五、关系的闭包运算
关系传递闭包的计算
关系传递闭包的计算关系传递闭包的计算关系是现实世界事物之间的交互关系，关系可以通过表格型数据结构来表示和存储。
在关系中，除了基本属性之外，还存在着一些间接关系，这些间接关系是由基本属性之间的相互关系衍生而来的。
传递闭包指的是关系中基本属性之间所有可能的间接关系的集合。
在本文中，我们将探讨关系传递闭包的计算方法及其应用。
关系传递闭包的定义给定一个关系R，传递闭包是一个关系S，S包含了关系R中所有可能的间接关系。
也就是说，如果关系R中元组(a,b)和元组(b,c)存在，那么元组(a,c)也必须存在于关系S中。
这就是传递闭包的基本定义。
关系传递闭包的性质1.自反性：对于关系R中的每个元素a，有(a,a)∈ R。
2.对称性：如果(a,b)∈ R，则(b,a)∈ R。
3.传递性：如果(a,b)∈ R，(b,c)∈ R，则(a,c)∈ R。
4.自反传递闭包：关系R与关系R’的传递闭包相等，当且仅当关系R’包含R自反闭包。
5.传递闭包的唯一性：关系R的传递闭包是唯一的。
6.传递闭包的算法复杂度：该问题可以用O（n^3）的时间复杂度解决。
7.计算传递闭包的算法具有可重用性：应用程序可以使用相同的计算传递闭包的代码来处理不同的数据集。
关系传递闭包的计算方法对于给定的关系R，计算它的传递闭包的方法最简单和最直接的方法是使用 Warshall算法。
Warshall 算法采用动态规划的思想，从一个矩阵中提取传递闭包。
算法的基本思路如下：1.假设 R 是一个邻接矩阵矩阵，n 为其尺寸（即矩阵中元素的个数），取当前矩阵为 D0。
2.对 DQ 递归处理，直到 Dk=Dk-1。
3.使用下列公式计算 Dk+1：Dk+1 (i,j)=(Dk (i,j)或((Dk(i,k)且Dk(k,j)))其中i,j,k是1到n之间的整数。
4.当Dk+1 =Dk 时，算法停止处理。
5.将矩阵 Dk+1 作为传递闭包的邻接矩阵。
例如，给定一个关系矩阵R：1 2 3 4 1 1 0 0 1 2 0 1 1 0 3 1 1 1 0 4 0 1 1 1首先，我们将矩阵R赋值为D0。
离散数学-3-8关系的闭包运算revised.ppt
i 1
由a)和b)可得t(R)= Ri ，通常 ，将 Ri记作R+。
关系图求法？为不直通i但1 有通路的两结点间i1加上一条有向弧
6
二、闭包的求法
P121 例1： A={a, b, c}, R={<a, b>,<b, c>,<c, a>},求 r(R),S(R),t(R).
解：r(R)=R IA ={<a, b>, <b, c>, <c, a>, <a, a>, <b, b>, <c, c>} s(R)= RR C ={<a, b>,<b, a>,<b, c>,<c, b>,<c, a>,<a, c>} 为求t(R)先求R2，R3，R4 即R2＝{<a, c>,<b, a>,<c, b>} R3={<a, a>,<b, b>,<c, c>} R4={<a, b>,<b, c>,<c, a>} 可见R=R4=R3n+1 R2= R5= R3n+2 R3= R6= R3n+3 故t(R) = RR 2R 3 = {<a, a>, <b, b>, <c, c>, <a, b>, <b, c>, <c, a>， <a c>, <b, a>, <c, b>}
c)ts(R)st R)
证明：令Ix表示X上的恒等关系。 a) sr(R)=s(IxR)=(IxR)(IxR)c =(IxR)(IxcRc)=IxRRc =Ixs(R) =rs(R)
关系的闭包运算
关系的闭包运算
关系的闭包运算是关系上的一元运算，它把给出的关系R扩充成一新关系R’，使R’具有一定的性质，且所进行的扩充又是最“节约”的。
比如自反闭包，相当于把关系R对角线上的元素全改成1，其他元素不变，这样得到的R’是自反的，且是改动次数最少的，即是最“节约”的。
一个关系R的闭包，是指加上最小数目的有序偶而形成的具有自反性，对称性或传递性的新的有序偶集，此集就是关系R的闭包。
设R是集合A上的二元关系，R的自反（对称、传递）闭包是满足以下条件的关系R'：
（i）R'是自反的（对称的、传递的）；
（ii）R'⊇R；
（iii）对于A上的任何自反（对称、传递）关系R"，若R"⊇R，则有R"⊇R'。
R的自反、对称、传递闭包分别记为r(R）、s(R) 和t(R）。
性质1
集合A上的二元关系R的闭包运算可以复合，例如：
ts(R)=t(s(R))
表示R的对称闭包的传递闭包，通常简称为R的对称传递闭包。
而tsr(R)则表示R的自反对称传递闭包。
性质2
设R是集合A上的二元关系，则有
（a）如果R是自反的，那么s(R）和t(R）也是自反的；
（b）如果R是对称的，那么r(R）和t(R）也是对称的；
（c）如果R是传递的，那么r(R）也是传递的。
性质3
设R是集合A上的二元关系，则有
（a）rs(R)=sr(R）；
（b）rt(R)=tr(R）；（c）ts(R)⊇ st(R）。
闭包运算的实验报告
一、实验目的1. 理解闭包运算的概念及其在离散数学中的应用。
2. 掌握关系闭包运算（自反闭包、对称闭包、传递闭包）的求解方法。
3. 利用编程语言实现关系闭包运算，并分析实验结果。
二、实验内容1. 自反闭包运算：给定一个关系R，求出R的自反闭包R^。
2. 对称闭包运算：给定一个关系R，求出R的对称闭包R^s。
3. 传递闭包运算：给定一个关系R，求出R的传递闭包R^t。
三、实验环境1. 操作系统：Windows 102. 编程语言：Python3.73. 开发工具：PyCharm四、实验步骤1. 定义关系R：以矩阵形式表示关系R，其中R[i][j]表示元素i和元素j之间的关系，1表示存在关系，0表示不存在关系。
2. 求自反闭包R^：a. 初始化一个与R同样大小的矩阵R^。
b. 遍历R^，对于每个元素R^[i][j]，若R[i][j]=1或i=j，则R^[i][j]=1。
3. 求对称闭包R^s：a. 初始化一个与R同样大小的矩阵R^s。
b. 遍历R，对于每个元素R[i][j]，若R[i][j]=1，则R^[i][j]=1且R^[j][i]=1。
c. 遍历R^s，对于每个元素R^[i][j]，若R^[i][j]=1，则R^[j][i]=1。
4. 求传递闭包R^t：a. 初始化一个与R同样大小的矩阵R^t。
b. 遍历R，对于每个元素R[i][j]，若R[i][j]=1，则R^[i][j]=1。
c. 循环执行以下步骤，直到R^t不再变化：i. 遍历R^t，对于每个元素R^[i][j]，若R^[i][k]=1且R^[k][j]=1，则R^[i][j]=1。
五、实验结果与分析1. 自反闭包运算：给定关系R如下：0 1 01 0 10 1 0求自反闭包R^，结果如下：1 1 11 1 11 1 12. 对称闭包运算：给定关系R如下：0 1 01 0 10 1 0求对称闭包R^s，结果如下：1 1 11 1 11 1 13. 传递闭包运算：给定关系R如下：0 1 01 0 10 1 0求传递闭包R^t，结果如下：1 1 11 1 11 1 1通过实验，我们可以发现：1. 自反闭包运算使得关系R中的所有元素都与自身存在关系。
关系的闭包运算
3.8 关系的闭包运算关系作为集合, 在其上已经定义了并、交、差、补、复合及逆运算。
现在再来考虑一种新的关系运算－关系的闭包运算，它是由已知关系，通过增加最少的序偶生成满足某种指定性质的关系的运算。
例如, 设{,,}A a b c =，A 上的二元关系{,,,,,,,}R a a a b b c c c =，则A 上含R 且最小的自反关系是：(){,}r R R b b = ；A 上含R 且最小的对称关系是：(){,,,}s R R b a c b= ； A 上含R 且最小的传递关系是：(){,}t R R a c = 。
定义3.8.1 设R 是X 上的二元关系，如果有另一个X 上的关系'R 满足： （1）'R 是自反的（对称的，传递的）； （2）'R R ⊇；（3）对于任何X 上的自反的（对称的，传递的）关系R ''，若R R ''⊇，就有'R R ''⊇。
则称关系'R 为R 的自反（对称，传递） 闭包(Reflexive (Symmetric ，Transitive) Closure)，记作()()()(),r R s R t R 。
显然，自反（对称，传递）闭包是包含R 的最小自反（对称，传递）关系。
定理3.8.1 设R 是X 上的二元关系，那么 （1）R 是自反的，当且仅当()r R R = （2）R 是对称的，当且仅当()s R R = （3）R 是传递的，当且仅当()t R R = 证明 （1）若R 是自反的，R R ⊇，对任何包含R 的自反关系R ''，有R R ''⊇，故()r R R =；若()r R R =，根据闭包定义，R 必是自反的。
（2）、（3）的证明完全类似。
下面讨论由给定关系R ，求取'R 的方法。
定理3.8.2 设R 是集合X 上的二元关系，则 （1）()X r R R I = ； （2）()1s R R R -=（3）()1i i t R R ∞== ，()t R 通常也记作R +。
关系传递闭包的计算
关系传递闭包的计算关系是数据库中最基本的数据结构之一，它用于描述数据之间的联系。
在关系中，元组之间存在着某种联系，这种联系可以用关系运算来表达。
关系运算包括选择、投影、连接和除法等。
在关系运算中，传递闭包是一个非常重要的概念。
本文将介绍传递闭包的定义、性质和计算方法。
一、传递闭包的定义传递闭包是指在一个关系中，如果存在两个元组之间的联系，那么这个联系一定是传递的。
也就是说，如果元组A和元组B存在联系，元组B和元组C存在联系，那么元组A和元组C也一定存在联系。
这种联系就是传递闭包。
传递闭包可以用一个关系来表示，它包含了原始关系中所有的联系以及由这些联系导出的所有联系。
例如，假设有一个关系R(A,B,C)，其中元组(A1,B1,C1)和元组(A2,B2,C2)之间存在联系，元组(A2,B2,C2)和元组(A3,B3,C3)之间也存在联系，那么元组(A1,B1,C1)和元组(A3,B3,C3)之间就存在传递闭包。
传递闭包可以表示为一个关系T(A,B,C)，其中包含了元组(A1,B1,C1)、(A2,B2,C2)、(A3,B3,C3)之间的所有联系。
二、传递闭包的性质传递闭包具有以下性质：1. 传递闭包是原始关系的超集。
也就是说，传递闭包中包含了原始关系中所有的联系。
2. 传递闭包是自反的。
也就是说，每个元组都与自身存在联系。
3. 传递闭包是传递的。
也就是说，如果元组A和元组B存在联系，元组B和元组C存在联系，那么元组A和元组C也一定存在联系。
4. 传递闭包是对称的。
也就是说，如果元组A和元组B存在联系，那么元组B和元组A也存在联系。
5. 传递闭包是最小的传递关系。
也就是说，如果一个关系R是传递的，那么它的传递闭包一定包含R。
三、传递闭包的计算方法传递闭包的计算方法有两种：Floyd算法和Warshall算法。
1. Floyd算法Floyd算法是一种基于动态规划的算法，它通过计算路径长度来求解传递闭包。
离散数学关系的闭包
例 15
例15 设A={a,b,c,d}，R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>, <d,b>}，则R和r(R)，s(R)，t(R)的关系图如下图所示。其 中r(R)，s(R)，t(R)的关系图就是使用上述方法直接从R的 关系图得到的。
c
a
b
d
c
a
b
d
c
a
b
d
c
a
b
d
Warshall 算法
③设R″是包含R的对称关系， 任取<x,y>，有 <x,y>∈R∪R-1 <x,y>∈R∨<x,y>∈R-1 <x,y>∈R∨<y,x>∈R <x,y>∈R″∨<y,x>∈R″ <x,y>∈R″∨<x,y>∈R″ <x,y>∈R″ 所以 R∪R-1 R″.
定理10 (3)的证明
（3）t(R)＝R∪R2∪R3∪… 证明 先证R∪R2∪… t(R)成立，为此只需证对任意的正整数n有 Rn
定理10 (3)的证明
（3）t(R)＝R∪R2∪R3∪… 证明 要证t(R)R∪R2∪…成立,只须证明R∪R2∪…是传递的。
任取<x,y>,<y,z>，则 <x,y>∈R∪R2∪… ∧ <y,z>∈R∪R2∪…
t(<x,y>∈Rt) ∧ s(<y,z>∈Rs) ts(<x,y>∈Rt ∧ <y,z>∈Rs) ts(<x,z>∈Rt Rs) ts(<x,z>∈Rt+s) <x,z>∈R∪R2∪… 从而证明了R∪R2∪…是传递的。
关系的闭包
0 1 0 0
1 0 0 0
M
1
0
0 0
1 0
0
,
1
E
0
0
1 0
0 1
0
,
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0
Mr
1
0
0 0
1 0
0
0
1 0
1 0
0 1
0
M 5 M 4M M 2M M 3,
可见R的幂只有三种，即R，R 2，R 3。
5.4.2 闭包
Mt M M 2 M 3 …
后面的M4 M5 …用不 用加？
不用加了，因为后面的矩阵和前面的重复， 而矩阵的逻辑加A A=A， 故此题中M1 M2 M3 …＝M1 M2 M3
5.4.2 闭包
1 1 1 1
Mt
M
M
2
M
3
1
1
1
1
0 0 0 1
0
0
0
0
注意：对有穷集A来说，R的不同的幂只有有限 种，因此右边一定是有限个项的并。
（对于n元集A，则R的不同幂至多有n个）
5.4.2 闭包
设R是集合A上的关系，A的元素个数为n，
R的传递闭包 t(R) R R2 R3
eg.设A {a,b, c, d}, R { a,b , b, a , b, c , c, d }，