勾股定理重难点题型梳理

勾股定理章末重难点题型汇编

【考点1 利用勾股定理求面积】

【方法点拨】解决此类问题要善于将面积中的平方式子与勾股定理中的平方式子建立联系.

【例1】（2019春•鄂城区期中）在Rt AED ∆中，90E ∠=︒，3AE =，4ED =，以AD 为边在AED ∆的外侧

作正方形ABCD ，则正方形ABCD 的面积是( )

A ．5

B ．25

C ．7

D ．10 【答案】在Rt AED ∆中，90

E ∠=︒，3AE =，4ED =，225AD AE DE ∴=+=，

四边形ABCD 是正方形，∴正方形ABCD 的面积22525AD ===，故选：B ．

【变式1-1】（2019春•宾阳县期中）如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，其中

最大正方形E 的边长为10，则四个正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为( )

A ．24

B ．56

C ．121

D ．100

【答案】根据勾股定理的几何意义，可知：E F G S S S =+A B C D S S S S =+++100=；

即四个正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为100；故选：D ．

【变式1-2】（2019春•武昌区校级期中）如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以AC 、BC 为直径作半圆1S 和

2S ，且122S S π+=，则AB 的长为( )

A ．16

B ．8

C ．4

D ．2

【分析】根据勾股定理得到222AC BC AB +=，根据圆的面积公式计算，得到答案．

【答案】解：由勾股定理得，222AC BC AB +=， 2222111()()()222228

AC BC AC BC ππππ⨯+⨯=⨯+=， 解得，2216AC BC +=，则22216AB AC BC =+=，解得，4AB =，故选：C ．

【点睛】本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么222a b c +=．

【变式1-3】（2019春•兰山区期中）如图，其中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形．若1S ，

2S ，3S ，4S 和S 分别代表相应的正方形的面积，且14S =，29S =，38S =，410S =，则S 等

于( )

A ．25

B ．31

C ．32

D ．40

【答案】如图，由题意得：21213AB S S =+=，23418AC S S =+=，

22231BC AB AC ∴=+=，231S BC ∴==．故选：B ．

【考点2 判断直角三角形】

【方法点拨】如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.

【例2】（2019春•芜湖期中）在以线段a ，b ，c 的长三边的三角形中，不能构成直角三角形的是( )

A ．4a =，5b =，6c =

B ．::5:12:13a b c =

C ．2a =3b =，5c =

D ．4a =，5b =，3c = 【答案】A 、222456+≠，不能构成直角三角形，故本选项符合题意；

B 、设三角形三边为5k ，12k ，13k ，2(5)(k +2212)(13)k k =，能构成直角三角形，故本选项不符 合题意；

C 、(22)(+23)(=25)，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；

D 、222345+=，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：A ．

【变式2-1】（2018春•淮南期中）a 、b 、c 为ABC ∆三边，不是直角三角形的是( )

A ．::3:4:5A

B

C ∠∠∠=

B ．54a =，1b =，34c =

C ．222a c b =-

D ．8a k =，17b k =，15c k =

【答案】A 、::3:4:5A B C ∠∠∠=，∴设3A x ∠=，则4B x ∠=，5C x ∠=，

180A B C ∠+∠+∠=︒，即345180x x x ++=︒，解得，15x =︒，

55157590x ∴=⨯︒=︒<︒，故本选项错误；

B 、2226810+=，222a b c ∴+=，故本选项正确；

C 、222a b c =-，222a c b ∴+=，

故本选项正确；

D 、22281517k k k +=，222a b c ∴+=，故本选项正确．故选：A ．

【变式2-2】（2018秋•金牛区校级期中）下列说法中，正确的有( )

①如果0A B C ∠+∠-∠=，那么ABC ∆是直角三角形；

②如果::5:12:13A B C ∠∠∠=，则ABC ∆是直角三角形；

③如果三角形三边之比为7:10:17，则ABC ∆为直角三角形；

④如果三角形三边长分别是24n -、4n 、24(2)n n +>，则ABC ∆是直角三角形；

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【答案】解：①正确，由三角形内角和定理可求出C ∠为90度；

②不正确，因为根据三角形的内角和得不到90︒的角；

③正确，设三边分别为7x ，10x ，17x ，则有2271017x +=；

④正确，因为222(4)(4)(4)n n n -+=+．所以正确的有三个．故选：C ．

【变式2-3】（2019春•寿光市期中）如图：在一个边长为1的小正方形组成的方格稿纸上，有A 、B 、C 、

D 、

E 、

F 、七个点，则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是( )

A ．点A 、点

B 、点

C B ．点A 、点

D 、点G C ．点B 、点

E 、点F

D ．点B 、点G 、点E

选：C ．