数值计算研究的经典算法
数学十大创新计算方法
数学十大创新计算方法1. 蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是一种基于随机抽样的数值计算方法，被广泛应用于物理、工程、金融等领域。
该方法通过模拟随机过程，求解各种数学问题，如积分、最优化、概率等。
其主要优势在于能够处理复杂非线性问题，且易于并行化计算。
2. 有限元方法有限元方法是一种将连续问题离散化的数值计算方法，主要用于求解偏微分方程。
该方法将求解区域划分为若干个子区域，通过对子区域进行局部近似，建立有限元空间，从而得到全局近似解。
有限元方法在工程、物理、生物等领域具有广泛应用。
3. 谱方法谱方法是一种基于全局基函数的数值计算方法，主要应用于求解线性偏微分方程。
该方法将求解区域映射到谱空间，利用全局基函数展开解，从而获得高精度的数值解。
谱方法在气象、海洋、量子物理等领域具有显著优势。
4. 数值模拟方法数值模拟方法是通过计算机模拟实际问题，求解数学模型的一种方法。
该方法可以模拟各种复杂现象，如流体动力学、电磁场、生物分子动力学等。
数值模拟方法在科学研究、工程设计、医学等领域具有重要应用价值。
5. 机器方法机器方法是一种利用数据驱动的计算方法，通过从数据中得到模型参数，从而解决实际问题。
该方法在图像识别、语音识别、自然语言处理等领域取得了显著成果。
近年来，机器方法在数学计算领域也得到了广泛关注。
6. 优化方法优化方法是求解数学优化问题的一种方法，主要包括线性规划、非线性规划、整数规划等。
优化方法在生产、金融、物流等领域具有广泛应用，可以帮助人们找到最优解或近似最优解。
7. 符号计算方法符号计算方法是一种基于数学符号进行计算的方法，主要用于求解代数、微分等数学问题。
符号计算方法在数学、物理、计算机科学等领域具有重要应用。
8. 随机算法随机算法是一种基于随机过程的计算方法，主要用于求解复杂问题。
随机算法在理论计算机科学、密码学、统计学等领域具有广泛应用。
9. 并行计算方法并行计算方法是一种利用多处理器同时执行多个任务的方法，可以显著提高计算效率。
数值算例误差阶的计算
数值算例误差阶的计算数值算例误差阶是用来衡量数值计算方法的精度和稳定性的指标。
在数值计算中，由于浮点数表示的有限性和计算过程中的舍入误差，结果与真实值之间会存在一定的误差。
误差阶可以告诉我们这个误差的大小和随着问题规模的增大，误差的增长速度。
在数值计算中，常用的算法有数值积分、求解常微分方程、线性方程组求解等。
这些算法的精度和稳定性对于解决实际问题至关重要。
误差阶的计算可以帮助我们评估算法的优劣，选择合适的算法来解决问题。
误差阶的计算方法有多种，常用的方法有理论推导和实验测量。
理论推导是通过分析算法的数学模型和近似方法，推导出误差的表达式，并根据表达式中的参数和问题规模进行误差阶的计算。
实验测量是通过实际计算一系列算例，得到结果与真实值之间的误差，并根据问题规模的增大，计算误差的增长速度。
下面以数值积分算法为例，介绍误差阶的计算方法。
数值积分是求解定积分的一种方法，常用的算法有梯形法则、辛普森法则等。
我们考虑一个简单的定积分问题：求解函数f(x)在区间[a, b]上的定积分。
我们可以将区间[a, b]均分为n个小区间，然后在每个小区间上应用数值积分算法求解定积分，最后将每个小区间上的积分结果相加得到整个区间上的定积分值。
假设我们使用梯形法则进行数值积分。
梯形法则的基本思想是将每个小区间的积分近似为该区间上梯形的面积，然后将所有小区间上的梯形面积相加得到整个区间上的定积分值。
具体计算公式如下：∫[a, b] f(x)dx ≈ h/2 * (f(a) + 2f(x1) + 2f(x2) + ... + 2f(xn-1) + f(b))其中，h表示每个小区间的宽度，xi表示第i个小区间的起始点。
根据理论推导，可以得到使用梯形法则进行数值积分的误差表达式为：|∫[a, b] f(x)dx - I| ≤ K * h^2其中，I表示真实的定积分值，K是一个与函数f(x)有关的常数。
通过上述误差表达式，可以看出随着小区间的宽度h的减小，误差也会随之减小。
数值计算方法及其在工程中的应用
数值计算方法及其在工程中的应用数值计算是以计算机为工具，通过数值分析、计算和模拟等手段，对实际问题进行数值模拟和解析的一种方法。
它在科学计算、工程技术和经济管理等领域都有广泛的应用。
本文将从数值计算方法的基本原理、常见方法及其在工程中的应用等方面进行探讨。
一、数值计算方法的基本原理1.数学模型数学模型是研究问题的基础。
它在数值计算中的作用，就相当于实验中的试验模型。
数学模型的形式很多，例如微分方程、积分方程、概率模型等等。
这些模型中的各个参量和变量都需要通过实际测量或计算得到。
2.离散化在数值计算过程中，数学模型需要离散化，将其转化为有限个变量的函数。
这样才能实现数值计算的可行性。
离散化一般是将问题分成若干个小部分，每个小部分单独处理，并用数值计算方法连接起来。
3.差分格式差分格式是数值计算的核心内容之一。
它是一种将微分方程转化为差分方程的方法。
在差分格式中，一般使用有限差分法，通过对问题进行离散，用有限差分法求得差分方程的解，然后通过插值等一系列方法将其还原为原问题的解。
4.误差分析误差分析是数值计算过程中必不可少的一部分。
由于数值计算不能完全精确，因此需要对数值结果的误差进行分析。
误差分为截断误差、舍入误差、稳定性误差等等。
误差分析不仅能够评估计算精确度，还能够指导计算过程的优化。
二、数值计算方法的常见方法1. 数值积分数值积分是数值计算的基本内容之一。
它的主要目的是从一定的数据集中寻找积分值。
数值积分算法常见的有梯形公式、辛普森公式、高斯公式等。
数值积分广泛应用于工程领域，特别是在机械工程、电力工程和天文学上，能够帮助工程师更好地处理与积分有关的问题。
2. 数值微分数值微分是利用离散化的方法，对微分算子逼近的一种方法。
数值微分算法常见的有欧拉法、龙格 -库塔法等。
数值微分主要在数值模拟和优化处理方面发挥作用，例如在工程领域应用中，可以帮助工程师根据实际数据得出微分值，以评估机器设备的效果。
数学建模十大经典算法
数学建模十大经典算法数学建模是将现实问题抽象化成数学问题，并通过数学模型和算法进行解决的过程。
在数学建模中，常用的算法能够帮助我们分析和求解复杂的实际问题。
以下是数学建模中的十大经典算法：1.线性规划算法线性规划是一种用于求解线性约束下的最优解的方法。
经典的线性规划算法包括单纯形法、内点法和对偶理论等。
这些算法能够在线性约束下找到目标函数的最大（小）值。
2.整数规划算法整数规划是在线性规划的基础上引入了整数变量的问题。
经典的整数规划算法包括分枝定界法、割平面法和混合整数线性规划法。
这些算法能够在整数约束下找到目标函数的最优解。
3.动态规划算法动态规划是一种将一个问题分解为更小子问题进行求解的方法。
经典的动态规划算法包括背包问题、最短路径问题和最长公共子序列问题等。
这些算法通过定义递推关系，将问题的解构造出来。
4.图论算法图论是研究图和图相关问题的数学分支。
经典的图论算法包括最小生成树算法、最短路径算法和最大流算法等。
这些算法能够解决网络优化、路径规划和流量分配等问题。
5.聚类算法聚类是将相似的数据点划分为不相交的群体的过程。
经典的聚类算法包括K均值算法、层次聚类算法和密度聚类算法等。
这些算法能够发现数据的内在结构和模式。
6.时间序列分析算法时间序列分析是对时间序列数据进行建模和预测的方法。
经典的时间序列分析算法包括平稳性检验、自回归移动平均模型和指数平滑法等。
这些算法能够分析数据中的趋势、周期和季节性。
7.傅里叶变换算法傅里叶变换是将一个函数分解成一系列基础波形的过程。
经典的傅里叶变换算法包括快速傅里叶变换和离散傅里叶变换等。
这些算法能够在频域上对信号进行分析和处理。
8.最优化算法最优化是研究如何找到一个使目标函数取得最大（小）值的方法。
经典的最优化算法包括梯度下降法、共轭梯度法和遗传算法等。
这些算法能够找到问题的最优解。
9.插值和拟合算法插值和拟合是通过已知数据点来推断未知数据点的方法。
经典的插值算法包括拉格朗日插值和牛顿插值等。
数值计算方法
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误差与有效数字
例 用毫米刻度的直尺量一长度为 x 的物体，测得其近似值为 x⋆ = 84mm。 因直尺以 mm 为刻度，其误差不超过 0.5mm，即有
|x − 84| ⩽ 0.5 mm or x = 84 ± 0.5 mm.
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误差与有效数字
定义 : 绝对误差与绝对误差限 设某个量的精确值为 x，其近似值为 x⋆，则称
E(x) = x − x⋆ 为近似值 x⋆ 的绝对误差，简称误差。若存在 η > 0，使得
|E(x)| = |x − x⋆| ⩽ η 则称 η 为近似值 x⋆ 的绝对误差限，简称误差限或精度。 η 越小，表示近似值 x⋆ 的精度越高。
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研究数值方法的必要性
而对于行列式，可以采用 Laplace 展开定理进行计算： 定理 : Laplace 展开定理 |A| = ai1|Ai1| + ai2|Ai2| + · · · + ain|Ain|, Aij为aij的代数余子式
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研究数值方法的必要性
实际操作中，该方法的运算量大的惊人，以至于完全不能用于实际计 算。事实上，设 k 阶行列式所需乘法运算的次数为 mk，则
所以，
|E⋆r (x)|
=
|x − x⋆| |x⋆|
⩽
1 2
×
10m−n
α1 × 10m−1
=
1 2α1
× 10−(n−1)
反之，由
|x
−
x⋆|
=
|x⋆|
·
|E⋆r (x)|
⩽
(α1
+
1)
数据挖掘十大经典算法
数据挖掘十大经典算法一、 C4.5C4.5算法是机器学习算法中的一种分类决策树算法,其核心算法是ID3 算法. C4.5算法继承了ID3算法的优点，并在以下几方面对ID3算法进行了改进：1) 用信息增益率来选择属性，克服了用信息增益选择属性时偏向选择取值多的属性的不足；2) 在树构造过程中进行剪枝；3) 能够完成对连续属性的离散化处理；4) 能够对不完整数据进行处理。
C4.5算法有如下优点：产生的分类规则易于理解，准确率较高。
其缺点是：在构造树的过程中，需要对数据集进行多次的顺序扫描和排序，因而导致算法的低效。
1、机器学习中，决策树是一个预测模型；他代表的是对象属性与对象值之间的一种映射关系。
树中每个节点表示某个对象，而每个分叉路径则代表的某个可能的属性值，而每个叶结点则对应从根节点到该叶节点所经历的路径所表示的对象的值。
决策树仅有单一输出，若欲有复数输出，可以建立独立的决策树以处理不同输出。
2、从数据产生决策树的机器学习技术叫做决策树学习, 通俗说就是决策树。
3、决策树学习也是数据挖掘中一个普通的方法。
在这里，每个决策树都表述了一种树型结构，他由他的分支来对该类型的对象依靠属性进行分类。
每个决策树可以依靠对源数据库的分割进行数据测试。
这个过程可以递归式的对树进行修剪。
当不能再进行分割或一个单独的类可以被应用于某一分支时，递归过程就完成了。
另外，随机森林分类器将许多决策树结合起来以提升分类的正确率。
决策树是如何工作的？1、决策树一般都是自上而下的来生成的。
2、选择分割的方法有好几种，但是目的都是一致的：对目标类尝试进行最佳的分割。
3、从根到叶子节点都有一条路径，这条路径就是一条―规则4、决策树可以是二叉的，也可以是多叉的。
对每个节点的衡量：1) 通过该节点的记录数2) 如果是叶子节点的话，分类的路径3) 对叶子节点正确分类的比例。
有些规则的效果可以比其他的一些规则要好。
由于ID3算法在实际应用中存在一些问题，于是Quilan提出了C4.5算法，严格上说C4.5只能是ID3的一个改进算法。
(整理)数值分析计算方法超级总结
工程硕士《数值分析》总复习题（2011年用）[由教材中的习题、例题和历届考试题选编而成,供教师讲解和学生复习用]一. 解答下列问题:1）下列所取近似值有多少位有效数字( 注意根据什么? ):a) 对 e = 2.718281828459045…,取*x = 2.71828b) 数学家祖冲之取 113355作为π的近似值.c) 经过四舍五入得出的近似值12345，-0.001, 90.55000, 它们的有效 数字位数分别为 位, 位, 位。
2) 简述下名词:a) 截断误差 (不超过60字) b) 舍入误差 (不超过60字)c) 算法数值稳定性 (不超过60字)3) 试推导( 按定义或利用近似公式 ): 计算3x 时的相对误差约等于x 的相对误差的3倍。
4) 计算球体积334r Vπ= 时,为使其相对误差不超过 0.3%,求半径r 的相对 误差的允许范围。
5） 计算下式3418)1(3)1(7)1(5)1(22345+-+---+---=x x x x x x P）（时,为了减少乘除法次数, 通常采用什么算法? 将算式加工成什么形式?6) 递推公式 ⎪⎩⎪⎨⎧=-==-,2,1,110210n y y y n n如果取*041.12y y =≈= ( 三位有效数字 ) 作近似计算， 问计算到10y 时误差为初始误差的多少倍？ 这个计算过程数值稳定吗 ？二. 插值问题:1) 设函数)(x f 在五个互异节点 54321,,,,x x x x x 上对应的函数值为54321,,,,f f f f f ，根据定理，必存在唯一的次数 （A ） 的插值多项式)(x P ，满足插值条件 ( B ) . 对此，为了构造Lagrange 插值多项式 )(x L ,由5个节点作 ( C ) 个、次数均为 ( D ) 次的插值基函数)(x l i = _（E ） ， 从而得Lagrange 插值多项式)(x L = （F ） ,而插值余项 )()()(x L x f x R -== （G ） 。
二十世纪最伟大的10大算法
一、1946 蒙特卡洛方法[1946: John von Neumann, Stan Ulam, and Nick Metropolis, all at the Los Alamos Scientific Labor atory, cook up the Metropolis algorithm, also known as the Monte Carlo method.]1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metrop olis共同发明，被称为蒙特卡洛方法。
它的具体定义是：在广场上画一个边长一米的正方形，在正方形内部随意用粉笔画一个不规则的形状，现在要计算这个不规则图形的面积，怎么计算列?蒙特卡洛(Monte Carlo)方法告诉我们，均匀的向该正方形内撒N（N 是一个很大的自然数）个黄豆，随后数数有多少个黄豆在这个不规则几何形状内部，比如说有M个，那么，这个奇怪形状的面积便近似于M/N，N越大，算出来的值便越精确。
在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。
(撒黄豆只是一个比喻。
)蒙特卡洛方法可用于近似计算圆周率：让计算机每次随机生成两个0到1之间的数，看这两个实数是否在单位圆内。
生成一系列随机点，统计单位圆内的点数与总点数，内接圆面积和正方形面积之比为PI:4，PI为圆周率。
(多谢网友七里河蠢才指出:S内接圆：S正=PI：4。
具体，请看文下第99条评论。
十六日修正)，当随机点取得越多（但即使取10的9次方个随机点时，其结果也仅在前4位与圆周率吻合）时，其结果越接近于圆周率。
二、1947 单纯形法[1947: George Dantzig, at the RAND Corporation, creates the simplex method for linear program ming.]1947年，兰德公司的，Grorge Dantzig，发明了单纯形方法。
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奥地利符号计算研究所（Research Institute for Symbolic Computation，简称RISC）的Christoph Koutschan博士在自己的页面上发布了一篇文章，提到他做了一个调查，参与者大多数是计算机科学家，他请这些科学家投票选出最重要的算法，以下是这次调查的结果，按照英文名称字母顺序排序。
1. A* 搜索算法——图形搜索算法，从给定起点到给定终点计算出路径。其中使用了一种启发式的估算，为每个节点估算通过该节点的最佳路径，并以之为各个地点排定次序。算法以得到的次序访问这些节点。因此，A*搜索算法是最佳优先搜索的范例。 2. 集束搜索（又名定向搜索，Beam Search）——最佳优先搜索算法的优化。使用启发式函数评估它检查的每个节点的能力。不过，集束搜索只能在每个深度中发现最前面的m个最符合条件的节点，m是固定数字——集束的宽度。 3. 二分查找（Binary Search）——在线性数组中找特定值的算法，每个步骤去掉一半不符合要求的数据。 4. 分支界定算法（Branch and Bound）——在多种最优化问题中寻找特定最优化解决方案的算法，特别是针对离散、组合的最优化。 5. Buchberger算法——一种数学算法，可将其视为针对单变量最大公约数求解的欧几里得算法和线性系统中高斯消元法的泛化。 6. 数据压缩——采取特定编码方案，使用更少的字节数（或是其他信息承载单元）对信息编码的过程，又叫来源编码。 7. Diffie-Hellman密钥交换算法——一种加密协议，允许双方在事先不了解对方的情况下，在不安全的通信信道中，共同建立共享密钥。该密钥以后可与一个对称密码一起，加密后续通讯。 8. Dijkstra算法——针对没有负值权重边的有向图，计算其中的单一起点最短算法。 9. 离散微分算法（Discrete differentiation） 10.动态规划算法（Dynamic Programming）——展示互相覆盖的子问题和最优子架构算法 11.欧几里得算法（Euclidean algorithm）——计算两个整数的最大公约数。最古老的算法之一，出现在公元前300前欧几里得的《几何原本》。 12.期望-最大算法（Expectation-maximization algorithm，又名EM-Training）——在统计计算中，期望-最大算法在概率模型中寻找可能性最大的参数估算值，其中模型依赖于未发现的潜在变量。EM在两个步骤中交替计算，第一步是计算期望，利用对隐藏变量的现有估计值，计算其最大可能估计值；第二步是最大化，最大化在第一步上求得的最大可能值来计算参数的值。 13.快速傅里叶变换（Fast Fourier transform，FFT）——计算离散的傅里叶变换（DFT）及其反转。该算法应用范围很广，从数字信号处理到解决偏微分方程，到快速计算大整数乘积。 14.梯度下降（Gradient descent）——一种数学上的最优化算法。 15.哈希算法（Hashing） 16.堆排序（Heaps） 17.Karatsuba乘法——需要完成上千位整数的乘法的系统中使用，比如计算机代数系统和大数程序库，如果使用长乘法，速度太慢。该算法发现于1962年。 18.LLL算法（Lenstra-Lenstra-Lovasz lattice reduction）——以格规约（lattice）基数为输入，输出短正交向量基数。LLL算法在以下公共密钥加密方法中有大量使用：背包加密系统（knapsack）、有特定设置的RSA加密等等。 19.最大流量算法（Maximum flow）——该算法试图从一个流量网络中找到最大的流。它优势被定义为找到这样一个流的值。最大流问题可以看作更复杂的网络流问题的特定情况。最大流与网络中的界面有关，这就是最大流-最小截定理（Max-flow min-cut theorem）。Ford-Fulkerson 能找到一个流网络中的最大流。 20.合并排序（Merge Sort） 21.牛顿法（Newton's method）——求非线性方程（组）零点的一种重要的迭代法。 22.Q-learning学习算法——这是一种通过学习动作值函数（action-value function）完成的强化学习算法，函数采取在给定状态的给定动作，并计算出期望的效用价值，在此后遵循固定的策略。Q-leanring的优势是，在不需要环境模型的情况下，可以对比可采纳行动的期望效用。 23.两次筛法（Quadratic Sieve）——现代整数因子分解算法，在实践中，是目前已知第二快的此类算法（仅次于数域筛法Number Field Sieve）。对于110位以下的十位整数，它仍是最快的，而且都认为它比数域筛法更简单。 24.RANSAC——是“RANdom SAmple Consensus”的缩写。该算法根据一系列观察得到的数据，数据中包含异常值，估算一个数学模型的参数值。其基本假设是：数据包含非异化值，也就是能够通过某些模型参数解释的值，异化值就是那些不符合模型的数据点。 25.RSA——公钥加密算法。首个适用于以签名作为加密的算法。RSA在电商行业中仍大规模使用，大家也相信它有足够安全长度的公钥。 26.Schönhage-Strassen算法——在数学中，Schönhage-Strassen算法是用来完成大整数的乘法的快速渐近算法。其算法复杂度为：O(N log(N) log(log(N)))，该算法使用了傅里叶变换。 27.单纯型算法（Simplex Algorithm）——在数学的优化理论中，单纯型算法是常用的技术，用来找到线性规划问题的数值解。线性规划问题包括在一组实变量上的一系列线性不等式组，以及一个等待最大化（或最小化）的固定线性函数。 28.奇异值分解（Singular value decomposition，简称SVD）——在线性代数中，SVD是重要的实数或复数矩阵的分解方法，在信号处理和统计中有多种应用，比如计算矩阵的伪逆矩阵（以求解最小二乘法问题）、解决超定线性系统（overdetermined linear systems）、矩阵逼近、数值天气预报等等。 29.求解线性方程组（Solving a system of linear equations）——线性方程组是数学中最古老的问题，它们有很多应用，比如在数字信号处理、线性规划中的估算和预测、数值分析中的非线性问题逼近等等。求解线性方程组，可以使用高斯—约当消去法（Gauss-Jordan elimination），或是柯列斯基分解（ Cholesky decomposition）。 30.Strukturtensor算法——应用于模式识别领域，为所有像素找出一种计算方法，看看该像素是否处于同质区域（ homogenous region），看看它是否属于边缘，还是是一个顶点。 31.合并查找算法（Union-find）——给定一组元素，该算法常常用来把这些元素分为多个分离的、彼此不重合的组。不相交集（disjoint-set）的数据结构可以跟踪这样的切分方法。合并查找算法可以在此种数据结构上完成两个有用的操作： 查找：判断某特定元素属于哪个组。 合并：联合或合并两个组为一个组。 32.维特比算法（Viterbi algorithm）——寻找隐藏状态最有可能序列的动态规划算法，这种序列被称为维特比路径，其结果是一系列可以观察到的事件，特别是在隐藏的Markov模型中。 28个不得不看的经典编程算法！！数学软件计算机的进来！~作者： 琚敏_NJU
前十个是来自圣经的十大算法： 发起人的描述：《来自圣经的证明》收集了数十个简洁而优雅的数学证明，迅速赢得了大批数学爱好者的追捧。如果还有一本《来自圣经的算法》，哪些算法会列入其中呢？
第一名：Union-find 严格地说，并查集是一种数据结构，它专门用来处理集合的合并操作和查询操作。并查集巧妙地借用了树结构，使得编程复杂度降低到了令人难以置信的地步；用上一些递归技巧后，各种操作几乎都能用两行代码搞定。而路径压缩的好主意，更是整个数据结构的画龙点睛之笔。并查集的效率极高，单次操作的时间复杂度几乎可以看作是常数级别；但由于数据结构的实际行为难以预测，精确的时间复杂度分析需要用到不少高深的技巧。
第二名：Knuth-Morris-Pratt字符串匹配算法 关于此算法的介绍，请参考此文：六、教你从头到尾彻底理解KMP算法。KMP算法曾经
落选于二十世纪最伟大的十大算法，但人们显然不能接受，如此漂亮、高效的KMP算法竟然会落选。所以，此次最终投票产出生，KMP算法排到了第二名。
第三名：BFPRT 算法 1973 年，Blum、Floyd、Pratt、Rivest、Tarjan集体出动，合写了一篇题为 “Time bounds for selection” 的论文，给出了一种在数组中选出第 k 大元素的算法，俗称"中位数之中位数算法"。依靠一种精心设计的 pivot 选取方法，该算法从理论上保证了最坏情形下的线性时间复杂度，打败了平均线性、最坏 O(n^2) 复杂度的传统算法。一群大牛把递归算法的复杂度分析玩弄于骨掌股掌之间，构造出了一个当之无愧的来自圣经的算法。
我在这里简单介绍下在数组中选出第k大元素的时间复杂度为O（N）的算法： 类似快排中的分割算法：
每次分割后都能返回枢纽点在数组中的位置s,然后比较s与k的大小 若大的话，则再次递归划分array[s..n]， 小的话，就递归array[left...s-1] //s为中间枢纽点元素。 否则返回array[s]，就是partition中返回的值。 //就是要找到这个s。
找到符合要求的s值后，再遍历输出比s小的那一边的元素。
各位可参考在：算法导论上，第九章中，以期望线性时间做选择，一节中， 我找到了这个寻找数组中第k小的元素的，平均时间复杂度为O（N）的证明：上述程序的期望运行时间，最后证明可得O(n)，且假定元素是不同的。
第四名：Quicksort（快速排序） 快速排序算法几乎涵盖了所有经典算法的所有榜单。它曾获选二十世纪最伟大的十大算法（参考这：细数二十世纪最伟大的10大算法）。关于快速排序算法的具体介绍，