2019高考试题数学(理)解析汇编-直线与圆
2019高考试题数学（理）解析汇编-直线与圆
【一】选择题
1 、〔2018年高考〔天津理〕〕
设m,nR,假设直线(1)+(1)2=0mxny与圆
22
(1)+(y1)=1x
相切,那么+mn的取值范围是 〔 〕
A、[13,1+3] B、(,13][1+3,+)U
C、[222,2+22] D、(,222][2+22,+)U
2 、〔2018年高考〔浙江理〕〕
设aR,那么“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0
平行”的 〔 〕
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件
3 、〔2018年高考〔重庆理〕〕
对任意的实数k,直线y=kx+1与圆222yx的位置关系一定
是 〔 〕
A、相离 B、相切 C、相交但直线不过圆心 D、相交且
直线过圆心
4 、〔2018年高考〔陕西理〕〕
圆22:40Cxyx,l过点(3,0)P的直线,那么 〔 〕
A、l与C相交 B、l与C相切C、l与C相离D、以上三个选项均有可能
5 、〔2018年高考〔大纲理〕〕
正方形ABCD的边长为1,点E在边AB上,点F在边
BC
上,37AEBF,动点P从E出发沿直线向F运动,每当碰到正方形的边时反弹,反
弹时反射角等于入射角.当点P第一次碰到E时,P与正方形的边碰撞的次数为
〔 〕
A、16 B、14 C、12 D、10
【二】填空题
6 、〔2018年高考〔天津理〕〕
如图,AB和AC是圆的两条弦.过点B作圆的切线与AC的延
长线相交于点D,过点C作BD的平行线与圆相交于点E,与AB相交于点
F,=3AF,=1FB
,3=2EF,那么线段CD的长为
______________.
7
、〔2018年高考〔浙江理〕〕
定义:曲线C上的点到直线
l
的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离.曲线
C1:y=x 2+a到直线l:y=x的距离等于C2:x 2+(y+4) 2 =2
到直线l:y=x的距离,那么实数a=______________.
8 、〔2018年高考〔上海理〕〕
假设)1,2(n是直线l的
一个法向量,那么l的倾斜角的大小为__________(结果用反三角
函数值表示).
F
E
C
D
B
A
9 、〔2018年高考〔山东理〕〕
如图,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在
(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0)
,圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于
(2,1)
时,OPuuur的坐标为______________.
10、〔2018年高考〔江苏〕〕
在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为228150xyx,假设直
线2ykx上
至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,那么k的最大值是
____.
y
x
O
3
(,0)7E
7
3
(,1)7F
6
19
(0,)74F
5
19
(,0)73F
4
2
(1,)74F
3
23
(0,)74F
2
5
(,1)73F
1
3
(1,)7F
2018年高考真题理科数学解析汇编：直线与圆参考答案
【一】选择题
1.
【答案】D
一元二次不等式的解法,并借助于直线与圆相切的几何性质求解的能力.
【解析】∵直线(1)+(1)2=0mxny与圆22(1)+(y1)=1x相切,∴圆心(1,1)到直
线的距离为22|(1)+(1)2|==1(1)+(1)mndmn,所以21()2mnmnmn,设=tmn,
那么21+14tt,解得(,222][2+22,+)tU.
2.
【答案】A【解析】当a=1时,直线l1:x+2y-1=0与直线l2:x+2y+4=0显然平行;假设直线
l1与直线l2平行,那么有:211aa,解之得:a=1ora
=﹣2.所以为充分不必要条件.
3.
【答案】C
【解析】圆心(0,0)C到直线10kxy的距离为211211drk,且圆心
(0,0)C
不在该直线上.
法二:直线10kxy恒过定点(0,1),而该点在圆C内,且圆心不在该直线上,应选
C.
【考点定位】此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:两点间接距离公式,点与
圆的位置关系,以及恒过定点的直线方程.直线与圆的位置关系利用d与r的大小为判
断.当0dr时,直线与圆相交,当dr时,直线与圆相切,当dr时,直线与圆相
离.
4.
解析:22304330,所以点(3,0)P在圆C内部,应选A.
5.
答案B
【命题意图】本试题主要考查了反射原理与三角形相似
知识的运用.通过相似三角形,来确定反射后的点的落
的位置,结合图像分析反射的次数即可.
【解析】如图,易知3(,0)7E.记点F为1F,那么13(1,)7F
由反射角等于入射角知,44173,得25(,1)73F
又由531734得323(0,)74F,依此类推,
42(1,)74F、519(,0)73F、619(0,)74F、7
3
(,1)7F
.由对称性
知,P点与正方形的边碰撞14次,可第一次回到E点.
法二:结合中的点E,F的位置,进行作图,推理可知,在反射的过程中,直线是平行的,那
么利用平行关系,作图,可以得到回到EA点时,需要碰撞14次即可.
【二】填空题
6.
【答案】43
【命题意图】本试题主要考查了平面几何中直线与圆的位置关系,相交弦定理,切割线定
理,相似三角形的概念、判定与性质.
【解析】∵=3AF,=1FB,3=2EF,由相交弦定理得=AFFBEFFC,所以=2FC,
又∵BD∥CE,∴=AFFCABBD,4==23ABBDFCAF=83,设=CDx,那么=4ADx,再由
切割线定理得2=BDCDAD,即284=()3xx,解得4=3x,故4=3CD.
7.
【答案】94
【解析】C2:x2+(y+4)2=2,圆心(0,—4),圆心到直线l:y=x的距离为:0(4)222d,
故曲线C2到直线l:y=x的距离为22ddrd.
另一方面:曲线C1:y=x2+a,令20yx,得:12x,曲线C1:y=x2+a到直线l:y=x的距离
的点为(12,14a),111()92442422aada.
8.
[解析]方向向量)2,1(d,所以2lk,倾斜角=arctan2.
9.
【解析】因为圆心移动的距离为2,所以劣弧2PA,即圆心角
2PCA
,,那么22PCA,所以
2cos)22sin(PB,2sin)22cos(CB
,所以
2sin22CBx
p
,2cos11PByp,所以)2cos1,2sin2(OP.
另解1:根据题意可知滚动制圆心为(2,1)时的圆的参数方程为sin1cos2yx,且
223,2PCD
,那么点P的坐标为2cos1)223sin(12sin2)223cos(2yx,即
)2cos1,2sin2(OP
.
10.
【答案】43.
【考点】圆与圆的位置关系,点到直线的距离
【解析】∵圆C的方程可化为:2241xy,∴圆C的圆心为(4,0),半径为1.
∵由题意,直线2ykx上至少存在一点00(,2)Axkx,以该点为圆心,1为半径的圆与
圆C有
公共点;
∴存在0xR,使得11AC成立,即min2AC.
∵minAC即为点C到直线2ykx的距离2421kk,∴24221kk,解得403k.
∴k的最大值是43.
备战2019高考数学黄金100题解读与扩展系列之直线与圆：专题六 圆与圆的位置关系(含解析)
I ．题源探究·黄金母题【例1】已知圆1C ：222880x y x y +++-=，圆2C ：224420x y x y +---=，试判断圆1C 与圆2C 的位置关系．【解析】（法一）圆1C 与圆2C 的方程联立得到方程组22222880,4420.x y x y x y x y ⎧+++-=⎪⎨+---=⎪⎩①②①-②得210x y +-=， ③由③得12xy +=．把上式代入①并整理得2230x x --=． ④ 方程④的判别式()()22413160∆=--⨯⨯-=>，所以方程④有两个不等的实数根,即圆1C 与圆2C 相交．（法二）把圆1C ：222880x y x y +++-=，圆2C ： 224420x y x y +---=，化为标准方程，得()()221425x y +++=与()()222210x y -+-=．圆1C 的圆心是点()1,4--，半径长15r =； 圆2C 的圆心是点()2,2，半径长2r =． 圆1C 与圆2C 的连心线的长为=圆1C 与圆2C的半径长之和为125r r +=+，半径长之差为125r r -=-而55<<，即1212r r r r <<-+，所以圆1C 与圆2C 相交，它们有两个公共点A B 、．II ．考场精彩·真题回放【例2】【2019年山东高考】已知圆M ：2220(0)x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是M 与圆N ： 22(1)(1)1x y -+-=的位置关系是（ ） A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离【答案】B【例3】﹙2019年湖南高考文科﹚若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m =（ ）A ．21B ．19C ．9D ．-11 【答案】C 【解析】圆2C 配方得()()223425x y m-+-=-，则圆心为()23,4C ，且由250m ->，得25m <．根据圆与圆外切的判定(圆心距离等于半径和)1=+9m ⇒=,故选C.【例4】﹙2019年北京高考卷﹚已知圆C ：()()22341x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.4 【答案】B【解析】由题意知，点P 在以原点00（，）为圆心，以m 为半径的圆上，又因为点P 在已知圆上，所以只要两圆有公共点即可．由题意知两圆的圆心距5d ==，根 据两圆有公共点可知|1|51m m -≤≤+所以46m ≤≤， 所以m 的最大值为6，故选B ．【例5】【2019重庆高考卷】已知圆()()221:231C x y -+-=,圆()()222:349C x y -+-=，,M N 分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点,则PM PN+的最小值为（ ） （ ）A ．4-B 1-C ．6-D 【答案】A【解析】两圆的圆心和半径分别为12(2,3),(3,4)C C ，121,3r r ==，两圆相离．()()221:231C x y -+-=关于x的对称圆的方程为()()223:231C x y -++=，圆心3(2,3)C -，所以13PC PC =，所以动点P 到圆心 32(2,3),(3,4)C C -的距离之和的最小值为2C ==，所以PM PN+的最小值为23134C C --=-，故选A ．【例6】【2019高考山东高考卷】圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离 【答案】B【解析】两圆的圆心分别为)0,2(-，)1,2(，半径 分别为2=r ，3=R 两圆的圆心距离为17)10()22(22=-+--，则r R r R +<<-17，所以两圆相交，故选B ．精彩解读【试题来源】人教版A 版必修二第129页例3．【母题评析】本题判断已知方程的两个圆的位置关系，解答时用直接法求出两圆圆心距的大小，然后与两圆的半径和与差进行比较来解答的．对于高考对两圆位置关系考查难度不大前提下，此类题具有较强的代表性，命题人常常以此为母题加以改造命制新的高考试题．【思路方法】本题解答主要是利用几何法判断两个圆的位置关系，即直接法求出两圆圆心距的大小，然后与两圆的半径和与差进行比较．【命题意图】本类题主要考查两圆的位置关系，以及考查逻辑思维能力、运算求解能力．【考试方向】这类试题在考查题型上，主要是单独命题在选择题与填空题中考查，不可能在解答题中出现，难度偏下．【难点中心】比较圆心距与两个圆的半径和与半径差的大小关系，特别是遇到参数问题时，如何建立等式或不等式是一个难点． III ．理论基础·解题原理考点一 几何法判断圆与圆的位置关系考点二 代数法判断两圆位置关系判断圆1C 与圆2C 的方程组221112222200x y D x E y F x y D x E y F ⎧++++=⎪⎨++++=⎪⎩解的个数：①若有两组实数解，则圆1C 与圆2C 相交；②若有一组实数解，则圆1C 与圆2C 相切（外切与内切）；③若无实数解，则圆1C 与圆2C 相离（外离与内含）．考点三 圆系方程方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且2240D E AF +->.过圆1C ：221110x y D x E y F ++++=与2C ：222220x y D x E y F ++++＝的交点的圆系方程C ：22111x y D x E y F +++++222220()x y D x E y F λ++++=(1λ≠-)．当1λ=-时，12()D D x -＋1(E －2120)E y F F +-＝表示两圆的公共弦所在直线方程．IV ．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】高考对本部分知识的考查主要以选择题、填空题的形式出现，试题难度较易，通常考查两个已知圆的位置关系、已知位置关系求参数、两个圆的公共弦问题、两个圆的公切线问题、与两圆相关的轨迹等主要问题． 【技能方法】若判断两圆位置关系一般只须利用两点间的距离公式求两圆心间的距离d ，然后比较与两圆半径和12r r +与差12r r -的大小关系；若求参数或圆方程问题一般是利用两圆位置关系建立方程(组)或不等式（组）求解． 【易错指导】（1）涉及到两圆的公切线与公共弦等问题时，易忽视相关直线的斜率存在与不存在而致错； （2）将由几何法得到的几何等式不能正确转化为代数等式而导致解题无法进行；（3）2222111222()(0)x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=表示过圆1C ： 221110x y D x E y F +++=+和2C ：222220x y D x E y F +++=+的交点的圆系方程，此圆系方程中不含有圆2C 的方程．如果在解题中不注意对圆2C 的方程进行验证．V ．举一反三·触类旁通考向1 圆与圆的位置关系的判断【例7】【2019江苏南京市三模】在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：()()()22310x a y a a -++-=>，点N 为圆M 上任意一点．若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为___________．【答案】3【名师点拨】若判断两圆位置关系一般只须利用两点间的距离公式求两圆心间的距离d ，然后比较与两圆半径和与差的大小关系；若求参数或圆方程问题一般是利用两圆位置关系建立方程(组)求解． 【跟踪练习【2019黑龙江大庆一中下期开学考试】在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是（ ）A ．34B ．43C ．12D ．14【答案】A【解析】圆C 的方程为228150x y x +-+=，即22(4)1x y -+=，表示以(4,0)C 为圆心，半径等于1的圆，要使直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，只需要2y kx =-和圆22(4)4x y -+=有公共点，即点(4,0)C 到直线2y kx =-的距离为2d =≤，即2340k k -≤解 得403k ≤≤，则k 的最大值是43，故选A ．考向2 两圆的公共弦问题【例8】【2019届湖南省高三六校联考】已知圆2224250x y x y a +-++-=与圆 222(210)2210160x y b x by b b +---+-+=相交于1122(,),(,)A x y B x y 两点，且满足22221122x y x y +=+，则b =________．【答案】53【解析】两圆公共弦AB所在直线方程为22(214)(22)5210160b x b y a b b -+++--+-=，设其中一圆的圆心为(2,1)C -．∵OA OB=，∴OC AB ⊥，∴1OC ABk k ⋅=-，得53b =．【方法点睛】本题解答的要点有二，一是通过两圆为方程得到它们公共弦所在直线的方程，把问题转化为直线与圆的位置关系；二是对条件“22221122x y x y +=+”的理解和应用，考查考生数形结合的意识，实质上表达了,A B 两点到原点的距离相等，这样通过圆的性质来解答，问题就变得容易了．【跟踪练习【2019重庆五区开学抽测】若圆224x y +=与圆22260x y ay -++=（0a >）的公共弦长为23，则a ＝__________.【答案】1考向3 两圆公切线问题【例9】【2019江苏清江中学考前一周双练】已知圆22:(2)1C x y +-=，D 为x 轴正半轴上的动点，若圆C 与圆D 相外切，且它们的内公切线恰好经过坐标原点，则圆D 的方程是___________．【答案】22(9x y -+= 【解析】设内公切线l 的方程为(0)y kx k =>，即0kx y -=，因为直线l 与圆C 相切，所以C 到直线l的距离1d ==，解得k =．直线CD的方程是2y x =+，令0y =，解得D坐标，4CD ==，所以圆D 的半径等于3，圆D 方程是22(9x y -+=． 【题型总结】两圆公切线问题常见两类题型：（1）求两个已知圆的公切线；（2）根据公切线方程求相关参数；（3）根据公切线的条件判断两圆位置关系，并求角相关问题．求解此类题的方法与求解直线和圆相切的方法基本是一样，只是涉及到两个圆的相切问题． 考向4 两圆位置关系中的最值问题【例10】【2019浙江诸暨市教学质检】）已知圆)0()1(:222>=+-r r y x C 与直线3:+=x y l ，且直线l 上有唯一的一个点P ,使得过P 点作圆C 的两条切线互相垂直，则=r _________；设EF 是直线l 上的一条线段，若对于圆C 上的任意一点Q ,2π≥∠EQF ,则EF的最小值是________．【答案】4+【解析】根据圆的对称性知直线l 上的唯一点P 与圆心C 所在直线必与直线l 垂直，则PC 所在直线的方程为(1)y x =--，即1y x =-+，与直线3y x =+联立求解得(1,2)P -，再根据对称性知过点(1,2)P -的两条切线必与坐标轴垂直，即为1x =-，2y =，易得2r =；由题意，知EF取得最小值时，一定关于直线1y x =-+对称，如图所示，因此可设以点(1,2)P -为圆心，以R 为半径的圆，即222(1)(2)x y R ++-=与圆C 内切时，EF 的最小值即为2R ，由相切条件易知22)4R =+=+．【名师点拨】数形结合法是求解析几何问题中最值问题常用方法，它可以将所涉及到的几何量及其相互间的关系直观的反映在图形上，此时常常可通过直观观察得到答案．【跟踪练习】【2019海南省文昌中学上期期末】在平面直角坐标系中，过动点P 分别作圆964:221=+--+y x y x C 与圆:2C 012222=++++y x y x 的切线),(为切点与B A PB PA ，若PB PA = 若O 为原点，则OP 的最小值为（ ）A ．2B ．54C ．53D ．5【答案】B【例11】点P 在圆0114822=+--+y x y x 上，点Q 在圆012422=++++y x y x 上，则||PQ 的最小值是（ ）A ．5B ．0C ． 5D ．5－【答案】C【解析】圆0114822=+--+y x y x 的圆心坐标为)2,4(M ，半径为31=R ；圆012422=++++y x y x 的圆心坐标为)1,2(--N ，半径为22=R ，且53||=MN ，则||PQ 的最小值为553-，故选C ．【方法提炼】圆问题中最值问题要考虑两个方向：（1）几何法，利用平面几何知识分析直线、圆心之间的距离关系、圆与圆的位置关系、图形的对称性；（2）代数法，也就是通过建立某些变量的关系表达式，然后结合基本不等式、配方法可求得最大（小）值． 【跟踪练习】已知圆()()221:231C x y -+-=,圆()()222:349C x y -+-=,,M N分别是圆12,C C 上的动点,P 为x 轴上的动点,则PM PN +的最小值为（ ）A ．4-B 1-C ．6-D 【答案】A【解析】如图：如图圆1C 关于x 轴的对称圆的圆心坐标()32-，A ，半径为1，圆2C 的圆心坐标()43，，半 径为3，|PNPM +的最小值为圆A 与圆2C 的圆心距减去两个圆的半径和，即：()()42531342322-=--++-,故选A ．考向4 与圆有关的轨迹问题 【例12】已知圆()221:21C x y ++=，圆222:4770C x y x +--=，动圆P 与圆1C 外切，与圆2C 内切，则动圆圆心P 的轨迹方程是___________．【答案】2212521x y +=【方法点睛】与圆相切有关的轨迹问题，通常利用相切条件确定出动点满足的几何条件，此条件常常与椭圆、双曲线、抛物线相关，即主要是结合圆锥曲线的定义来解．【跟踪练习】已知动圆M 与圆1C ：2251)6(x y ++=外切，与圆2C ：2251)6(x y -+=内切，则动圆圆心的轨迹方程为___________．【答案】221(0)169x y x -=>【解析】设动圆圆心(),M x y ，半径为r ，由圆1C 方程可知圆心()15,0C -,半径14r =，由圆2C 方程可知圆心()25,0C ，半径24r =．因为圆M 与圆1C 外切，所以11MC r r =+．因为圆M 与圆2C 内切，所以22MC r r =-，所以()()1212128MC MC r r r r r r -=+--=+=，即128MC MC -=，又因为12810C C <=，所以点M 的轨迹是以12,C C 为焦点的双曲线的右支，此时28,5a c ==，所以4a =， 2229b c a =-=，所以点M 的轨迹方程是221(0)169x y x -=>．考向6 圆系方程的应用【例13】圆心在直线40x y --=上，并且经过圆22640x y x ++-=与圆2x +2y 6y +28-=0交点的圆的方程为___________．【答案】227320x y x y +-+-=【跟踪练习】经过点22M -（，）以及圆2260x y x +-=与圆224x y +=交点的圆的方程为___________．【答案】22320x y x +--= 【解析】设过圆2260x y x +-=与圆224x y +=交点的圆的方程为 2222640x y x x y λ+-++-=（）…①．把点M 的坐标22-（，）代入①式得1λ=，把1λ=代入①并化简得22320x y x +--=，∴所求圆的方程为：22320x y x +--=． 考向6 直线与圆和其它知识的交汇【例14】若圆221:0C x y ax ++=与圆222:2tan 0C x y ax y q +++=都关于直线210x y --=对称，则sin cos q q =（ ）A ．25B ．25-C ．637-D ．23-【答案】B【解析】圆1C 的圆心为,02a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,2C 的圆心为tan ,2a θ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,圆心都在直线210x y --=,所以有 tan 10,2102a a θ--=-+-=,解得222s i n c o st a n21,t a n 2,s i n c o s s i n c o s t a n 15a θθθθθθθθθ⋅=-=-⋅===-++. 【思维点睛】解答圆与其它知识的交汇题通常考虑两种途径：（1）利用两圆位置关系的将问题转化与之交汇相关的数学结论，再求解；（2）利用与之交汇的知识将问题转化为与两圆位置关系相关的数学结论，再求解．【跟踪练习】两个圆2221240()C x y ax a a +++-=∈R ：与2222210()C x y by b b +--+=∈R ：恰有三条公切线，则a b +的最小值为（ ）A 、6-B 、3- C、- D 、3【答案】C。
专题67 解析几何 直线和圆的方程 直线、圆的位置-2019年高考数学(理)高频考点名师揭秘
2019年高考数学（理）高频考点名师揭秘与仿真测试 67 解析几何 直线和圆的方程 直线、圆的位置【考点讲解】一、具本目标：能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系. 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 二、知识概述： 1直线与圆的位置关系（1）将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为△，圆的半径为r ，圆心C 到直线l 的距离为d ,则直线与圆的位置关系满足以下关系：位置关系相切相交相离几何特征 d r = d r < d r >代数特征 0=△ 0>△ 0<△（2）直线截圆所得弦长的计算方法：①利用弦长计算公式：设直线y kx b =+与圆相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则弦()()221212AB x x y y =-+-21x k a=+⋅△；②利用垂径定理和勾股定理：222AB r d =-（其中r 为圆的半径，d 直线到圆心的距离）.（3）直线和圆相切： 这类问题主要是求圆的切线方程求圆的切线方程主要可分为已知斜率k 或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况 处理这类问题的常规思路：待定系数法，圆心到直线的距离等于半径.过圆上一点的切线方程：圆),(00222y x P r y x 的以=+为切点的切线方程是200r y y x x =+；当点00(,)P x y 在圆外时，200r y y x x =+表示切点弦的方程。
2．圆与圆的位置关系：（1）设两圆的半径分别为R 和r ，圆心距为d ，则两圆的位置关系满足以下关系： 位置关系 外离外切相交内切内含几何特征 d R r >+ d R r =+R r d R r -<<+ d R r =-0d R r <<-代数特征 无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解O 2O 1O 2O 1O 2O 1O 2O 1O 2O 1（2）两个相交圆公共弦所在直线方程：两相交圆220(1,2)k k k x y D x E y F k ++++==的公共弦所在直线方程是：121212()()0D D x E E y F F -+-+-=。
理科数学高考真题分类汇编 直线与圆答案
c = 5 ，故所求直线的方程为2x + y + 5 = 0 或 2x + y − 5 = 0 ．
8．C【解析】设过 A, B,C 三点的圆的方程为 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 ，
D + 3E + F +10 = 0 则 4D + 2E +F +20 = 0 ，解得 D = −2, E = 4, F = −20 ，
专题九 解析几何
第二十五讲 直线与圆
答案部分
2019 年
1.解析 由直线 l 的参数方程消去 t，可得其普通方程为 4x − 3y + 2 = 0 ．
则点（1，0）到直线 l 的距离是 d = 41− 3 0 + 2 = 6 ．故选 D．
42 + (−3)2 5
2.
解析
解法一：由
y=
x+ 4 x
(x
D − 7 E + F + 50 = 0 所求圆的方程为 x2 + y2 − 2x + 4 y − 20 = 0 ，令 x = 0 ，得 y2 + 4 y − 20 = 0 ，
设 M (0, y1) ，N (0, y2 ) ，则 y1 + y 2 = −4 ， y1 y2 = −20 ， 所以 | MN |=| y1 − y2 |= ( y1 + y2 )2 − 4 y1 y2 = 4 6 ． 9．C【解析】圆 C 标准方程为 (x − 2)2 + ( y −1)2 = 4 ，圆心为 C(2,1) ，半径为 r = 2，
2 2 = 1． 22
3．C【解析】由题意可得 d = | cos − msin − 2 | = | msin − cos + 2 |
(通用版)2019版高考数学二轮复习课件+训练：专题跟踪检测(十二)直线与圆理(重点生,含解析)
为 y－ 3＝－ 3(x＋3)，BD 的方程为 y－2 3＝－ 3x，可得 C(－2,0)，D(2,0)，所以|CD|＝4.
( ) 3 3 3
5．已知 A(0,3 3)，B ， ，P 为圆 C：x2＋y2＝2x 上的任意一点，则△ABP 面积的 22
最大值为( )
3 3＋3 A.
2
B. 3
C．2
2 3＋2 D.
22
2
2
所以圆 C 的方程为(x－4)2＋y2＝16.
7．设 M，N 分别为圆 O1：x2＋y2－12y＋34＝0 和圆 O2：(x－2)2＋y2＝4 上的动点，则 M，N 两点间的距离的取值范围是________．
解析：圆 O1 的方程可化为 x2＋(y－6)2＝2，其圆心为 O1(0,6)，半径 r1＝ 2.圆 O2 的圆 心 O2(2,0)，半径 r2＝2，则|O1O2|＝ 36＋4＝2 10，则|MN|max＝2 10＋2＋ 2，|MN|min＝2 10－2 － 2，故 M，N 两点间的距离的取值范围是[2 10－2－ 2，2 10＋2＋ 2]．
A．内切
B．相交
C．外切
D．相离
解析：选 B 由题意知圆 M 的圆心为(0，a)，半径 R＝a，因为圆 M 截直线 x＋y＝0 所得
|a| 线段的长度为 2 2，所以圆心 M 到直线 x＋y＝0 的距离 d＝ ＝ a2－2(a>0)，解得 a＝2，
2
即圆 M 的圆心为(0,2)，又知圆 N 的圆心为(1,1)，半径 r＝1，所以|MN|＝ 2，则 R－r< 2<R＋r，
＝3，所以|AB|＝2 12－32＝2 3，过 C 作 CE⊥BD 于 E，因为直线 l 1＋3
的倾斜角为 30°，
(理通用)2019届高考数学大二轮复习-第1部分 专题6 解析几何 第1讲 直线与圆课件
直线与圆的位置关系 1.利用位置关系解决参数问题 2．利用位置关系解决轨迹等综合问题
• 备考策略 • 本部分内容在备考时应注意以下几个方面：
• (1)切实掌握直线的倾斜角、斜率的概念，两直线平行、垂 直的位置关系．
• (2)弄清直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程的特 点及相关量的几何意义．
• (3)掌握求圆的方程的方法，并会判定直线与圆、圆与圆的 位置关系，会利用位置关系解决综合问题．
轴的直线；
• (2)应用两点式方程时，注意它不包含与坐标轴垂直的直线 ；
高考真题体验
1．(2018·全国卷Ⅲ，6)直线 x＋y＋2＝0 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，点 P
在圆x－22＋y2＝2 上，则△ABP 面积的取值范围是( A )
A．2，6
B．4，8
C． 2，3 2
D．2 2，3 2
A．－43
B．－34
C． 3
D．2
[解析] 圆 x2＋y2－2x－8y＋13＝0 化为标准方程为：(x－1)2＋(y－4)2＝4，
故圆心为(1,4)，d＝|a＋a24＋－11|＝1，解得 a＝－43.
故选 A．
命题热点突破
命题
(1)已知直线 l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0 与直线 l2：2(k－3)x－2y＋3 ＝0 平行，则 k 的值是( C )
内含 内切 相交 外切 外离
• 1．注意两平行线距离公式的应用条件 • 应用两平行线间距离公式时，两平行线方程中x，y的系数
应对应相等．
• 2．忽略直线斜率不存在的情况 • 在解决有关直线问题时要考虑直线斜率是否存在． • 3．注意直线方程的限制条件 • (1)应用点斜式、斜截式方程时，注意它们不包含垂直于x
直线与圆、圆与圆的位置关系(讲)-2019年高考数学(理)---精校解析 Word版
，圆心距为(特别地，，且倾斜角为相切于点，且，则的面积是B.【答案】半径分别为，直线的方程为.，直线与圆相切的问题，往往用这个结论解题届高三入学摸底】若过点的取值范围是（B D，若对任意与一定圆相切，【答案】【解析】取特殊值，三条直线分别为，这三条直线只与圆都相切，经验证，对任意，直线都与这个圆相切）及直线，当直线被时，则B. C. D.【解析】由题意，得，又因为，所以，且与圆，求【答案】，圆心到直线的距离为和圆两点，若，则D已知直线：与圆交于过的垂线与轴交于两点，则【解析】由，得，代入圆的方程，并整理，得，所以，所以．又直线的倾斜，由平面几何知识知在梯形中，．，（上存在点，使得，则正实数B. C. D..的值．【解析】将配方得：由于两圆相切，故或或.届高考适应性】已知圆截直线所得线段的长度是与圆的位置关系是，则圆心为圆心到直线的距离截直线所得线段的长度是，即则圆心为，半径的圆心为，半径届高考适应性】已知圆，点为直线引两条切线为切点，则直线经过定点C是圆是圆②得，过定点，故选上有且仅有两个点到直线的距离等于的距离为：的距离为当】已知点及圆的方程；两点，当时，求以线段为直径的圆或；的.，..，故圆心必在，所以，使得过点垂直平分弦在平面直角坐标系已知的最小值为（B. C. D.作圆的弦，其中最短的弦长为【答案】圆的圆心坐标为，点作圆的弦，过点垂足为点，则，且，当点与点重合时，大值，此时取最小值，且求过点的切线方程，半径为，当直线的斜率不存在时，过点的方程为到直线的距离知，此时，直线与圆相切；，即由题意知，所以方程为，即，.已知直线上总存在点，使得过点作的圆的两条切线互相垂直，则实数的取值范围是（或 C. D. 或。
2019高考数学二轮复习核心考点特色突破专题14直线与圆(1)(含解析)
专题直线与圆（）【自主热身，归纳总结】、在平面直角坐标系中，已知过点(，－)的圆与直线＋＝相切，且圆心在直线＝－上，则圆的标准方程为．【答案】： (－)＋(＋)＝解法(几何法) 点(，－)在直线＋＝上，故点是切点．过点(，－)与直线＋－＝垂直的直线方程为－＝，由解得所以圆心(，－)．又＝＝，所以圆的标准方程为(－)＋(＋)＝.、在平面直角坐标系中，直线＋－＝被圆(－)＋(＋)＝截得的弦长为．【答案】：.【解析】圆心为(，－)，半径＝.圆心到直线的距离＝＝，所以弦长为＝＝.、若直线与圆始终有公共点，则实数的取值范围是．【答案】：≤≤.【解析】因为，所以由题意得：,化简得即≤≤.、在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线()相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．【答案】：(－)＋＝.【解析】由直线－－－＝得(－)－(＋)＝，故直线过点(，－)．当切线与过(，)，(，－)两点的直线垂直时，圆的半径最大，此时有＝＝，故所求圆的标准方程为(－)＋＝.、圆心在抛物线＝上，并且和该抛物线的准线及轴都相切的圆的标准方程为．【答案】： (±)＋＝思路分析求圆的方程就是要确定它的圆心与半径，根据圆与抛物线的准线以及与轴都相切，得到圆心的一个等式，再根据圆心在抛物线上，得到另一个等式，从而可求出圆心的坐标，由此可得半径．因为圆心在抛物线＝上，所以设圆心为(，)，则＝.又圆与抛物线的准线及轴都相切，故＋＝＝，由此解得＝±，＝，＝，所以所求圆的方程为(±)＋＝.解后反思凡涉及抛物线上点到焦点的距离或到准线的距离时，一般运用定义转化为到准线的距离或到焦点的距离来进行处理，本题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于求圆心的坐标．、在平面直角坐标系中，已知圆：(－)＋(－)＝，圆：(－)＋(＋)＝，若圆心在轴上的圆同时平分圆和圆的圆周，则圆的方程是．、. 在平面直角坐标系中，已知过点()的直线与圆(＋)＋(－)＝相切，且与直线＋－＝垂直，则实数＝. 【答案】：思路分析可用过圆上一点的切线方程求解；也可用垂直条件，设切线方程(－)－(－)＝，再令圆心到切线的距离等于半径．因为点在圆上，所以切线方程为(＋)(＋)＋(－)(－)＝，即－－＝.由两直线的法向量(，－)与()垂直，得－＝，即＝.思想根源以圆(－)＋(－)＝上一点(，)为切点的切线方程为(－)(－)＋(－)(－)＝.、若直线：＝＋和直线：＝＋将圆(－)＋(－)＝分成长度相等的四段弧，则＋＝.。
高考 专题12 直线和圆的方程-2019年高考数学母题题源系列(浙江专版)(原卷版)
当斜率存在时，设为 k，则切线方程为 y y0 k(x x0 ) ，即 kx y y0 kx0 0 ．由圆心到直线的距
2
离等于半径长，即可得出切线方程．
（2）代数方法
当斜率存在时，设为 k，则切线方程为 y y0 k(x x0 ) ，即 y kx kx0 y0 ，代入圆的方程，得到一
（1）求两点间的距离，关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等．
1
（2）解决点到直线的距离有关的问题，应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程， 一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在． （3）求两条平行线间的距离，要先将直线方程中 x，y 的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公 式求解．也可以转化成点到直线的距离问题． 2．判断直线与圆的位置关系时，通常用几何法，其步骤是： （1）明确圆心 C 的坐标（a，b）和半径长 r，将直线方程化为一般式； （2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离 d； （3）比较 d 与 r 的大小，写出结论． 3．判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是： （1）确定两圆的圆心坐标和半径长；
（2）若斜率为 k 的直线 l 与圆 C 交于 A(x1, y1)，B(x2 , y2 ) 两点，则 | AB | 1 k 2 | x1 x2 | ．
5．求两圆公共弦长一般有两种方法： （1）联立两圆的方程求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求解； （2）求出两圆公共弦所在直线的方程，转化为直线被圆截得的弦长问题．
特别是要注意应用圆的几何性质．
【命题意图】 1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程，能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位
置关系(相交、相切、相离)． 2．能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系(内含、内切、相交、外切、相离)． 3．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题，初步了解用代数方法处理几何问题的思想． 【命题规律】 考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)．此类 问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现． 【答题模板】 1．距离问题
2019年高考数学二轮复习试题：专题五 第1讲 直线与圆附解析
第1讲直线与圆选题明细表知识点·方法巩固提高A 巩固提高B直线及其方程1,4,10两条直线的位置关系2,8 4,9,15点到直线的距离16圆的方程3,5,14 13直线与圆、圆与6,9,11,15,16 2,6,11,12圆的位置关系圆的弦长13 1,5,10,14综合问题7,12,17 3,7,8,16巩固提高A一、选择题1.过点(2,1)且倾斜角比直线y=-x-1的倾斜角小的直线方程是( A )(A)x=2 (B)y=1 (C)x=1 (D)y=2解析:因为直线y=-x-1的斜率为-1,则倾斜角为,依题意,所求直线的倾斜角为-=,所以斜率不存在,所以过点(2,1)的直线方程为x=2.2.(2017·金丽衢十二校)设两直线l1:(3+m)x+4y=5-3m与l2:2x+(5+m)y=8,则“l1∥l2”是“m<-1”的( A )(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:若l1∥l2,则(3+m)(5+m)=4×2,解得m=-7或m=-1,当m=-1时,两直线重合,当m=-7时l1∥l2,所以“l1∥l2”是“m<-1”的充分不必要条件.故选A.3.方程|y|-1=表示的曲线是( D )(A)一个椭圆 (B)一个圆(C)两个圆(D)两个半圆解析:由题意知|y|-1≥0,则y≥1或y≤-1,当y≥1时,原方程可化为(x-1)2+(y-1)2=1(y ≥1),其表示以(1,1)为圆心、1为半径、直线y=1上方的半圆;当y≤-1时,原方程可化为(x-1)2+(y+1)2=1(y≤-1),其表示以(1,-1)为圆心、1为半径、直线y=-1下方的半圆.所以方程|y|-1=表示的曲线是两个半圆,选D.4.直线l过点P(-1,2)且与以点M(-3,-2),N(4,0)为端点的线段恒相交,则l的斜率取值范围是( D )(A)[-,5](B)[-,0)∪(0,2](C)(-∞,-)∪[5,+∞)(D)(-∞,-]∪[2,+∞)解析:如图,因为P(-1,2),M(-3,-2),N(4,0),所以k PM==2,k PN==-.由图可知,使直线l与线段MN相交的l的斜率取值范围是(-∞,-]∪[2,+∞).故选D.5.抛物线y2=4x与过其焦点且垂直于x轴的直线相交于A,B两点,其准线与x轴的交点为M,则过M,A,B三点的圆的标准方程是( D )(A)x2+y2=5 (B)(x-1)2+y2=1(C)(x-1)2+y2=2 (D)(x-1)2+y2=4解析:由抛物线方程及题意知A(1,2),B(1,-2),M(-1,0),设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,所以解得从而所求方程为x2+y2-2x-3=0,即圆的标准方程为(x-1)2+y2=4.故选D.6.直线x-2y-3=0与圆C:(x-2)2+(y+3)2=9交于E,F两点,则△ECF的面积为( B )(A)(B)2 (C) (D)解析:由已知可得圆心到直线的距离为d=,所以|EF|=4,所以S△ECF=×4×=2.故选B.7.已知平面上两点A(-a,0),B(a,0)(a>0),若圆C:(x-3)2+(y-4)2=1上存在点P,使得∠APB=90°,则a的取值范围是( C )(A)[3,6] (B)[3,7] (C)[4,6] (D)[0,7]解析:因为圆C:(x-3)2+(y-4)2=1,所以圆心C(3,4),半径r=1;设点P(m,n)在圆C上,则=(a+m,n),=(m-a,n);因为∠APB=90°,所以⊥,所以(m+a)(m-a)+n2=0,即a2=m2+n2,又|OP|=,|OP|的最大值是|OC|+r=5+1=6,最小值是|OC|-r=5-1=4,所以a的取值范围是[4,6].故选C.8.已知直线a2x+y+2=0与直线bx-(a2+1)y-1=0互相垂直,则|ab|的最小值为( C )(A)5 (B)4 (C)2 (D)1解析:由题意得a2b+[-(a2+1)]=0,所以b=,所以|ab|=|a×|=|a+|=|a|+||≥2.当且仅当|a|=1时等号成立.故选C.二、填空题9.直线l:x=m y+2与圆M:x2+2x+y2+2y=0相切,则m的值等于.解析:圆心M(-1,-1),圆半径为.由直线与圆相切得d==,得m=-7或m=1.答案:-7或110.过点(2,-3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为.解析:若直线过原点,则直线方程为3x+2y=0;若直线不过原点,则斜率为1,方程为y+3=x-2,即为x-y-5=0,故所求直线方程为3x+2y=0或x-y-5=0.答案:3x+2y=0或x-y-5=011.动直线l:y=kx-k+1(k∈R)经过的定点坐标为,若l和圆C:x2+y2=r2恒有公共点,则半径r的最小值是.解析:当x=1时,y恒为1,故定点为(1,1),要直线和圆恒有公共点,则需(1,1)在圆内,即12+12≤r2,r≥.答案:(1,1)12.当方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆的面积取最大值时,直线y=(k-1)x+2的倾斜角α= .解析:由题意可知,圆的半径r==≤1,当半径r取最大值时,圆的面积最大,此时k=0,r=1,所以直线方程为y=-x+2,则有tan α=-1,又α∈[0,π),故α=.答案:13.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦长为2,则a=.解析:两圆方程作差易知弦所在的直线方程为y=,如图,由已知得|AC|=,|OA|=2,所以|OC|==1,所以a=1.答案:114.C的圆心在y轴正半轴上,且与x轴相切,被双曲线x2-=1的渐近线截得的弦长为,则圆C的方程为.解析:依题意得,题中的双曲线的一条渐近线的斜率为,倾斜角为60°,结合图形(图略)可知,所求的圆C的圆心坐标是(0,1)、半径是1,因此其方程是x2+(y-1)2=1.答案:x2+(y-1)2=115.直线y=-x+m与圆x2+y2=1在第一象限内有两个不同的交点,则m的取值范围是.解析:当直线经过点(0,1)时,直线与圆有两个不同的交点,且另一个交点在第一象限, 此时m=1;当直线与圆相切时,圆心到直线的距离d==1,解得m=(切点在第一象限),所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点,则1<m<.答案:(1,)16.当正实数m变化时,斜率不为0的定直线始终与圆(x-2m)2+(y+m)2=m2相切,则直线的方程为.解析:设定直线的方程为y=kx+b,则=m,即(3k2+4k)m2+2b(2k+1)m+b2=0,因为该等式对任意m>0成立,故3k2+4k=0,2b(2k+1)=0,b2=0,即k=-,b=0,则直线的方程为y=-x.答案:y=-x三、解答题17.已知点G(5,4),圆C1:(x-1)2+(y-4)2=25,过点G的动直线l与圆C1相交于E,F两点,线段EF的中点为C,且C在圆C2上.(1)若直线mx+ny-1=0(mn>0)经过点G,求mn的最大值;(2)求圆C2的方程;(3)若过点A(1,0)的直线l1与圆C2相交于P,Q两点,线段PQ的中点为M.l1与l2:x+2y+2=0的交点为N,求证:|AM|·|AN|为定值.解:(1)因为点G(5,4)在直线mx+ny-1=0上,所以5m+4n=1,5m+4n≥2(当且仅当5m=4n 时取等号),所以1≥80mn,即mn≤,所以(mn)max=.(2)由已知得圆C1的圆心为(1,4),半径为5,设C(x,y),则=(x-1,y-4),=(5-x,4-y),由题设知·=0,所以(x-1)(5-x)+(y-4)(4-y)=0,即(x-3)2+(y-4)2=4,所以C2的方程是(x-3)2+(y-4)2=4.(3)证明:当直线l1的斜率不存在时,直线l1与圆C2相切,当直线l1的斜率为0时,直线l1与圆C2相离,故设直线l1的方程为kx-y-k=0(k≠0).由直线l1与圆C2相交,得<2,解得k>.由得N(,-),又直线C2M与l1垂直,由得M(,),所以|AM|·|AN|=·=··=6(定值).巩固提高B一、选择题1.若过点M(1,1)的直线l与圆(x-2)2+y2=4相交于两点A,B,且M为弦AB的中点,则|AB|为( A )(A)2 (B)4 (C) (D)2解析:圆心坐标为(2,0),半径为2,因为[]2+()2=22,所以|AB|=2.故选A.2.已知圆x2+y2=4与直线x+y-t=0,则“t=2”是“直线与圆相切”的( A )(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:由已知,令=2,所以t=±2.故选A.3.若圆C1:x2+y2+2ax+a2-4=0(a∈R)与圆C2:x2+y2-2by+b2-1=0(b∈R)恰有三条公切线,则a+b的最大值为( D )(A)-3(B)-3 (C)3 (D)3解析:由已知得两圆外切,则|C1C2|=r1+r2,C1(-a,0),C2(0,b),所以a2+b2=9,因为()2≤,所以a+b≤3.故选D.4.已知点A在直线x+2y-1=0上,点B在直线x+2y+3=0上,线段AB的中点为P(x0,y0),且满足y0>x0+2,则的取值范围为( A )(A)(-,-) (B)(-∞,-](C)(-,-] (D)(-,0)解析:设A(x1,y1),=k,则y0=kx0,因为AB的中点为P(x0,y0),所以B(2x0-x1,2y0-y1).因为A,B分别在直线x+2y-1=0和x+2y+3=0上,所以x1+2y1-1=0,2x0-x1+2(2y0-y1)+3=0,所以2x0+4y0+2=0,即x0+2y0+1=0.因为y0=kx0,所以x0+2kx0+1=0,即x0=-.又y0>x0+2,所以kx0>x0+2,即(k-1)x0>2,即(k-1)(-)>2,即<0,解得-<k<-.故选A.5.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2,3),B(-2,-1),C(6,-1),以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点,则圆的方程为( D )(A)x2+y2=1(B)x2+y2=4(C)x2+y2=(D)x2+y2=1或x2+y2=37解析:如图所示,因为A(-2,3),B(-2,-1),C(6,-1).所以过A,C的直线方程为=,化为一般式为x+2y-4=0.点O到直线x+2y-4=0的距离d==>1,又|OA|==,|OB|==,|OC|==.所以以原点为圆心的圆若与三角形ABC有唯一的公共点,则公共点为(0,-1)或(6,-1),所以圆的半径分别为1或,则圆的方程为x2+y2=1或x2+y2=37.6.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=2与y轴在第二象限所围成区域的面积为S,直线y=2x+b分圆C的内部为两部分,其中一部分的面积也为S,则b等于( D )(A) (B)±(C)-(D)±解析:圆心(1,2)到y轴的距离为1,由题意知,圆心(1,2)到直线y=2x+b的距离也为1,即=1,解得b=±.故选D.7.已知A(-2,0),B(0,2),实数k是常数,M,N是圆x2+y2+kx=0上两个不同点,P是圆x2+y2+kx=0上的动点,如果M,N关于直线x-y-1=0对称,那么△PAB面积的最大值是( C )(A)3-(B)4(C)3+(D)6解析:依题意得圆x2+y2+kx=0的圆心(-,0)位于直线x-y-1=0上,于是有--1=0,即k=-2,因此圆心坐标是(1,0),半径是1.由题意可得|AB|=2,直线AB的方程是+=1,即x-y+2=0,圆心(1,0)到直线AB的距离等于=,点P到直线AB的距离的最大值是+1,所以△PAB面积的最大值为×2×=3+,故选C.8.过点P(-3,0)作直线2ax+(a+b)y+2b=0(a,b不同时为零)的垂线,垂足为M,已知点N(2,3),则当a,b变化时,|MN|的取值范围是( A )(A)[5-,5+](B)[5-,5](C)[5,5+](D)[0,5+]解析:直线2ax+(a+b)y+2b=0,整理为a(2x+y)+b(y+2)=0,从而可得直线过定点Q(1,-2),如图,∠PMQ=90°或者M与P,Q之一重合,PQ=2,故点M在以PQ为直径的圆上运动,设该圆的圆心为F,则线段MN确定的范围为|FN|-≤|MN|≤|FN|+,所以|MN|的取值范围是[5-,5+].故选A.二、填空题9.若m>0,n>0,点(-m,n)关于直线x+y-1=0的对称点在直线x-y+2=0上,那么+的最小值等于.解析:设点(-m,n)关于直线x+y-1=0的对称点为(a,b),则解得则(-m,n)关于直线x+y-1=0的对称点为(1-n,1+m),则1-n-(1+m)+2=0,即m+n=2.于是+=(m+n)(+)=×(5++)≥×(5+2×2)=,当且仅当m=,n=时等号成立.答案:10.直线l:kx+y+4=0(k∈R)是圆C:x2+y2+4x-4y+6=0的一条对称轴,过点A(0,k)作斜率为1的直线m,则直线m被圆C所截得的弦长为.解析:由l:kx+y+4=0(k∈R)是圆C:x2+y2+4x-4y+6=0的一条对称轴知,其必过圆心(-2,2),因此k=3,则过点A(0,k)斜率为1的直线m的方程为y=x+3,圆心到其距离d==,所以弦长等于2=2=.答案:11.已知圆C1:x2+y2=4和圆C2:(x-2)2+(y-2)2=4,若点P(a,b)(a>0,b>0)在两圆的公共弦上,则+的最小值为.解析:由题意,两圆的方程相减,可得公共弦方程为x+y=2,因为点P(a,b)(a>0,b>0)在两圆的公共弦上,所以a+b=2,所以+=(+)(a+b)=(10++)≥(10+6)=8,当且仅当b=3a=时,取等号,+的最小值为8.答案:812.过x轴上一点P向圆C:x2+(y-2)2=1作切线,切点分别为A,B,则△PAB面积的最小值是.解析:因为圆的方程为x2+(y-2)2=1,所以圆心C(0,2),半径r为1,设点P(a,0),则|PC|=,|PA|=|PB|=,sin∠APB=2×=,所以S△PAB=|PA|·|PB|sin∠APB=,令=t,t≥,所以S△PAB==在[,+∞)上单调递增,所以当t=时,△PAB面积有最小值为.答案:13.已知圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称,直线4x-3y-2=0与圆C相交于A,B两点,且|AB|=6,则圆C的方程为.解析:设所求圆的半径为r,依题意得,抛物线y2=4x的焦点坐标是(1,0),则圆C的圆心坐标是(0,1),圆心到直线4x-3y-2=0的距离d==1,则r2=d2+()2=10,故圆C的方程为x2+(y-1)2=10.答案:x2+(y-1)2=1014.过点P(1,)作圆O:x2+y2=1的两条切线,切点分别为A和B,则弦长|AB|= . 解析:如图所示,因为PA,PB分别为圆O:x2+y2=1的切线,所以OA⊥AP,|AB|=2|AC|.因为P(1,),O(0,0),所以|OP|==2,又因为|OA|=1,所以∠AOP=60°,所以|AB|=2|AC|=2|AO|sin ∠AOP=.答案:15.已知曲线-=1与直线y=2x+m有两个交点,则m的取值范围是.解析:当x≥0,y≥0时,得曲线-=1.当x>0,y<0时,得曲线+=1.当x<0,y<0时,得曲线-+=1.当x<0,y>0时,得曲线--=1.得-=1的大致图象如图所示,当y=2x+m过(-2,0)时,m=4,过(2,0)时,m=-4,所以若有两个交点,可得m>4或m<-4.答案:(-∞,-4)∪(4,+∞)三、解答题16.(2017·全国Ⅲ卷)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.(1)证明:坐标原点O在圆M上;(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.(1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.由可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4.又x1=,x2=.故x1x2==4.因此OA的斜率与OB的斜率之积为·==-1,所以OA⊥OB.故坐标原点O在圆M上.(2)解:由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.故圆心M的坐标为(m2+2,m),圆M的半径r=.由于圆M过点P(4,-2),因此·=0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-.当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为,圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.当m=-时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为(,-),圆M的半径为,圆M的方程为(x-)2+(y+)2=.。
【助力高考】2019年高考数学专题复习第51讲《直线与圆、圆与圆的位置关系》(含详细答案和教师用书)
♦♦♦学生用书（后跟详细参考答案和教师用书）♦♦♦把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造高考高分！【助力高考】2019年高考备战数学专题复习精品资料第九章 平面解析几何第51讲 直线与圆、圆与圆的位置关系★★★核心知识回顾★★★知识点一、判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系． ⇔相交； ⇔相切； ⇔相离． (2)代数法：――――→判别式Δ＝b 2－4ac⎩⎪⎨⎪⎧>0⇔相交；＝0⇔相切；<0⇔相离.知识点二、圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)， 圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0).★★★高考典例剖析★★★考点一、直线与圆的位置关系例1：圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R )的位置关系为( ) A ．相离 B ．相切C ．相交D ．以上都有可能解： 直线2tx －y －2－2t ＝0恒过点(1，－2)， ∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0， ∴点(1，－2)在圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0内，直线2tx －y －2－2t ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0相交， 故选C.1．已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交 C ．相离D ．不确定考点二、圆与圆的位置关系例2： 已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1外切，则ab 的最大值为( ) A.62 B.32 C.94D ．2 3♦♦♦跟踪训练♦♦♦2．已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1内切，求ab 的最大值． 3．已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1相交，求公共弦所在的直线方程．4． (2017·重庆调研)如果圆C ：x 2＋y 2－2ax －2ay ＋2a 2－4＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4总相交，那么实数a 的取值范围是______________________． 考点三、直线与圆的综合问题 命题点1 求弦长问题例3： (2016·全国Ⅲ)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别做l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若|AB |＝23，则|CD |＝________. 解： 设AB 的中点为M ，由题意知，圆的半径R ＝23， |AB |＝23，所以|OM |＝3， 由|OM |＝|3m －3|m 2＋1＝3，解得m ＝－33， 所以直线l ：x －3y ＋6＝0.由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，解得A (－3，3)，B (0，23)，则AC 的直线方程为y －3＝－3(x ＋3)， BD 的直线方程为y －23＝－3x ，令y ＝0， 解得C (－2,0)，D (2,0)，所以|CD |＝4. 命题点2 直线与圆相交求参数范围例4： 已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1，因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1. 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得 (1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2. OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝4k (1＋k )1＋k 2＋8.由题设可得4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在l 上，所以|MN |＝2. 命题点3 直线与圆相切的问题例5： 已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程． (1)与直线l 1：x ＋y －4＝0平行； (2)与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直； (3)过切点A (4，－1)．解 (1)设切线方程为x ＋y ＋b ＝0， 则|1－2＋b |2＝10，∴b ＝1±25，∴切线方程为x ＋y ＋1±25＝0. (2)设切线方程为2x ＋y ＋m ＝0， 则|2－2＋m |5＝10，∴m ＝±52，∴切线方程为2x ＋y ±52＝0. (3)∵k AC ＝－2＋11－4＝13，∴过切点A (4，－1)的切线斜率为－3，∴过切点A (4，－1)的切线方程为y ＋1＝－3(x －4)，即3x ＋y －11＝0.5．过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．6．过点P (2,4)引圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为__________________． 7．已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．98．过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( ) A.33B ．－33C ．±33D ．－ 3考点四、直线与圆的综合问题例6： 在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( ) A.45π B.34π C ．(6－25)πD.54π 解： ∵∠AOB ＝90°，∴点O 在圆C 上．设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离，∴点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上， ∴当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD |. 又|OD |＝|2×0＋0－4|5＝45，∴圆C 的最小半径为25， ∴圆C 面积的最小值为π⎝⎛⎭⎫252＝45π. 故选A 。