数学物理方程第三章行波法与积分变换法word版

第三章 行波法与积分变换法

(第十三讲)

分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。 行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。 积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。

§3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D ’alembert ）公式

一、达朗贝尔公式

考察如下Cauchy 问题：

.- ),(u ),(u 0,

,- ,0t 02

2

222+∞<<∞==>+∞<<∞∂∂=∂∂==x x x t x x u a t u t t ψϕ （1） 作如下代换;

⎩

⎨

⎧-=+=at x at x ηξ,

（2） 利用复合函数求导法则可得

22

2

2

2

22

2))((,ηηξξηξηξη

ξηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂+∂∂∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂u

u u u u x u u

u x u x u x u

同理可得

),2(2

2222222ηηξξ

∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂u u u a t u 代入（1）可得

η

ξ∂∂∂u

2＝0。 先对η求积分，再对ξ求积分，可得),(t x u d 的一般形式

)()()()(),(at x G at x F G F t x u -++=+=ηξ

这里G F ,为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知

).

()()(),()()('

'

x x aG x aF x x G x F ψϕ=-=+ （3）

由（3）第二式积分可得

C dt t a x G x F x

+=-⎰0

)(1)()(ψ，

利用(3)第一式可得

.

2

)(21)(21)(,

2

)(21)(21)(00C

dt t a x x G C

dt t a x x F x x --=++=⎰⎰ψϕψϕ

所以，我们有

⎰+-+-++=at

x at x dt t a

at x at x t x u )(21)]()([21),(ψϕϕ （4） 此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。

例 求解柯西问题：

⎪⎩⎪⎨⎧+∞≤≤-∞==+∞≤≤-∞>=-+==.,0,3,,0,03202

x u x u x y u u u y y y yy xy xx

解：其特征方程为

0)(32)(22=--dx dxdy dy

由此可得特征线方程为

d

y x c

y x =+=-3

因此作变换

⎩⎨

⎧+=-=y

x y x μξ,

3 从而可得

η

ξ∂∂∂u

2＝0 从而有

)()3(),(y x G y x F y x u ++-=

由初始条件可得

)()3(3)()3('

'

2=+-=+x G x F x x G x F

所以有

C x G x F =-)(3)3(，

从而可得

C

x

x G C

x x F +=-=4

3)(4

9)3(2

2

故而可知

223)()3(),(y x y x G y x F y x u +=++-=。

二、特征方程、特征线及其应用 考虑一般的二阶偏微分方程

02=+++++Fu Eu Du Cu Bu Au y x yy xy xx

称下常微分方程为其特征方程

0)(2)(22=+-dx C Bdxdy dy A 。

由前面讨论知道，直线常数=±at x 为波动方程对应特征方程的积分曲线，称为特征线。已知，左行波)(at x F +在特征线1C at x =+上取值为常数值)(1C F ，右行波)(at x G -在特征线2C at x =-上取值为常数值)(2C G ，且这两个值随着特征线的移动而变化，实际上，波是沿着特征线方向传播的。称变换（2）为特征变换，因此行波法又称特征线法。

注：此方法可以推广的其他类型的问题。

（第十四讲）

三、公式的物理意义 由

)()(),(at x G at x F t x u -++=

其中)(at x F +表示一个沿x 轴负方向传播的行波，

)(at x G -表示一个沿x 轴正方向传播的行波。达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个

方向传播出去，其传播速度为a 。因此此法称为行波法。

四、依赖区间、决定区域、影响区域

由方程的解（4）可以看出，解在（x,t ）点的数值由x 轴上区间[x-at,x+at]内的初始条件的值唯一确定，而与其他点上的初始条件的值无关。区间[x-at,x+at]称为点（x,t ）的依赖区间

对初始直线t=0上的一个区间[x1,x2]，过x1作直线x=x1+at,过x2作直线x=x2-at,它们与[x1,x2]合成一个三角形区域，如图

则此三角形中任一点(x,t)的依赖区间都落在[x1,x2]中，因此解在此三角形区域中的数值完全由区间[x1,x2]上的初始条件决定，与[x1,x2]之外的初始条件值无关。故称此三角形区域为[x1,x2]的决定区域。因此，在区间[x1,x2]上给定初始条件，就能在其决定区域中决定初值问题的解。

另一方面，过点x1，x2分别作直线x=x1-at,x=x2+at, 如图（） 则经过时间t 后，受到区间[x1,x2]上初始扰动影响的区域为

0,21>+≤≤-t at x x at x

而此区域之外的波动不受[x1,x2]上初始扰动的影响，称上不等式确定的区域为[x1,x2]的影响区域。

注:通过例子说明影响区域，比如初始条件在区间[x1,x2]内有扰动时，讨论一下解在那些区域有影响，哪些没影响。