矩阵的n次方
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1 多元求解方阵高次幂
方阶矩阵的幂：当一个方阶矩阵与自身相乘有限次时，使用幂记号表示较方便。因此，
记 n 为一个正整数，则 An = AA...A
n
作者简介：张靖芝，女，（1983-），安徽亳州人，中国矿业大学理学院 09 级研究生，主要从事金融数学 研究 通信联系人：夏同强，男（1985-），安徽亳州人，中国矿业大学（09）安全学院硕士，主要从事矿井安全 通风的科研工作. E-mail: 15062191329@139.com
1⎥⎦
⎢0 ⎢⎣
所以当 n=k+1 时，猜想等式依然成立，即假设成立。
(k +1)a 1 0
k
(k + 1) + (k 2 (k +1)a
+
1)b⎥⎤ ⎥ ⎥
1
⎥
⎥⎦
1.3 方阵拆分相乘法
定理 3.当 rank(A)=1 时，A 可以写成对应列向量和行向量的乘积，对 An 中拆分相的进行
数乘处理，可以大大简化计算量。
-1-
中国科技论文在线
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1.1 二项式法
定理 1.若矩阵 A 的主对角线上的元素相同，这样 A 可表为一个矩阵 k·E（k 为系数，E 为单位矩阵）与另一矩阵 G 之和，即 A=k·E+G。则：
An = (k ⋅ E + G)n = k nE + nk n−1G + Cn2k n−2G 2 + … + Cnn−1kG n−1 + G n
[ ] [ ] 其中： a = a1 a2 an T , b = b1 b2 bn T
[ 又 bT ⋅ a = b1 b2
⎡ a1 ⎤
]bn
⎢ ⎢ ⎢
a2
⎥ ⎥ ⎥
=
a1b1
+
a2b2
+
⎢⎥ ⎣ an ⎦
n
∑ + anbn = aibi i =1
n
∑ 则： An = (abT )...(ab T ) = a(bT a)...(b T a)b T = a(b T a)n−1b T = ( aibi )n−1 A
0 引言
方阵的乘幂在各个领域中有着广泛的应用,研究其算法自然有着非常重要的意义。目前 对方阶矩阵 n 次方幂的求解[1~2]研究较为充分，其基本方法仍然是利用矩阵的对角化或 Jordan 标准形的方法去求,但对一些矩阵的表达式,往往对其对角化或 Jordan 标准形相当困 难，甚至行不通，本文针对矩阵的不同形式，对前人研究成果[3~7]进行整理，旨在探讨出多 元求解方阵高次幂一般方法。
⎡1 a b⎤ 例题 3.设 A = ⎢⎢0 1 a⎥⎥ ,试求 A2 、 A3 ，并进而求 An
⎢⎣0 0 1⎥⎦
解：直接计算：
⎡1 2a a2 + 2b⎤
A2 = ⎢⎢0 1
2a
⎥ ⎥
⎢⎣0 0
1 ⎥⎦
⎡1 2a a2 + 2b⎤⎡1 a b⎤ ⎡1 3a 3a2 + 3b⎤
A3 = A2 ⋅ A = ⎢⎢0 1
例题
1.设
A
=
⎡a ⎢⎣b
b⎤ a⎥⎦
,求
An
（n
≥
1
）
分析：A
这样的矩阵，注意到
A=a·E+b·B,
B
=
⎡0 ⎢⎣1
解：A=a·E+b·B
1⎤ 0⎥⎦
，
B2
=
E
。
则对 An 进行二次项展开求解有：
n
∑ An = (aE + bB)n = Cni an−i (bB)i i=0
⎡2 0 1⎤ 例题 2.设 A = ⎢⎢0 2 0⎥⎥ ,求 An （n ≥ 1）
⎢⎣0 0 2⎥⎦
分析:此题例题 2 已经给出了二项式解法，同时也可以用数学归纳法去求解，这里介绍
相似标准形法。
解：A~J=diag (2，J(2，2)).
⎡0 1 0⎤ 然后求得可逆矩阵 P = ⎢⎢1 0 0⎥⎥ ,使得 P −1 AP=J
⎢⎣0 0 1⎥⎦
-4-
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方阶矩阵 n 次方幂的求解方法探讨
张靖芝1，李薇薇1，谭玲1，夏同强2**
（1. 中国矿业大学理学院，江苏 徐州 221008； 2. 中国矿业大学 煤炭资源与安全开采国家重点实验室，江苏 徐州 221008） 摘要：方阵高次幂在高等代数题解、矩阵稳定性讨论等方面有着广泛的应用，但它的求解一 般都比较困难。虽然它的运算遵循矩阵乘法规律，但是由于它相乘的次数较多，方阵高次幂 的计算会很麻烦。本文总结一些求解方阵高次幂问题的方法,即根据矩阵的不同特点选用不 同的解题思路，如：用二项式法、数学归纳法、相似标准形法等。本文的研究成果对不同知 识的相互交叉、灵活运用有重要引导作用，能显著提高解题的多元性和求解效率。 关键词：对角化；方阵；高次幂；二项式法；数学归纳法
An = P⎢⎢ 0 0 0⎥⎥ P−1 = ⎢⎢1 1 0⎥⎥⎢⎢ 0 0 0⎥⎥ ⎢⎢−1 1 0⎥⎥ = ⎢⎢(−1)n 0 0⎥⎥
⎢⎣ 0 0 1⎥⎦
⎢⎣1 1 1⎥⎦⎢⎣ 0 0 1⎥⎦ ⎢⎣ 0 −1 1⎥⎦ ⎢⎣(−1)n −1 1⎥⎦
⎡2 0 1⎤ 例题 7.设 A = ⎢⎢0 2 0⎥⎥ ,求（n ≥ 1）。
1⎥
⎢⎣
⎥⎦
现用数学归纳法证明：
（1） 当 n=1、2、3 时已经成立；
（2） 假设设 n=k 时成立，那么 n=k+1 时，有：
⎢⎡1 Ak+1 = Ak ⋅ A = ⎢⎢0
ka 1
k(k −1)
2 ka
+
kb⎥⎤⎡1 ⎥⎥⎢⎢0
a 1
b⎤ ⎢⎡1 a⎥⎥ = ⎢⎢0
⎢0 0 ⎢⎣
1
⎥⎥⎦⎢⎣0
0
解：由于三阶方阵 A 有三个不同的特征根,则存在对角阵与 A 相似,即有三阶可逆阵 P,
⎡−1 0 0⎤
使
P −1 AP
=
⎢ ⎢
0
0 0⎥⎥ 。
⎢⎣ 0 0 1⎥⎦
⎡1 0 0⎤ 易求的 P = ⎢⎢1 1 0⎥⎥
⎢⎣1 1 1⎥⎦
故：
⎡−1 0 0⎤n
⎡1 0 0⎤⎡−1 0 0⎤n ⎡ 1 0 0⎤ ⎡(−1)n 0 0⎤
化，则可以先求 A 的 Jordan 标准形 J,再求一个 n 阶可逆阵 P,使得 P −1 AP=J,即 A n =PJ n P −1 。 例 题 6. 设 三 阶 矩 阵 A 的 三 个 特 征 根 分 别 是 -1,0,1, 其 对 应 的 特 征 向 量 分 别 为
(1,1,1) T ,(0,1,1) T ,(0,0,1) T ，试求 An 。
男性?2 年后呢?[5]
解：可用如下方式构造矩阵 A.矩阵 A 的第一行元素分别位 1 年后仍处于婚姻状态的已
婚女性和已婚的单身女性的百分比.第二行元素分别为 1 年后离婚的已婚女性和未婚的单身
女性的百分比.因此
A=
⎡0.70 ⎢⎣0.30
0.20⎤ 0.80⎥⎦
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又
bT
⋅
a
=
(1,-
1 2
,
13)⎜⎜⎜⎝⎛13- 2
⎟⎞ ⎟ ⎟⎠
=
3
则： An = (abT )...(abT ) = a(b T a)...(bT a)b T = a(b T a)n−1b T = 3n−1 A
n
n −1
⎡ ⎢
1
⎢
即： An = 3n−1 ⎢− 2
−1 2 1
1⎤
3 −2
⎥ ⎥ ⎥
⎢
3⎥
⎢ ⎢⎣
3
−3 2
1
⎥ ⎥⎦
1.4 方阵拆分相乘法
定理 4.若存在对角阵 D 与 n 阶方阵 A 相似,则总可以求出一个 n 阶可逆矩阵 P,使得
P −1 AP=D，于是 An = PDnP−1 ；若 n 阶方阵 A 不存在对角阵与其相似，即方阵 A 不可对角
n
n −1
i =1
⎡ ⎢
1
⎢
例题 5. A = ⎢− 2
−1 2 1
1⎤
3 −2
⎥ ⎥ ⎥
，求
An
（n
≥
1
）
⎢
3⎥
⎢ ⎢⎣
3
−3 2
1
⎥ ⎥⎦
解：由于 rank(A)=1，所以可以将 A 分解为： A = a ⋅ bT
其中： a = (1,-2,3)T , b
= (1,-
1 , 1 )T 23
-3-
⎡2n 0 0 ⎤
⎡2 0 n⎤
于是：A
n
=PJ
n
P
−1
=P
⎢ ⎢
0
2n
n2 n−1
⎥ ⎥
P
−1
=2
n −1
⎢⎢0
2
0⎥⎥
⎢⎣ 0 0 2n ⎥⎦
⎢⎣0 0 2⎥⎦
2 方阶矩阵高次幂的应用
某个城镇中,每年有
30 100
的已婚女性离婚,
20 100
的单身女性结婚.城镇中有
8000
位已
婚女性和 2000 位单身女性.假设所有女性的总数位已常数, 问 1 年后有多少已婚女性和单身
⎢⎣0 0 2⎥⎦
⎡0 0 1⎤ 解：A=2E+B，其中 B = ⎢⎢0 0 0⎥⎥ 且 B2 = 0 。则：
⎢⎣0 0 0⎥⎦
⎡ 2n
∑ An = (2E + B)n =
n
Cni 2n−i (B)i
=
2n
⋅
E
+Байду номын сангаас
n2n−1
⋅
B
=
⎢ ⎢
i=0
⎢
⎣
0 n2n−1⎤
2n
⎥ ⎥
2n
⎥ ⎦
1.2 数学归纳法
定理 2.在求解某些方阵的 n 次方幂时，若发现矩阵 A 、 A2 、 A3 具有规律的，这时可试 图考虑用数学归纳法找出一般规律，从而求解 An 。
⎡a1b1 a1b2 ... a1bn ⎤
例题 4.设 A = ⎢⎢a2b1 ⎢ ...
a2b2 ...
... ...
a2bn
⎥ ⎥
... ⎥
（ai 不全为零，i 为 1……n） 求 An （n ≥ 1 ）
⎢⎣anb1
anb2
...
anbn
⎥ ⎦
解：rank(A)=1，将 A 分解为： A = a ⋅ bT
中图分类号：O
To Explore the Methods of Square Matrix High Order Power
Zhang Jingzhi1, Li Weiwei1, Tan Ling1, Xia Tongqiang2
(1. College of sciences in CUMT, JiangSu XuZhou 221008; 2. State Key Laboratory of Coal Resources and Safe Mining, CUMT, JiangSu XuZhou 221008) Abstract: High-power matrix algebra in the higher title of solutions，to discuss the stability of the matrix have a wide rang of applications ，but it is generally more difficult to solve．Although its operations follow the rules of matrix multiplication, but multiplying the number of times because of its large, square high computing power will be trouble. this paper will review some of the solution of square high power to the problem, according to the matrix of different characteristics from a different approach to solve the problem, such as ：such as: use the binomial method, mathematical induction, similar to the standard form of law. The results of this research knowledge have an important guiding role of flexibility on the different cross-cutting, and they can significantly increase the diversity of solving problem and solution efficiency. Keywords:Diagonalization;Square Matrix;High Power;Binomial Method;Mathematical Induction
2a
⎥ ⎥
⎢⎢0
1
a⎥⎥ = ⎢⎢0
1
3a
⎥ ⎥
⎢⎣0 0
1 ⎥⎦⎢⎣0 0 1⎥⎦ ⎢⎣0 0
1 ⎥⎦
-2-
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⎢⎡1 通过考察 A 、 A2 、 A3 的形式，可以猜测 An = ⎢⎢0
na 1
n(n −1)
2 na
+
nb⎥⎤ ⎥ ⎥
⎢0 0
方阶矩阵的幂：当一个方阶矩阵与自身相乘有限次时，使用幂记号表示较方便。因此，
记 n 为一个正整数，则 An = AA...A
n
作者简介：张靖芝，女，（1983-），安徽亳州人，中国矿业大学理学院 09 级研究生，主要从事金融数学 研究 通信联系人：夏同强，男（1985-），安徽亳州人，中国矿业大学（09）安全学院硕士，主要从事矿井安全 通风的科研工作. E-mail: 15062191329@139.com
1⎥⎦
⎢0 ⎢⎣
所以当 n=k+1 时，猜想等式依然成立，即假设成立。
(k +1)a 1 0
k
(k + 1) + (k 2 (k +1)a
+
1)b⎥⎤ ⎥ ⎥
1
⎥
⎥⎦
1.3 方阵拆分相乘法
定理 3.当 rank(A)=1 时，A 可以写成对应列向量和行向量的乘积，对 An 中拆分相的进行
数乘处理，可以大大简化计算量。
-1-
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1.1 二项式法
定理 1.若矩阵 A 的主对角线上的元素相同，这样 A 可表为一个矩阵 k·E（k 为系数，E 为单位矩阵）与另一矩阵 G 之和，即 A=k·E+G。则：
An = (k ⋅ E + G)n = k nE + nk n−1G + Cn2k n−2G 2 + … + Cnn−1kG n−1 + G n
[ ] [ ] 其中： a = a1 a2 an T , b = b1 b2 bn T
[ 又 bT ⋅ a = b1 b2
⎡ a1 ⎤
]bn
⎢ ⎢ ⎢
a2
⎥ ⎥ ⎥
=
a1b1
+
a2b2
+
⎢⎥ ⎣ an ⎦
n
∑ + anbn = aibi i =1
n
∑ 则： An = (abT )...(ab T ) = a(bT a)...(b T a)b T = a(b T a)n−1b T = ( aibi )n−1 A
0 引言
方阵的乘幂在各个领域中有着广泛的应用,研究其算法自然有着非常重要的意义。目前 对方阶矩阵 n 次方幂的求解[1~2]研究较为充分，其基本方法仍然是利用矩阵的对角化或 Jordan 标准形的方法去求,但对一些矩阵的表达式,往往对其对角化或 Jordan 标准形相当困 难，甚至行不通，本文针对矩阵的不同形式，对前人研究成果[3~7]进行整理，旨在探讨出多 元求解方阵高次幂一般方法。
⎡1 a b⎤ 例题 3.设 A = ⎢⎢0 1 a⎥⎥ ,试求 A2 、 A3 ，并进而求 An
⎢⎣0 0 1⎥⎦
解：直接计算：
⎡1 2a a2 + 2b⎤
A2 = ⎢⎢0 1
2a
⎥ ⎥
⎢⎣0 0
1 ⎥⎦
⎡1 2a a2 + 2b⎤⎡1 a b⎤ ⎡1 3a 3a2 + 3b⎤
A3 = A2 ⋅ A = ⎢⎢0 1
例题
1.设
A
=
⎡a ⎢⎣b
b⎤ a⎥⎦
,求
An
（n
≥
1
）
分析：A
这样的矩阵，注意到
A=a·E+b·B,
B
=
⎡0 ⎢⎣1
解：A=a·E+b·B
1⎤ 0⎥⎦
，
B2
=
E
。
则对 An 进行二次项展开求解有：
n
∑ An = (aE + bB)n = Cni an−i (bB)i i=0
⎡2 0 1⎤ 例题 2.设 A = ⎢⎢0 2 0⎥⎥ ,求 An （n ≥ 1）
⎢⎣0 0 2⎥⎦
分析:此题例题 2 已经给出了二项式解法，同时也可以用数学归纳法去求解，这里介绍
相似标准形法。
解：A~J=diag (2，J(2，2)).
⎡0 1 0⎤ 然后求得可逆矩阵 P = ⎢⎢1 0 0⎥⎥ ,使得 P −1 AP=J
⎢⎣0 0 1⎥⎦
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方阶矩阵 n 次方幂的求解方法探讨
张靖芝1，李薇薇1，谭玲1，夏同强2**
（1. 中国矿业大学理学院，江苏 徐州 221008； 2. 中国矿业大学 煤炭资源与安全开采国家重点实验室，江苏 徐州 221008） 摘要：方阵高次幂在高等代数题解、矩阵稳定性讨论等方面有着广泛的应用，但它的求解一 般都比较困难。虽然它的运算遵循矩阵乘法规律，但是由于它相乘的次数较多，方阵高次幂 的计算会很麻烦。本文总结一些求解方阵高次幂问题的方法,即根据矩阵的不同特点选用不 同的解题思路，如：用二项式法、数学归纳法、相似标准形法等。本文的研究成果对不同知 识的相互交叉、灵活运用有重要引导作用，能显著提高解题的多元性和求解效率。 关键词：对角化；方阵；高次幂；二项式法；数学归纳法
An = P⎢⎢ 0 0 0⎥⎥ P−1 = ⎢⎢1 1 0⎥⎥⎢⎢ 0 0 0⎥⎥ ⎢⎢−1 1 0⎥⎥ = ⎢⎢(−1)n 0 0⎥⎥
⎢⎣ 0 0 1⎥⎦
⎢⎣1 1 1⎥⎦⎢⎣ 0 0 1⎥⎦ ⎢⎣ 0 −1 1⎥⎦ ⎢⎣(−1)n −1 1⎥⎦
⎡2 0 1⎤ 例题 7.设 A = ⎢⎢0 2 0⎥⎥ ,求（n ≥ 1）。
1⎥
⎢⎣
⎥⎦
现用数学归纳法证明：
（1） 当 n=1、2、3 时已经成立；
（2） 假设设 n=k 时成立，那么 n=k+1 时，有：
⎢⎡1 Ak+1 = Ak ⋅ A = ⎢⎢0
ka 1
k(k −1)
2 ka
+
kb⎥⎤⎡1 ⎥⎥⎢⎢0
a 1
b⎤ ⎢⎡1 a⎥⎥ = ⎢⎢0
⎢0 0 ⎢⎣
1
⎥⎥⎦⎢⎣0
0
解：由于三阶方阵 A 有三个不同的特征根,则存在对角阵与 A 相似,即有三阶可逆阵 P,
⎡−1 0 0⎤
使
P −1 AP
=
⎢ ⎢
0
0 0⎥⎥ 。
⎢⎣ 0 0 1⎥⎦
⎡1 0 0⎤ 易求的 P = ⎢⎢1 1 0⎥⎥
⎢⎣1 1 1⎥⎦
故：
⎡−1 0 0⎤n
⎡1 0 0⎤⎡−1 0 0⎤n ⎡ 1 0 0⎤ ⎡(−1)n 0 0⎤
化，则可以先求 A 的 Jordan 标准形 J,再求一个 n 阶可逆阵 P,使得 P −1 AP=J,即 A n =PJ n P −1 。 例 题 6. 设 三 阶 矩 阵 A 的 三 个 特 征 根 分 别 是 -1,0,1, 其 对 应 的 特 征 向 量 分 别 为
(1,1,1) T ,(0,1,1) T ,(0,0,1) T ，试求 An 。
男性?2 年后呢?[5]
解：可用如下方式构造矩阵 A.矩阵 A 的第一行元素分别位 1 年后仍处于婚姻状态的已
婚女性和已婚的单身女性的百分比.第二行元素分别为 1 年后离婚的已婚女性和未婚的单身
女性的百分比.因此
A=
⎡0.70 ⎢⎣0.30
0.20⎤ 0.80⎥⎦
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又
bT
⋅
a
=
(1,-
1 2
,
13)⎜⎜⎜⎝⎛13- 2
⎟⎞ ⎟ ⎟⎠
=
3
则： An = (abT )...(abT ) = a(b T a)...(bT a)b T = a(b T a)n−1b T = 3n−1 A
n
n −1
⎡ ⎢
1
⎢
即： An = 3n−1 ⎢− 2
−1 2 1
1⎤
3 −2
⎥ ⎥ ⎥
⎢
3⎥
⎢ ⎢⎣
3
−3 2
1
⎥ ⎥⎦
1.4 方阵拆分相乘法
定理 4.若存在对角阵 D 与 n 阶方阵 A 相似,则总可以求出一个 n 阶可逆矩阵 P,使得
P −1 AP=D，于是 An = PDnP−1 ；若 n 阶方阵 A 不存在对角阵与其相似，即方阵 A 不可对角
n
n −1
i =1
⎡ ⎢
1
⎢
例题 5. A = ⎢− 2
−1 2 1
1⎤
3 −2
⎥ ⎥ ⎥
，求
An
（n
≥
1
）
⎢
3⎥
⎢ ⎢⎣
3
−3 2
1
⎥ ⎥⎦
解：由于 rank(A)=1，所以可以将 A 分解为： A = a ⋅ bT
其中： a = (1,-2,3)T , b
= (1,-
1 , 1 )T 23
-3-
⎡2n 0 0 ⎤
⎡2 0 n⎤
于是：A
n
=PJ
n
P
−1
=P
⎢ ⎢
0
2n
n2 n−1
⎥ ⎥
P
−1
=2
n −1
⎢⎢0
2
0⎥⎥
⎢⎣ 0 0 2n ⎥⎦
⎢⎣0 0 2⎥⎦
2 方阶矩阵高次幂的应用
某个城镇中,每年有
30 100
的已婚女性离婚,
20 100
的单身女性结婚.城镇中有
8000
位已
婚女性和 2000 位单身女性.假设所有女性的总数位已常数, 问 1 年后有多少已婚女性和单身
⎢⎣0 0 2⎥⎦
⎡0 0 1⎤ 解：A=2E+B，其中 B = ⎢⎢0 0 0⎥⎥ 且 B2 = 0 。则：
⎢⎣0 0 0⎥⎦
⎡ 2n
∑ An = (2E + B)n =
n
Cni 2n−i (B)i
=
2n
⋅
E
+Байду номын сангаас
n2n−1
⋅
B
=
⎢ ⎢
i=0
⎢
⎣
0 n2n−1⎤
2n
⎥ ⎥
2n
⎥ ⎦
1.2 数学归纳法
定理 2.在求解某些方阵的 n 次方幂时，若发现矩阵 A 、 A2 、 A3 具有规律的，这时可试 图考虑用数学归纳法找出一般规律，从而求解 An 。
⎡a1b1 a1b2 ... a1bn ⎤
例题 4.设 A = ⎢⎢a2b1 ⎢ ...
a2b2 ...
... ...
a2bn
⎥ ⎥
... ⎥
（ai 不全为零，i 为 1……n） 求 An （n ≥ 1 ）
⎢⎣anb1
anb2
...
anbn
⎥ ⎦
解：rank(A)=1，将 A 分解为： A = a ⋅ bT
中图分类号：O
To Explore the Methods of Square Matrix High Order Power
Zhang Jingzhi1, Li Weiwei1, Tan Ling1, Xia Tongqiang2
(1. College of sciences in CUMT, JiangSu XuZhou 221008; 2. State Key Laboratory of Coal Resources and Safe Mining, CUMT, JiangSu XuZhou 221008) Abstract: High-power matrix algebra in the higher title of solutions，to discuss the stability of the matrix have a wide rang of applications ，but it is generally more difficult to solve．Although its operations follow the rules of matrix multiplication, but multiplying the number of times because of its large, square high computing power will be trouble. this paper will review some of the solution of square high power to the problem, according to the matrix of different characteristics from a different approach to solve the problem, such as ：such as: use the binomial method, mathematical induction, similar to the standard form of law. The results of this research knowledge have an important guiding role of flexibility on the different cross-cutting, and they can significantly increase the diversity of solving problem and solution efficiency. Keywords:Diagonalization;Square Matrix;High Power;Binomial Method;Mathematical Induction
2a
⎥ ⎥
⎢⎢0
1
a⎥⎥ = ⎢⎢0
1
3a
⎥ ⎥
⎢⎣0 0
1 ⎥⎦⎢⎣0 0 1⎥⎦ ⎢⎣0 0
1 ⎥⎦
-2-
中国科技论文在线
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⎢⎡1 通过考察 A 、 A2 、 A3 的形式，可以猜测 An = ⎢⎢0
na 1
n(n −1)
2 na
+
nb⎥⎤ ⎥ ⎥
⎢0 0