2019高考试题数学(理)解析汇编-直线与圆
备战2019高考数学黄金100题解读与扩展系列之直线与圆：专题六 圆与圆的位置关系(含解析)
I ．题源探究·黄金母题【例1】已知圆1C ：222880x y x y +++-=，圆2C ：224420x y x y +---=，试判断圆1C 与圆2C 的位置关系．【解析】（法一）圆1C 与圆2C 的方程联立得到方程组22222880,4420.x y x y x y x y ⎧+++-=⎪⎨+---=⎪⎩①②①-②得210x y +-=， ③由③得12xy +=．把上式代入①并整理得2230x x --=． ④ 方程④的判别式()()22413160∆=--⨯⨯-=>，所以方程④有两个不等的实数根,即圆1C 与圆2C 相交．（法二）把圆1C ：222880x y x y +++-=，圆2C ： 224420x y x y +---=，化为标准方程，得()()221425x y +++=与()()222210x y -+-=．圆1C 的圆心是点()1,4--，半径长15r =； 圆2C 的圆心是点()2,2，半径长2r =． 圆1C 与圆2C 的连心线的长为=圆1C 与圆2C的半径长之和为125r r +=+，半径长之差为125r r -=-而55<<，即1212r r r r <<-+，所以圆1C 与圆2C 相交，它们有两个公共点A B 、．II ．考场精彩·真题回放【例2】【2019年山东高考】已知圆M ：2220(0)x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是M 与圆N ： 22(1)(1)1x y -+-=的位置关系是（ ） A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离【答案】B【例3】﹙2019年湖南高考文科﹚若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m =（ ）A ．21B ．19C ．9D ．-11 【答案】C 【解析】圆2C 配方得()()223425x y m-+-=-，则圆心为()23,4C ，且由250m ->，得25m <．根据圆与圆外切的判定(圆心距离等于半径和)1=+9m ⇒=,故选C.【例4】﹙2019年北京高考卷﹚已知圆C ：()()22341x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.4 【答案】B【解析】由题意知，点P 在以原点00（，）为圆心，以m 为半径的圆上，又因为点P 在已知圆上，所以只要两圆有公共点即可．由题意知两圆的圆心距5d ==，根 据两圆有公共点可知|1|51m m -≤≤+所以46m ≤≤， 所以m 的最大值为6，故选B ．【例5】【2019重庆高考卷】已知圆()()221:231C x y -+-=,圆()()222:349C x y -+-=，,M N 分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点,则PM PN+的最小值为（ ） （ ）A ．4-B 1-C ．6-D 【答案】A【解析】两圆的圆心和半径分别为12(2,3),(3,4)C C ，121,3r r ==，两圆相离．()()221:231C x y -+-=关于x的对称圆的方程为()()223:231C x y -++=，圆心3(2,3)C -，所以13PC PC =，所以动点P 到圆心 32(2,3),(3,4)C C -的距离之和的最小值为2C ==，所以PM PN+的最小值为23134C C --=-，故选A ．【例6】【2019高考山东高考卷】圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离 【答案】B【解析】两圆的圆心分别为)0,2(-，)1,2(，半径 分别为2=r ，3=R 两圆的圆心距离为17)10()22(22=-+--，则r R r R +<<-17，所以两圆相交，故选B ．精彩解读【试题来源】人教版A 版必修二第129页例3．【母题评析】本题判断已知方程的两个圆的位置关系，解答时用直接法求出两圆圆心距的大小，然后与两圆的半径和与差进行比较来解答的．对于高考对两圆位置关系考查难度不大前提下，此类题具有较强的代表性，命题人常常以此为母题加以改造命制新的高考试题．【思路方法】本题解答主要是利用几何法判断两个圆的位置关系，即直接法求出两圆圆心距的大小，然后与两圆的半径和与差进行比较．【命题意图】本类题主要考查两圆的位置关系，以及考查逻辑思维能力、运算求解能力．【考试方向】这类试题在考查题型上，主要是单独命题在选择题与填空题中考查，不可能在解答题中出现，难度偏下．【难点中心】比较圆心距与两个圆的半径和与半径差的大小关系，特别是遇到参数问题时，如何建立等式或不等式是一个难点． III ．理论基础·解题原理考点一 几何法判断圆与圆的位置关系考点二 代数法判断两圆位置关系判断圆1C 与圆2C 的方程组221112222200x y D x E y F x y D x E y F ⎧++++=⎪⎨++++=⎪⎩解的个数：①若有两组实数解，则圆1C 与圆2C 相交；②若有一组实数解，则圆1C 与圆2C 相切（外切与内切）；③若无实数解，则圆1C 与圆2C 相离（外离与内含）．考点三 圆系方程方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且2240D E AF +->.过圆1C ：221110x y D x E y F ++++=与2C ：222220x y D x E y F ++++＝的交点的圆系方程C ：22111x y D x E y F +++++222220()x y D x E y F λ++++=(1λ≠-)．当1λ=-时，12()D D x -＋1(E －2120)E y F F +-＝表示两圆的公共弦所在直线方程．IV ．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】高考对本部分知识的考查主要以选择题、填空题的形式出现，试题难度较易，通常考查两个已知圆的位置关系、已知位置关系求参数、两个圆的公共弦问题、两个圆的公切线问题、与两圆相关的轨迹等主要问题． 【技能方法】若判断两圆位置关系一般只须利用两点间的距离公式求两圆心间的距离d ，然后比较与两圆半径和12r r +与差12r r -的大小关系；若求参数或圆方程问题一般是利用两圆位置关系建立方程(组)或不等式（组）求解． 【易错指导】（1）涉及到两圆的公切线与公共弦等问题时，易忽视相关直线的斜率存在与不存在而致错； （2）将由几何法得到的几何等式不能正确转化为代数等式而导致解题无法进行；（3）2222111222()(0)x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=表示过圆1C ： 221110x y D x E y F +++=+和2C ：222220x y D x E y F +++=+的交点的圆系方程，此圆系方程中不含有圆2C 的方程．如果在解题中不注意对圆2C 的方程进行验证．V ．举一反三·触类旁通考向1 圆与圆的位置关系的判断【例7】【2019江苏南京市三模】在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：()()()22310x a y a a -++-=>，点N 为圆M 上任意一点．若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为___________．【答案】3【名师点拨】若判断两圆位置关系一般只须利用两点间的距离公式求两圆心间的距离d ，然后比较与两圆半径和与差的大小关系；若求参数或圆方程问题一般是利用两圆位置关系建立方程(组)求解． 【跟踪练习【2019黑龙江大庆一中下期开学考试】在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是（ ）A ．34B ．43C ．12D ．14【答案】A【解析】圆C 的方程为228150x y x +-+=，即22(4)1x y -+=，表示以(4,0)C 为圆心，半径等于1的圆，要使直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，只需要2y kx =-和圆22(4)4x y -+=有公共点，即点(4,0)C 到直线2y kx =-的距离为2d =≤，即2340k k -≤解 得403k ≤≤，则k 的最大值是43，故选A ．考向2 两圆的公共弦问题【例8】【2019届湖南省高三六校联考】已知圆2224250x y x y a +-++-=与圆 222(210)2210160x y b x by b b +---+-+=相交于1122(,),(,)A x y B x y 两点，且满足22221122x y x y +=+，则b =________．【答案】53【解析】两圆公共弦AB所在直线方程为22(214)(22)5210160b x b y a b b -+++--+-=，设其中一圆的圆心为(2,1)C -．∵OA OB=，∴OC AB ⊥，∴1OC ABk k ⋅=-，得53b =．【方法点睛】本题解答的要点有二，一是通过两圆为方程得到它们公共弦所在直线的方程，把问题转化为直线与圆的位置关系；二是对条件“22221122x y x y +=+”的理解和应用，考查考生数形结合的意识，实质上表达了,A B 两点到原点的距离相等，这样通过圆的性质来解答，问题就变得容易了．【跟踪练习【2019重庆五区开学抽测】若圆224x y +=与圆22260x y ay -++=（0a >）的公共弦长为23，则a ＝__________.【答案】1考向3 两圆公切线问题【例9】【2019江苏清江中学考前一周双练】已知圆22:(2)1C x y +-=，D 为x 轴正半轴上的动点，若圆C 与圆D 相外切，且它们的内公切线恰好经过坐标原点，则圆D 的方程是___________．【答案】22(9x y -+= 【解析】设内公切线l 的方程为(0)y kx k =>，即0kx y -=，因为直线l 与圆C 相切，所以C 到直线l的距离1d ==，解得k =．直线CD的方程是2y x =+，令0y =，解得D坐标，4CD ==，所以圆D 的半径等于3，圆D 方程是22(9x y -+=． 【题型总结】两圆公切线问题常见两类题型：（1）求两个已知圆的公切线；（2）根据公切线方程求相关参数；（3）根据公切线的条件判断两圆位置关系，并求角相关问题．求解此类题的方法与求解直线和圆相切的方法基本是一样，只是涉及到两个圆的相切问题． 考向4 两圆位置关系中的最值问题【例10】【2019浙江诸暨市教学质检】）已知圆)0()1(:222>=+-r r y x C 与直线3:+=x y l ，且直线l 上有唯一的一个点P ,使得过P 点作圆C 的两条切线互相垂直，则=r _________；设EF 是直线l 上的一条线段，若对于圆C 上的任意一点Q ,2π≥∠EQF ,则EF的最小值是________．【答案】4+【解析】根据圆的对称性知直线l 上的唯一点P 与圆心C 所在直线必与直线l 垂直，则PC 所在直线的方程为(1)y x =--，即1y x =-+，与直线3y x =+联立求解得(1,2)P -，再根据对称性知过点(1,2)P -的两条切线必与坐标轴垂直，即为1x =-，2y =，易得2r =；由题意，知EF取得最小值时，一定关于直线1y x =-+对称，如图所示，因此可设以点(1,2)P -为圆心，以R 为半径的圆，即222(1)(2)x y R ++-=与圆C 内切时，EF 的最小值即为2R ，由相切条件易知22)4R =+=+．【名师点拨】数形结合法是求解析几何问题中最值问题常用方法，它可以将所涉及到的几何量及其相互间的关系直观的反映在图形上，此时常常可通过直观观察得到答案．【跟踪练习】【2019海南省文昌中学上期期末】在平面直角坐标系中，过动点P 分别作圆964:221=+--+y x y x C 与圆:2C 012222=++++y x y x 的切线),(为切点与B A PB PA ，若PB PA = 若O 为原点，则OP 的最小值为（ ）A ．2B ．54C ．53D ．5【答案】B【例11】点P 在圆0114822=+--+y x y x 上，点Q 在圆012422=++++y x y x 上，则||PQ 的最小值是（ ）A ．5B ．0C ． 5D ．5－【答案】C【解析】圆0114822=+--+y x y x 的圆心坐标为)2,4(M ，半径为31=R ；圆012422=++++y x y x 的圆心坐标为)1,2(--N ，半径为22=R ，且53||=MN ，则||PQ 的最小值为553-，故选C ．【方法提炼】圆问题中最值问题要考虑两个方向：（1）几何法，利用平面几何知识分析直线、圆心之间的距离关系、圆与圆的位置关系、图形的对称性；（2）代数法，也就是通过建立某些变量的关系表达式，然后结合基本不等式、配方法可求得最大（小）值． 【跟踪练习】已知圆()()221:231C x y -+-=,圆()()222:349C x y -+-=,,M N分别是圆12,C C 上的动点,P 为x 轴上的动点,则PM PN +的最小值为（ ）A ．4-B 1-C ．6-D 【答案】A【解析】如图：如图圆1C 关于x 轴的对称圆的圆心坐标()32-，A ，半径为1，圆2C 的圆心坐标()43，，半 径为3，|PNPM +的最小值为圆A 与圆2C 的圆心距减去两个圆的半径和，即：()()42531342322-=--++-,故选A ．考向4 与圆有关的轨迹问题 【例12】已知圆()221:21C x y ++=，圆222:4770C x y x +--=，动圆P 与圆1C 外切，与圆2C 内切，则动圆圆心P 的轨迹方程是___________．【答案】2212521x y +=【方法点睛】与圆相切有关的轨迹问题，通常利用相切条件确定出动点满足的几何条件，此条件常常与椭圆、双曲线、抛物线相关，即主要是结合圆锥曲线的定义来解．【跟踪练习】已知动圆M 与圆1C ：2251)6(x y ++=外切，与圆2C ：2251)6(x y -+=内切，则动圆圆心的轨迹方程为___________．【答案】221(0)169x y x -=>【解析】设动圆圆心(),M x y ，半径为r ，由圆1C 方程可知圆心()15,0C -,半径14r =，由圆2C 方程可知圆心()25,0C ，半径24r =．因为圆M 与圆1C 外切，所以11MC r r =+．因为圆M 与圆2C 内切，所以22MC r r =-，所以()()1212128MC MC r r r r r r -=+--=+=，即128MC MC -=，又因为12810C C <=，所以点M 的轨迹是以12,C C 为焦点的双曲线的右支，此时28,5a c ==，所以4a =， 2229b c a =-=，所以点M 的轨迹方程是221(0)169x y x -=>．考向6 圆系方程的应用【例13】圆心在直线40x y --=上，并且经过圆22640x y x ++-=与圆2x +2y 6y +28-=0交点的圆的方程为___________．【答案】227320x y x y +-+-=【跟踪练习】经过点22M -（，）以及圆2260x y x +-=与圆224x y +=交点的圆的方程为___________．【答案】22320x y x +--= 【解析】设过圆2260x y x +-=与圆224x y +=交点的圆的方程为 2222640x y x x y λ+-++-=（）…①．把点M 的坐标22-（，）代入①式得1λ=，把1λ=代入①并化简得22320x y x +--=，∴所求圆的方程为：22320x y x +--=． 考向6 直线与圆和其它知识的交汇【例14】若圆221:0C x y ax ++=与圆222:2tan 0C x y ax y q +++=都关于直线210x y --=对称，则sin cos q q =（ ）A ．25B ．25-C ．637-D ．23-【答案】B【解析】圆1C 的圆心为,02a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,2C 的圆心为tan ,2a θ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,圆心都在直线210x y --=,所以有 tan 10,2102a a θ--=-+-=,解得222s i n c o st a n21,t a n 2,s i n c o s s i n c o s t a n 15a θθθθθθθθθ⋅=-=-⋅===-++. 【思维点睛】解答圆与其它知识的交汇题通常考虑两种途径：（1）利用两圆位置关系的将问题转化与之交汇相关的数学结论，再求解；（2）利用与之交汇的知识将问题转化为与两圆位置关系相关的数学结论，再求解．【跟踪练习】两个圆2221240()C x y ax a a +++-=∈R ：与2222210()C x y by b b +--+=∈R ：恰有三条公切线，则a b +的最小值为（ ）A 、6-B 、3- C、- D 、3【答案】C。
专题67 解析几何 直线和圆的方程 直线、圆的位置-2019年高考数学(理)高频考点名师揭秘
2019年高考数学（理）高频考点名师揭秘与仿真测试 67 解析几何 直线和圆的方程 直线、圆的位置【考点讲解】一、具本目标：能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系. 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 二、知识概述： 1直线与圆的位置关系（1）将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为△，圆的半径为r ，圆心C 到直线l 的距离为d ,则直线与圆的位置关系满足以下关系：位置关系相切相交相离几何特征 d r = d r < d r >代数特征 0=△ 0>△ 0<△（2）直线截圆所得弦长的计算方法：①利用弦长计算公式：设直线y kx b =+与圆相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则弦()()221212AB x x y y =-+-21x k a=+⋅△；②利用垂径定理和勾股定理：222AB r d =-（其中r 为圆的半径，d 直线到圆心的距离）.（3）直线和圆相切： 这类问题主要是求圆的切线方程求圆的切线方程主要可分为已知斜率k 或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况 处理这类问题的常规思路：待定系数法，圆心到直线的距离等于半径.过圆上一点的切线方程：圆),(00222y x P r y x 的以=+为切点的切线方程是200r y y x x =+；当点00(,)P x y 在圆外时，200r y y x x =+表示切点弦的方程。
2．圆与圆的位置关系：（1）设两圆的半径分别为R 和r ，圆心距为d ，则两圆的位置关系满足以下关系： 位置关系 外离外切相交内切内含几何特征 d R r >+ d R r =+R r d R r -<<+ d R r =-0d R r <<-代数特征 无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解O 2O 1O 2O 1O 2O 1O 2O 1O 2O 1（2）两个相交圆公共弦所在直线方程：两相交圆220(1,2)k k k x y D x E y F k ++++==的公共弦所在直线方程是：121212()()0D D x E E y F F -+-+-=。
理科数学高考真题分类汇编 直线与圆答案
c = 5 ，故所求直线的方程为2x + y + 5 = 0 或 2x + y − 5 = 0 ．
8．C【解析】设过 A, B,C 三点的圆的方程为 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 ，
D + 3E + F +10 = 0 则 4D + 2E +F +20 = 0 ，解得 D = −2, E = 4, F = −20 ，
专题九 解析几何
第二十五讲 直线与圆
答案部分
2019 年
1.解析 由直线 l 的参数方程消去 t，可得其普通方程为 4x − 3y + 2 = 0 ．
则点（1，0）到直线 l 的距离是 d = 41− 3 0 + 2 = 6 ．故选 D．
42 + (−3)2 5
2.
解析
解法一：由
y=
x+ 4 x
(x
D − 7 E + F + 50 = 0 所求圆的方程为 x2 + y2 − 2x + 4 y − 20 = 0 ，令 x = 0 ，得 y2 + 4 y − 20 = 0 ，
设 M (0, y1) ，N (0, y2 ) ，则 y1 + y 2 = −4 ， y1 y2 = −20 ， 所以 | MN |=| y1 − y2 |= ( y1 + y2 )2 − 4 y1 y2 = 4 6 ． 9．C【解析】圆 C 标准方程为 (x − 2)2 + ( y −1)2 = 4 ，圆心为 C(2,1) ，半径为 r = 2，
2 2 = 1． 22
3．C【解析】由题意可得 d = | cos − msin − 2 | = | msin − cos + 2 |
(通用版)2019版高考数学二轮复习课件+训练：专题跟踪检测(十二)直线与圆理(重点生,含解析)
为 y－ 3＝－ 3(x＋3)，BD 的方程为 y－2 3＝－ 3x，可得 C(－2,0)，D(2,0)，所以|CD|＝4.
( ) 3 3 3
5．已知 A(0,3 3)，B ， ，P 为圆 C：x2＋y2＝2x 上的任意一点，则△ABP 面积的 22
最大值为( )
3 3＋3 A.
2
B. 3
C．2
2 3＋2 D.
22
2
2
所以圆 C 的方程为(x－4)2＋y2＝16.
7．设 M，N 分别为圆 O1：x2＋y2－12y＋34＝0 和圆 O2：(x－2)2＋y2＝4 上的动点，则 M，N 两点间的距离的取值范围是________．
解析：圆 O1 的方程可化为 x2＋(y－6)2＝2，其圆心为 O1(0,6)，半径 r1＝ 2.圆 O2 的圆 心 O2(2,0)，半径 r2＝2，则|O1O2|＝ 36＋4＝2 10，则|MN|max＝2 10＋2＋ 2，|MN|min＝2 10－2 － 2，故 M，N 两点间的距离的取值范围是[2 10－2－ 2，2 10＋2＋ 2]．
A．内切
B．相交
C．外切
D．相离
解析：选 B 由题意知圆 M 的圆心为(0，a)，半径 R＝a，因为圆 M 截直线 x＋y＝0 所得
|a| 线段的长度为 2 2，所以圆心 M 到直线 x＋y＝0 的距离 d＝ ＝ a2－2(a>0)，解得 a＝2，
2
即圆 M 的圆心为(0,2)，又知圆 N 的圆心为(1,1)，半径 r＝1，所以|MN|＝ 2，则 R－r< 2<R＋r，
＝3，所以|AB|＝2 12－32＝2 3，过 C 作 CE⊥BD 于 E，因为直线 l 1＋3
的倾斜角为 30°，
(理通用)2019届高考数学大二轮复习-第1部分 专题6 解析几何 第1讲 直线与圆课件
直线与圆的位置关系 1.利用位置关系解决参数问题 2．利用位置关系解决轨迹等综合问题
• 备考策略 • 本部分内容在备考时应注意以下几个方面：
• (1)切实掌握直线的倾斜角、斜率的概念，两直线平行、垂 直的位置关系．
• (2)弄清直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程的特 点及相关量的几何意义．
• (3)掌握求圆的方程的方法，并会判定直线与圆、圆与圆的 位置关系，会利用位置关系解决综合问题．
轴的直线；
• (2)应用两点式方程时，注意它不包含与坐标轴垂直的直线 ；
高考真题体验
1．(2018·全国卷Ⅲ，6)直线 x＋y＋2＝0 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，点 P
在圆x－22＋y2＝2 上，则△ABP 面积的取值范围是( A )
A．2，6
B．4，8
C． 2，3 2
D．2 2，3 2
A．－43
B．－34
C． 3
D．2
[解析] 圆 x2＋y2－2x－8y＋13＝0 化为标准方程为：(x－1)2＋(y－4)2＝4，
故圆心为(1,4)，d＝|a＋a24＋－11|＝1，解得 a＝－43.
故选 A．
命题热点突破
命题
(1)已知直线 l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0 与直线 l2：2(k－3)x－2y＋3 ＝0 平行，则 k 的值是( C )
内含 内切 相交 外切 外离
• 1．注意两平行线距离公式的应用条件 • 应用两平行线间距离公式时，两平行线方程中x，y的系数
应对应相等．
• 2．忽略直线斜率不存在的情况 • 在解决有关直线问题时要考虑直线斜率是否存在． • 3．注意直线方程的限制条件 • (1)应用点斜式、斜截式方程时，注意它们不包含垂直于x
直线与圆、圆与圆的位置关系(讲)-2019年高考数学(理)---精校解析 Word版
，圆心距为(特别地，，且倾斜角为相切于点，且，则的面积是B.【答案】半径分别为，直线的方程为.，直线与圆相切的问题，往往用这个结论解题届高三入学摸底】若过点的取值范围是（B D，若对任意与一定圆相切，【答案】【解析】取特殊值，三条直线分别为，这三条直线只与圆都相切，经验证，对任意，直线都与这个圆相切）及直线，当直线被时，则B. C. D.【解析】由题意，得，又因为，所以，且与圆，求【答案】，圆心到直线的距离为和圆两点，若，则D已知直线：与圆交于过的垂线与轴交于两点，则【解析】由，得，代入圆的方程，并整理，得，所以，所以．又直线的倾斜，由平面几何知识知在梯形中，．，（上存在点，使得，则正实数B. C. D..的值．【解析】将配方得：由于两圆相切，故或或.届高考适应性】已知圆截直线所得线段的长度是与圆的位置关系是，则圆心为圆心到直线的距离截直线所得线段的长度是，即则圆心为，半径的圆心为，半径届高考适应性】已知圆，点为直线引两条切线为切点，则直线经过定点C是圆是圆②得，过定点，故选上有且仅有两个点到直线的距离等于的距离为：的距离为当】已知点及圆的方程；两点，当时，求以线段为直径的圆或；的.，..，故圆心必在，所以，使得过点垂直平分弦在平面直角坐标系已知的最小值为（B. C. D.作圆的弦，其中最短的弦长为【答案】圆的圆心坐标为，点作圆的弦，过点垂足为点，则，且，当点与点重合时，大值，此时取最小值，且求过点的切线方程，半径为，当直线的斜率不存在时，过点的方程为到直线的距离知，此时，直线与圆相切；，即由题意知，所以方程为，即，.已知直线上总存在点，使得过点作的圆的两条切线互相垂直，则实数的取值范围是（或 C. D. 或。
2019高考数学二轮复习核心考点特色突破专题14直线与圆(1)(含解析)
专题直线与圆（）【自主热身，归纳总结】、在平面直角坐标系中，已知过点(，－)的圆与直线＋＝相切，且圆心在直线＝－上，则圆的标准方程为．【答案】： (－)＋(＋)＝解法(几何法) 点(，－)在直线＋＝上，故点是切点．过点(，－)与直线＋－＝垂直的直线方程为－＝，由解得所以圆心(，－)．又＝＝，所以圆的标准方程为(－)＋(＋)＝.、在平面直角坐标系中，直线＋－＝被圆(－)＋(＋)＝截得的弦长为．【答案】：.【解析】圆心为(，－)，半径＝.圆心到直线的距离＝＝，所以弦长为＝＝.、若直线与圆始终有公共点，则实数的取值范围是．【答案】：≤≤.【解析】因为，所以由题意得：,化简得即≤≤.、在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线()相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．【答案】：(－)＋＝.【解析】由直线－－－＝得(－)－(＋)＝，故直线过点(，－)．当切线与过(，)，(，－)两点的直线垂直时，圆的半径最大，此时有＝＝，故所求圆的标准方程为(－)＋＝.、圆心在抛物线＝上，并且和该抛物线的准线及轴都相切的圆的标准方程为．【答案】： (±)＋＝思路分析求圆的方程就是要确定它的圆心与半径，根据圆与抛物线的准线以及与轴都相切，得到圆心的一个等式，再根据圆心在抛物线上，得到另一个等式，从而可求出圆心的坐标，由此可得半径．因为圆心在抛物线＝上，所以设圆心为(，)，则＝.又圆与抛物线的准线及轴都相切，故＋＝＝，由此解得＝±，＝，＝，所以所求圆的方程为(±)＋＝.解后反思凡涉及抛物线上点到焦点的距离或到准线的距离时，一般运用定义转化为到准线的距离或到焦点的距离来进行处理，本题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于求圆心的坐标．、在平面直角坐标系中，已知圆：(－)＋(－)＝，圆：(－)＋(＋)＝，若圆心在轴上的圆同时平分圆和圆的圆周，则圆的方程是．、. 在平面直角坐标系中，已知过点()的直线与圆(＋)＋(－)＝相切，且与直线＋－＝垂直，则实数＝. 【答案】：思路分析可用过圆上一点的切线方程求解；也可用垂直条件，设切线方程(－)－(－)＝，再令圆心到切线的距离等于半径．因为点在圆上，所以切线方程为(＋)(＋)＋(－)(－)＝，即－－＝.由两直线的法向量(，－)与()垂直，得－＝，即＝.思想根源以圆(－)＋(－)＝上一点(，)为切点的切线方程为(－)(－)＋(－)(－)＝.、若直线：＝＋和直线：＝＋将圆(－)＋(－)＝分成长度相等的四段弧，则＋＝.。
高考 专题12 直线和圆的方程-2019年高考数学母题题源系列(浙江专版)(原卷版)
当斜率存在时，设为 k，则切线方程为 y y0 k(x x0 ) ，即 kx y y0 kx0 0 ．由圆心到直线的距
2
离等于半径长，即可得出切线方程．
（2）代数方法
当斜率存在时，设为 k，则切线方程为 y y0 k(x x0 ) ，即 y kx kx0 y0 ，代入圆的方程，得到一
（1）求两点间的距离，关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等．
1
（2）解决点到直线的距离有关的问题，应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程， 一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在． （3）求两条平行线间的距离，要先将直线方程中 x，y 的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公 式求解．也可以转化成点到直线的距离问题． 2．判断直线与圆的位置关系时，通常用几何法，其步骤是： （1）明确圆心 C 的坐标（a，b）和半径长 r，将直线方程化为一般式； （2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离 d； （3）比较 d 与 r 的大小，写出结论． 3．判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是： （1）确定两圆的圆心坐标和半径长；
（2）若斜率为 k 的直线 l 与圆 C 交于 A(x1, y1)，B(x2 , y2 ) 两点，则 | AB | 1 k 2 | x1 x2 | ．
5．求两圆公共弦长一般有两种方法： （1）联立两圆的方程求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求解； （2）求出两圆公共弦所在直线的方程，转化为直线被圆截得的弦长问题．
特别是要注意应用圆的几何性质．
【命题意图】 1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程，能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位
置关系(相交、相切、相离)． 2．能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系(内含、内切、相交、外切、相离)． 3．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题，初步了解用代数方法处理几何问题的思想． 【命题规律】 考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)．此类 问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现． 【答题模板】 1．距离问题
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2019高考试题数学（理）解析汇编-直线与圆
【一】选择题
1 、〔2018年高考〔天津理〕〕
设m,nR,假设直线(1)+(1)2=0mxny与圆
22
(1)+(y1)=1x
相切,那么+mn的取值范围是 〔 〕
A、[13,1+3] B、(,13][1+3,+)U
C、[222,2+22] D、(,222][2+22,+)U
2 、〔2018年高考〔浙江理〕〕
设aR,那么“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0
平行”的 〔 〕
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件
3 、〔2018年高考〔重庆理〕〕
对任意的实数k,直线y=kx+1与圆222yx的位置关系一定
是 〔 〕
A、相离 B、相切 C、相交但直线不过圆心 D、相交且
直线过圆心
4 、〔2018年高考〔陕西理〕〕
圆22:40Cxyx,l过点(3,0)P的直线,那么 〔 〕
A、l与C相交 B、l与C相切C、l与C相离D、以上三个选项均有可能
5 、〔2018年高考〔大纲理〕〕
正方形ABCD的边长为1,点E在边AB上,点F在边
BC
上,37AEBF,动点P从E出发沿直线向F运动,每当碰到正方形的边时反弹,反
弹时反射角等于入射角.当点P第一次碰到E时,P与正方形的边碰撞的次数为
〔 〕
A、16 B、14 C、12 D、10
【二】填空题
6 、〔2018年高考〔天津理〕〕
如图,AB和AC是圆的两条弦.过点B作圆的切线与AC的延
长线相交于点D,过点C作BD的平行线与圆相交于点E,与AB相交于点
F,=3AF,=1FB
,3=2EF,那么线段CD的长为
______________.
7
、〔2018年高考〔浙江理〕〕
定义:曲线C上的点到直线
l
的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离.曲线
C1:y=x 2+a到直线l:y=x的距离等于C2:x 2+(y+4) 2 =2
到直线l:y=x的距离,那么实数a=______________.
8 、〔2018年高考〔上海理〕〕
假设)1,2(n是直线l的
一个法向量,那么l的倾斜角的大小为__________(结果用反三角
函数值表示).
F
E
C
D
B
A
9 、〔2018年高考〔山东理〕〕
如图,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在
(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0)
,圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于
(2,1)
时,OPuuur的坐标为______________.
10、〔2018年高考〔江苏〕〕
在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为228150xyx,假设直
线2ykx上
至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,那么k的最大值是
____.
y
x
O
3
(,0)7E
7
3
(,1)7F
6
19
(0,)74F
5
19
(,0)73F
4
2
(1,)74F
3
23
(0,)74F
2
5
(,1)73F
1
3
(1,)7F
2018年高考真题理科数学解析汇编：直线与圆参考答案
【一】选择题
1.
【答案】D
一元二次不等式的解法,并借助于直线与圆相切的几何性质求解的能力.
【解析】∵直线(1)+(1)2=0mxny与圆22(1)+(y1)=1x相切,∴圆心(1,1)到直
线的距离为22|(1)+(1)2|==1(1)+(1)mndmn,所以21()2mnmnmn,设=tmn,
那么21+14tt,解得(,222][2+22,+)tU.
2.
【答案】A【解析】当a=1时,直线l1:x+2y-1=0与直线l2:x+2y+4=0显然平行;假设直线
l1与直线l2平行,那么有:211aa,解之得:a=1ora
=﹣2.所以为充分不必要条件.
3.
【答案】C
【解析】圆心(0,0)C到直线10kxy的距离为211211drk,且圆心
(0,0)C
不在该直线上.
法二:直线10kxy恒过定点(0,1),而该点在圆C内,且圆心不在该直线上,应选
C.
【考点定位】此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:两点间接距离公式,点与
圆的位置关系,以及恒过定点的直线方程.直线与圆的位置关系利用d与r的大小为判
断.当0dr时,直线与圆相交,当dr时,直线与圆相切,当dr时,直线与圆相
离.
4.
解析:22304330,所以点(3,0)P在圆C内部,应选A.
5.
答案B
【命题意图】本试题主要考查了反射原理与三角形相似
知识的运用.通过相似三角形,来确定反射后的点的落
的位置,结合图像分析反射的次数即可.
【解析】如图,易知3(,0)7E.记点F为1F,那么13(1,)7F
由反射角等于入射角知,44173,得25(,1)73F
又由531734得323(0,)74F,依此类推,
42(1,)74F、519(,0)73F、619(0,)74F、7
3
(,1)7F
.由对称性
知,P点与正方形的边碰撞14次,可第一次回到E点.
法二:结合中的点E,F的位置,进行作图,推理可知,在反射的过程中,直线是平行的,那
么利用平行关系,作图,可以得到回到EA点时,需要碰撞14次即可.
【二】填空题
6.
【答案】43
【命题意图】本试题主要考查了平面几何中直线与圆的位置关系,相交弦定理,切割线定
理,相似三角形的概念、判定与性质.
【解析】∵=3AF,=1FB,3=2EF,由相交弦定理得=AFFBEFFC,所以=2FC,
又∵BD∥CE,∴=AFFCABBD,4==23ABBDFCAF=83,设=CDx,那么=4ADx,再由
切割线定理得2=BDCDAD,即284=()3xx,解得4=3x,故4=3CD.
7.
【答案】94
【解析】C2:x2+(y+4)2=2,圆心(0,—4),圆心到直线l:y=x的距离为:0(4)222d,
故曲线C2到直线l:y=x的距离为22ddrd.
另一方面:曲线C1:y=x2+a,令20yx,得:12x,曲线C1:y=x2+a到直线l:y=x的距离
的点为(12,14a),111()92442422aada.
8.
[解析]方向向量)2,1(d,所以2lk,倾斜角=arctan2.
9.
【解析】因为圆心移动的距离为2,所以劣弧2PA,即圆心角
2PCA
,,那么22PCA,所以
2cos)22sin(PB,2sin)22cos(CB
,所以
2sin22CBx
p
,2cos11PByp,所以)2cos1,2sin2(OP.
另解1:根据题意可知滚动制圆心为(2,1)时的圆的参数方程为sin1cos2yx,且
223,2PCD
,那么点P的坐标为2cos1)223sin(12sin2)223cos(2yx,即
)2cos1,2sin2(OP
.
10.
【答案】43.
【考点】圆与圆的位置关系,点到直线的距离
【解析】∵圆C的方程可化为:2241xy,∴圆C的圆心为(4,0),半径为1.
∵由题意,直线2ykx上至少存在一点00(,2)Axkx,以该点为圆心,1为半径的圆与
圆C有
公共点;
∴存在0xR,使得11AC成立,即min2AC.
∵minAC即为点C到直线2ykx的距离2421kk,∴24221kk,解得403k.
∴k的最大值是43.