爱的两款产品，已知幽兰拿铁的单价比声声乌龙贵2元，某导游花费216元购买幽兰拿铁的杯数是96元购声声乌龙的两倍，求幽兰拿铁的单价．【答案】（1）20%；（2）18元．【解答】解：（1）设长沙2021至2023五一假期接待游客人次的平均增长率为x，由题意得：200（1+x）2＝288，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去），∴x的值为20%，答：长沙2021至2023五一假期接待游客人次的平均增长率为20%；（2）设幽兰拿铁的单价为m元，则声声乌龙的单价为（m﹣2）元，由题意得：＝×2，解得：m＝18，经检验，m＝18是原方程的解，且符合题意，答：幽兰拿铁的单价为18元．6．（2023•南海区一模）富强村2020年的人均收入为3.6万元，2022年的人均收入为4.356万元．（1）求富强村人均收入的年平均增长率；（2）如果该村人均收入的年平均长率不变，请估计今年富强村的人均收入为多少万元．【答案】（1）富强村人均收入的年平均增长率为10%；（2）估计今年富强村的人均收入为4.7916万元．【解答】解：（1）设富强村人均收入的年平均增长率为x，依题意，得：3.6（1+x）2＝4.356，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．答：富强村人均收入的年平均增长率为10%；（2）4.356×（1+10%）＝4.7916（万元）．答：估计今年富强村的人均收入为4.7916万元．7．（2023•澄城县一模）随着环保意识日益深入，我国新能源汽车的生产技术也不断提升．市场上某款新能源汽车1月份的售价为25万元/辆，3月份下降到20.25万元/辆，求该款汽车售价的月平均下降率．【答案】10%．【解答】解：设该款汽车售价的月平均下降率是x，由题意得：25（1﹣x）2＝20.25，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不符合题意，舍去），∴该款汽车售价的月平均下降率是10%．8．（2023•兴庆区校级一模）有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x 个人，可到方程为（）A．1+2x＝81B．1+x2＝81C．1+x+x2＝81D．（1+x）2＝81【答案】D【解答】解：x+1+（x+1）x＝81，整理得（1+x）2＝81．故选：D．9．（2022秋•齐河县期末）新冠病毒传染性极强，如果有1人患病，经过两轮传染后有361人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列方程正确的是（）A．（1+x）2＝361B．x2＝361C．1+x+x2＝361D．x（1+x）＝361【答案】A【解答】解：∵每轮传染中平均一个人传染了x个人，∴第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染．根据题意得：1+x+x（1+x）＝361，即（1+x）2＝361．故选：A．10．（2022秋•方城县期末）新冠疫情牵动人心，若有一人感染了新冠，在每轮传染中平均一个人可以传染x个人，经过两轮传染后共有169人感染，若不加以控制，第三轮传染后感染人数为（）A．338B．256C．2197D．2028【答案】C【解答】解：设在每轮传染中平均一个人可以传染x个人，[x（x+1）+x+1]＝169，即（1+x）2＝169，解得x1＝12，x2＝﹣14（舍），∴每轮传染中平均一个人可以传染12个人，∴第三轮传染后感染人数为169+169×12＝2197，故选：C．11．（2023春•诸暨市月考）有2个人患了流感，经过两轮传染后共有50人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数是人．【答案】4．【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，则第一轮传染中有2x人被传染，第二轮传染中有x（2+2x）被传染，根据题意得：2+2x+x（2+2x）＝50，整理得：（1+x）2＝25，解得：x1＝4，x2＝﹣6（不符合题意，舍去），∴每轮传染中平均一个人传染的人数是4人．12．（2023春•金安区校级月考）去年8月以来，非洲猪瘟疫情在某国横行，今年猪瘟疫情发生势头明显减缓．假如有一头猪患病，经过两轮传染后共有64头猪患病．（1）每轮传染中平均每头患病猪传染了几头健康猪？（2）如果不及时控制，那么三轮传染后，患病的猪会不会超过500头？【答案】（1）每轮传染中平均每头猪传染了7头健康猪；（2）患病的猪会超过500头，理由见解析．【解答】解：（1）设每轮传染中平均每头猪传染了x头健康猪，依题意，得：1+x+（1+x）x＝64，解得：x1＝7，x2＝﹣9（不合题意，舍去）．答：每轮传染中平均每头猪传染了7头健康猪．（2）64×7＝448（头）．∴448+64＝512＞500，∴患病的猪会超过500头，答：患病的猪会超过500头．13．（2022秋•甘井子区校级期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有144个人患了流感．（1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人患流感？【答案】（1）11人；（2）1728人．【解答】解：（1）设平均一人传染了x人，x+1+（x+1）x＝144，x1＝11或x2＝﹣13（舍去）．答：平均一人传染11人．（2）经过三轮传染后患上流感的人数为：144+11×144＝1728（人），答：经过三轮传染后患上流感的人数为1728人．14．（2022秋•天河区校级期末）截止到2022年1月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有196人患新冠肺炎，求每轮传染中平均每个人传染了几个人？【答案】每轮传染中平均每个人传染了13个人．【解答】解：设每轮传染中平均每个人传染了x个人，则第一轮中有x人被传染，第二轮中有x（1+x）人被感染，根据题意得：1+x+x（1+x）＝196，整理得：（1+x）2＝196，解得：x1＝13，x2＝﹣15（不符合题意，舍去）．答：每轮传染中平均每个人传染了13个人．15．（2022秋•大连期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．（1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据题意得：1+x+x（x+1）＝81，整理，得：x2+2x﹣80＝0，解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染8个人．（2）81+81×8＝729（人）．答：经过三轮传染后共有729人会患流感．16．（2023•虎林市校级一模）某种植物的主干长出若干为数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21，则每个支干长出小分支的个数是（）A．6B．4C．3D．5【答案】B【解答】解：设每个支干长出小分支的个数是x，由题意得：x2+x+1＝21，解得：x1＝4，x2＝﹣5（舍去）；∴每个支干长出小分支的个数是4．故选：B．17．（2023•黑龙江一模）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57个，则这种植物每个支干长出的小分支的个数是（）A．8个B．7个C．6个D．5个【答案】B【解答】解：设每个支干长出的小分支的数目是x个，根据题意列方程得：x2+x+1＝57，即（x+8）（x﹣7）＝0，解得：x＝7或x＝﹣8（不合题意，舍去）；∴x＝7，即这种植物每个支干长出的小分支的个数是7个，故B正确．故选：B．18．（2022秋•青川县期末）某数学活动小组在开展野外项目实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分枝，主干、枝干和小分枝的总数是31，则这种植物每个枝干长出的小分支个数是（）A．4B．5C．6D．7【答案】B【解答】解：根据题意，主干是1，设长出的枝干有x枝，∴1+x+x2＝31，即x2+x﹣30＝0，解方程得，x1＝5，x2＝﹣6（舍去），∴这种植物每个枝干长出的小分枝个数5．故选：B．19．（2022秋•武昌区校级期中）某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是73，每个枝干长出8个小分支．【答案】8．【解答】解：设每个枝干长出x个小分支，则主干上长出了x个枝干，根据题意得：x2+x+1＝73．解得x1＝﹣9（舍去），x2＝8．即每个枝干长出8小分支．故答案是：8．20．（2022秋•澄海区期末）某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若主干、支干和小分支的总数是91，求这种植物每个支干长出的小分支个数是多少？【解答】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据题意，可得1+x+x2＝91，整理得x2+x﹣90＝0，解得x1＝9，x2＝﹣10（不合题意，舍去），答：这种植物每个支干长出的小分支个数是9．21．（2022秋•滨海新区校级期末）某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是91，每个枝干长出多少小分支？若设每个枝干长出x个小分支．（Ⅰ）分析：根据问题中的数量关系，填表：①主干的数目为1；②从主干中长出的枝干的数目为x；（用含x的式子表示）③又从上述枝干中长出的小分支的数目为x2；（用含x的式子表示）（Ⅱ）完成问题的求解．【答案】（I）①1；②x；③x2；（II）9个．【解答】解：（Ⅰ）根据题意得：①主干的数目为1；②从主干中长出的枝干的数目为x；③又从上述枝干中长出的小分支的数目为x2；故答案为：①1；②x；③x2；（Ⅱ）依题意，得：1+x+x2＝91，整理，得：x2+x﹣90＝0，解得：x1＝9，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．答：每个枝干长出9个小分支．22．（2023•东莞市二模）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（）A．7B．8C．9D．10【解答】解：设共有x支队人伍参加比赛，根据题意，可得，解得x＝10或x＝﹣9（舍），∴共有10支队伍参加比寒，故选：D．23．（2023•闽清县校级模拟）某乒乓球比赛的每两队之间都进行1场比赛，共要比赛28场，设共有x支球队参加该比赛，则符合题意的方程是（）A．x2＝28B．x2＝28×2C．D．x（x﹣1）＝28×2【答案】D【解答】解：根据题意得，即x（x﹣1）＝28×2，故选：D．24．（2022秋•南华县期末）某女子冰壶比赛有若干支队伍参加了双循环比赛，双循环比赛共进行了56场，共有多少支队伍参加比赛？（）A．8B．10C．7D．9【答案】A【解答】解：设有x支队伍．由题意得：x（x﹣1）＝56．解得：x1＝8，x2＝﹣7（舍）．故选：A．25．（2023•博罗县一模）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，则本次比赛共有参赛队伍（）A．8支B．9支C．10支D．11支【答案】C【解答】解：设共有x支队伍参加比赛，根据题意，可得，解得x＝10或x＝﹣9（舍），∴共有10支队伍参加比赛．故选：C．26．（2022秋•集贤县期末）在一次同学聚会上，大家一见面就相互握手（每两人只握一次）．大家共握了21次手．设参加这次聚会的同学共有x人，根据题意，可列方程为（）A．x（x+1）＝21B．x（x+1）＝21C．x（x﹣1）＝21D．x（x﹣1）＝21【答案】D【解答】解：设参加这次聚会的同学共有x人，由题意得：，故选：D．27．（2023春•拱墅区校级期中）生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，则根据题意列出方程是（）A．x（x+1）＝182B．x（x﹣1）＝182C．D．【答案】B【解答】解：设全组有x名同学，则每名同学所赠的标本为：（x﹣1）件，那么x名同学共赠：x（x﹣1）件，所以，x（x﹣1）＝182，故选：B．28．（2022秋•大丰区期末）为了迎接第二十二届世界杯足球赛，卡塔尔某地区举行了足球邀请赛，规定参赛的每两个队之间比赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者邀请了x个队参赛，则下列方程正确的是（）A．B．x（x﹣1）＝4C．x（x+1）＝28D．【答案】D【解答】解：根据题意得：x（x﹣1）＝4×7，即x（x﹣1）＝28．故选：D．29．（2023•四川模拟）命题人“魔力”去参加同学聚会，每两个人相互赠送礼品，他发现共送礼40件，若设有x人参加聚会，根据题意可列方程为（）A．B．x（x﹣1）＝40C．D．x（x+1）＝40【答案】B【解答】解：设有x人参加聚会，则每人送出（x﹣1）件礼物，由题意得：x（x﹣1）＝40．故选：B．30．（2023春•安徽月考）网课期间小夏写了封保护眼睛的倡议书，用微博转发的方式传播，设计了如下转发规则：将倡议书发表在自己的微博上，然后邀请x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请x个互不相同的好友转发，已知经过两轮转发后，共157人参与了此次活动，则x为12人．【答案】12．【解答】解：依题意，得：1+x+x2＝157，解得：x1＝12，x2＝﹣13（不合题意，舍去）．故答案为：12．31．（2022秋•公安县月考）在一次同学聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了380份礼物，则参加聚会的同学的人数是20．【答案】20．【解答】解：设有x人参加这次聚会，∵每两人都互赠了一件礼物，∴每人要送出（x﹣1）件礼物，依题意得x（x﹣1）＝380，解得：x1＝20，x2＝﹣19（不符合题意，舍去），故答案为：20．32．（2022秋•白云区期末）一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？【答案】共有10支队参加比赛．【解答】解：设有x队参加比赛．依题意，得x（x﹣1）＝90，（x﹣10）（x+9）＝0，解得x1＝10，x2＝﹣9（不合题意，舍去）．答：共有10支队参加比赛．33．（2023•中山市校级模拟）某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠．现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式．（2）若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？【答案】（1）y＝20x+60（0＜x＜20）；（2）这种干果每千克应降价12元．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），将（2，100），（5，160）代入y＝kx+b得：，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y＝20x+60（0＜x＜20）．故答案为：y＝20x+60（0＜x＜20）．（2）根据题意得：（60﹣x﹣40）（20x+60）＝2400，整理得：x2﹣17x+60＝0，解得：x1＝5，x2＝12，又∵要让顾客获得更大实惠，∴x＝12．答：这种干果每千克应降价12元．34．（2023•杨浦区三模）某商店购进了一种生活用品，进价为每件8元，销售过程中发现，该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数），部分对应值如表：每件售价x（元）91113每天的销售量y（件）1059585（1）求y与x的函数解析式；（2）如果该商店打算销售这种生活用品每天获得425元的利润，那么每件生活用品的售价应定为多少元？【答案】（1）y＝﹣5x+150（8≤x≤15，且x为整数）；（2）13元．【解答】解：（1）设y与x的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），将（9，105），（11，95）代入y＝kx+b得：，解得：，∴y与x的函数解析式为y＝﹣5x+150（8≤x≤15，且x为整数）；（2）根据题意得：（x﹣8）（﹣5x+150）＝425，整理得：x2﹣38x+325＝0，解得：x1＝13，x2＝25（不符合题意，舍去）．答：每件生活用品的售价应定为13元．35．（2022秋•云梦县期中）某景区新开发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于52元，并且为整数；销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如表所示：销售单价x（元/件）…354045…每天销售数量y（件）…908070…（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？（3）若要使每天销售所得利润不低于1200元，请直接写出销售单价x的所有可能取值．【答案】（1）y＝﹣2x+160；（2）销售单价应定为50元；（3）50，51，52．【解答】解：（1）设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，把（35，90），（40，80）代入得：，解得，∴y＝﹣2x+160；（2）根据题意得：（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200，解得：x1＝50，x2＝60，∵规定销售单价不低于成本且不高于52元，∴x＝50，答：销售单价应定为50元；（3）根据题意得：（x﹣30）•（﹣2x+160）≥1200，解得：50≤x≤60，∵销售单价不低于成本且不高于52元，∴30≤x≤52，∴50≤x≤52，∴x的所有可能取值为50，51，52．36．（2022秋•铁西区期中）某商场销售一种市场需求较大的健身器材，已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总费用（不含进货费用）总计120万元．在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元/件）之间存在着一次函数关系y＝kx+b，且x＝60时，y＝5；x＝80，y＝4．（1）求出y与x的解析式；（2）若商场希望该种产品一年的销售利润为55万元，请你为商场定一个销售单价．【答案】（1）；（2）商场的销售单价是90元或110元．【解答】解：（1）将x＝60时，y＝5；x＝80，y＝4；代入y＝kx+b得：，解得：，∴y与x之间的函数关系式为；（2）由题意得：，整理得：x2﹣200x+9900＝0，解得：x1＝90，x2＝110，答：商场的销售单价是90元或110元．37．（2023•南海区校级模拟）在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如表所示的一次函数关系．售价x（元/千克）…20.52426.526…销售量y（千克）…39322728…（1）某天这种水果的售价为25元/千克，求当天该水果的销售量．（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？【答案】（1）当天该水果的销售量为30千克；（2）该天水果的售价为25元．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，将（24，32）、（26，28）代入y＝kx+b得：，解得：，∴y＝﹣2x+80，当x＝25时，y＝﹣2×25+80＝30，答：当天该水果的销售量为30千克；（2）根据题意得：（x﹣20）（﹣2x+80）＝150，解得：x1＝35，x2＝25．∵20≤x≤32，∴x＝25．答：该天水果的售价为25元．38．（2023•泸县校级一模）某商场以每件20元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．设该商场销售这种商品每天获利w（元）．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）求w与x之间的函数关系式；（3）该商场规定这种商品每件售价不低于进价且不高于38元，商品要想获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？【答案】（1）y＝﹣2x+120；（2）w＝﹣2x2+160x﹣2400；（3）30元．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由所给函数图象可知：，解得，故y与x的函数关系式为y＝﹣2x+120；（2）∵y＝﹣2x+120，∴w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣2x+120）＝﹣2x2+160x﹣2400，即w与x之间的函数关系式为w＝﹣2x2+160x﹣2400；（3）根据题意得：600＝﹣2x2+160x﹣2400，∴x1＝30，x2＝50（舍），∵20≤x≤38，∴x＝30．答：每件商品的售价应定为30元．39．（2023春•嵊州市校级期中）超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利该店采取了降价措施，在让顾客得到更大实惠的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若降价6元，则平均每天销售数量为多少件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？【答案】（1）平均每天销售数量为32件；（2）当每件商品降价20元时，该商店每天销售利润为1200元．【解答】解：（1）根据题意得：20+6×2＝32（件），答：平均每天销售数量为32件；（2）设每件商品降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）元，依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，整理得：x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20，又要让顾客得到更大实惠，∴x＝20．答：当每件商品降价20元时，该商店每天销售利润为1200元．40．（2023春•庐阳区校级期中）某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同．（1）求该公司销售A产品每次的增长率；（2）若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降0.5万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？【答案】（1）该公司销售A产品每次的增长率为50%；（2）每套A产品需降价1万元．【解答】解：（1）设该公司销售A产品每次的增长率为x，依题意，得：20（1+x）2＝45，解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合题意，舍去）．答：该公司销售A产品每次的增长率为50%．（2）设每套A产品需降价y万元，则平均每月可售出（30+×20）套，依题意，得：（2﹣y）（30+×20）＝70，整理，得：4y2﹣5y+1＝0，解得：y1＝，y2＝1．答∵尽量减少库存，∴y＝1．答：每套A产品需降价1万元．41．（2023春•宁波期中）某商品进价30元，销售期间发现，当销售单价定价50元时，每天可售出100个．临近五一，商家决定开启大促，经市场调研发现，销售单价每下降2元，每天销量增加20个，设每个商品降价x元．（1）求每天销量y（个）关于x（元）的函数关系式；（2）求该商品的销售单价是多少元时，商家每天获利1760元；（3）请说明：商家每天的获利是否能达到3000元？【答案】（1）y＝10x+100；（2）38元；（3）商家每天的获利不能达到3000元，理由如下．【解答】解：（1）根据题意得：y＝100+×20，即y＝10x+100；（2）根据题意得：（50﹣x﹣30）（10x+100）＝1760，整理得：x2﹣10x﹣24＝0，解得：x1＝12，x2＝﹣2（不符合题意，舍去），∴50﹣x＝50﹣12＝38．答：该商品的销售单价是38元时，商家每天获利1760元；（3）商家每天的获利不能达到3000元，理由如下：假设商家每天的获利能达到3000元，根据题意得：（50﹣x﹣30）（10x+100）＝3000，整理得：x2﹣10x+100＝0，∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣10）2﹣4×1×100＝﹣300＜0，∴该方程没有实数根，∴假设不成立，即商家每天的获利不能达到3000元．42．（2022秋•代县期末）某电器商店销售某品牌冰箱，该冰箱每台的进货价为2500元，已知该商店去年10月份售出50台，第四季度累计售出182台．（1）求该商店11，12两个月的月均增长率；（2）调查发现，当该冰箱售价为2900元时，平均每天能售出8台；售价每降低50元，平均每天能多售出4台．该商店要想使该冰箱的销售利润平均每天达到5000元，求每台冰箱的售价．【答案】（1）20%；（2）2750元．【解答】解：（1）设该商店11，12两个月的月均增长率为x，则该商店去年11月份售出50（1+x）台，12月份售出50（1+x）2台，根据题意得：50+50（1+x）+50（1+x）2＝182，整理得：25x2+75x﹣16＝0，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣3.2（不符合题意，舍去）．答：该商店11，12两个月的月均增长率为20%；（2）设每台冰箱的售价为y元，则每台的销售利润为（y﹣2500）元，平均每天可售出（8+4×）台，根据题意得：（y﹣2500）（8+4×）＝5000，整理得：y2﹣5500y+7562500＝0，解得：y1＝y2＝2750．答：每台冰箱的售价为2750元．43．（2021秋•铁西区校级月考）宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时宾馆会住满；当每间房每天的定价加10元时，就会空一间房，如果有游客居住，宾馆还需对居住的每间房每天支出20元的费用．若宾馆每天想获得的利润为10890元，应该将每间房每天定价为多少元？【答案】应该将每间房每天定价为350元．【解答】解：设房价定为x元，根据题意，得（x﹣20）（50﹣）＝10890．整理，得x2﹣700x+122500＝0，解得x1＝x2＝350．答：应该将每间房每天定价为350元．44．（2023春•瓯海区期中）某商场在去年底以每件120元的进价购进一批同型号的服装，一月份以每件150元的售价销售了320件，二、三月份该服装畅销，销量持续走高，在售价不变的情况下，三月底统计知三月份的销量达到了500件．（1）求二、三月份服装销售量的平均月增长率；（2）从四月份起商场因换季清仓采用降价促销的方式，经调查发现，在三月份销量的基础上，该服装售价每降价5元，月销售量增加10件，当每件降价多少元时，四月份可获利10400元？【答案】（1）25%；（2）每件降价10元，四月份可获利10400元．【解答】解：（1）设二、三月份销售量的平均月增长率为x，根据题意得：320（1+x）2＝500，解得：x1＝0.25，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．答：二、三月份销售量的平均月增长率为25%．（2）设每件降价y元，根据题意得：，整理得：y2+220y﹣2300＝0，解得：y1＝10，y2＝﹣230（不合，舍去）．答：每件降价10元，四月份可获利10400元．45．（2023春•涡阳县期中）如图，长方形铁皮的长为10cm，宽为8cm，现在它的四个角上剪去边长为xcm的正方形，做成底面积为24cm2的无盖的长方体盒子，则x的值为（）A．2B．7C．2或7D．3或6【答案】A【解答】解：∵长方形铁皮的长为10cm，宽为8cm，且在它的四个角上剪去边长为xcm的正方形，∴做成无盖的长方体盒子的底面是长为（10﹣2x）cm，宽为（8﹣2x）cm的长方形．根据题意得：（10﹣2x）（8﹣2x）＝24，整理得：x2﹣9x+14＝0，解得：x1＝2，x2＝7（不符合题意，舍去），∴x的值为2．故选：A．46．（2023春•襄州区校级月考）改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（AD）16m，宽（AB）9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112m2，则小路的宽应为多少？【答案】小路的宽应为1m．【解答】解：设小路的宽应为xm，根据题意得：（16﹣2x）（9﹣x）＝112，解得：x1＝1，x2＝16．∵16＞9，∴x＝16不符合题意，舍去，∴x＝1．答：小路的宽应为1m．47．（2022秋•从化区期末）某农场要建一个矩形动物场，场地的一边靠墙（墙AB长度不限），另外三边用木栏围成，木栏总长20米，设动物场CD边的长为xm，矩形面积为ym2．（1）矩形面积y＝﹣2x2+20x（用含x的代数式表示）；（2）当矩形动物场面积为48m2时，求CD边的长．（3）能否围成面积为60m2矩形动物场？说明理由．【答案】（1）﹣2x2+20x；（2）4m或6m；（3）不能，理由见解析．【解答】解：（1）根据题意，y＝x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x，。
中考数学一元二次方程应用题经典题型汇总
一元二次方程应用题经典题型汇总同学们知道，学习了一元二次方程的解法以后，就会经常遇到解决与一元二次方程有关的生活中的应用问题，即列一元二次方程解应用题，不少同学遇到这类问题总是左右为难，难以下笔，事实上，同学们只要能认真地阅读题目，分析题意，并能学会分解题目，各个击破，从而找到已知的条件和未知问题，必要时可以通过画图、列表等方法来帮助我们理顺已知与未知之间的关系，找到一个或几个相等的式子，从而列出方程求解，同时还要及时地检验答案的正确性并作答.现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的十大典型题目，举例说明.一、增长率问题例1恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.解设这两个月的平均增长率是x.，则根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）.答这两个月的平均增长率是10%.说明这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n.Page 1 of 17 让每一个学生超越老师！二、商品定价例2益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？解根据题意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得a2－56a+775＝0，解这个方程，得a1＝25，a2＝31.因为21×(1+20%)＝25.2，所以a2=31不合题意，舍去.所以350－10a＝350－10×25＝100（件）.答需要进货100件，每件商品应定价25元.说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点.三、储蓄问题例3王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）解设第一次存款时的年利率为x.则根据题意，得[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530.整理，得90x2+145x－3＝0.Page 2 of 17 让每一个学生超越老师！Page 3 of 17 让每一个学生超越老师！ 解这个方程，得x 1≈0.0204＝2.04%，x 2≈－1.63.由于存款利率不能为负数，所以将x 2≈－1.63舍去.答 第一次存款的年利率约是2.04%.说明 这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税. 四、趣味问题例4 一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？解 设渠道的深度为x m ，那么渠底宽为(x +0.1)m ，上口宽为(x +0.1+1.4)m.则根据题意，得12(x +0.1+x +1.4+0.1)·x ＝1.8，整理，得x 2+0.8x －1.8＝0. 解这个方程，得x 1＝－1.8（舍去），x 2＝1. 所以x +1.4+0.1＝1+1.4+0.1＝2.5. 答 渠道的上口宽2.5m ，渠深1m.说明 求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解.五、古诗问题例5读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）.大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？解设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x－3.则根据题意，得x2＝10(x－3)+x，即x2-11x+30＝0，解这个方程，得x＝5或x＝6.当x＝5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；当x＝6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意.答周瑜去世的年龄为36岁.说明本题虽然是一道古诗问题，但它涉及到数字和年龄问题，通过求解同学们应从中认真口味.六、象棋比赛例6象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分Page 4 of 17 让每一个学生超越老师！Page 5 of 17 让每一个学生超越老师！ 别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.解 设共有n 个选手参加比赛，每个选手都要与(n －1)个选手比赛一局，共计n (n －1)局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为12n (n －1)局.由于每局共计2分，所以全部选手得分总共为n (n －1)分.显然(n －1)与n 为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0，2，6，故总分不可能是1979，1984，1985，因此总分只能是1980，于是由n (n －1)＝1980，得n 2－n －1980＝0，解得n 1＝45，n 2＝－44（舍去）.答 参加比赛的选手共有45人.说明 类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题，都可以仿照些方法求解.七、情景对话例7 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准.某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？解 设该单位这次共有x 名员工去天水湾风景区旅游.因为1000×25＝25000＜27000，所以员工人数一定超过25人.Page 6 of 17 让每一个学生超越老师！ 则根据题意，得[1000－20(x －25)]x ＝27000.整理，得x 2－75x +1350＝0，解这个方程，得x 1＝45，x 2＝30. 当x ＝45时，1000－20(x －25)＝600＜700，故舍去x 1； 当x 2＝30时，1000－20(x －25)＝900＞700，符合题意. 答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游.说明 求解本题要时刻注意对话框中的数量关系，求得的解还要注意分类讨论，从中找出符合题意的结论.八、等积变形图1如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元.Page 7 of 17 让每一个学生超越老师！ 例8 将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m ）（1）设计方案1（如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路. （2）设计方案2（如图3）花园中每个角的扇形都相同.以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由.解 都能.（1）设小路宽为x ，则18x +16x －x 2＝23×18×15，即x 2－34x +180＝0， 解这个方程，得x 34436，即x ≈6.6. （2）设扇形半径为r ，则3.14r 2＝23×18×15，即r 2≈57.32，所以r ≈7.6. 说明 等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；其原则是形变积不变；或形变积也变，但重量不变，等等.图2 Q PC BA 图4图3Page 8 of 17 让每一个学生超越老师！ 九、动态几何问题例9 如图4所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，点P 从点A 出发沿边AC 向点C 以1cm/s 的速度移动，点Q 从C 点出发沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度移动.（1）如果P 、Q 同时出发，几秒钟后，可使△PCQ 的面积为8平方厘米？（2）点P 、Q 在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ 的面积等于△ABC 的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.解 因为∠C ＝90°，所以AB 22AC BC +2268+10（cm ）.（1）设x s 后，可使△PCQ 的面积为8cm 2，所以 AP ＝x cm ，PC ＝(6－x )cm ，CQ ＝2x cm.则根据题意，得12·(6－x )·2x ＝8.整理，得x 2－6x +8＝0，解这个方程，得x 1＝2，x 2＝4.所以P 、Q 同时出发，2s 或4s 后可使△PCQ 的面积为8cm 2. （2）设点P 出发x 秒后，△PCQ 的面积等于△ABC 面积的一半.则根据题意，得12(6－x )·2x ＝12×12×6×8.整理，得x 2－6x +12＝0. 由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ 的面积等于ABC 面积一半的时刻.Page 9 of 17 让每一个学生超越老师！ 说明 本题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据路程＝速度×时间.十、梯子问题例10 一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m. （1）若梯子的顶端下滑1m ，求梯子的底端水平滑动多少米？ （2）若梯子的底端水平向外滑动1m ，梯子的顶端滑动多少米？（3）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？解 22106 ＝8（m ）.（1）若梯子顶端下滑1m ，则顶端距地面7m.设梯子底端滑动x m. 则根据勾股定理，列方程72+(6+x )2＝102，整理，得x 2+12x －15＝0， 解这个方程，得x 1≈1.14，x 2≈－13.14（舍去）， 所以梯子顶端下滑1m ，底端水平滑动约1.14m.（2）当梯子底端水平向外滑动1m 时，设梯子顶端向下滑动x m. 则根据勾股定理，列方程(8－x )2+(6+1)2＝100.整理，得x 2－16x +13＝0. 解这个方程，得x 1≈0.86，x 2≈15.14（舍去）.Page 10 of 17 让每一个学生超越老师！ 所以若梯子底端水平向外滑动1m ，则顶端下滑约0.86m. （3）设梯子顶端向下滑动x m 时，底端向外也滑动x m.则根据勾股定理，列方程 (8－x )2+(6+x )2＝102，整理，得2x 2－4x ＝0， 解这个方程，得x 1＝0（舍去），x 2＝2.所以梯子顶端向下滑动2m 时，底端向外也滑动2m.说明 求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.十一、航海问题例11 如图5所示，我海军基地位于A 处，在其正南方向200海里处有一重要目标B ，在B 的正东方向200海里处有一重要目标C ，小岛D 恰好位于AC 的中点，岛上有一补给码头；小岛F 位于BC 上且恰好处于小岛D 的正南方向，一艘军舰从A 出发，经B 到C 匀速巡航．一艘补给船同时从D 出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰.（1）小岛D 和小岛F 相距多少海里？（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B 到C 的途中与补给船相遇于E 处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（精确到0.1海里）F EDC B A图5Page 11 of 17 让每一个学生超越老师！ 解（1）F 位于D 的正南方向，则DF ⊥BC .因为AB ⊥BC ，D 为AC 的中点，所以DF ＝12AB ＝100海里，所以，小岛D 与小岛F 相距100海里.（2）设相遇时补给船航行了x 海里，那么DE ＝x 海里，AB +BE ＝2x 海里，EF ＝AB +BC －(AB +BE )－CF ＝(300－2x )海里.在Rt △DEF 中，根据勾股定理可得方程x 2＝1002+(300－2x )2，整理，得3x 2－1200x +100000＝0.解这个方程，得x 1＝200－63≈118.4，x 2＝200+63. 所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里.说明 求解本题时，一定要认真地分析题意，及时发现题目中的等量关系，并能从图形中寻找直角三角形，以便正确运用勾股定理布列一元二次方程.十二、图表信息例12 如图6所示，正方形ABCD 的边长为12，划分成12×12个小正方形格，将边长为n （n 为整数，且2≤n ≤11）的黑白两色正方形纸片按图中的方式，黑白相间地摆放，第一张n ×n 的纸片正好盖住正方形ABCD 左上角的n ×n 个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为(n －1)×(n －1)个小正方形.如此摆放下去，直到纸片盖住正方形ABCD 的右下角为止.请你认真观察思考后回答下列问题：Page 12 of 17 让每一个学生超越老师！ （1）由于正方形纸片边长n 的取值不同，•完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表：纸片的边长n2 3 4 5 6使用的纸片张数（2）设正方形ABCD 被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为S 1，未被盖住的面积为S 2.①当n ＝2时，求S 1∶S 2的值；②是否存在使得S 1＝S 2的n 值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由. 解（1）依题意可依次填表为：11、10、9、8、7. （2）S 1＝n 2+(12－n )[n 2－(n －1)2]＝－n 2+25n －12.①当n ＝2时，S 1＝－22+25×2－12＝34，S 2＝12×12－34＝110. 所以S 1∶S 2＝34∶110＝17∶55. ②若S 1＝S 2，则有－n 2+25n －12＝12×122，即n 2－25n +84＝0， 解这个方程，得n 1＝4，n 2＝21（舍去）. 所以当n ＝4时，S 1＝S 2.所以这样的n 值是存在的.图6Page 13 of 17 让每一个学生超越老师！ 说明 求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表，及时挖掘其中的隐含条件，对于求解第（3）小题，可以先假定问题的存在，进而构造一元二次方程，看得到的一元二次方程是否有实数根来加以判断.十三、探索在在问题例13 将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.解（1）设剪成两段后其中一段为x cm ，则另一段为（20－x ）cm.则根据题意，得24x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+2204x -⎛⎫ ⎪⎝⎭＝17，解得x 1＝16，x 2＝4，当x ＝16时，20－x ＝4，当x ＝4时，20－x ＝16， 答 这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm 和16cm.Page 14 of 17 让每一个学生超越老师！（2）不能.理由是：不妨设剪成两段后其中一段为y cm ，则另一段为（20－y ）cm.则由题意得24y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+2204y -⎛⎫⎪⎝⎭＝12，整理，得y 2－20y +104＝0，移项并配方，得(y －10)2＝－4＜0，所以此方程无解，即不能剪成两段使得面积和为12cm 2.说明 本题的第（2）小问也可以运用求根公式中的b 2－4ac 来判定.若b 2－4ac ≥0，方程有两个实数根，若b 2－4ac ＜0，方程没有实数根，本题中的b 2－4ac ＝－16＜0即无解.十四、平分几何图形的周长与面积问题例14 如图7，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝DC ＝5，AD ＝4，BC ＝10.点E•在下底边BC 上，点F 在腰AB 上.（1）若EF 平分等腰梯形ABCD 的周长，设BE 长为x ，试用含x 的代数式表示△BEF 的面积；（2）是否存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE 的长；若不存在，请说明理由；（3）是否存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时分成1∶2的两部分？若存在，求此时BE 的长；若不存在，请说明理由.解（1）由已知条件得，梯形周长为12，高4，面积为28.过点F 作FG ⊥BC 于G ，过点A 作AK ⊥BC 于K .FEDCBA 图7 K GPage 15 of 17 让每一个学生超越老师！ 则可得，FG ＝125x×4， 所以S △BEF ＝12BE ·FG ＝－25x 2+245x （7≤x ≤10）. （2）存在.由（1）得－25x 2+245x ＝14，解这个方程，得x 1＝7，x 2＝5（不合题意，舍去），所以存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长与面积同时平分，此时BE ＝7. （3）不存在.假设存在，显然有S △BEF ∶S 多边形AFECD ＝1∶2，即(BE +BF )∶(AF +AD +DC )＝1∶2.则有－25x 2+165x ＝283， 整理，得3x 2－24x +70＝0，此时的求根公式中的b 2－4ac ＝576－840＜0， 所以不存在这样的实数x .即不存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时分成1∶2的两部分.说明 求解本题时应注意：一是要能正确确定x 的取值范围；二是在求得x 2＝5时，并不属于7≤x ≤10，应及时地舍去；三是处理第（3）个问题时的实质是利用一元二次方程来探索问题的存在性.十五、利用图形探索规律例15 在如图8中，每个正方形有边长为1 的小正方形组成：Page 16 of 17 让每一个学生超越老师！（1）观察图形，请填写下列表格：正方形边长 1 3 5 7 … n （奇数） 黑色小正方形个数…正方形边长 2 4 6 8 … n （偶数） 黑色小正方形个数…（2）在边长为n （n ≥1）的正方形中，设黑色小正方形的个数为P 1，白色小正方形的个数为P 2，问是否存在偶数．．n ，使P 2＝5P 1？若存在，请写出n 的值；若不存在，请说明理由.图8解（1）观察分析图案可知正方形的边长为1、3、5、7、…、n时，黑色正方形的个数为1、5、9、13、2n－1（奇数）；正方形的边长为2、4、6、8、…、n时，黑色正方形的个数为4、8、12、16、2n（偶数）.（2）由（1）可知n为偶数时P1＝2n，所以P2＝n2－2n.根据题意，得n2－2n＝5×2n，即n2－12n＝0，解得n1＝12，n2＝0（不合题意，舍去）.所以存在偶数n＝12，使得P2＝5P1.说明本题的第（2）小问是属于存在性问题，求解时，可以先假设结论存在，进而从中找到数量关系，使问题获解.综上所言，列一元二次方程解应用题是列一元一次方程、二元一次方程组解应用题的延续和发展，列方程解应用题就是先把实际问题抽象为方程模型，然后通过解方程获得对实际问题的解决.列一元二次方程解应用题的关键是：找出未知量与已知量之间的联系，从而将实际问题转化为方程模型，要善于将普通语言转化为代数式，在审题时，要特别注意关键词语，如“多少、快、慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、减少”等等，此外，还要掌握一些常用的公式或特殊的等量关系，如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增长率问题中的一些特殊关系等等.Page 17 of 17 让每一个学生超越老师！。
人教版九年级数学上册一元二次方程应用题题型总结经典
人教版九年级数学上册一元二次方程应用题题型总结经典营户希望每天能够获得至少100元的利润。
求该经营户应该将价格降低多少元/千克才能达到目标利润，以及此时每天的销售量是多少千克。
一元二次方程应用题题型总结一、增长率问题增长率问题是一种常见的应用题型，其中涉及到变化前数量、变化后数量以及变化率等概念。
一般情况下，我们可以使用如下公式来解决这类问题：变化前数量×（1±x）n＝变化后数量例如，某商场在十月份的销售额下降了20%，但在十一月份开始加强管理，改善经营，使得十二月份的销售额达到了193.6万元。
现在要求这两个月的平均增长率，我们可以使用上述公式进行计算。
另外，还有一些涉及到商品价格变化的增长率问题。
例如，某种商品原价为50元，1月份降价10%后，从2月份开始又开始上涨，3月份的售价为64.8元。
要求2、3月份价格的平均增长率，我们同样可以使用上述公式进行计算。
二、商品销售问题商品销售问题是另一种常见的应用题型，其中涉及到售价、进价、利润、销售量、销售额等概念。
一般情况下，我们可以使用如下公式来解决这类问题：售价-进价=利润单件利润×销售量=总利润单价×销售量=销售额例如，某商店购进一种商品，进价为30元。
若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？我们可以使用上述公式进行计算。
另外，还有一些涉及到生产成本、售价、销售量等的商品销售问题。
例如，某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出。
现在要求当日产量为多少时每日获得的利润为1750元，或者当可获得的最大利润为1950元时，日产量应为多少。
我们同样可以使用上述公式进行计算。
除此之外，还有一些涉及到涨价、销售量等的商品销售问题。
例如，某水果批发商场经销一种高档水果，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。
现在要求每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元。
一元二次方程的应用题分类题型汇总
一元二次方程的应用（设未知数——找等量关系——求解——检验）一、商品销售问题售价—进价=利润单价×销售量=销售额一件商品的利润×销售量=总利润1、某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？2、某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现：单价每千克70元时日均销售60kg；单价每千克降低一元,日均多售2kg。
在销售过程中,每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时,按一天计算）.如果日均获利1950元,求销售单价3、某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？4、某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为４０只，且每日产出的产品全部售出，已知生产ⅹ只熊猫的成本为Ｒ（元），售价每只为Ｐ（元），且ＲＰ与x的关系式分别为R=500+30X，P=170—2X。
（１）当日产量为多少时每日获得的利润为１７５０元？（２）若可获得的最大利润为１９５０元，问日产量应为多少？二、行程问题路程=速度*时间相遇路程=速度和*相遇时间追及问题=速度差*追及时间顺水速度=船速（静水中的速度）+ 水流速度逆流速度=船速（静水中的速度）—水流速度1、甲乙二人分别从相聚20千米的A、B两地以相同的速度同时相向而行，相遇后，二人继续前进，乙的速度不变，甲每小时比原来多走1千米，结果甲到达B地后乙还需30分钟才能到达A地，求乙每小时走多少千米？2、甲、乙两个城市间的铁路路程为1600公里，经过技术改造，列车实施了提速，提速后比提速前速度增加20公里/小时，列车从甲城到乙城行驶时间减少4小时，这条铁路在现有的安全条件下安全行驶速度不得超过140公里/小时.请你用学过的数学知识说明在这条铁路现有的条件下列车还可以再次提速.3、一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以35千米/时的速度前进，突然，1号队员以45千米/时的速度独自前进，行进10千米后调转车头，仍以45千米/时的速度往回骑，直到与其他队员会合，1号队员从离队开始到与队员重新会合，经过了多少时间。
一元二次方程应用题经典题型汇总
一元二次方程应用题经典题型汇总同学们知道，学习了一元二次方程的解法以后，就会经常遇到解决与一元二次方程有关的生活中的应用问题，即列一元二次方程解应用题,不少同学遇到这类问题总是左右为难,难以下笔，事实上,同学们只要能认真地阅读题目,分析题意，并能学会分解题目，各个击破，从而找到已知的条件和未知问题,必要时可以通过画图、列表等方法来帮助我们理顺已知与未知之间的关系，找到一个或几个相等的式子，从而列出方程求解，同时还要及时地检验答案的正确性并作答。
现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的十大典型题目,举例说明。
一、增长率问题例1恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20％,商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.解设这两个月的平均增长率是x。
，则根据题意，得200（1－20%)（1+x)2＝193.6，即(1+x）2＝1。
21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）.答这两个月的平均增长率是10％.说明这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题,在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义,即可利用公式m（1+x)2＝n求解，其中m＜n.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1－x）2＝n即可求解，其中m ＞n.二、商品定价例2益群精品店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a)件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20％，商店计划要盈利400元，需要进货多少件?每件商品应定价多少？解根据题意，得(a－21)（350－10a）＝400,整理，得a2－56a+775＝0，解这个方程，得a1＝25,a2＝31。
因为21×（1+20％）＝25.2,所以a2=31不合题意，舍去。
所以350－10a＝350－10×25＝100（件）。
一元二次方程的实际应用题
一元二次方程的实际应用题（一）传播问题1.市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。
某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，则这种药品平均每次降价的百分率为2.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了个人。
3.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出小分支。
4.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有个队参加比赛。
5.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有个队参加比赛。
6.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，这个小组共有多少名同学？7.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有多少人？8.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？（二）平均增长率问题变化前数量×（1 x）n＝变化后数量1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450公斤，水稻每公顷产量的年平均增长率为。
2.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均每次降价率是。
3.周嘉忠同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的60%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（利息税为20%，只需要列式子）。
4.某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。
--一元二次方程应用题经典题型汇总
一元二次方程应用题经典题型汇总认真阅读题目，分析题意，学会分解题目，从而找到已知的条件和未知问题，必要时可以通过画图、列表等方法来帮助理顺已知与未知之间的关系，找到一个或几个相等的式子，同时还要及时地检验从而列出方程求解，答案的正确性并作答 . 现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的几大典型题目，举例说明一、面积问题：例 1 ：如图，在长为 100 米，宽为 80 米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为 7644 米 2 ，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为 x 米，则可列方程为（）A．100×80-100x-80x=7644 B．（ 100-x ）（ 80-x ）+x2=7644C．（ 100-x ）（ 80-x ）=7644 D．100x+80x=356二、增长率问题：（变化前的基数 a，增长率 x ，变化的次数 n，变化后的基数 b，关系： a（1+x ）n=b ）例 2 ：恒利商厦九月份的销售额为 200 万元，十月份的销售额下降了 20% ，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了 193.6 万元，求这两个月的平均增长率 .解设这两个月的平均增长率是x. ，则根据题意，得 200（1 －20%）（1+ x）2＝193.6 ，即（1+ x）2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－ 2.1（舍去） .三、商品价格问题例 3 ：某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出30 件，每件盈利 40 元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价 1 元时，平均每天可多卖出 2 件。
若商场要求该服装部每天盈利1200 元，每件衬衫应降价多少元？设每件应降价 x 元，由题意可列方程为（ 40-x ）（30+2x ） =1200 ，解得 x1=0 ， x2=25 ，当 x=0 时，能卖出 30 件；当 x=25 时，能卖出 80 件，根据题意， x=25 时能卖出 80 件，符合题意，不降价也能盈利 1200 元，符合题意，因为要减少库存，所以应降价 25 元，四、储蓄问题例 4 ：王红梅同学将 1000 元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的 500 元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的 90% ，这样到期后，可得本金和利息共 530 元，求第一次存款时的年利率 . （假设不计利息税）解设第一次存款时的年利率为x.则根据题意，得 [1000（1+ x）－500]（1+0.9 x）＝530.整理，得 90 x2+145 x－3＝0.解这个方程，得x1≈ 0.0204 ＝2.04% ，x2≈－ 1.63.由于存款利率不能为负数，所以将x2≈－ 1.63 舍去.答第一次存款的年利率约是 2.04%.五、情景对话类例 5 ：春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图对话中收费标准某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用 去天水湾风景区旅游？设该单位这次共有 x 名员工去天水湾风景区旅游 .因为 1000×25＝25000 <27000 ，所以员工人数一定超过25 人. 则根据题意，得 [1000 －20（x －25）]x ＝ 27000. 整理，得 x2－ 75x+1350 ＝0，解这个方程，得x1＝45 ，x2 ＝ 30.当 x ＝45 时， 1000 － 20（x －25）＝600<700，故舍去 x1；当 x2＝30 时， 1000－20（x －25）＝900>700，符合题意 .六、动点问题：例 6 ：如图所示，一个长为 10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面 8m ，如果梯 子顶端下滑 1m ，那么（ 1）底端滑动的距离是多少？（ 2 ）梯子顶端下滑多少米正好等于 底端后滑的距离？七、趣味问题例 7 ：一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽 4 米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高 2 米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他 们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？解 设渠道的深度为 xm ，那么渠底宽为 （x+0.1）m ，上口宽为 （x+0.1+1.4）m.则根据题意，得 x+0.1+x+1.4+0.1） · x ＝ 1.8 ，整理，得 x2+0.8x － 1.8 ＝0.解这个方程，得 x1＝－ 1.8 （舍去）， x2 ＝ 1.所以 x+1.4+0.1 ＝ 1+1.4+0.1 ＝2.5. 答 渠道的上口宽 2.5m ，渠深1m.27000 元 .请问该单位这次共有多少如果人数不超过 25 人，人均旅 游费用为 1000 元.7、 18. 一元二次方程解应用题将进货单价为 40 元的商品按元，其销售量就减少 10 个。