(完整版)人教版九年级数学下二次函数最全的中考二次函数知识点总结,推荐文档
人教版九年级数学二次函数在中考中知识点总结一、相关概念及定义1 二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函2y ax bx c =++a b c ，，0a ≠数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，0a ≠而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．b c ，2二次函数的结构特征：2y ax bx c =++（1）等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．x x （2）是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．a b c ，，a b c 二、二次函数各种形式之间的变换1二次函数用配方法可化成：的形式，其中c bx ax y ++=2()k h x a y +-=2.a b ac k a b h 4422-=-=，2 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④；⑤2ax y =k ax y +=2()2h x a y -=()k h x a y +-=2.c bx ax y ++=2三、二次函数解析式的表示方法1一般式：（，，为常数，）；2y ax bx c =++a b c 0a ≠2顶点式：（，，为常数，）；2()y a x h k =-+a h k 0a ≠3两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）12()()y a x x x x =--0a ≠1x 2x x .4注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛x 240b ac -≥物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.四、二次函数图象的画法2y ax bx c =++1 五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，2y ax bx c =++2()y a x h k =-+确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴y ()0c ，()0c ，对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组()2h c ，x ()10x ，()20x ，x 关于对称轴对称的点）.2 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴x y 的交点.五、二次函数的性质2ax y =的符号a 开口方向顶点坐标对称轴性质a >向上()00，轴y 时，随的增大而增大；时，0x >y x 0x <随的增大而减小；时，有最y x 0x =y 小值．00a <向下()00，轴y 时，随的增大而减小；时，0x >y x 0x <随的增大而增大；时，有最y x 0x =y 大值．六、二次函数的性质2y ax c =+七、二次函数的性质：()2y a x h =-八、二次函数的性质()2y a x h k =-+九、抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.2y ax bx c =++1 的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向a 0>a 0<a 下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.a 2对称轴：平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线y 2bx a=-y .0=x 3顶点坐标：），（ab ac a b 4422--4顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么a 抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.十、抛物线中，与函数图像的关系c bx ax y ++=2c b a ,,1 二次项系数a的符号a 开口方向顶点坐标对称轴性质0a >向上()0c，轴y 时，随的增大而增大；时，0x >y x 0x <随的增大而减小；时，有最y x 0x =y 小值．c 0a <向下()0c ，轴y 时，随的增大而减小；时，0x >y x 0x <随的增大而增大；时，有最y x 0x =y 大值．c 的符号a 开口方向顶点坐标对称轴性质a >向上()0h ，X=h时，随的增大而增大；时，x h >y x x h <随的增大而减小；时，有最y x x h =y 小值．00a <向下()0h ，X=h时，随的增大而减小；时，x h >y x x h <随的增大而增大；时，有最y x x h =y 大值．0的符号a 开口方向顶点坐标对称轴性质a >向上()h k ，X=h时，随的增大而增大；时，x h >y x x h <随的增大而减小；时，有最y x x h =y 小值．k 0a <向下()h k ，X=h时，随的增大而减小；时，x h >y x x h <随的增大而增大；时，有最y x x h =y 大值．k二次函数中，作为二次项系数，显然．2y ax bx c =++a 0a ≠ ⑴ 当时，抛物线开口向上，越大，开口越小，反之的值越小，开口0a >a a 越大；⑵ 当时，抛物线开口向下，越小，开口越小，反之的值越大，开口0a <a a 越大．总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的a a a 大小决定开口的大小．2一次项系数b在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．a b ⑴ 在的前提下，0a >当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；0b >02ba -<y 当时，，即抛物线的对称轴就是轴；0b =02ba -=y 当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．0b <02ba->y ⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即0a <当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；0b >02ba ->y 当时，，即抛物线的对称轴就是轴；0b =02ba -=y 当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．0b <02ba-<y 总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．a b 总结：3常数项c⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵0c >y x y 坐标为正；⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的0c =y y 纵坐标为；0 ⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵0c <y x y 坐标为负．总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．c y 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．a b c ，，十一、求抛物线的顶点、对称轴的方法1公式法：，∴顶点是，a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=），（a b ac a b 4422--对称轴是直线.abx 2-=2配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，()k h x a y +-=2得到顶点为(,)，对称轴是直线.h k h x =3运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.十二、用待定系数法求二次函数的解析式1一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.c bx ax y ++=2x y 2顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.()k h x a y +-=23交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：x 1x 2x .()()21x x x x a y --=十三、直线与抛物线的交点1轴与抛物线得交点为(0, ).y c bx ax y ++=2c 2与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,y h x =c bx ax y ++=2h ).c bh ah ++23抛物线与轴的交点:二次函数的图像与轴的两个交点的横坐x c bx ax y ++=2x 标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的1x 2x 02=++c bx ax x 交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点抛物线与轴相交；⇔0>∆⇔x ②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；x ⇔0=∆⇔x ③没有交点抛物线与轴相离.⇔0<∆⇔x 4平行于轴的直线与抛物线的交点x 可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.k k c bx ax =++25 一次函数的图像与二次函数的图像()0≠+=k n kx y l ()02≠++=a c bx ax y 的交点，由方程组 的解的数目来确定：①方程组有两组不G 2y kx ny ax bx c =+⎧⎨=++⎩同的解时与有两个交点; ②方程组只有一组解时与只有一个交点；⇔l G ⇔l G ③方程组无解时与没有交点.⇔l G 6抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为x c bx ax y ++=2x ，由于、是方程的两个根，故()()0021，，，x B x A 1x 2x 02=++c bx ax acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a ac b a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=444222122122121十四、二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1关于轴对称x 关于轴对称后，得到的解析式是；2y ax bx c =++x 2y ax bx c =---关于轴对称后，得到的解析式是；()2y a x h k =-+x ()2y a x h k =---2关于轴对称y 关于轴对称后，得到的解析式是；2y ax bx c =++y 2y ax bx c =-+关于轴对称后，得到的解析式是；()2y a x h k =-+y ()2y a x h k =++3关于原点对称关于原点对称后，得到的解析式是；2y ax bx c =++2y ax bx c =-+- 关于原点对称后，得到的解析式是；()2y a x h k =-+()2y a x h k =-+-4关于顶点对称关于顶点对称后，得到的解析式是；2y ax bx c =++222b y ax bx c a=--+-关于顶点对称后，得到的解析式是．()2y a x h k =-+()2y a x h k =--+5关于点对称()m n ，关于点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+()m n ，()222y a x h m n k=-+-+-总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题a 意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十五、二次函数图象的平移1.平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；()2y a x h k =-+()h k ，⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方2y ax =()h k ，法如下：【【【(h <0)【【【【【(h >0)【【【(h 【【|k|【【【2平移规律在原有函数的基础上 “值正右移，负左移；值正上移，负下移”．h k 概括成八个字 “左加右减，上加下减”．十六、根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。
九年级数学二次函数知识点总结
二次函数是中学数学中一个重要的知识点，它也是函数解题的基本功之一、本文将围绕它的相关知识进行总结，旨在帮助学生更好地掌握这一重要的知识点。
一、定义
从表达形式上来看，二次函数 y=ax2+bx+c （a≠0 ）可以说明它具有二次项x2、它是一元二次函数中最基本的表达形式，也是高中数学中最常见的函数形式。
二、函数曲线
1.曲线特点
二次函数曲线的基本特点是对称性，即关于直线y=mx+n的对称（m 为抛物线的斜率，n为抛物线在y轴上的截距），该直线叫函数曲线的对称轴（又可称为准线）。
其他还有：（1）当a>0时，曲线为上凸的锥形；
（2）当a<0时，曲线为下凹的锥形；
（3）抛物线的顶点（即相对应的x值）为x=-b/2a。
2.应用
结合抛物线的特点，可以应用于实际的几何图形，例如抛物线是球反弹的反弹轨迹，也是一些宇宙物体的运动轨迹，可以应用于水力动力学、声学现象、电磁学等方面。
三、函数的特征和性质
1.函数的表达式
二次函数的表达式有：
（1）一般式：f(x)=ax2+bx+c，（a≠0）
（2）标准式：f(x)=a(x-p)2+q（a>0）
（3）指数式：f(x)=ax2+b（a≠0）
（4）参数式：f(t)=a(t-p)2+q（a>0）
2.性质。
初中数学二次函数最全知识点总结
初中数学二次函数最全知识点总结二次函数是数学中一个重要的函数概念，在初中阶段也有着广泛的应用。
下面是关于初中数学二次函数最全的知识点总结，供你参考。
一、基本形式二次函数的基本形式为：y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
二、图像特征1.抛物线：二次函数的图像是一个抛物线，可以开口向上或向下。
2.拉伸：a确定了抛物线的开口方向和形状，绝对值越大，抛物线越“瘦长”，绝对值越小，抛物线越“圆胖”。
3.对称性：二次函数的图像关于直线x=-b/2a对称。
4.顶点坐标：直线x=-b/2a与抛物线的交点即为抛物线的顶点坐标。
5. 零点：二次函数的零点是指函数图像与x轴交点的横坐标，即解方程ax² + bx + c = 0。
三、顶点坐标的确定1.顶点坐标的横坐标x=-b/2a。
2.代入x值可以得到顶点坐标的纵坐标y=f(-b/2a)。
四、二次函数的方程及解法1. 二次函数方程一般形式：ax² + bx + c = 0。
2.解法一：使用因式分解法，将方程化为(x-m)(x-n)=0的形式，其中m和n为实数。
3. 解法二：使用配方法，对方程ax² + bx + c = 0进行化简，得到(ax + p)² + q = 0的形式，其中p和q为实数。
4. 解法三：使用求根公式，根据公式x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a求得方程的根。
五、二次函数的特殊情况1.完全平方式：当二次函数的方程形式为(x+m)²=0时，说明抛物线的顶点坐标为(-m,0)，且抛物线开口向上。
2.切线与二次函数的关系：二次函数的切线与函数图像的交点为切点，其斜率等于函数的导数值，切线的方程可以通过点斜式得到。
3. 线性函数与二次函数的关系：当二次函数的系数a = 0时，二次函数化为线性函数，即y = bx + c。
六、二次函数的应用1.模型拟合：二次函数可以用来拟合一些实际问题的数学模型，如抛物线运动问题、图像反演等。
人教版九年级数学二次函数知识点总结
初三数学 二次函数 知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数图像参考：十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x 2y=-2(x-3)。
初中二次函数最全知识点总结
初中二次函数最全知识点总结二次函数是一种常见的数学函数，其关键特点是含有二次项（x²）的多项式函数。
以下是关于二次函数的最全知识点总结。
一、基本定义与性质：1. 二次函数的一般形式为y=ax²+bx+c，其中a、b和c为常数，且a≠0。
2.二次函数的图像是一个平滑的开口向上或向下的抛物线。
3.抛物线的开口方向由二次项的系数a决定，若a>0，则开口向上；若a<0，则开口向下。
4.抛物线的顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，其中f(x)表示二次函数。
5. 若D=b²-4ac>0，则抛物线与x轴有两个不同的交点；若D=0，则抛物线与x轴有一个不同的交点；若D<0，则抛物线与x轴没有交点。
6.轴对称线的方程为x=-b/2a。
7.当a>0时，二次函数的值域为[f(-b/2a),+∞)；当a<0时，二次函数的值域为(-∞,f(-b/2a)]。
二、顶点相关问题：1. 顶点坐标可以通过求解二次函数的导数为0得到。
即f'(x)=2ax+b=0，解得x=-b/2a，带入二次函数得到顶点坐标。
2.顶点为函数的最值点，当开口向上时，顶点为最小值点；当开口向下时，顶点为最大值点。
3.当a>0时，函数的最小值为f(-b/2a)；当a<0时，函数的最大值为f(-b/2a)。
4.顶点在数轴上的位置对应了函数的增减性质。
三、对称性与坐标轴交点：1.二次函数是轴对称的，其轴对称线为x=-b/2a。
2.函数与轴对称线的交点为（0，c）。
3.函数与y轴的交点为（0，c），其中c为常数项。
4.函数与x轴的交点取决于D的值，若D>0，则存在两个不同的交点；若D=0，则存在一个交点；若D<0，则不存在交点。
四、图像的变换与性质：1.若在二次函数的一般形式中，a改变为-k（k为常数，k≠0），则图像沿x轴翻转，开口方向不变。
2.若在二次函数的一般形式中，c改变为+k（k为常数），则图像上下平移，平移量为+k。
九年级数学二次函数重点归纳总结(中考复习重要资料)
九年级数学二次函数重点归纳总结中考复习重要资料二次函数知识点总结一、定义与定义表达式一般地，自变量和因变量之间存在如下关系：=a2bc（a≠0），则称为的二次函数。
二、二次函数的三种表达式一般式：=a2bc（a≠0）顶点式：=a-h2（a≠0），此时抛物线的顶点坐标为为何值时，关于的方程20的两根是一个直角三角形的两个锐角的余弦值。
214关于的方程2250的两个根都大于2，则的取值范围为＿＿＿＿＿。
215关于的方程2510的一根小于0，另一根大于3，则的取值范围为＿＿＿＿＿。
16关于的方程222110且3，求证：方程总有实数根。
17关于的方程223m10有两个实数根1、2且满足围。
18已知22222215，则22=＿＿＿＿＿。
19直角三角形斜边长为正整数，两直角边长是方程92（310的两个根，则的值为＿＿＿＿＿。
20已知m、n为有理数，并且方程mn0有一根是52，那么mn 的值为＿＿＿＿＿。
21如果方程122m0的三根可以作为一个三角形的三边长，则m的取值范围为＿＿＿＿＿。
22若方程的取值范12422a仅有两个不同的实根，则实数a的取值范围为＿＿＿＿＿。
23关于的方程124已知1、2为方程2＋3＋1＝0的两实根，则12＋82＋20＝__________．25若n（n0）是关于的方程m2n0的根，则mn的值为____________．26设1、2是一元二次方程24－3=0的两个根，212252－3a=2，则a=．27若关于的一元二次方程2222120有实数根、．1求实数的取值范围；2设t2，求t的最小值2228实数a、b满足条件a7a20，b7b20，则2ab的值为____________。
ba29若一个三角形的三边都是方程12320的解，则此三角形的面积为____________。
30方程12的解为____________。
31若2243，则____________。
2232已知m,n是方程210的两根，且7m14ma3n6n78，则a的值等于____________。
初三数学二次函数知识点总结.docx
初三数学 二次函数知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念： 一般地，形如 y ax 2bx c a ，b ，c是常数， a 0 ）的函数，叫做二次函数。
这（里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a 0 ，而b ，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数 y ax 2bx c 的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次式， x 的最高次数是 2．⑵ a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式二次函数的基本形式 y a x h2k 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴性质ah ，kxh 时， y 随 x 的增大而增大； xh 时， y 随向上X=hx 的增大而减小； x h 时， y 有最小值 k ．ah ，kxh 时， y 随 x 的增大而减小； xh 时， y 随向下X=hx 的增大而增大； x h 时， y 有最大值 k ．三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y a x h 2h ，k ；k ，确定其顶点坐标 ⑵ 保持抛物线 yax 2 的形状不变，将其顶点平移到h ，k 处，具体平移方法如下：向上 (k>0)【或向下 (k<0)】平移 |k|个单位y=ax2y=ax 2+k向右 (h>0)【或左 (h<0)】 向右 ( h>0) 【或左 ( h<0) 】 向右 (h>0) 【或左 (h<0) 】平移 |k|个单位平移 |k|个单位平移 |k|个单位向上 ( k>0) 【或下 ( k<0) 】平移 |k|个单位y=a( x-h)22向上 (k>0) 【或下 (k<0)】平移 |k|个单位y=a (x-h) +k2. 平移规律在原有函数的基础上 “h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二： ⑴ yax 2 bx c 沿 y 轴平移 :向上（下）平移 m 个单位， y ax 2 bx c 变成y ax 2bx c m （或 y ax 2bx c m ）⑵ y ax 2bx c 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，y ax2bx c 变成y a( x m)2b(x m) c （或 y a(x m) 2b( x m ) c ）四、二次函数 y a x2k 与 y2bx c 的比较h ax从解析式上看，y a x h 2ax2bx c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前k 与 y2b2b，k4ac b 2者，即 y a x b4ac，其中 h．2a4a2a4a五、二次函数 y ax2bx c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y ax2bx c 化为顶点式y a(x h)2k ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图 . 一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点0，c、以及 0 ，c关于对称轴对称的点2h ，c、与 x 轴的交点x1，0， x2，0 （若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数 y ax2bx c 的性质1. 当 a0 时，抛物线开口向上，对称轴为x b，顶点坐标为 b ，4ac b2．2a2a4a当x b时， y 随 x 的增大而减小；当x b时， y 随 x 的增大而增大；当x b时， y 有最小2a2a2a值4ac b24a．2. 当 a0 时，抛物线开口向下，对称轴为 x b，顶点坐标为 b ，4ac b 2．当 x b时， y 随2a2a4a2ax的增大而增大；当x b时， y 随 x 的增大而减小；当x b时， y 有最大值4ac b2．2a2a4a七、二次函数解析式的表示方法1.一般式：y ax 2bx c （a， b ，c为常数， a0 ）；2.顶点式：y a(x h)2k （a， h ， k 为常数， a0 ）；3.两根式：y a(x x1 )( x x2 ) （ a 0 ， x1， x2是抛物线与x轴两交点的横坐标） .注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即b24ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化 .八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数 a二次函数y ax2bx c 中，a作为二次项系数，显然 a 0 ．a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向， a 的大小决定开口的大小．2.一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴．ab 的符号的判定：对称轴 xb0 ，在y轴的右侧则 ab0 ，概括的说就是在 y 轴左边则ab2a“左同右异”3. 常数项c c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要 a ，b ，c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程 ax2bx c 0 是二次函数 y ax2bx c 当函数值 y0 时的特殊情况 .图象与 x 轴的交点个数：① 当b24ac0 时，图象与x轴交于两点 A x1，0，B x2，0(x1x2 ) ，其中的 x1，x2是一元二次方程 ax2bx c 0 a0 的两根．这两点间的距离 AB x2x1 b 24ac .②当0 时，图象与x轴只有a一个交点；③ 当0 时，图象与x轴没有交点 .1'当 a0时，图象落在 x 轴的上方，无论 x 为任何实数，都有 y0； 2' 当a 0时，图象落在 x 轴的下方，无论 x 为任何实数，都有y 0．2. 抛物线 y ax2bx c 的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0 ， c) ；3.二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数y ax2bx c 中a， b ，c的符号，或由二次函数中 a ，b， c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与 x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.二次函数考查重点与常见题型1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以 x 为自变量的二次函数y ( m 2)x 2m2m 2 的图像经过原点，则m的值是2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数 y kx b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数 y kx 2bx 1 的图像大致是（）y y y y110x-1 o x0 x0 1 xA B C D3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)， (4,6) 两点，对称轴为x 5，求这条抛物线的解析式。
初三数学二次函数知识点整理中考数学提分必备
初三数学二次函数知识点整理中考数学提分必备
初中数学二次函数知识点总结
二次函数的三种表达式
一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)
顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P(h，k)]
交点式：y=a(x-x)(x-x)[仅限于与x轴有交点A(x，0)和B(x，0)的抛物线]
抛物线的性质
1、抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2、抛物线有一个顶点P，坐标为：P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3、二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
二次函数教学方法
1.质疑问难是学生自主学习的重要表现，优化课堂结构，激活学生的主体意识，必须鼓励学生质疑问难。
教师要创造和谐融合的课堂气氛，允许学生随时“插嘴”、提问、争辩，甚至提出与教师不同的看法。
2.二次函数是初中阶段继一次函数、反比例函数之后，学生要学习的最后一类重要的代数函数，它也是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。
3.学生有疑而问、质疑问难，是用心思考、自主学习、主动探究的可贵表现，理应得到老师的热情鼓励和赞扬。
现在对学生的随时“插嘴”，提出的各种疑难问题，应抱欢迎、鼓励的态度给与肯定，并做出正确的解释。
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WORD格式二次函数一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc （ a，b ，c 是常数， a0）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而 b，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2.二次函数2yaxbxc 的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式， x 的最高次数是2．⑵ a，b，c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项．二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：2 yax 的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质x0 时， y 随 x 的增大而增大；x0 时， y 随a0 向上 0，0y 轴x 的增大而减小；x0 时， y 有最小值 0．a 向下 0，0y 轴x0 时， y 随 x 的增大而减小； x0 时， y 随x 的增大而增大； x0 时， y 有最大值 0．022.yaxc 的性质：上加下减。
a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 向上 0，cy 轴a0 向下 0，cy 轴23.yaxh 的性质：左加右减。
a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0 向上h，0X=ha0 向下 h，0X=h24.yaxhk 的性质：x0 时， y 随 x 的增大而增大； x0 时， y 随x 的增大而减小； x0 时， y 有最小值 c．x0 时， y 随 x 的增大而减小； x0 时， y 随x 的增大而增大； x0 时， y 有最大值 c．xh 时， y 随 x 的增大而增大； xh 时， y 随 x的增大而减小； xh 时， y 有最小值 0．xh 时， y 随 x 的增大而减小； xh 时， y 随 x的增大而增大； xh 时， y 有最大值 0．专业资料整理WORD 格式a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 向上 h ，kX=ha0 向下 h ，kX=h三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：⑴将抛物线解析式转化成顶点式xh 时， y 随 x 的增大而增大； xh 时， y 随 x的增大而减小； xh 时， y 有最小值 k ．xh 时， y 随 x 的增大而减小； xh 时， y 随 x的增大而增大； xh 时， y 有最大值 k ．2yaxhk ，确定其顶点坐标 h ，k ；⑵保持抛物线2yax 的形状不变，将其顶点平移到 h ，k 处，具体平移方法如下：向上 (k>0) 【或向下 (k<0) 】平移 |k| 个单位y=ax 2y=ax 2+k向右 (h>0) 【或左 (h<0) 】 向右 (h>0) 【或左 (h<0) 】 向右 (h>0) 【或左平移 |k| 个单位平移 |k| 个单位(h<0) 】平移 |k| 个单位向上 (k>0) 【或下 (k<0) 】平移 |k| 个单位y=a(x-h)2【或下 (k<0) 】平移 |k| 个单y=a(x-向上 (k>0)2h) +k位2. 平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移” ．概括成八个字“左加右减，上加下减”．四、二次函数yaxh 与k 22yaxbx 的c 比较从解析式上看，yaxhk 与 22yaxbxc 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得2422到前者，即yaxbacb ，其中b4acb 2a4ahk，．2 2a4a六、二次函数yaxbxc 的性质b 25. 当a0时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为b4acbx，．2a2a4a 当 x b 时， y 随 x 的增大而减小；2a当x b 时， y 随 x 的增大而增大；2a2b4acb当 x 时， y 有最小值．2a 4a2 b bb4acb x6. 当a0时，抛物线开口向下，对称轴为x ，顶点坐标为时，2a ，．当2a2a4a专业资料整理WORD 格式b时， y 随 x 的增大而减小；当xb 2y 随 x 的增大而增大；当 x时， y 有最大值 4acb ．2a2a4a七、二次函数解析式的表示方法3. 一般式： 2yaxbxc （a ， b ， c 为常数， a0 ）；4. 顶点式： 2ya(xh)k （ a ，h ， k 为常数， a0）；5. 两根式（交点式）： ya(xx 1)(xx 2) （ a0， x 1， x 2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） .注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即240bac 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化 .八、二次函数的图象与各项系数之间的关系7. 二次项系数 a⑴当 a0 时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大；⑵当 a0 时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．8. 一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴．（同左异右b 为 0 对称轴为 y 轴）9. 常数项 c⑴当 c0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正； ⑵当 c0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为 0； ⑶当 c0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负．总结起来， c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置．十、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）： 一元二次方程202yaxbxc 当函数值 y0 时的特殊情况 .axbxc 是二次函数图象与 x 轴的交点个数：①当240bac 时，图象与 x 轴交于两点 Ax 1，0，Bx 2，0(x 1x 2) ，其中的 x 1，x 2 是一元二 次方程200axbxca 的两根． .②当 0 时，图象与 x 轴只有一个交点；③当 0 时，图象与 x 轴没有交点 .1' 当 a0 时，图象落在 x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有y0；2' 当 a0 时，图象落在 x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有y0 ．2.抛物线2yaxbxc 的图象与 y 轴一定相交，交点坐标为 (0 ， c) ；专业资料整理WORD格式二次函数对应练习试题一、选择题6.二次函数247yxx 的顶点坐标是 ()A.(2, － 11)B. （－ 2， 7）C. （ 2， 11）D. （ 2，－ 3）7.把抛物线y2x21 个单位，得到的抛物线是（）向上平移A. 2 2 2 2y2(x1)B. y2(x1)C. y2 x 1D. y2x18.函数 2 k() 在同一直角坐标系中图象可能是图中的ykxk 和 y(k0)x9.已知二次函数2(0)yaxbxca 的图象如图所示, 则下列结论 : ① a,b 同号 ; ②当 x1 和 x3 时 , 函数值相等 ; ③ 4ab0 ④当 y2 时 ,x 的值只能取 0. 其中正确的个数是 ()A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个10. 已知二次函数2(0)yaxbxca 的顶点坐标（ -1 ， -3.2 ）及部分图象 ( 如图 ), 由图象可知关于x 的一元二次方程20axbxc 的两个根分别是x11.3 和 x2（）Ａ．－１ . ３ B.-2.3C.-0.3D.-3.311. 已知二次函数2yaxbxc 的图象如图所示，则点 (ac,bc) 在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限22的正根的个数为（）12.方程2xxxA.0 个B.1 个C.2 个.3 个13.已知抛物线过点 A(2,0),B(-1,0),与y轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A.2222yxxB.yxxC.22222222yxx 或yxxD.yxx 或yxx二、填空题专业资料整理WORD格式9．二次函数23yxbx 的对称轴是x2 ，则 b_______。
初中数学二次函数最全知识点总结
初中数学二次函数最全知识点总结二次函数是初中数学的重点内容之一，掌握二次函数的知识对于解决实际问题和提高数学能力都具有重要意义。
以下是二次函数的最全知识点总结：一、基本概念1.函数：函数是一种特殊的关系，它可以用来描述自变量和因变量之间的对应关系。
2. 二次函数：二次函数是形如y = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
二、图像和性质1.基本图像：二次函数的基本图像是抛物线，开口方向由常数a的正负决定。
2. 零点：二次函数的零点即为方程ax² + bx + c = 0的解，可以用求根公式或配方法求出。
3.对称轴：二次函数的对称轴是抛物线的轴线，其方程为x=-b/(2a)。
4.最值：二次函数的最值可以通过对称轴得到，最值为抛物线的顶点。
5.单调性：当抛物线开口向上时，二次函数是增函数；开口向下时，二次函数是减函数。
6.平移：二次函数的图像可以通过上下平移、左右平移和扩大缩小来获得新图像。
三、二次函数的解析式1. 标准形式：当a = 1时，二次函数的标准形式是y = x² + px + q。
2.顶点式：二次函数的顶点式是y=a(x-h)²+k，其中(h,k)为顶点的坐标。
3. 一般形式：二次函数的一般形式是y = ax² + bx + c，实际问题中常用。
四、二次函数的变形1. 增长量：二次函数y = ax² + bx + c中，增长量即为b。
2.曲线方向：二次函数的曲线方向由a的正负决定，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。
3.平移：二次函数的图像可以通过上下平移、左右平移和扩大缩小进行变形。
4.翻折：二次函数的图像可以进行关于x轴或y轴的翻折，得到新的图像。
五、二次函数的性质1.零点性质：二次函数的零点个数最多为2个。
2.对称性质：二次函数关于对称轴具有对称性。
3.成立范围：二次函数在全体实数范围内都成立。
初中二次函数最全知识点总结
初中二次函数最全知识点总结二次函数是初中数学中的重要知识点，也是高中数学的基础。
下面是对二次函数的最全知识点总结：一、二次函数的定义和表示：1. 定义：二次函数是形如 y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的函数，其中 a、b、c 是常数，且 a 不等于 0。
2. 一般式：二次函数的一般形式为 y = ax^2 + bx + c。
3.顶点式：二次函数的顶点式为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)是顶点坐标。
4.描述：二次函数的图像为抛物线，开口向上或向下，对称轴为x=-b/(2a)，顶点坐标为(-b/(2a),f(-b/(2a)))。
二、二次函数的图像：1.开口方向：当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。
2.对称轴：对称轴是垂直于x轴的抛物线的轴线，其方程为x=-b/(2a)。
3. 零点：即二次函数与 x 轴的交点，由二次方程 ax^2 + bx + c =0 求得。
a) 判别式：Δ = b^2 - 4ac，当Δ 大于 0 时，有两个不同实根；当Δ等于 0 时，有一个重根；当Δ 小于 0 时，无实数根。
b)零点公式：x=(-b±√Δ)/(2a)。
4.最值：当a大于0时，抛物线开口向上，最小值为顶点的纵坐标；当a小于0时，抛物线开口向下，最大值为顶点的纵坐标。
5.对称性：二次函数关于顶点对称，即f(x)=f(2h-x)。
6.平移：通过改变顶点坐标可以实现二次函数的平移，顶点坐标为(h,k)，则平移后的顶点坐标为(h+p,k+q)。
三、常用二次函数的性质和应用：1.单调性：当a大于0时，抛物线开口向上，函数单调递增；当a小于0时，抛物线开口向下，函数单调递减。
2.单调区间：根据二次函数的开口方向和最值确定函数的单调区间。
3.奇偶性：二次函数一般是奇函数，即f(-x)=-f(x)，因为二次项的系数是奇数。
4.零点个数和位置：根据二次函数的开口方向和零点的位置确定零点的个数和位置。