2020高考圆锥曲线压轴题总结

第一课时 简化解析几何运算的5个技巧

中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面．为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程．

想为指导，把定量的分析有机结合起来，则可使解题计算量大为简化，使解题构筑在较高的水平上．

[典例] 如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2

＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，

C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )

A ．2

B ． 3

C ．32

D ．

62

[解析] 由已知，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)，

设双曲线C 2的实半轴长为a ，由椭圆及双曲线的定义和已知，

可得⎩⎪⎨⎪

⎧

|AF 1|＋|AF 2|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，

|AF 1|2＋|AF 2|2＝12，

解得a 2＝2，

故a ＝2．所以双曲线C 2的离心率e ＝32＝6

2

． [答案] D [方法点拨]

本题可巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF 1|，|AF 2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a 的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量．

[对点演练]

抛物线y 2＝4mx (m ＞0)的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，若点A (－m,0)，则|PF |

|P A |的

最小值为________．

解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，由抛物线的定义，知|PF |＝x P ＋m ，又|P A |2＝(x P ＋m )2＋

y 2P ＝(x P ＋m )2

＋4mx P ，则

⎝⎛⎭⎫|PF ||P A |2＝(x P ＋m )

2

(x P ＋m )2＋4mx P ＝

11＋4mx P (x P ＋m )2≥11＋4mx P (2x P ·m )2

＝1

2(当且仅当x P ＝m 时取等号)，所以|PF ||P A |≥22，所以|PF ||P A |的最小值为2

2

．

答案：

2

2

对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题，涉及求中点弦所在直线的方程，或弦的中点的轨迹方程的问题时，常常可以用代点法求解．

[典例] 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，

B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的标准方程为( )

A ．x 245＋y 2

36＝1

B ．x 236＋y 2

27＝1

C ．x 227＋y 2

18

＝1

D ．x 218＋y 2

9

＝1

[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，

⎩⎨⎧

x 21a 2＋y 21

b

2＝1，x 22a 2

＋y

22b 2

＝1，

①②

①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)

b 2＝0，

所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝b 2

a 2．

又k AB ＝0＋13－1＝12，所以b 2a 2＝1

2．

又9＝c 2＝a 2－b 2， 解得b 2＝9，a 2＝18，

所以椭圆E 的方程为x 218＋y 2

9＝1．

[答案] D [方法点拨]

本题设出A ，B 两点的坐标，却不需求出A ，B 两点的坐标，巧妙地表达出直线AB 的斜率，通过将直线AB 的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．

[对点演练]

过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M

是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．

解析：设A (x 1

，y 1

)，B (x 2

，y 2

)，则⎩⎨⎧

x 21a 2

＋y 21

b

2＝1，x 22a 2

＋y

22b 2

＝1，

∴

(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)

b 2

＝0，

∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2

y 1＋y 2．

∵

y 1－y 2x 1－x 2

＝－1

2，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，

∴－b 2a 2＝－1

2，∴a 2＝2b 2．

又∵b 2＝a 2－c 2，

∴a 2＝2(a 2－c 2)，∴a 2＝2c 2，∴c a ＝22

．