保险精算利息理论课件讲解.
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保险精算利息理论基础PPT课件
t 1时，相同单复利场合，单利计息比复利计 息产生更大的积累值，即1 i t (1 i)t 。所以短期 业务一般单利计息。
t 1 时，相同单复利场合，复利计息比单利计
息产生更大的积累值，即1 i t (1 i)t 。所以长期 业务一般复利计息。
15
应用实例
例 某银行以单利计息，年息为2%，某人 存入5000元，问5(0.5)年后的积累值是多少？ 若以复利计算，其他条件不变，问5(0.5)年后 的积累值是多少？
量期d (m) / m 的实际利率。 1 d (1 d (m) )m m
21
名义利率与名义贴现率
时间点
0
1/m
… (m-2)/m (m-1)/m m/m=1
贴现 d (m) (1 d (m) )m1 d (m) (1 d (m) )m2 …
m
m
m
m
d (m) (1 d (m) )
m
m
d (m) 1 m
解
（1） (1 i(2) )2 1 i 1 8% 2
i(2) [(1 8%)1/2 1] 2 7.85%
(1 d (4) )4 1 i 1 8% 4
d (4) 4 [1 (1 8%)1/4 ] 7.623%
（2） 1 i (1 d (12) )12 (1 8%)12 1.0836
19
名义利率与名义贴现率
时间点 0 1/m
2/m
… (m-1)/m
m/m=1
利息
i(m) 1
m
i(m) (1 i(m) ) mm
…
i(m) (1 i(m) )m2 mm
i(m) (1 i(m) )m1 mm
余额
1
1 i(m)
t 1 时，相同单复利场合，复利计息比单利计
息产生更大的积累值，即1 i t (1 i)t 。所以长期 业务一般复利计息。
15
应用实例
例 某银行以单利计息，年息为2%，某人 存入5000元，问5(0.5)年后的积累值是多少？ 若以复利计算，其他条件不变，问5(0.5)年后 的积累值是多少？
量期d (m) / m 的实际利率。 1 d (1 d (m) )m m
21
名义利率与名义贴现率
时间点
0
1/m
… (m-2)/m (m-1)/m m/m=1
贴现 d (m) (1 d (m) )m1 d (m) (1 d (m) )m2 …
m
m
m
m
d (m) (1 d (m) )
m
m
d (m) 1 m
解
（1） (1 i(2) )2 1 i 1 8% 2
i(2) [(1 8%)1/2 1] 2 7.85%
(1 d (4) )4 1 i 1 8% 4
d (4) 4 [1 (1 8%)1/4 ] 7.623%
（2） 1 i (1 d (12) )12 (1 8%)12 1.0836
19
名义利率与名义贴现率
时间点 0 1/m
2/m
… (m-1)/m
m/m=1
利息
i(m) 1
m
i(m) (1 i(m) ) mm
…
i(m) (1 i(m) )m2 mm
i(m) (1 i(m) )m1 mm
余额
1
1 i(m)
保险精算第1章利息理论基础共52页文档
15
Actuarial Science
利息度量：转换频率不同
保险精算
16
名义利率与名义贴现率
“实际”一词的主要含义在于，利息为每个度 量期支付一次，或在期初，或在期末，视具体情况 而定。然而，实际上有很多在一个度量期中利息支 付不止一次或在多个度量期利息才支付一次的情形。 这时，我们称相应的一个度量期的利率和贴现率为 “名义”的。
味着递减的实际利率。
12
单利与复利
复利计息时，第 n期的实际利率为：
in
a(n)a(n1) a(n1)
(1i)n (1i)n1 (1i)n1
i (1i)n1 (1i)n1
i
结论：i n 关于 n为常数，即常数的复利意味
着恒定的实际利率。
13
单利与复利
对单利来讲，利息并不作为投资资金而再赚取 利息；对复利来讲，在任何时候，本金和到该时为 止得到的利息，总是用来投资以赚取更多的利息。
一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得到 的利息金额与期末投资可回收金额之比。通常用字
母 d表示。
实际利率与实际贴现率的定义十分类似，都是 用来度量利息的。
6
实际利率与实际贴现率
某人以1本金开始一项业务，实际利率为i，则在 一度量期末可收回金额1i ，而利息（贴现）金额为
i，若这笔业务的实际贴现率为 d，则
Interest
2
利息
影响利息大小的要素： 本金：业务开始时投资的金额 时期长度：从投资日开始到收回的时间跨度
度量期、期：年 业务开始一定时间后回收的总金额称为该时刻 的积累值（Accumulated value，或终值）。 为了在一定时间后得到某个积累值，而在开始 时投入的本金金额称为该积累值的现值（Present Value）
Actuarial Science
利息度量：转换频率不同
保险精算
16
名义利率与名义贴现率
“实际”一词的主要含义在于，利息为每个度 量期支付一次，或在期初，或在期末，视具体情况 而定。然而，实际上有很多在一个度量期中利息支 付不止一次或在多个度量期利息才支付一次的情形。 这时，我们称相应的一个度量期的利率和贴现率为 “名义”的。
味着递减的实际利率。
12
单利与复利
复利计息时，第 n期的实际利率为：
in
a(n)a(n1) a(n1)
(1i)n (1i)n1 (1i)n1
i (1i)n1 (1i)n1
i
结论：i n 关于 n为常数，即常数的复利意味
着恒定的实际利率。
13
单利与复利
对单利来讲，利息并不作为投资资金而再赚取 利息；对复利来讲，在任何时候，本金和到该时为 止得到的利息，总是用来投资以赚取更多的利息。
一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得到 的利息金额与期末投资可回收金额之比。通常用字
母 d表示。
实际利率与实际贴现率的定义十分类似，都是 用来度量利息的。
6
实际利率与实际贴现率
某人以1本金开始一项业务，实际利率为i，则在 一度量期末可收回金额1i ，而利息（贴现）金额为
i，若这笔业务的实际贴现率为 d，则
Interest
2
利息
影响利息大小的要素： 本金：业务开始时投资的金额 时期长度：从投资日开始到收回的时间跨度
度量期、期：年 业务开始一定时间后回收的总金额称为该时刻 的积累值（Accumulated value，或终值）。 为了在一定时间后得到某个积累值，而在开始 时投入的本金金额称为该积累值的现值（Present Value）
保险精算第二版复习ppt
死亡即刻赔付的含义
死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期内发 生保险责任范围内的死亡 ，保险公司将在死亡事 件发生之后，立刻给予保险赔付。它是在实际应 用场合，保险公司通常采用的理赔方式。
4.1.1 精算现值的概念
精算现值即趸缴纯保费，未来保险金给付 在签单时的现值，即一次性缴清的纯保费， 它是以预定利率和预定死亡率为基础计算 的。
续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。
分布函数 t qx ：
t qx Pr(T (X ) t) pr(x X x t X x) s(x) s(x t) s(x)
剩余寿命的生存函数 t px ：
t px Pr(T (x) t) Pr(X x t X t) s(x t) s(x)
vt , t n
1 , t n bt 0 , t n
zt
btvt
0
,
tn
符号：
1
A x:n
厘定：
1
n
Ax:n E(zt ) 0 zt fT (t)dt
n 0
vt
t
px xt dt
en t
0
t
px xt dt
方差公式：
Var(zt ) E(zt2 ) E(zt )2
0
e2 t
fT
(t)dt
E(zt
)2
记
2 Ax
0
e2 t
fT
(t )dt
所以方差等价为
Var(zt )2Ax ( Ax )2
4.1.4 延期终身寿险
定义
保险人对被保险人在投保m年后发生的保险责任范围内的死亡均 给付保险金的险种。
假定: (x)岁的人，保额1元，延期m年的终身寿险 基本函数关系
死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期内发 生保险责任范围内的死亡 ，保险公司将在死亡事 件发生之后，立刻给予保险赔付。它是在实际应 用场合，保险公司通常采用的理赔方式。
4.1.1 精算现值的概念
精算现值即趸缴纯保费，未来保险金给付 在签单时的现值，即一次性缴清的纯保费， 它是以预定利率和预定死亡率为基础计算 的。
续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。
分布函数 t qx ：
t qx Pr(T (X ) t) pr(x X x t X x) s(x) s(x t) s(x)
剩余寿命的生存函数 t px ：
t px Pr(T (x) t) Pr(X x t X t) s(x t) s(x)
vt , t n
1 , t n bt 0 , t n
zt
btvt
0
,
tn
符号：
1
A x:n
厘定：
1
n
Ax:n E(zt ) 0 zt fT (t)dt
n 0
vt
t
px xt dt
en t
0
t
px xt dt
方差公式：
Var(zt ) E(zt2 ) E(zt )2
0
e2 t
fT
(t)dt
E(zt
)2
记
2 Ax
0
e2 t
fT
(t )dt
所以方差等价为
Var(zt )2Ax ( Ax )2
4.1.4 延期终身寿险
定义
保险人对被保险人在投保m年后发生的保险责任范围内的死亡均 给付保险金的险种。
假定: (x)岁的人，保额1元，延期m年的终身寿险 基本函数关系
保险精算 利息理论解析
单 增
习题：
t : 1. 已知：A(t)=2t+ +5 ，求 （1）对应的a(t)
解：（1）a(t)=A(t)/k k =A(0)=5 a(t)=A(t)/k=1+0.4t+ t / 5 已知A(t) ，求a(t)？ A(t)=k*a(t) a（0）=1
实际利率
某个度量期内得到的利息金额 与此度量期开始时投资的本金 之间的比率
■
实际贴现率与实际利率的关系 考虑一笔业务：某人以实际贴现率借款1 元，则实际上本金为（1-d）元，而利息（贴 现）金额为d元。实际利率为： d =i/(1+i) , 即d=iv i=d/(1-d)
■
d =(1+i)/(1+i)-1/(1+i)=1-v d=i(1-d)，即i-d=id
v=1-d，方程两端均可以看作是期末付1的现值。
1.1实际利率和实际贴现率
2. 实际利率恒定
At At 1 it At 1 k [ a (t ) a (t 1)] ka(t 1) i (1 i ) t 1 a (t 1) i
复利与单利的区别 (1)若利率水平为一常数,那么单利条件下的实际利率是时间的递 减函数;.而复利条件下的实际利率与时间无关,仍然等于常数的复利 的利率.
1.2 名义利率和名义贴现率
名义利率i(m)是指每1/m个度量期支付利息一次，而 在每1/m个度量期上的实际利率为i(m)/m。也就是 说，每一度量期i(m)的名义利率等价于每1/m度量 期i(m)/m的实际利率（复利计息）。 如若一年为一个度量期, i(4) =8%的名义利率指的是 每季度的实际利率为2%,即每年记息4次的年名义 利率为8%
利息率
寿险精算-第一讲-寿险精算概述与利息理论..
六. 保单准备金
保单准备金：为将来的赔付或返还而储备的款 项。
利息理论
第一节 基本概念
汉英名词对照
积累值（终值A）
Accumulated value
现实值（现值P or 本金S） Present value
实质利率
Effective annual rate
单利
Simple interest
一.精算的概念
➢ 精算师的作用：“在给金融投资等问题提供专 家的、恰如其分的解答方面，尤其是解释不确 定的未来事件方面，发挥精算行业的作用并提 高它的声誉。” ——摘自英国精算行业业务报告
金融问题 不确定的 未来的
精算面对的是 “金融”问题。
从非常简单的问题，如确定在一项抵押下每 月的投资是多少，
对趸缴保费的保单，保费收入是确定的。而有些保单， 其保费的缴纳不是采用期初趸缴的形式，而是在一段 时间里多次缴纳，具体的某笔保费缴纳与否取决于被 保险人是否处于生存正态，也就是说，寿险公司的保 费收入取决于被保险人的未来生存时间，保费收入的 现值和保险给付支出的现值都是随机变量，但保费的 大小不是随机变量，是预期现值的函数。为了解这个 方程，我们要假定被保险人的死亡率和未来可实现利 率的值。
二.本课程的研究内容和主要组成 主要研究： 寿险所承保标的的出险规律 寿险产品承诺的给付或赔付的精算现值 趸缴和分期缴付的净保费 责任准备金的提存等
二. 本课程的研究内容和主要组成 主要组成部分：
➢ 利息理论 ➢ 生命表 ➢ 保费厘定 ➢ 保单价值和准备金
三. 利息理论
➢ 利率是重要的经济杠杆之一，它无时无刻不在影响着人们的投 资行为和消费行为，进而影响着国民经济的整体运行。利率也 是我们最为熟悉的经济变量之一。本课将要探讨的主要内容就
保险精算之二利息理论PPT课件
复利下，试求解以下问题：
(1) 贷款额在2003年7月22日的价值。
(2) 年利率i。
(3) 名义利率i(12)。
解：(1) 如果已知年利率i,4000元贷款额在2003年7月22日的值 4000(1i)5。
由公式(2.20)，利息力与利率有如下关系：e 1i，
从而4000(1i )5 4000e0.7 8055.01(元)。
例2.11：某人在1996年1月1日存款4000元，在2000年1月1日存款6000元，
2003年1月1日存款5000元。如果年利率为7%，计算在2002年1月1日账户中的
存款总额。
解：依题意，可以画出下面的收支图：
4000
6000
X
5000
1996
2000
2002 2003
X
6 4000 1.07
现值和贴现率
15
第15页/共66页
现值和贴现率
16
第16页/共66页
例2.3：计算1998年1月1日1000元在复利贴现率5%下1995年1月1日的
现值及年利息率。 解：(1)1995年1月日的现值为： 1000(10.05)3 857.38(元)； (2)年利息率为： i d 0.050.053.
3 (1 6%)
13139.95(元)。
11
第11页/共66页
现值和贴现率
• 在单利下，
12
第12页/共66页
现值和贴现率
• 贴现率：单位货币在单位时间内的贴现额，单位 时间以年度衡量时，成为实际贴现率。
• d表示一年的贴现率:
d A(1) A(0) a(1) 1 1 i 1 i
在单利下，还款总额为：1000(1139 5%)1019.04(元)， 365 139
保险精算学讲义(doc 90页)
保险精算学讲义(doc 90页)第一章：利息理论基础第一节：利息的度量一、利息的定义利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场合，它的实质是资金的使用者付给资金所有者的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能支配该笔资金而蒙受的损失。
二、利息的度量利息可以按照不同的标准来度量，主要的度量方式有1、按照计息时刻划分：期末计息：利率期初计息：贴现率2、按照积累方式划分：（1）线性积累：单利计息（2）一年转换次：名义利率（名义贴现率）（3）连续计息（一年转换无穷次）：利息效力特别，恒定利息效力场合有三、变利息1、什么是变利息2、常见的变利息情况（1）连续变化场合（2）离散变化场合第二节：利息问题求解原则一、利息问题求解四要素1、原始投资本金2、投资时期的长度3、利率及计息方式4、本金在投资期末的积累值二、利息问题求解的原则1、本质任何一个有关利息问题的求解本质都是对四要素知三求一的问题。
2、工具现金流图：一维坐标图，记录资金按时间顺序投入或抽出的示意图。
3、方法建立现金流分析方程（求值方程）4、原则在任意时间参照点，求值方程等号两边现时值相等。
第三节：年金一、年金的定义与分类1、年金的定义：按一定的时间间隔支付的一系列付款称为年金。
原始含义是限于一年支付一次的付款，现已推广到任意间隔长度的系列付款。
2、年金的分类：（1）基本年金约束条件：等时间间隔付款付款频率与利息转换频率一致每次付款金额恒定（2）一般年金不满足基本年金三个约束条件的年金即为一般年金。
二、基本年金1、分类（1）付款时刻不同：初付年金/延付年金（2）付款期限不同：有限年金/永久年金2、基本年金公式推导3、变利率年金问题（1）时期变利率（第个时期利率为）（2）付款变利率（第次付款的年金始终以利率计息）三、一般年金1、分类（1）支付频率不同于计息频率（2）变额年金2、支付频率不同于计息频率年金（1）支付频率小于计息频率的年金分析方法一：利率转换方法二：年金的代数分析（2）支付频率大于计息频率的年金分析方法一：利率转换方法二：年金的代数分析（3）连续年金特别，在常数利息效力场合3、变额年金（1）等差年金初始投资P元，等差Q元的年金的一般公式：现时值：积累值：特别地，递增年金：P=Q=1现时值：积累值：递减年金：P=n，Q=-1现时值：积累值：（2）等比年金（下一期年金值为前一期年金值的（）倍）现时值：积累值：第四节：收益率一、收益率的概念1、贴现资金流与现金流动表2、收益率的定义：使得投资返回净现时值等于零时的利率称为收益率。
保险精算电子课件
教学主要内容：
一、延期年金
所谓延期年金，就是以当前时刻为0时点，在0时刻以后若干时期后开始按期支付的年金。相当于支付期向后推移若干期间，而计算现值的时刻不变。
一般而言，有三种时刻的年金值需要计算：（1）首期付款前某时刻的年金现值；（2）最后一期付款后某时刻的年金积累值；（3）付款期间某时刻的年金当前值。
二、在首期付款前某时刻的年金现值
以 表示时刻0时的年金现值。根据年金折现法及年金加减法计算出的同一时刻的的年金积累值
； 。
四、付款期间某时刻的年金当前值
假定付款期限为 ，其中第 次付款时所有付款的当前值为
；
。
教法提示：
讲授法
课程教案
授课题目：2.4永续年金
求和得：
例2.1.2某银行客户想通过零存整取方式在1年后得到10000元，在月复利为0.5%的情况下，问每月末需存入多少钱才能达到其目的。
解：设每月需存入 元，有
，
（元）
例2.1.3甲在银行存入20000元，计划分4年支取完，每半年支取一次，每半年计息一次的年名义利率为7%，试计算每次的支取额度。
解：设 为每次支取额度，有
（4）利息金额与积累函数的关系
其中 为一个时间区间上所得利息的量； 为在一特定时刻的积累量。
二、实际利率
某一度量期的实际利率，是指该度量期内得到的利息金额与此度量其开始时投入的本金金额之比。通常用 表示。
表示从投资日算起第 个度量期的实际利率，即
为整数。
等价公式： 。
例1.1.1某人到银行存入1000元，第1年年末的存款余额为1020元，第2年年末的存款余额为1050元，问第1年、第2年的实际利率分别是多少？
教学主要内容：
前面讲述的年金都是假定期限为 ， 为有限数，付款次数为有限次。付款次数没有限制，永远持续的年金称为永续年金。
一、延期年金
所谓延期年金，就是以当前时刻为0时点，在0时刻以后若干时期后开始按期支付的年金。相当于支付期向后推移若干期间，而计算现值的时刻不变。
一般而言，有三种时刻的年金值需要计算：（1）首期付款前某时刻的年金现值；（2）最后一期付款后某时刻的年金积累值；（3）付款期间某时刻的年金当前值。
二、在首期付款前某时刻的年金现值
以 表示时刻0时的年金现值。根据年金折现法及年金加减法计算出的同一时刻的的年金积累值
； 。
四、付款期间某时刻的年金当前值
假定付款期限为 ，其中第 次付款时所有付款的当前值为
；
。
教法提示：
讲授法
课程教案
授课题目：2.4永续年金
求和得：
例2.1.2某银行客户想通过零存整取方式在1年后得到10000元，在月复利为0.5%的情况下，问每月末需存入多少钱才能达到其目的。
解：设每月需存入 元，有
，
（元）
例2.1.3甲在银行存入20000元，计划分4年支取完，每半年支取一次，每半年计息一次的年名义利率为7%，试计算每次的支取额度。
解：设 为每次支取额度，有
（4）利息金额与积累函数的关系
其中 为一个时间区间上所得利息的量； 为在一特定时刻的积累量。
二、实际利率
某一度量期的实际利率，是指该度量期内得到的利息金额与此度量其开始时投入的本金金额之比。通常用 表示。
表示从投资日算起第 个度量期的实际利率，即
为整数。
等价公式： 。
例1.1.1某人到银行存入1000元，第1年年末的存款余额为1020元，第2年年末的存款余额为1050元，问第1年、第2年的实际利率分别是多少？
教学主要内容：
前面讲述的年金都是假定期限为 ， 为有限数，付款次数为有限次。付款次数没有限制，永远持续的年金称为永续年金。
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1
1
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t
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t
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t
图2-1
图2-2
图2-3
a(t)为增函数时才能保证总额函数的递增性和存在正的利息。
有时，当利息定期结算时，也表现为不连续的阶梯函数，在定期内，为 常数，定期结算后，上一个台阶，如图2-3所示。
3
利息率
利息率
1年内1单位本金的利息就是实际年利息率
A(1) A(0) i1 a(1) 1 A(0)
s(m) n
1 n
d (m)
25
一年多次收付的年金
对于n 年定期，每年收付m次，每次1/m 元的期末付年 金在n 年末的终值为，
s(m) 1 n
n
i(m)
26
永续年金
定义：收付时期没有限制，每隔一个间隔永远连续收 付的年金，相当于前面定期年金当时期n趋于无 穷大时的值。
每年一元期末付永续年金现值
A(n) A(0)(1 i)n
a(t) (1 i)t
6
现值和贴现率
7
现值和贴现率
在复利下， t 1
(1 i)t
8现值和贴现率来自 在单利下，9现值和贴现率
贴现率：单位货币在单位时间内的贴现额，单位时 间以年度衡量时，成为实际贴现率。 d表示一年的贴现率:
d A(1) A(0) a(1) 1 1 i 1 i
第二章 利息理论
1
累积函数
累积函数是单位本金的累计额，以 a(t) 表示。
a(t) A(t) A(0)
其中， a(0) 1 ，A(t) A(0) a(t) 。
2
累积函数
a(t)通常为t 的连续函数，在坐标平面上表现为通过（0，1）点的曲线，
如图2-1和图2-2所示
a(t)
a(t)
a(t)
以 in表示第n个基本计息时间单位的实际利率
A(n) A(n 1) in a(n) 1 A(n 1)
4
单利和复利
单利：只在本金上生息
设第t年实际利率it，1年末的累积额为:
A(1) A(0) A(0)i1 A(0)(1 i1)
第2年末的累积额为:
A(2) A(0)(1 i1) A(0)i2 A(0)(1 i1 i2 )
当各年利率均为i时，有
A(t) A(0)(1 it)
a(t) 1 it
5
单利和复利
复利：在本金和利息上生息
设第t年实际利率it，1年末的累积额为:
A(1) A(0) A(0)i1 A(0)(1 i1)
第2年末的累积额为:
A(2) A(0)(1 i1) A(0)(1 i1)i2 A(0)(1 i1)(1 i2) 当各年利率均为i时，有
A(1)
a(1) 1 i 1 i
dn表示第n年贴现率:
A(n) A(n 1) a(n) a(n 1)
dn
A(n)
a(n)
10
现值和贴现率
d a(1) 1 (1 i) 1 i i
a(1)
1i 1i
可见， d<i
1d 1 i 1
1i 1i i d
1 d
11
现值和贴现率
12
现值和贴现率
15
利息力
利息力：衡量确切时点上利率水平的指标。
定义利息力δ为，
lim i (m)
1
lim m[1 i] m
1] lim
(1 i)1
m
1 ln(1 i)
m
m
m
1
故，
m
e 1 i
e
16
年金
年金：每隔一个相等的时间间隔的一系列固 定数额的收付款方式。
期首付年金
期末付年金
PV 1 (1 j) (1 j)2 2
(1 j)n1 n1
设(1 j) '，上式成为：
PV 1 ' '2
'n1 1 'n
d'
其中，d ' 1 ' i ' ，i ' i j
13
名义利率与名义贴现率
名义利率:一年结算多次的规定的年利率。
以 i(m) 表示，m表示结算次数，
1 i [1 i (m) ]m m
14
名义利率与名义贴现率
名义贴现率:一年结算多次的规定的年贴现率。
以d (m) 表示，m表示结算次数，
1 d [1 d (m) ]m m
1d 1 1 i
d (m)
1 (n1)(m1) / m
m
23
一年多次收付的年金
对于n 年定期，每年收付m次，每次1/m 元的期末付年
金现值以 a(m)表示， n
a(m) 1 1/m 1 2/m
nm
m
1 n
i(m)
1n
m
24
一年多次收付的年金
对于n 年定期，每年收付m次，每次1/m 元的期首付年 金在n 年末的终值为，
17
期首付年金现值
a 1 2 3 n1 n = 1 n 1 1 n = d
18
期末付年金现值
a 2 3 n n (1 n ) = 1 1 n =i 19
期首付年金终值
s a (1 i)n
n
n
(1 i)n 1 d
20
期末付年金终值
s a (1 i) n
n
n
1 n (1 i)n
为，
a｜
lim a
n
n｜
1 i
27
永续年金
其他永续年金现值为：
a｜
nliman｜
1 d
a(｜m)
1 i(m)
a(｜m)
1 d (m)
28
变额年金
变额年金是每次收付额不等的年金 常见的有， 每次收付额等差递增或递减 每次收付额等比递增
29
变额递增年金
如果在n年定期内，第一年末收付1单位元，第2年末收付2 单位元，以后每次比上一次递增1单位元的期末付年金现
值以（Ia)｜ n 表示。
(Ia)n｜ 2 2 3 3
n n
30
变额递增年金
(1 i)(Ia)n｜1 2 3 2
n n1
两者相减后得 代入上式后得
i (Ia)n｜ 1 2
an｜ n n
(Ia)n｜
an｜ n n
i
n1 n n
上述年金期首付时，年金现值为
(Ia)n｜
an｜ n n
i
(1 i)n 1
i
21
等额确定年金的终值和现值
n年定期的每年1单位元期首付年金、期末付年金的现值和终值间关系图
22
一年多次收付的年金
对于n 年定期，每年收付m次，每次1/m元的期首付 年金现值，以 a(m) 表示，
n
a(m) n｜
1 m
1 1/m
m
1
m
2/m
1 m
1 n 1 1/m
1 n
d
31
变额递减年金
当第一年收付n元，以后每隔一年收付额减少一单位元的
n年定期递减的期末付年金为，
( Da ) n｜
n an｜ i
上述定期递减年金在期首付时，为
(Da)n｜
n(1 i) an｜ i
变额年金的终值是相应年金现值与利率累积系数之积
32
等比递增年金
对等比递增的年金，如果第一年1单位元，以后收付额 每年递增j比例，n年定期的年金现值为：