范里安《微观经济学(高级教程)》(第3版)课后习题-福利(圣才出品)

第22章

福

利

1．考虑最优税收公式：

1

k

j i j

j i

h x t p θ=∂=∂∑证明：当所要求的收入总量为正时，θ为非正。

In the formula for the optimal tax derived in the text,equation ,

1

k

j i j

j i

h x t p θ=∂=∂∑show that θis nonnegative if the required amount of revenue is

positive.

证明：将最优税收公式：

1

k

j i j

j i

h x t p θ=∂=∂∑两边乘以

i t ，并加总，得到如下等式：

由于斯拉茨基矩阵是负半定的，所以表达式的右边是非正的。因此θ与R 有不同的符号。因为R 非负，从而θ是非正的。

2．一家公用事业公司生产产出1k x x ，…，。这些产品由一个具有效用函数()()11k k u x u x y +++…的代表性消费者来消费，此处y 为计价物品。该公用事业公司以边际

成本i c 生产商品i ，其固定成本为F 。求出一个最优定价公式将()i i p c -与商品i 的需求弹性联系起来。

A public utility produces outputs 1k x x ，…，These goods are consumed by a

representative consumer with utility function ()()11k k u x u x y +++…,where y is a numeraire good.The utility produces good i at marginal cost i c but has fixed costs F .Derive a formula for the optimal pricing rule that relates ()

-i i p c to the

elasticity of demand for good i .

答：由代表性消费者的效用函数的形式可知其间接效用函数为：

()()1=k

i i i v p m v p m

= +∑，此外要使该公司提供产品的前提条件是公司不能发生亏损，即1

1

n n

i i i i i i p x c x F ==≥+∑∑

，从

而社会福利最大化问题就是：

相应的拉格朗日函数为：

()()11=k

n i i i i i i i L v p m p c x F λ==⎡⎤+---⎢⎥⎣⎦

∑∑

一阶条件为：

即：

又因为()()i i i v p x p '=

-，把它代入上式中得到：

即：

()

()

1i i i i

p c p λελ

-+=-