回扣验收特训3

回扣验收特训(三) 不等式
1．若直线xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5

[解析] ∵直线
xa＋yb＝1过点(1,1)，∴1a＋1
b
＝1.

又a，b均大于0，∴a＋b＝(a＋b)1a＋1b＝1＋1＋ba＋ab≥2＋2ba·ab＝2＋2
＝4，故选C.
[答案] C
2．已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B，
不等式x2＋ax＋b＜0的解集是A∩B，那么a＋b等于( )
A．－3 B．1
C．－1 D．3
[解析] 由题意：A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}．A∩B＝{x|－1＜x
＜2}，由根与系数的关系可知：a＝－1，b＝－2，
∴a＋b＝－3
[答案] A

3．函数y＝x2＋2x－1(x＞1)的最小值是( )
A．23＋2 B．23－2
C．23 D．2
[解析] ∵x＞1，
∴x－1＞0.

∴y＝x2＋2x－1＝x2－2x＋2x＋2x－1

＝x2－2x＋1＋2x－1＋3x－1
＝x－12＋2x－1＋3x－1
＝x－1＋3x－1＋2
≥23＋2(当且仅当x－1＝3x－1，即x＝3＋1时等号成立)．
[答案] A
4．若点(x，y)位于曲线y＝|x－1|与y＝2所围成的封闭区域内，则2x－y的
最小值为( )
A．4 B．0
C．2 D．－4
[解析] 如图，阴影部分封闭区域．用直线2x－y＝0，
并向左上平移，过点A时，2x－y最小，

由 y＝2，y＝|x－1|x＜1，
得A(－1,2)，
∴(2x－y)min＝2×(－1)－2＝－4.
[答案] D
5．设O是坐标原点，点M的坐标为(2,1)．若点N(x，y)满足不等式组




x－4y＋3≤0，
2x＋y－12≤0，
x≥1，
则使得OM→·ON→取得最大值时点N有( )

A．1个 B．2个
C．3个 D．无数个
[解析] 作出可行域为如图的△ABC，

令z＝OM→·ON→＝2x＋y.
∵其斜率k＝－2＝kBC，∴z＝OM→·ON→＝2x＋y与线段
BC所在的直线重合时取得最大值，∴满足条件的点N有无数个．
[答案] D
6．(2017·山东兖州一中期中考试)设a＞0，b＞0，则下列不等式中正确的有
几个( )
(1)a2＋1＞a；(2)a＋1ab＋1b≥4；
(3)(a＋b)1a＋1b≥4；(4)a2＋9＞6a；
A．1 B．2
C．3 D．4

[解析] a
2－a＋1＝a－122
＋34＞0，故(1)正确；由基本不等式可得当且仅当

a＝b＝1时(2)、(3)正确；a2－6a＋9＝(a－3)2≥0，故(4)不正确；选C.
[答案] C

7．(2017·江西九江高二期中)设M＝a＋1a－2(2＜a＜3)，N＝x(43－

3x)0＜x＜433，则M，N的大小关系为________．
[解析] ∵M＝a＋
1a－2＝a－2＋1
a－2
＋2，

而0＜a－2＜1，又∵y＝x＋1x在(0,1]上单调递减，
∴M在(2,3)上单调递减，
∴M＞(3－2)＋13－2＋2＝4；又0＜x＜433，

∴0＜N＝x(43－3x)＝13·3x(43－3x)＝134322＝4.
∴M＞N.
[答案] M＞N

8．(2017·山东淄川一中阶段性检测)若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈




0，

1

2

恒成立，则a的最小值为________．
[解析] 原不等式分离参数可化为

a≥－x2＋1x＝－x＋1x在x∈0，12恒成立．此时x＋1x∈－∞，－52，所以
a≥－52.
[答案] －
5
2

9．如果实数x，y满足条件 x－y＋1≥0，y＋1≥0，x＋y＋1≤0，则y－1x－1的取值范围是________．
[解析] 画出可行域如图中的阴影部分所示．

设P(x，y)为可行域内的一点，M(1,1)，则y－1x－1＝kPM.
由于点P在可行域内，则由图知kMB≤kPM≤kMA.
又可得A(0，－1)，B(－1,0)，则kMA＝2，kMB＝12，

则12≤kPM≤2，即y－1x－1的取值范围是12，2.
[答案]




1

2
，2

10．已知关于x的不等式kx2－2x＋6k＜0(k≠0)．
(1)若不等式的解集是{x|x＜－3或x＞－2}，求k的值；
(2)若不等式的解集是R，求k的取值范围．
解：(1)因为不等式的解集为{x|x＜－3或x＞－2}，
所以－3，－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两根且k<0.

由根与系数的关系得 －3×－2＝6，－3＋－2＝2k，
解得k＝－25.
(2)因为不等式的解集为R，

所以 k＜0，Δ＝4－4k·6k＜0，
即 k＜0，k＞66或k＜－66.
所以k＜－66.
即k的取值范围是－∞，－66.
11．某外商到一开发区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经
费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元．设f(n)表
示前n年的纯利润总和．
(注：f(n)＝前n年的总收入－前n年的总支出－投资额)
(1)从第几年开始获利？
(2)若干年后，外商为开发新项目，有两种处理方案：
①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；
②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂；问哪种方案最合算？为什么？
解：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，∴f(n)＝
－2n2＋40n－72.
(1)获利就是要求f(n)＞0，所以－2n2＋40n－72＞0，解得2＜n＜18.由n∈N
知从第三年开始获利．

(2)①年平均利润＝fnn＝40－2n＋36n≤16.
当且仅当n＝6时取等号．
故此方案共获利6×16＋48＝144(万美元)，此时n＝6.
②f(n)＝－2(n－10)2＋128.
当n＝10时，f(n)max＝128.
故第②种方案共获利128＋16＝144(万美元)，
故比较两种方案，获利都是144万美元．
但第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①种方案最合算．
12．(2017·山东曲阜高二期中)已知不等式ax2－3x＋6＞4的解集为{x|x＜1
或x＞b}，
(1)求a，b；
(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0.
解：(1)因为不等式ax2－3x＋6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，所以x1＝1与
x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，

且b＞1.由根与系的关系得 1＋b＝3a1×b＝2a，解得 a＝1b＝2，所以得 a＝1b＝2.
(2)由于a＝1且b＝2，所以不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0，
即x2－(2＋c)x＋2c＜0，即(x－2)(x－c)＜0.
①当c＞2时，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集为{x|2＜x＜c}；
②当c＜2时，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集为{x|c＜x＜2}；
③当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集为∅.
综上所述：当c＞2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0的解集为{x|2＜x＜c}；
当c＜2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0的解集为{x|c＜x＜2}；
当c＝2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0的解集为∅.