第10章习题答案

习题10

1.(1)图G 的度数列为2、2、3、3、4，则G 的边数是多少 (2)3、3、2、3和5、2、3、1、4能成为图的度数列吗为什么

(3)图G 有12条边，度数为3的结点有6个，其余结点的度数均小于3，问图G 中至多有几个结点为什么

解 (1)设G 有m 条边，由握手定理得2m ＝∑∈V

v v d )(＝2＋2＋3＋3＋4＝14，所以G 的边数7条。

(2)由于这两个序列中有奇数个是奇数，由握手定理的推论知，它们都不能成为图的度数列。 (3) 由握手定理得∑∈V

v v d )(＝2m ＝24，度数为3的结点有6个占去18度，还有6度由其它结点占有，

其余结点的度数可为0、1、2，当均为2时所用结点数最少，所以应由3个结点占有这6度，即图G 中至多有9个结点。

2.若有n 个人，每个人恰有3个朋友，则n 必为偶数。

证明 设1v 、2v 、…、n v 表示任给的n 个人，以1v 、2v 、…、n v 为结点，当且仅当两人为朋友时其对应的结点之间连一条边，这样得到一个简单图G 。由握手定理知

∑=n

k k

v d 1)(＝3n 必为偶数，从而n 必为偶数。

3.判断下列各非负整数列哪些是可图化的哪些是可简单图化的 (1)(1，1，1，2，3)。 (2)(2，2，2，2，2)。 (3)(3，3，3，3)。 (4)(1，2，3，4，5)。 (5)(1，3，3，3)。

解 由于非负整数列d ＝(d 1，d 2，…，d n )是可图化的当且仅当∑=n

i i d 1≡0(mod 2)，所以(1)、(2)、

(3)、(5)能构成无向图的度数列。

(1)、(2)、(3)是可简单图化的。其对应的无向简单图如图所示。

(5)是不可简单图化的。若不然，存在无向图G 以为1，3，3，3度数列，不妨设G 中结点为1v 、2v 、

3v 、4v ，且d(1v )＝1，d(2v )＝d(3v )＝d(4v )＝3。而1v 只能与2v 、3v 、4v 之一相邻，设1v 与2v 相邻，于

是d(3v )＝d(4v )＝3不成立，矛盾。

4.试证明图10-48中的两个无向图是不同构的。

证明 因为两图中都有4个3度结点，左图中每个3度结点均与2个2度结点邻接，而右图中每个3度结点均只与1个2度结点邻接，所以这两个无向图是不同构的。

5.在图同构意义下，试画出具有三个结点的所有简单有向图。

解 具有三个结点的所有非同构的简单有向图共16个，如图所示，其中(8)

(16)为其生成子图。

6.给定无向完全图G ＝，且|V |＝4。在图同构意义下，试求： (1)G 的所有子图。 (2)G 的所有生成子图。

解 (1)G 的所有子图如图所示。 (2)图(8)(18)是G 的所有生成子图。

7.(1)试给出一个五个结点的自补图。 (2)是否有三个结点或六个结点的自补图。

(3)一个图是自补图，则其对应的完全图的边数必是偶数。

(1)(3)(5)

(6)

(7)

(9)(10)

(13)

(14)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(4)一个自补图的结点数必是4k 或4k ＋1。

解 (1)五个结点的图G 与它的补图G 如图所示。对G 与G 建立双射：1

v 1v ，

2v 2v ，3

v 3v ，4

v 4v ，

5

v 5v 。显然这两个图保持相应点边之间的对应的关联关系，故G

G 。因此，G 是五个结点的自补图。

(3)设图G 是自补图，有m 条边，G 对应的完全图的边数为s ，

则G 对应的补图G 的边数为s －m 。因为G G ，故边数相等，即有m ＝s －m ，s ＝2m ，因此

G 对应的完全

图的边数s 为偶数。

(2)由(3)知，自补图对应的完全图的边数为偶数。n 个结点的完全图n K 的边数为2

1n (n －1)，当n ＝3或n ＝6时，n K 的边数为奇数，因此不存在三个结点或六个结点的自补图。

(4)设G 为n 阶自补图，则需2

1

n (n －1)能被2整除，因此n 必为4k 或4k ＋1形式。

8.一个n (n ≥2)阶无向简单图G 中，n 为奇数，已知G 中有r 个奇数度结点，问G 的补图G 中有几个奇数度结点

解 由G 的补图G 的定义可知，G ∪G 为n K ，由于n 为奇数，所以n K 中各顶点的度数n －1为偶数。对于图G 的任意结点v ，应有v 也是G 的顶点，且)(v d G ＋)(v d G ＝)(v d n K ＝n －1，由于n －1为偶数，所以

)(v d G 和)(v d G 奇偶性相同，因此若G 中有r 个奇数度结点，则G 中也有r 个奇数度结点。

9.画出4阶无向完全图K 4的所有非同构的生成子图，并指出自补图来。 解 下图中的11个图是K 4的全部的非同构的生成子图，其中(7)为自补图。 10.

设图G 中有9

个结点，每个结点的度不是5就是6。试证明G 中至少有5个6度结点或至少有6个5度结点。

证明 由握手定理的推论可知，G 中5度结点数只能是0、2、4、6、8五种情况（此时6度结点数分别为9、7、5、3、1）。以上五种情况都满足至少5个6度结点或至少6个5度结点的情况。

（1）（2)G

G