数列解题思路与技巧
【高考数学】数列的证明和求数列通项公式
数列的证明和求数列通项公式数列的通项公式在高考中数列部分的考查既是重点又是难点，不论是选择题或填空题中对基础知识的考查，还是压轴题中与其他章节知识的综合，抓住数列的通项公式通常是解题的关键和解决数列难题的瓶颈。
求通项公式也是学习数列时的一个难点。
由于求通项公式时渗透多种数学思想方法，因此求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强。
【基础知识整合】一、等差（等比）数列的证明常用方法： 1.定义法判断一个数列是等差数列，常采用的两个式子1n n a a d --=和1n n a a d +-=有差别，前者必须加上“2n ≥”，否则1n =时0a 无意义；在等比数列中一样有：①2n ≥时，有1nn a q a -==（常数q 0≠）；②n *∈N 时，有1n na q a +==（常数q 0≠）． 2.中项法212{}n n n n a a a a +++=⇔是等差数列，221(0)n n n n a a a a ++=≠{}n a ⇔是等比数列，这是证明数列{}n a 为等差（等比）数列的另一种主要方法 二、求数列通项公式的常用方法： 1. 公式法、利用11(1)(2)n nn S n S S n a -=⎧=⎨-≥⎩2. 求差（商）法：类似于 “12211125222n n a a a n +++=+ ， 12321n n a a a a n +=+”等条件时，使用求差（商）法求解；3. 累加法：类似于“()1n n a a f n +-=”的条件时，使用累加法求解()11n n a a f n --=-[来源:学*科*网]()122n n a a f n ---=- ()233n n a a f n ---=-……()211a a f -=以上式子左右分别相加，得()()()()11231n a a f n f n f n f -=-+-+-⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 所以得到()()()()11231n a f n f n f n f a =-+-+-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++ 4. 累乘法：类似于“()1n na f n a +=”的条件时，使用累乘法求解； ()()()()324112311231nn n a a a a a a f f f f n a a a a -==-5. 倒数法：类似于“1nn n ka a a k+=+”的条件时，使用倒数法求解 如：1121,2nn n a a a a +==+，求n a由已知得：1211122n n n n a a a a ++==+，∴11112n n a a +-= ∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，111a =，公差为12，∴()()11111122n n n a =+-=+，∴21n a n =+ 6. 构造法：[来源:学科网ZXXK]比如：()1,0,1,0n n a ka d k d k k d -=+≠≠≠为常数，[来源:学科网ZXXK]可转化为等比数列，设()()111n n n n a c k a c a ka k c --+=+⇒=+- 令()1k c d -=，∴1d c k =-，∴1n d a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是首项为11d a k +-，k 为公比的等比数列 ∴1111n n d d a a k k k -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，1111n n d d a a k k k -⎛⎫=+- ⎪--⎝⎭∴ 类型一 等差（等比）数列的证明 【典例1】 【2016年高考新课标Ⅲ（17）】已知数列{}n a 错误！未找到引用源。
例谈求数列前n项和的三种思路
思路探寻求数列的前n 项和问题比较常见，通常需先根据已有的递推关系式求得数列的通项公式，再观察数列的特点和规律，寻找适合的求和方法，比如：公式法、倒序相加法、错位相减法、分组求和法等来求得数列的前n 项和.若选用的方法恰当，就能起到事半功倍的效果.下面结合实例谈一谈求数列前n 项和的三种常用思路.一、借助公式公式法是求数列前n 项和的重要方法.运用公式法求数列的前n 项和，主要是根据等差数列的前n 项和公式S n =n (a 1+a n )2=na 1+n (n +1)2d 、等比数列的前n 项和公式S n =ìíîïïna 1，q =1,a 1(1-q n)1-q，q ≠1.在解题时，需仔细观察数列的特征，根据等差、等比数列的定义判断数列的类型，再选用相应的求和公式进行求和.例1.在等差数列{a n }中，S 10=100,S 100=10,求S 110.解：∵该数列为{a n }为等差数列，∴S 10,S 20-S 10,S 30-S 20,⋯，S 110-S 100也为等差数列，设其公差为d ，∴S 10+(S 20-S 10)+(S 30-S 20)+⋯+(S 100-S 90)=S 100,由等差数列的前n 项和公式S n =na 1+n (n +1)2d可得S 100=10S 10+10×92×d =10，又S 10=100,将其代入上式得d =-22，∴S 110-S 100=S 10+(11-1)d =100+10×(-22)=-120，∴S 110=S 100+(-120)=-110.由题意可知这个数列是等差数列，利用等差数列的性质以及等差数列的前n 项和公式S n =na 1+n (n +1)2d 求解，即可求出此数列的前n 项和.例2.已知log 3x =-1log 2x,求x +x 2+x 3+⋯+x n 的前n项和.解：由log 3x =-1log 2x 可得x =12，由等比数列的前n 项和公式S n =a 1(1-q n )1-q可得，x +x 2+x 3+⋯+x n=x (1-x n )1-x =12(1-12n )1-12=1-12n.观察该数列，可发现数列的后一项与前一项之比为x ，由等比数列的定义可知该数列为等比数列，利用等比数列的前n 项和公式S n =a 1(1-q n )1-q，即可求出此数列前n 项和.二、分组求和有些数列可被拆开或重组成几个等差、等比或者常见数列，此时可采用分组求和法，将各项重新组合，再分别运用等差、等比数列的前n 项和公式进行求和，最后综合所得结果，即可得出原数列的前n 项和.例3.求数列{}n (n +1)(2n +1)的前n 项和.解：设a k =k (k +1)(2k +1)=2k 3+3k 2+k ，可得S n =∑k =1nk (k +1)(2k +1)=∑k =1n(2k 3+3k 2+k )=2∑k =1nk 3+3∑k =1nk 2+∑k =1nk=2(13+23+⋯+n 3)+3(12+22+⋯+n 2)+(1+2+⋯+n )=n 2(n +1)22+n (n +1)(2n +1)2+n (n +1)2=n (n +1)2(n +2)2.仔细研究这个数列可发现，它由三个数列{}2n 3、{}3n 2、{}n 的和构成，于是将数列的每一项拆开，再重新组合S n =2∑k =1nk 3+3∑k =1nk 2+∑k =1nk ，最后分组求和，即可得n 黄增勇胡国生46思路探寻出数列前n 项和.对于一些常见的数列，同学们要熟记其和，如∑k =1nk =1+2+3+⋯+n =12n (n +1),∑k =1nk 2=12+22+32+⋯+n 2=13n (n +12)(n +1),∑k =1nk 3=13+23+33+⋯+n 3=éëêùûúæèçöø÷n (n +1)22，∑k =1n (2k -1)=1+2+3+⋯+(2n +1)=n 2.例4.求数列113,216,319，⋯，(n +13n )的前n 项和.解：S n =113+216+319+⋯+(n +13n )=(1+2+3+⋯+n )+(13+132+133+⋯+13n )=12n (n +1)+1-13n .该数列由两个数列{}n 、{}13n 构成，于是将其重新组合成等差数列{}n 和等比数列{}13n ，再分别运用等差、等比数列的前n 项和公式，求得每个数列的和，即可得到数列的前n 项和.三、裂项相消运用裂项相消法求和，关键有两步：第一步，裂项.即将数列的通项公式裂为两项之差的形式；第二步，消项.通过正负相消，消除绝对值相等，符号相反的项.在裂项的过程中，有的时候需要调整通项公式前面的系数，使拆得的两项的结构保持一致.常见的裂项方式有sin 1cos n cos(n +1)=tan(n +1)-tan n ，1n (n +1)=1n -1n +1，1(2n +1)(2n -1)=12(12n -1-12n +1)等.例5.在数列{}a n 中.a n =1n +1+1n +2+⋯+nn +1，若b n =2a n ∙a n +1，求数列{}b n 的前n 项和.解：因为a n =1n +1+1n +2+⋯+n n +1=n2，则b n =2a n ∙a n +1=2n 2∙n +12=8(1n -1n +1)所以S n =8éëêæèöø1-12+æèöø12-13+æèöø13-14+⋯+ùûúæèöø1n -1n +1=æèöø1-1n +1=8n n +1.根据题目中的已知条件可得数列{}b n 的通项公式为b n =8n ()n +1，于是将其裂项为8(1n -1n +1)，即可采用裂项相消法求得数列{}b n 的前n 项的和.例6.求和：S n =15+135+163+199.解：S n =15+145+1117+1221=11×5+15×9+19×13+113×17=14(1-15)+14(15-19)+14(19-113)+14(113-117)=14[(1-15)+(15-19)+(19-113)+(113-117)]=14(1-117)=417.仔细观察可发现，数列的通项公式为a n =1()4n -3(4n +1)=14æèöø14n -3-14n +1，通过裂项，便可将数列中的前后项转化为绝对值相等，符号相反的式子，这样采用裂项相消法，通过正负相消即可求得数列的和.通过对上述例题的分析，可以看出，上述三种思路各有特色，且其适用范围各不相同.同学们在求和时，只要善于发现数列中各项的规律，改变原数列的形式、结构，进行合理的裂项、分组，灵活运用等差、等比数列的前n 项和公式，那么求数列前n 项和问题就可以迎刃而解.本文系淮安市教育科学“十四五”规划课题《新高考背景下高中数学试题编制的研究》（课题编号2021GHKT215）研究成果.（作者单位：黄增勇，江苏省淮安市洪泽湖高级中学；胡国生，江苏省淮安市洪泽区教育体育局）47。
数列答题模板
好的，以下是一个数列答题的模板：【题目描述】已知数列${a_n}$ 的通项公式为$a_n = ...$，求：1. 求该数列的前$n$ 项和$S_n$；2. 当$n \to \infty$ 时，该数列的极限值$\lim\limits_{n \to \infty} a_n$。
【解题思路】1. 求前$n$ 项和的方法是将每一项加起来，即：$S_n = \sum\limits_{i=1}^{n} a_i$。
如果数列的通项公式比较简单，可以直接将每一项带入公式计算。
如果数列的通项公式比较复杂，则需要使用数列的求和公式进行计算。
2. 当$n \to \infty$ 时，该数列的极限值可以根据数列的特性得出。
通常需要分析数列的变化规律，判断其是否趋向于某个值或者无穷大/无穷小。
如果数列的通项公式比较复杂，也可以使用夹逼定理、单调有界原理等方法进行求解。
【例题演练】例题1：已知数列${a_n}$ 的通项公式为$a_n = \dfrac{1}{n(n+1)}$，求该数列的前$n$ 项和$S_n$ 和当$n \to \infty$ 时，该数列的极限值。
【解题思路】1. 首先求前$n$ 项和：$$S_n = \sum\limits_{i=1}^{n} a_i = \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{1}{i(i+1)}$$将$\dfrac{1}{i(i+1)}$ 拆分成$\dfrac{1}{i}-\dfrac{1}{i+1}$，得到：$$S_n = \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{1}{i}-\dfrac{1}{i+1} = 1-\dfrac{1}{n+1}$$所以，该数列的前$n$ 项和为$S_n = 1-\dfrac{1}{n+1}$。
2. 然后求当$n \to \infty$ 时，该数列的极限值。
注意到$\dfrac{1}{n(n+1)}$ 可以表示为$\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$，所以有：$$a_n = \dfrac{1}{n(n+1)} = \dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$$因此，当$n \to \infty$ 时，$a_n$ 的极限值为：$$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = \lim\limits_{n \to \infty} \left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right) = \dfrac{1}{n}$$所以，该数列的极限值为$0$。
数列的递推公式和通项公式总结
数列的递推公式和通项公式总结一、数列的概念1.数列：按照一定顺序排列的一列数。
2.项：数列中的每一个数。
3.项数：数列中数的个数。
4.首项：数列的第一项。
5.末项：数列的最后一项。
6.公差：等差数列中，相邻两项的差。
7.公比：等比数列中，相邻两项的比。
二、数列的递推公式1.等差数列的递推公式：an = a1 + (n-1)d–an：第n项–a1：首项2.等比数列的递推公式：an = a1 * q^(n-1)–an：第n项–a1：首项3.斐波那契数列的递推公式：an = an-1 + an-2–an：第n项–an-1：第n-1项–an-2：第n-2项三、数列的通项公式1.等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d–an：第n项–a1：首项2.等比数列的通项公式：an = a1 * q^(n-1)–an：第n项–a1：首项3.斐波那契数列的通项公式：an = (1/√5) * [((1+√5)/2)^n - ((1-√5)/2)^n]–an：第n项四、数列的性质1.收敛性：数列的各项逐渐接近某个固定的数。
2.发散性：数列的各项无限增大或无限减小。
3.周期性：数列的各项按照一定周期重复出现。
五、数列的应用1.数学问题：求数列的前n项和、某项的值、数列的收敛性等。
2.实际问题：人口增长、贷款利息计算、等差数列的求和等。
六、数列的分类1.有限数列：项数有限的数列。
2.无限数列：项数无限的数列。
3.交错数列：正负交替出现的数列。
4.非交错数列：同号连续出现的数列。
5.常数数列：所有项都相等的数列。
6.非常数数列：各项不相等的数列。
综上所述，数列的递推公式和通项公式是数列学中的重要知识点，通过这些公式，我们可以求解数列的各种问题。
同时，了解数列的性质和分类，有助于我们更好地理解和应用数列。
习题及方法：1.习题一：已知等差数列的首项为3，公差为2，求第10项的值。
答案：a10 = 3 + (10-1) * 2 = 3 + 18 = 21解题思路：利用等差数列的递推公式an = a1 + (n-1)d，将给定的首项和公差代入公式，求得第10项的值。
谈谈求数列的通项公式的思路
考点透视求数列的通项公式问题经常出现各类试题中，常以选择、填空题的形式出现.此类问题，通常要求根据已知递推式关系式或数列的和式，求数列的通项公式.其命题形式多种多样，常见的解法有利用a n与S n的关系、递推法、构造法、累加法、累乘法等.那么，如何选择合适的方法进行求解呢？下面结合实例进行探讨.一、根据an与Sn的关系求解有些问题中直接给出了数列的前n项和及其关系式，在这种情况下，可以根据数列的通项公式a n与其前n项和S n的关系{a n=S n-S n-1,n≥2，a1=S1,n=1，来求数列的通项公式.在解题时，需先根据数列的前n项和S n及其关系式求得S n-1，然后将其与S n相减，得到在n≥2的情况下数列的通项公式，再检验当n=1时，a1是否满足所求a n的表达式.若满足，则a n的表达式即为数列的通项公式；若不满足，则需分情况表示数列的通项公式.例1.已知数列{}a n的前n项和为S n，S1+2S2+3S3+⋯+nS n=n2()n+124，求数列{}a n的通项公式.解：当n=1时，a1=S1=1，由题意可得S1+2S2+3S3+⋯+nS n=n2()n+124，①当n≥2时，S1+2S2+3S3+⋯+()n-1S n-1=n2()n-124，②①-②可得nS n=n2()n+124-n2()n-124=n3，即Sn=n2，当n≥2时，a n=S n-S n-1=2n-1，且当n=1时a1满足上式，所以数列{}a n的通项公式为a n=2n-1.本题的已知条件中含有数列的前n项和，需根据数列的通项公式a n与其前n项和S n的关系{a n=S n-S n-1,n≥2，a1=S1,n=1，来求得数列的通项公式.将n替换成n-1，求得S n-1的关系式，然后将两式作差，即可求得在n≥2时的a n，最后进行检验，即可求得问题的答案.例2.记数列{}a n的前n项和为S n，数列{}S n的前n项积为b n，若2S n+1b n=2，求数列{}a n的通项公式.解：由题意可得S n=b n b n-1()n≥2，且2S n+1b n=2，可得2b n-1bn+1bn=2()n≥2，即b n-b n-1=12()n≥2，当n=1时，由2b1+1b1=2可得b1=32，则数列{}b n的通项公式为b n=32+12()n-1=n+22，可得S n=b n b n-1=n+2n+1()n≥2，当n=1时，S1=b1=32满足该式，所以S n=n+2n+1，则a n=S n-S n-1=n+2n+1-n+1n=-1n()n+1()n≥2，当n=1时，a1=32不满足上式，故数列{}a n的通项公式为a n=ìíîïï32,n=1,-1n()n+1,n≥2.根据数列的通项公式a n与其前n项和S n的关系{a n=S n-S n-1,n≥2，a1=S1,n=1，求数列{}a n的通项公式，一定要考虑当n=1时的情形，否则得到不完整的答案.若当n=1时a n的表达式满足当n≥2时的通项公式，则可忽略对n=1的情况的讨论.二、通过累加求解累加法是求数列的通项公式的常用方法，该方法主要适用于由形如a n-a n-1=f()n的递推关系式求数周涛35点透视列的通项公式.其步骤为：①将已知递推关系式转化为a n -a n -1=f ()n 的形式；②将n 或n -1个式子累加，可得a n =()a n -a n -1+()a n -1-a n -2+⋯+()a 2-a 1+a 1,求得f ()1+f ()2+⋯+f ()n 的和，即可求得当n ≥2时的a n ；③判断当n =1时，a 1是否满足所求的表达式a n ，进而得到数列的通项公式.例3.已知数列{}a n 满足a 1=1，a 2=3，a n +2=3a n +1-2a n .(1)证明：数列{}a n +1-a n 是等比数列；(2)求数列{}a n 的通项公式.解：(1)数列{}a n +1-a n 是以a 2-a 1为首项，2为公比的等比数列（过程略）；(2)由(1)可得，a n +1-a n =2n ()n ∈N ∗，当n ≥2时，a n =()a n -a n -1+()a n -1-a n -2+⋯+()a 2-a 1+a 1=2n -1+2n -2+⋯+2+1，∴a n =2n-1，∴数列{}a n 的通项公式为a n =2n-1.解答本题的关键是明晰a n +1-a n =2n与a n -a n -1=f ()n 的结构一致，然后令n =1,2,3，…，n -1，再将这n -1个式子累加，借助累加法求得数列的通项公式.三、通过累乘求解运用累乘法与累加法求数列的通项公式的思路较为相似.累乘法主要适用于由形如a na n -1=f ()n 的递推关系式求数列的通项公式.令n =1,2,3，…，n ，再将这n个式子累乘，即a n =a n a n -1×a n -1a n -2×…×a2a 1×a 1，求得f ()n ×f ()n -1×⋯×f ()1的值,即可求得数列的通项公式.最后，还需根据问题所给条件求出a 1，判断a 1是否满足a n 的表达式，综合所有情况，就能得到数列的通项公式.例4.已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，a 1=1，S n =n 2a n ()n ∈N ∗，则数列{}a n 的通项公式为_____.解:由S n =n 2a n 可知当n ≥2时，S n -1=()n -12a n -1，则a n =S n -S n -1=n 2a n -()n -12a n -1，即(n 2-1)a n =(n -1)2a n -1，易知a n ≠0，故a na n -1=n -1n +1()n ≥2，当n ≥2时，a n =a na n -1×a n -1a n -2×⋯×a 3a 2×a 2a 1×a 1=n -1n +1×n -2n ×⋯×24×13×1=2n ()n +1，当n =1时，a 1=1满足上式，所以数列{}a n 的通项公式为a n =2n ()n +1.解答本题，需先根据数列的通项公式a n 与其前n 项和S n 的关系求得a n 的表达式.而该式形如a na n -1=f ()n ,于是将n 个式子累乘，借助累乘法求得数列的通项公式.一般地，a n -a n -1=f ()n 、an a n -1=f ()n 只满足当n ≥2时的情形，运用累加法、累乘法求数列的通项公式，一定要讨论当n =1时的情形.四、通过构造等比数列求解当遇到形如a n =pa n -1+q 、a n =pa n -1+f ()n 的递推关系式时，可考虑运用构造法来求数列的通项公式.在解题时，需引入待定系数λ，将a n =pa n -1+q 、a n =pa n -1+f ()n 设为a n +λ=p ()a n -1+λ或a n +λf ()n =p ⋅()a n -1+λf ()n -1，从而构造出等比数列{}a n +λ或{}a n +λf ()n ，以便根据等比数列的通项公式求得数列的通项公式.例5.已知数列{}a n 满足a n +1=3a n +3∙2n，a 1=2，求数列{}a n 的通项公式.解：由a n +1=3a n +3∙2n可设a n +1+λ∙2n +1=3(a n +λ2n )，则λ=3∙2n ,故数列{}a n +3∙2n是以a 1+6=8为首项，3为公比的等比数列，则a n +3∙2n =8∙3n -1，所以a n =8∙3n -1-3∙2n ，即数列{}a n 的通项公式为a n =8∙3n -1-3∙2n .递推关系式a n +1=3a n +3∙2n形如a n +1+f ()n =3(a n +36考点透视f ()n )，于是引入待定系数，将其变形为a n +1+λ∙2n +1=3()a n +λ2n ，从而构造出等比数列{}a n +3∙2n，根据等比数列的通项公式来解题.例6.已知在数列{}a n 中，a n +1=3a n +2，a 1=1，求数列{}a n 的通项公式.分析：问题中所给的递推关系式a n +1=3a n +2形如a n =pa n -1+q ，于是采用构造法，引入待定系数λ，构造出等比数列{}a n +λ，通过求{}a n +λ的通项公式，得到数列{}a n 的通项公式.解：设a n +1+λ=3()a n +λ，即a n +1=3a n +2λ，将其与a n +1=3a n +2比较可得λ=1，故数列{}a n +1是以a 1+1=2为首项，以3为公比的等比数列，因为a n +1=2∙3n -1，所以a n =2∙3n -1-1，故数列{}a n 的通项公式为a n =2∙3n -1-1.上述几种方法适用的情形均不相同，因此在求数列的通项公式时，要注意观察递推关系式或已知关系式，如是否含有S n ，递推式是否形如a n -a n -1=f ()n 、a na n -1=f ()n 、a n =pa n -1+q 、a n =pa n -1+f ()n ，结合递推关系式或已知关系式的特点，选择合适的方法，如根据a n 与S n 的关系、利用累加法、累乘法、构造法来求数列的通项公式.在求数列的通项公式时，还要注意一些细节，如当n =1时的情况，a n 或已知递推式满足的条件，以便得到完整的答案.（作者单位：安徽省安庆市望江县望江中学）单项选择题是高考试题中常出现的一类题目.此类问题中一般会有4个选项，其中只有1个选项是正确的，且不要求提供详细的解题过程，只需选出正确的选项.有些单项选择题中的参数较多，有的给出的数值较大、项数较多，有的给出的条件较少，我们很难或者无法（或没有必要）通过精准的运算、推理得出正确的答案，此时可根据题目中的特殊要素、图形的性质、极限值等来进行估算，利用估算法来快速找到正确的选项，得出问题的答案.一、借助特殊元素进行估算有些单项选择题中涉及的参数、变量较多，问题的答案也不唯一，我们很难根据题意确定答案，此时可从特殊元素入手，结合题意寻找一些特殊值、特殊角、特殊点、特殊位置、特殊函数（或数列）、特殊图形等特殊元素，将其代入题设中进行求解，便可快速找出正确的选项.例1．（2021年高考数学上海卷，第16题）已知x 1，y 1,x 2,y 2,x 3,y 3为6个不同的实数，且满足①x 1<y 1,x 2<y 2,x 3<y 3；②x 1+y 1=x 2+y 2=x 3+y 3；③x 1y 1+x 3y 3=2x 2y 2，则以下选项中恒成立的是（）.A.2x 2<x 1+x 3B.2x 2>x 1+x 3C.x 22<x 1x 3D.x 22>x 1x 3分析：题目中涉及了6个不同的实数，且需满足3个关系式，较为复杂.不妨根据已知条件选取并确定3个特殊值赋给x 1、x 2、x 3，再结合3个关系式确定另外3个实数y 1、y 2、y 3的值，进而通过估算来确定正确的答案．解：根据①②③可令x 1=1，x 2=2,x 3=4，则x 1+y 1=x 2+y 2=x 3+y 3=9，可得y 1=8，y 2=7，y 3=5，此时6个不同的实数恰好同时满足3个关系式，将x 1=1,x 2=2,x 3=4，y 1=8,y 2=7,y 3=5代入4个选项中，可判断出只有2x 2<x 1+x 3成立，所以本题的正确答案为A ．例2.（湖南省三湘名校教育联盟2022届高三第二次大联考数学试卷，第7题）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派利用顶角为36°的等腰三角形研究黄金分割.如图1，在△ABC中，AB =AC ，∠A =36°，∠ABC 的平分线交AC 于M ，依此图形可求得cos36°=（）.A.35 B.C. D.分析：36°不是特殊角，通过三角函数恒等变换来进行计算，运算量大.而根据余弦函数的图象与性质，吴亚南图137。
数列求和技巧全总结(共3篇)
数列求和技巧全总结第1篇1、在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题。
2、在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力。
进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力。
3、培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法。
拓展：求数列极限的方法总结极限无外乎出这三个题型：求数列极限、求函数极限、已知极限求待定参数。
熟练掌握求解极限的方法是的高分地关键，极限的运算法则必须遵从，两个极限都存在才可以进行极限的运算，如果有一个不存在就无法进行运算。
以下我们就极限的内容简单总结下。
极限的计算常用方法：四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限、利用泰勒公式求极限、夹逼定理、利用定积分求极限、单调有界收敛定理、利用连续性求极限等方法。
四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限是常用方法，在基础阶段的学习中是重点，考生应该已经非常熟悉，进入强化复习阶段这些内容还应继续练习达到熟练的程度;在强化复习阶段考生会遇到一些较为复杂的极限计算，此时运用泰勒公式代替洛必达法则来求极限会简化计算，熟记一些常见的麦克劳林公式往往可以达到事半功倍之效;夹逼定理、利用定积分定义常常用来计算某些和式的极限，如果最大的分母和最小的分母相除的极限等于1，则使用夹逼定理进行计算，如果最大的分母和最小的分母相除的极限不等于1，则凑成定积分的定义的形式进行计算;单调有界收敛定理可用来证明数列极限存在，并求递归数列的极限。
数列的概念和应用
数列的概念和应用一、数列的概念1.数列的定义：数列是由按照一定顺序排列的一列数组成的。
2.数列的表示方法：用大括号“{}”括起来，例如：{a1, a2, a3, …, an}。
3.数列的项：数列中的每一个数称为数列的项，简称项。
4.数列的项的编号：数列中每个项都有一个编号，通常表示为n，n为正整数。
5.数列的通项公式：用来表示数列中第n项与n之间关系的公式称为数列的通项公式，例如：an = n^2。
6.数列的类型：(1)等差数列：数列中任意两个相邻项的差都相等，记为d（d为常数）。
(2)等比数列：数列中任意两个相邻项的比都相等，记为q（q为常数，q≠0）。
(3)斐波那契数列：数列的前两项分别为0和1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。
二、数列的应用1.等差数列的应用：(1)等差数列的求和公式：Sn = n/2 * (a1 + an)。
(2)等差数列的前n项和公式：Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)。
(3)等差数列的第n项公式：an = a1 + (n-1)d。
2.等比数列的应用：(1)等比数列的求和公式：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)。
(2)等比数列的前n项和公式：Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)。
(3)等比数列的第n项公式：an = a1 * q^(n-1)。
3.斐波那契数列的应用：(1)斐波那契数列的性质：斐波那契数列的前两项分别为0和1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。
(2)斐波那契数列的通项公式：Fn = (1/√5) * [((1+√5)/2)^n - ((1-√5)/2)^n]。
4.数列在实际生活中的应用：(1)计数：数列可以用来表示一些有序的集合，如自然数集、整数集等。
(2)计时：数列可以用来表示时间序列数据，如一天内的每小时气温变化。
(3)排队：数列可以用来表示排队时的人数，以及每个人的位置。
(4)数据分析：数列可以用来表示一组数据的分布情况，如成绩分布、经济发展水平等。
数列奇偶项解题方法和技巧
数列奇偶项解题方法和技巧
数列是数学中的一个重要概念，常用于各种数学问题的解答中。
在数列中，奇偶项是指数列中的元素按照奇数和偶数进行分类。
解决数列中奇偶项问题的方法和技巧可以帮助我们更好地理解和解
答数学问题。
下面是一些常见的方法和技巧：
1. 观察数列的规律：观察数列中奇数和偶数项的变化规律。
可以通过列举数列的前几项来发现规律，或者根据已知条件进行推导。
例如，可以观察奇数项和偶数项之间的关系，判断它们是否有相同的增长模式或者差异。
2. 利用数列的性质：对于一些特殊的数列，可以利用数列的性质来解决问题。
例如，对于递推数列，可以利用递推关系式来求解奇偶项。
对于等差数列，可以利用等差关系式来求解奇偶项。
3. 使用数学工具和技巧：数学中有一些常用的工具和技巧可以帮助我们解决奇偶项问题。
例如，可以使用等差数列的求和公式来求解奇数项或偶数项的和。
可以使用数列的通项公式来计算奇数项或偶数项的值。
4. 分类讨论：对于一些复杂的问题，可以将数列中的奇偶项进行分
类讨论。
例如，可以分别讨论奇数项和偶数项的性质，然后将它们的结果进行合并或比较。
需要注意的是，解决数列中奇偶项问题的方法和技巧并不是唯一的，具体的解题方法应根据问题的具体情况进行选择。
在解题过程中，需要灵活运用数学知识和技巧，进行分析和推导，以找到解题的思路和方法。
总之，数列奇偶项问题的解题方法和技巧可以帮助我们更好地理解数列的性质和规律，提高解题的效率和准确性。
通过不断练习和积累经验，我们可以更好地运用这些方法和技巧来解答各种数列问题。
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数列解题思路与技巧
数列解题是高中数学中的一个重要内容。
随着中考、高考对数学知识的要求日益提高，我们需要不断提高自己的数列解题能力。
本文将分享一些数列解题的思路与技巧，希望能给大家提供一些帮助。
一、数列的定义与分类
数列是一组有序的、按照某种规律排列的数字。
通常用
a1、a2、a3……an 表示，其中a1 为首项，an 为末项，n 为
项数。
数列可分为等差数列、等比数列、斐波那契数列等多种类型。
在解决数列问题时，要首先确定所给数列的类型。
二、等差数列的解题思路与方法
等差数列常见的应用有求和、求公差、求项数等。
其中，求和是最常见的问题。
下面我们将讨论如何解决等差数列求和的问题。
1. 求和公式
对于首项为a1，公差为d，末项为an，项数为n 的等
差数列，它的前n 项和可以用以下公式表示：
Sn=n/2(2 × a1+(n-1) × d)
其中，Sn 表示前n 项的和。
这是一个经典的求和公式，掌握之后可以大幅提高求和的效率。
2. 已知首项、末项和项数，求和
如果已知首项、末项和项数，我们可以通过求出公差来使用求和公式计算和。
例如，已知首项为1，末项为100，项数为20，求和。
首先，根据公式an=a1+(n-1)×d，可以求出公差为5。
然后，代入公式Sn=n/2(2 × a1+(n-1) × d)，得到Sn=20/2(2 ×
1+(20-1) × 5)=1010。
因此，所求和为1010。
3. 已知首项、公差和项数，求和
如果已知首项、公差和项数，我们可以直接使用求和公式计算和。
例如，已知首项为3，公差为2，项数为10，求和。
代入公式Sn=n/2(2 × a1+(n-1) × d)，得到Sn=10/2(2 ×
3+(10-1) × 2)=65。
因此，所求和为65。
三、等比数列的解题思路与方法
等比数列也是数列中重要的一类。
它是一组首项为a1，公比为q，项数为n 的数字序列。
在解决等比数列问题时，可以使用以下方法。
1. 求和公式
对于首项为a1，公比为q，项数为n 的等比数列，它的前n 项和可以用以下公式表示：
Sn=a1(1-qn)/(1-q)
其中，Sn 表示前n 项的和。
这也是一个经典的求和公式，它的计算基于等比数列每一项的通项公式an=a1 ×
q^(n-1)。
2. 求首项或公比
如果已知等比数列的首项a1 和项数n，可以根据a1 和Sn 的关系得出公比q。
公式如下：
q=(Sn/a1)^(1/n)
如果已知等比数列的公比q 和项数n，可以根据an 和Sn 的关系得出首项a1。
公式如下：
a1=an/q^(n-1)
3. 求项数
如果已知等比数列的首项a1、公比q 和末项an，可以根据an 和a1 的关系得出项数n。
公式如下：
n=logq(an/a1)+1
四、技巧与注意事项
在解决数列问题时，有以下一些常见的技巧和注意事项，我们可以加以利用和注意。
1. 注意数列指数
在解决等比数列问题时，要特别注意数列指数，因为数列的指数可能是小数或负数。
如果使用计算器，要选用合适的环境（如指数、科学计数法等）以显示正确的结果。
2. 注意符号
在解决等差数列与等比数列问题时，要注意符号。
特别是在使用公式时，要清楚地表示符号，避免出现否定数、相反数等错误。
3. 注意变量的定义
在解决数列问题时，要妥善定义每个变量的含义，确保准确理解问题，避免出现语义理解不准确的漏洞。
4. 注意精度
在解决数列问题时，要注意精度。
特别是在使用计算器进行数据处理时，要选择合适的精度，避免出现误差导致答案错误的情况。
五、总结与展望
数列解题是高中数学中重要的一环，掌握数列的定义、分类和常用公式是必不可少的。
在解决等差数列和等比数列的问题时，我们可以使用求和公式、公差和公比等方法。
此外，解题时要注意定义变量、符号、精度等方面的内容，避免出现错误。
我们相信，通过学习和实践，大家都能掌握数列解题的技巧，提高数学成绩，为未来的发展打好基础。