保险精算 第3章2 生命表

平均余命或生命期望值
e x ：现年 x 岁的人尚可再生存若干年的平均数
(1)每一个到达 数.
x
岁的人今后可生存的平均年
(2)假定死亡者都在年初死亡, 则 x 岁后的第一年全体生存的年数共 第二年全体生存的年数共 x 依此类推,此 岁人总生存年数为
wk.baidu.com
lx1
l x2
lx1 lx2 lx3 l
x
m
xm
x m n
px
mn x m x
m |n
qx m px mn px q q m px qxm
当n 1时， qx m px m1 px m px n qxm m|
例3.1
x 已知 l x 10000 (1 ) 100
计算下面各值：
（1）d , 30
l xn l l (2) n qx 1 n px 1 l lx l x l x1 l x1 lx2 l xn1 lxn 概率之和 lx
x xn x
d x d x1 d x2 d xn1 lx
qx 1| qx 2| qx n1| qx t | q x
lx 根据 l0 S ( x) lx S ( x) l0
S (20) 0.92, S (21) 0.915, S ( x) 0.909
t 0
n 1
m|n
qx
m n 1 d d xm xm1 xmn1 t | qx lx t m q xm n
x 岁的人在 x m 与 x m n 岁之间死亡的概率
l x m l x m n d qx m |n lx
0
x 增加而递减。 l 0 。 （3）通常令 l 10 人为基数， 生存函数 S ( x) 表示生存至 x 岁的生存概率。 则所有 l 人在 x 岁时有 l S ( x) 人仍生存。
（2）l x 连续函数，随年龄
7 0
0
0
lx l0 S ( x)
死亡数
d x ：死亡数，指 x 岁的人在1年内死亡的人数。
经验生命表
经验生命表可分为 终极表（ultimate table） 选择表（select table） 总合表（aggregate table）等。 • 终极表是指剔除了被保险人投保后5至15年 的经验数据，根据被保险人最终的死亡率编 制的生命表，也就是按照承保选择的影响消 失后的死亡率来编制生命表。1958年美国保 险监督官标准普通生命表是一种终极生命表。
ex E (T ( x)) td (1 t px ) t px dt
0 0
2.
e x 为取整余命的数学期望
ex E ( K ( x)) k k px qx k k 1 px
k 0 k 0
练习： 某个生命表的一部分
年龄 x 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 未来一年内死亡概率 qx 0.00133 算出各种 0.00134 0.00137 有用的概率 ： 0.00142 p , , q , p q 34 2 34 2 34 34 0.00150 0.00159 q34 2| 0.00170 0.00183 0.00197 0.00213
：生存率 (1)表示 x 岁的人在一年后仍生存的概率 即 x 1 岁时仍生存的概率. (2) px qx 1 (3) l x1
px
lx
lx
px 1 qx
lx
p n x
n
p x ：x 岁的人在n年后仍生存的概率.
l x n l x1 l x2 l xn (1) n px lx l x l x1 l xn1
第三章 生命表基础
参数模型的问题
至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。前 面四个常用模型的拟合效果未令人满意。
使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大 的误差. 还好，精算师可以依赖另一种描述寿命分布的工具, 即生命表.
生命表起源
生命表的定义
根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制 成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表.
练习：
设某群体的初始人数为3000人，20年内的预期死亡 人数为20人，第21年和第22年的死亡人数为15人和 18人，求生存函数 S ( x) 在20岁、21岁和22岁的值。
解： 已知 l0 30, l20 3000 240, d21 15, d22 18
l20 2760 , l21 l20 d21 2745 l22 l21 d 22 2727
3.2.2 生命表的内容
基数: 在生命表中,首先选择初始年龄且假定在 该年龄生存的一个合适的人数. 一般0为初始年龄,基数用 l0 表示 需要规定极限年龄,用 表示
常用符号
x ：年龄
l x ：生存数，指从初始年龄至满 x 岁尚生存的人。 （1）l x表示自出生至满 x 岁尚存活人数的期望值。
• 国民生命表是以全体国民或特定地区的人口生 存状况统计资料编制成的 • 经验表是人寿保险公司依据过去其承保的被保 险人实际的生存状况统计资料编制的。
在同一时期内， 国民生命的死亡率一般要高于经验表的死亡率。
国民生命表
1.完全生命表（complete life table） 2.简易生命表（abridged life table） • 完全生命表是根据准确的人口普查资料，依 年龄分别计算死亡率、生存率、平均余命等 生命函数而编制的。 • 简易生命表则采取每年的人口生存状况动态 统计资料和人口抽样调查的资料，按年龄段 （如5岁或10岁为一段）计算的死亡率、生 存率、平均余命等生命函数。
生命表的发展历史
1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死 亡名单,写过《生命表的自然和政治观察》。这是 生命表的最早起源。 1693年，Edmund Halley,《根据Breslau城出生与 下葬统计表对人类死亡程度的估计》，在文中第 一次使用了生命表的形式给出了人类死亡年龄的 分布。人们因而把Halley称为生命表的创始人。
x 岁的生存数 l x 人中经过一年死亡的人数。 （1） d x 称为 x 岁的死亡人数，是 l x 中自 x 岁到 x 1 岁间死亡的人数。 （2 ） d x lx lx1 lx lx qx
即
生存率与死亡率
qx ：死亡率 (1)表示 x 岁的人在一年内死亡的概率.
(2) q d x l x l x1 x
生命表的特点与原理
生命表的特点
构造原理简单、数据准确（大样本场合）、 不依赖总体分布假定（非参数方法） 原理 在大数定律的基础上，用观察数据计算各年 龄人群的生存概率。（用频数估计频率）
生命表的种类
生命表一般分为 1.国民生命表（national life table） 2.经验生命表（experience life table）
10
2、 30 5 q20
3、 e0
0
100 T0 x (1 ) dx 50 0 l0 100
练习：
已知20岁的生存人数为1000人，21岁的生存 人数为998人，22岁的生存人数为992人。试 求20岁的人在21岁那年死亡的概率，即 q
1| 20
解：
d 21 l21 l22 998 992 q20 0.006 1| 1000 l20 l20
平均余命或生命期望值
lx1 lx2 lx3 l ex lx (3)实际上不可能所有人在年初死亡,假定1 年内 死亡人数呈均匀分布. 多活半年 定义 o
平均余命为
e x ex 0.5
称为完全平均余命或完全生命期望值.
有趣的结论
1.
o
ex
o
为余命的数学期望

经验生命表
• 选择表是一种不同与终极表的生命表。在人寿 保险的承保过程中，经过体检等选择的被保险 人的死亡率等风险低于一般人口的风险，而且 最近几年选择的被保险人的死亡率风险低于前 些年选择的被保险人的死亡率风险，考虑到这 种选择因素的影响之后编制的生命表称为选择 表。 • 总合生命表是指不考虑保险契约有效后经过的 年数，以整个保险期间为对象，根据不同年龄 的被保险人的死亡率数据编制的生命表。
px px1 px2 pxn1 概率乘积. (2) mn px l l x m l x m n x m n m px n pxm l x l xm lx
n
n
qx
qx ： x 岁的人在n年内死亡的概率. (1) n px n qx 1
20
p3 0,
30
q3 0,
10
q3 0
（2）20岁的人在50~55岁死亡的概率。 （3）该人群平均寿命。
例3.1答案
1、d 30 l30 l31 100
30 20
p30 q30
l50 5/7 l30 l40 l41 1/ 70 l30
q30
l30 l60 3/ 7 l30 l50 l55 1/16 l20