06、三元线性方程组与三阶行列式
9.4.2 三阶行列式(含答案)
【课堂例题】例1.解关于,,x y z 的方程组：13x y mz x my z m x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩例2.已知行列式240210101D -=--，写出第一列元素的代数余子式.【知识再现】1.设关于,,x y z 的三元线性方程组111122223333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，其中a 1、a 2、a 3、b 1、b 2、b 3、c 1、c 2、c 3不全为零.若记111222333a b c D a b c a b c =，x D =，y D =，z D =当D ，方程组有唯一解：x = ，y = ，z = . 当0D =且,,x y z D D D 至少有一个不为零时，方程组 . 当0x y z D D D D ====时，方程组 .【基础训练】1.方程组273514223x y z x y x y -+=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩的系数行列式为 ，系数行列式的值为 .2.已知方程组10x my z x my z m mx y z ++=-⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，(1)该方程组有唯一解，则实数m 的取值范围是 . (2)若0m =，则该方程组解的情况为 .3.关于,,x y z 的方程组111122223333(1)a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩中，若记111222333a b c D a b c a b c =，则“0D =”是“方程组(1)有无穷多组解”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件 4.任写两个关于,,x y z 的线性方程组，要求满足0x y z D D D D ====，但第一个方程组要求无解，第二个方程组要求有无穷多解.， .5.用行列式解方程组3112341339x y z x y z x y z ++=⎧⎪+-=⎨⎪--+=-⎩.6.已知多项式函数()f x 通过平面上的三点(1,0),(2,3),(3,28)-， 写出一个符合条件的函数()f x 并说明理由.注：多项式函数是形如1110n n n n y a x a x a x a --=++++的函数，10,,,n n a a a -是常数.7.已知a R ∈，求关于,,x y z 的方程组000ax y z x ay z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩的解.【巩固提高】8.齐次线性方程组23045607890x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩的解是否唯一？若不唯一，求出它全部的解.9.求矩阵120210631A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵B .注：AB BA I==(选做)10.,a b R ∈，求关于,,x y z 的方程组4324ax y z x by z x by z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩的解.【温故知新】11.一元一次方程23x =的解可以用数轴上的一个点表示，二元一次方程3x y += 的全部解可以用直角坐标平面上的一条直线来表示，猜想:三元一次方程0x y z ++= 的全部解可以怎样表示？.【课堂例题答案】例1.①当1m ≠±时有唯一解344,,11m x y z m m -===-++； ②当1m =-时无解；③当1m =时有无穷多解1,2x t y t R z t =⎧⎪=-∈⎨⎪=-⎩例2.2,2,1-的代数余子式分别是112131104040(1),(1),(1)010110+++------- 【知识再现答案】1.111111111111222222222222333333333333,,,x y z a b c d b c a d c a b d D a b c D d b c D a d c D a b d a b c d b c a d c a b d ==== 0,,,y x zD D D D D D≠；无解；无解或无穷解. 【习题答案】1.121350220---,4 2.(1)(,0)(0,1)(1,)-∞+∞；(2)无解3.B4.112,131x y z x y z x y z x y z x y z x y z ++=++=⎧⎧⎪⎪++=++=⎨⎨⎪⎪++=++=⎩⎩答案不唯一 5.7,1,1x y z === 6.2()231f x x x =-+7.当1a ≠±时，有唯一解0x y z ===；当1a =时，有无穷多解,0,,x t y z t t R ===-∈； 当1a =-时，有无穷多解,,0,x t y t z t R ===∈8.不唯一，无穷多解2,x ty t t R z t =⎧⎪=-∈⎨⎪=⎩9.1205521055031⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎪⎝⎭10.当1,0a b ≠≠时，有唯一解121421,,b b ab x y z b ab b b ab---===--；当11,2a b ==时，有无穷多解2,2x ty t R z t=⎧⎪=∈⎨⎪=-⎩；当11,2a b =≠或0b =时，无解. 提示：(1),12,(1),421x y z D b a D b D a D b ab =-=-=--=--11.空间直角坐标系中的一个平面.。
第1章线性代数
第一节 二阶、三阶行列式
第一章 行列式
hang lie shi
二阶、三阶行列式的概念在中学已有介绍，在此进一步复习巩固。
一、二阶行列式
对于二元线性方程组
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 ， b2 ，
由消元法得
((aa1111aa2222
a12a21 )x1 a12a21 )x2
第一章 行列式
第一章 行列式
行列式的概念是由解线性方程组 引入的，是线性代数中最基本的内容， 也是学习矩阵与线性方程组的理论基 础。本章主要包括行列式的概念、性 质、展开及应用——克莱姆法则。
目录
1 第一节 二阶、三阶行列式 2 第二节 n阶行列式 3 第三节 行列式的性质 4 第四节 行列式的展开 5 第五节 行列式的应用
研究问题的简捷，引入记号
第一章 行列式
hang lie shi
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
来表示变形方程（1-3）中 x1的系数，它是由未知量系数排成三行三列构成的，
称为三阶行列式，即
a11 a12 a13
D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
显然， D1 ，D2 可看作是以 b1 ，b2 为一列分别取代Ｄ中第1列、第2列得到。
于是，方程组的解可表示为
x1
D1 D
，
x2
D
．
由此，二元线性方程组可通过其未知量系数、常数项构成的二阶行列式
1.1_行列式的定义
a11
a1 j 1
a1 j 1
a1n
ai 11 ai 1 j 1 ai 1 j 1 ai 1n M ij ai 11 ai 1 j 1 ai 1 j 1 ai 1n an1 anj 1 anj 1 ann
求第一行各元素的代数 余子式之和
A11 A12 A1n .
解答: 第一行各元素的代数余子式之和可以表示成
A11 A12
行列式的定义
1 0 A1n 0 0
1 2 0 0
1 0 3 0
1 0 0 n
n!
线性代数
ALGEBRA
安徽工业大学 数理学院应用数学系
行列式的定义
主要教学参考书
1.《线性代数》
华中科技大学大学编
高等教育教育出版社
2.《线性代数》
王传玉编
3.《线性代数》
同济大学著
1999 年版 行列式的定义
高等教育出版社
第1.1节 行列式的定义
行列式的定义
主要内容: 一、二阶与三阶行列式 二、n阶行列式的定义
a11 0 0 0 a 21 a 22 0 0 a n1 an2 a n 3 a nn
a11a22 ann .
行列式的定义
三、思考与练习
思考题: 设n阶行列式
1 0 Dn 0 0 2 2 0 0 3 0 3 0 n 0 0 n
由消元法，得
两式相减 ，得 (a11a22 a12a21 ) x2 a11b2 b1a21 同理，得
(a11a22 a12a21 ) x1 b1a22 a12b2
《高等代数》：学习笔记
《高等代数(上)》：学习笔记这是我自学的笔记做成的电子档，其中有许多注释，尽量深入浅出，以供大家学习。
有些笔误也修正差不多了。
课本和王德明老师的符号略有不同，但意思是一样的，祝大家都能通过考试。
第一章 行列式§1.1 定义这是行列式（或写为|D|）这是矩阵，注意区别这是三元线性方程组§1.2 逆序数§1.3 n 阶行列式的代数和§1.4 行列式性质1、行列式转置值不变：2、k 可以乘上某行(列)：3、加法：某行之和 展开为两行列式之和：3阶行列式 右下斜线为正 左下斜线为负代数和n 阶排列，有n!个逆序数偶排列，正号 奇排列，负号阶排列4、互换两行(列)：负号5、两行相同(成比例)：零值6、某行乘以k加到另一行：值不变§1.5 代数余子式§1.6 范德蒙行列式第二章 线性方程组§2.1 克莱姆法则类似左边当时，方程组有唯一解：§2.2 消元法初等变换：反复对方程进行row 变换，最后剩下一个上三角矩阵。
如果线性方程组，则初等变换后的上三角矩阵，元首都不为0。
§2.3 数域§2.4 n 维向量代数余子式余子式：删去i, j 所在的行与列后得到的n-1阶行列式所在行列的和(同等于逆序数τ)表示所有可能的差 i>j如：(4-3)(4-2)(4-1)(3-2)(3-1)(2-1)只有当常数项b 不全为零时，且s=n 时才可用克莱姆法则系数行列式 (b 在1列)该解法适用于n 阶n 维基本向量组n 阶行列式数量乘积：零向量：负向量：行向量与列向量：§2.5 线性相关α线性相关α线性无关K有解，且不全0 K只有零解时不一定不能线性表出不可逆，因为分母不能为0 可逆r<n ，称退化的r=n 称非退化(或满秩)特征值有重根，不一定相关特征值无重根一定无关极大线性无关组：每个向量都不能被前面某些向量线性表出例§2.6 秩rank=极大线性无关组的向量个数§2.7 求全部解和基础解系的步骤第一步：求梯阵由向量组线性表出线性组合rank=n，有唯一解rank<n，有无穷多解不能表出，即详见书P154-155页例6有待更进一步补充常数项为0的充要条件第二步：求一般解第三步：求特解γ0第四步：求齐次的一般解第五步：求基础解系第六步：答：得全部解n-r个注：如果是求矩阵化和求特征值，只需求基础解系，又称特征向量即n维基本向量组全部解特解基础解系即第三章 矩阵附1：矩阵名词汇总：方阵： 系数矩阵：增广矩阵： 梯阵：约化梯阵：三角矩阵：对角矩阵：单位矩阵： 零矩阵：数量矩阵： 转置矩阵： 分块矩阵：满秩矩阵：逆矩阵：伴随矩阵：等价矩阵：初等矩阵：正交矩阵：相似矩阵：约当形矩阵： 二次形矩阵：实对称矩阵：(半)正定矩阵： (半)负定矩阵： 不定矩阵：标准形矩阵：附2：一般n 维线性方程组、s×n 维矩阵、n 维向量组的表示法Rank 即矩阵的秩b 即系数左下：对角线左三角形对角线上的元素 λ即特征值注：全为0时，称齐次线性方程组不全为0时，称非齐次线性方程组注：s为行数，n为列数(未知数个数)附：有的书行数用m表示注：这个既可理解为：基础解系的系数也可以理解为：矩阵对角化后对角线的元素还可以理解为：二次型的特征值(同上句) 附：本书中用拉丁字母表示向量(或称矢量，但王老师1、加(减)法：性质： 交换律：结合律：2、乘法：性质： （当，称可交换）结合律：k 次幂：非交换律：§3.2 分块 分块后矩阵的基本运算依然等价§3.3 逆矩阵伴随矩阵：求逆公式：各个元素对应相加（减），即注：A 的|row|=B 的|column|例：2 0 1× × ×+ + ＝ 51、求a ij 的代数余子式A ij2、对应的元素要转置详见书P183页 AB等价矩阵：初等矩阵：标准形：同时做行、列变换，对角线为1的个数＝r用单位矩阵求逆：附：这是一个求逆的简便方法，但易出错，3阶矩阵建议用求逆公式。
(完整版)第一章自考线性代数精讲
10 2020/6/16 线性代数 Hainan University
第一章 行列式
二、三阶行列式
定义 设有9个数排成3行3列的数表
a11 a12 a13
a21 a22 a23
(5)
记
a31 a32 a33
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
类似地，消去 x1，得 （a11a22 a12a21）x2 a11b2 b1a21,
当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为
x1
b1a22 a11a22
a12b2 ， a12a21
x2
a11b2 a11a22
b1a21 . a12a21
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（3）
由方程组的四个系数确定.
3 2020/6/16 线性代数 Hainan University
D2
a11 a21
b1 . b2
8 2020/6/16 线性代数 Hainan University
第一章 行列式
第一章 行列式
则二元线性方程组的解为
b1
x1
D1 D
b2 a11
a21
a12 a22 , a12 a22
a11
x2
D2 D
a21 a11
a21
b1 b2 . a12 a22
注意 分母都为原方程组的系数行列式.
a11 x1 a12 x2 b1, a21x1 a22 x2 b2 .
D a11 a12 , a21 a22
赵树嫄-《线性代数(第五版)》第一章 行列式
(二) n 阶行列式
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
(1) 三阶行列式共有 3! = 6 项． (2) 每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积． (3) 每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个
a12a31b2 a11a22b3 a12a21b3 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
10
x3
b1a21a32 a11a22a33
a22a31b1 a11a32b2 a12a23a31 a13a21a32
a12a31b2 a11a22b3 a11a23a32 a12a21a33
(a12a31 a11a32 ) x2
(a13a31 a11a33 ) x3
a31b1 a11b3
(a22 )
(a22a31 a21a32 ) x2 (a23a31 a21a33 ) x3 a31b2 a21b3 a12
x3
b1a21a32 a22a31b1 a11a32b2 a11a22a33 a12a23a31 a13a a21 32
1 1 1
0 1 1
1 2 1
1 2 2
D2 2 1 3 10, D3 2 1 1 5,
1 0 1
1 1 0
故方程组的解为
x1
D1 D
1,
x2
D2 D
2,
x3
《线性代数》课件-第2章方阵的行列式
教学难点：n阶行列式的计算，拉普拉斯定理的应用.
教学时间：6学时.
§1 n 阶行列式的定义
设n阶方阵A=(aij),称
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
为方阵A 的行列式,记为| A |或det A .
1.1 n 阶行列式的引出
于是D中可能不为0的均布项可以记为
a a a b b . 1p1 1p2
mpm 1q1
nqn
这里，pi=ri,qi=rm+i-m,设l为排列p1p2 …pm(m+q1) …(m+qn)的 逆序数。以t，s分别表示排列p1p2 …pm及q1q2 …qn的逆序数，
应有l= t+s，于是
D
(1)l a1p1 a2 p2 a b b mpm 1q1 2q2 bnqn
b2
a2n , j 1, 2, , n.
an1
bn
ann
提出三个问题
（1）D=？（怎么算）？
（2）当D≠0时，方程组是否有唯一解？
（3）若D≠0时，方程组有唯一解，解的形式 是否是
xj
Dj D
,
j 1,2,
, n.
1.2 全排列及其逆序数
1、全排列 用1，2，3三个数字可以排6个不重复三位数即：
第二章 方阵的行列式
行列式是一种常用的数学工具，也是代数学中必不可 少的基本概念，在数学和其他应用科学以及工程技术中有 着广泛的应用。本章主要介绍行列式的概念、性质和计 算方法。
教学目的：通过本章的教学使学生了解行列式的概念， 掌握行列式的性质，会计算各种类型的行列式.
行列式的若干种计算方法
内蒙古财经大学本科学年论文行列式的若干种计算方法作者姚淑娟系别统计与数学学院专业信息与计算科学年级2009级学号902094131指导教师李明远导师职称讲师内容提要的矩阵A,取值为一个标量,写作行列式在数学中是一个函数,其定义域为n nA.行列式是一个重要的数学工具,不仅在数学中有广泛的应用,而且在其它学科中det()也会经常遇到.例如在初等代数中,为了求解二元和三元线性方程组,而引入了二阶和三阶行列式.鉴于行列式在数学各领域的重要性,其计算的重要性也不言而喻.本文介绍了计算行列式的重要方法有画三角形法,初等变换法,将行列式按行或按列展开法,加边法或升阶法,事实上,这四种方法的解题思路都是根据行列式的性质,将行列式化为上三角行列式或者下三角行列式.另外一类重要的方法就是根据拉普拉斯（Laplace）定理计算行列式,拉普拉斯定理引入了k阶子式和代数余子式的概念,使得计算行列式变得更加简便.而范德蒙德（Vandermonde）行列式只适用于满足条件的行列式才可以用,有一定的局限性.关键词: n级行列式初等变换降阶法拉普拉斯（Laplace）定理范德蒙德（Vandermonde）行列式.目录一、二阶行列式和三阶行列式的简单解法 (1)(一)解二阶行列式 (1)(二)解三阶行列式 (1)二、n阶行列式的概念及其解法 (2)（一）逆序数 (2)（二）n阶行列式的定义 (2)（三）n阶行列式的性质 (3)三、n阶行列式的解法 (4)（一）定义法求解行列式 (4)（二）化三角形法求解行列式 (5)（三）利用初等变换求解行列式 (5)（四）将行列式按行或按列展开求解行列式 (6)（五）加边法或升阶法 (8)（六）拉普拉斯（Laplace）定理 (8)（七）范德蒙德（Vandermonde）行列式 (11)参考文献 (14)行列式的若干种计算方法行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中.十七世纪晚期,关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式.十八世纪开始,行列式开始作为独立的数学概念被研究.十九世纪以后,行列式理论进一步得到发展和完善.矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现,行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用,出现了线性自同态和向量组的行列式的定义.无论是在线性代数、多项式理论,还是在微积分学中（比如说换元积分法中）,行列式作为基本的数学工具,都有着重要的应用.一、二阶行列式和三阶行列式的简单解法(一)解二阶行列式对二元线性方程组111222a xb y d a x b y d +=⎧⎨+=⎩ 进行消元可得12121212()a b b a x d b b d -=-, 12121212()a b b a y a d d a -=-.若1212a b b a -0≠则方程组有唯一解1212121212121212d b b d x a b b a a d d a y a b b a -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩, 为了便于记忆这些解的公式我们引入二阶行列式[1]11122122a a a a 11221221a a a a =-其中ij a 叫做行列式的元素,那么利用二阶行列式方程组的解可表示为11221122d b d bx a b a b =,11221122a d a d y a b a b =.例1.1 计算二阶行列式111212121222335155a b a b b a a b b a a b =⨯-=-.(二)解三阶行列式为了得出关于三元线性方程组的类似解法,我们引入三阶行列式111213212223112233213213122331132231233211122133313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++---.若方程组的系数行列式1112223330a b c D a b c a b c =≠ 则方程组有唯一解1D x D =,2Dy D =,3D z D =.其中1111222333d b c D d b c d b c =,1112222333a d c D a d c a d c =,1113222333a b d D a b d a b d =.例1.2 计算三阶行列式12121311(1)(2)(3)(1)12111(1)(2)2(1)1(3)1111--=⨯⨯-+-⨯-⨯-+⨯⨯-⨯⨯---⨯⨯--⨯-⨯-- 5=-.从上面的例子可以看出如果未知量的个数与方程组的个数相等,且它们的系数行列式不等于0,那么用行列式求解是方便的.但在实际应用中遇到的线性方程组的个数往往较多,因此需要把二阶和三阶行列式加以推广,从而引入了n 阶行列式的概念.二、n 阶行列式的概念及其解法（一）逆序数:在一个排列中如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的数,那么它们就称为一个逆序,一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数.排列12n j j j 的逆序数记为12()n j j j τ .[2] （二）n 阶行列式的定义111212122212nn n n nna a a a a a a a a等于取自不同行不同列的n 个元素的乘积1212n j j nj a a a 的代数和,这里12n j j j 是1,2,,n 的一个排列.上述定义可表示为:111212122212nn n n nna a a a a a a a a121212()12(1)n nnj j j j j nj j j j a a a τ=-∑ .这里12()n j j j τ 表示n 阶排列的逆序数,12nj j j ∑表示对所有n 阶排列求和.（三）n 阶行列式的性质性质1 行列互换行列式不变,即111211121121222122221212=n n n n n n nnnn nna a a a a a a a a a a a a a a a a a.由性质1可以得到下三角行列式112122112212300000nn n n n nna a a a a a a a a a = .性质2 一行的公因式可以提出来,即111211112112121212n n i i in i i inn n nn n n nna a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a =.事实上如果k 0=就有如果行列式中有一行（列）为0那么行列式为0.推论:行列式的某一行（列）的元素等于0则行列式等于0. 性质3 把一行（列）的倍数加到另一行（列）行列式不变. 即111211112111221212121212n ni k i k in kni i ink k kn k k kn n n nnn n nna a a a a a a ca a ca a ca a a a a a a a a a a a a a a a +++=.性质4 对换行列式中两行（列）的位置行列式反号. 即1112111121121212121212n n i i in k k knk k kn i i inn n nnn n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =-.以上行列式的四种性质在行列式的初等变换中会用到,会简化计算步骤.性质5 如果行列式中某一行是两组数的和,则这个行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别以这两组数作为该行,而其余各行与原行列式对应各行相同. 即11121111211112111221212121212n n n n n n n n n nn n n nn n n nna a a a a a a a abc b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++=+ . 性质6 如果行列式中有两行（列）相同那么行列式为0.所谓两行相同就是说两行的对应元素都相等.性质7 如果行列式中两行（列）成比例那么行列式为0. 即11121111211212121212120n n i i in i i ini i in i i inn n nnn n nna a a a a a a a a a a a k ka ka ka a a a a a a a a a ==.行列式有其这些特有的性质,可以帮助我们快速的求解一些行列式.三、n 阶行列式的解法（一）定义法求解行列式例3.1 解行列式0000000000b f d a c e123412341234()1234(1)j j j j j j j j j j j j a a a a τ=-∑.观察行列式中元素0的位置,以及由4级排列中个数不能相等,可知12343,1,4,2,j j j j ====因此1234()(3142)3,j j j j ττ==则33112432400000(1)00000b f da a a a abcd a ce =-=-.（二）化三角形法求解行列式思路:化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法.例3.2 计算行列式12137185258213024D =解: 首先给第1行分别乘-7,-5,-3分别加到第2,3,4行上再交换第2,3两行的位置;给第二行分别乘以2,-3后分别加到第3,4行上;最后给第3行乘1加到第4行即可.12137185258213024D =1213023140421906115---=------121302314008470837---=---12130231400847010---=----160=（三）利用初等变换求解行列式思路:利用行列式的性质对行列式进行变换直到转换成上三角或下三角行列式. 例3.3 计算行列式-25-131-91373-15-528-7-10解:第一步是互换第1,2行以下都是把一行的倍数加到另一行.-25-131-91373-15-528-7-10191372513315528710---=-----1913701325170263426263324--=-----19137013251700168001710--=-1913701325170016830002--=-3(13)16()131833122=--⋅⋅=⋅⋅=(四)将行列式按行或按列展开求解行列式思路:行列式等于某一行的元素分别与它们的代数余子式的乘积之和. 在行列式111111j n i ijinn nj nna a a a a a a a a中划去元素ij a 所在的第i 行与第j 列剩下的2(1)n -个元素按原来的排法构成一个1n -级的行列式111,11,111,11,11,11,1,11,11,11,1,1,1j j n i i j i j i n i i j i j i nn n j n j nna a a a a a a a a a a a a a a a -+----+-++-+++-+,称为元素ij a 的余子式记为ij M .111,111,111,11,11,1,11,1,11,11,1,11,1,1,100100j j j n i i j i ji j i nij i i j i ji j i nn n j njn j nna a a a a a a a a a A a a a a a a a a a a -+-----+-++-++++-+=111,11,1111,11,11,11,1,()()1,11,11,11,1,1,1,1(1)00001j j n j i i j i j i n i j n i n j i i j i j i ni j n n j n j nn nj a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+----+---+-++-++++-+=-2()(1)(1)n i j i j ij ij M M -++=-=-.这里的ij A 称为元素ij a 的代数余子式. 例3.4.1 计算行列式5312017252023100414002350----解:这里第一步是按第5列展开然后再按第1列展开这样就归结到一个三级行列式的计算.5312017252023*******02350---- 2553120231(1)204140235+--=---23110072066-=-- 72(10)(2)20(4212)108066-=--=--=- 常用的按行（列）展开方法中还有一种解法叫做降阶法 例3.4.2 计算行列式000000000000n x y x y D x y yx=解:利用按行按列展开定理把原行列式按第1列展开10000000(1)0000000n n x y y x y D xy x y xx y +=+-.降阶后的两个低阶行列式都是三角形行列式故原行列式的值为!(1)n n n n D x y +=+-. （五）加边法或升阶法思路:加边法最大的特点就是要找每行或每列相同的因子那么升阶之后就可利用行列式的性质把绝大多数元素化为0 这样就达到简化计算的效果 例3.5 求行列式的值2112122122212111n nn n n n x x x x x x x x x x D x x x x x ++=+ 解:行列式第1列有共同元素1x 第2列有共同元素2x ,…,第 n 列有共同元素n x .根据这些特点给原行列式加边得1221121221222121010101n n n nn n n x x x x x x x x D x x x x x x x x x x +=++给加边后的行列式的第1行乘i x 加到第i 行上(1,2,,i n = )得222121212121110001000100010011n n n n nx x x x x x x x x x D x x ++++-=-=-222121+n x x x =+++ 211ni i x ==+∑.（六）拉普拉斯（Laplace ）定理 设在行列式D 中任意取定了(11)k k n ≤≤-个行,由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D . 例3.6 在行列式1214012110130131D =中取定第一、二行.得到六个子式:11201M =-,21102M =,31401M =,42112M =-,52411M =-,61421M =.它们对应的代数余子式为(12)(12)''111(1)A M M +++=-=,(12)(13)''222(1)A M M +++=-=-,(12)(14)''333(1)A M M +++=-=,(12)(23)''444(1)A M M +++=-=, (12)(24)''555(1)A M M +++=-=-,(12)(34)''666(1)A M M +++=-=.根据拉普拉斯定理112266D M A M A M A =+++121311031401013102110113=⋅-⋅+⋅-211324111410120111032101+⋅-⋅+⋅-- (1)(8)2(3)1(1)5163(7)1=-⨯--⨯-+⨯-+⨯-⨯+-⨯ 86151877=+-+--=-从这个例子来看利用拉普拉斯定理来计算行列式一般是不方便的.这个定理主要是在理论方面应用.推论 两个n 级行列式1D =111212122212nn n n nna a a a a a a a a和1112121222212n n n n nnb b b b b b D b b b =的乘积等于一个n 级行列式111212122212nn n n nnc c c c c c C c c c =.其中ij c 是1D 的第i 行元素分别与2D 的第j 列的对应元素乘积之和,1122ij i j i j in nj c a b a b a b =+++ .证明:作一个2n 级行列式111212122212111212122212000000000100010001n n n n nnn n n n nna a a a a a a a a Db b b b b b b b b =---根据拉普拉斯定理将D 按前n 行展开.则因D 中前n 行除去左上角那个n 级子式外其余的n 级子式都等于0.所以11121111212122221222121212n n n n n n nn n n nna a ab b b a a a b b b D D D a a a b b b ==.现在来证D C =.对D 作初等变换.将第1n +行的11a 倍第2n +行的12a 倍…第2n 行的1n a 倍加到第一行得111211222212111212122212000000000100010001n n n n nnn n n n nn c c c a a a a a a D b b b b b b b b b =--- .再依次将第1n +行的1(2,3,,)k a k n = 倍第2n +行的2k a 倍…第2n 行的kn a 倍加到第k 行就得111212122212111212122212000000000100010001n n n n nnn nn n nn c c c c c c c c c D b b b b b b b b b =---.这个行列式的前n 行也只可能有一个n 级子式不为0,因此由拉普拉斯定理111212122212nn n n nnc c c c c c D c c c =(12)(122)100010(1)01n n n n C ++++++++--⋅-=-.定理得证.（7）范德蒙德（Vandermonde ）行列式12322221231111231111n n n n n n n n a a a a d a a a a a a a a ----=(1)称为n 级范德蒙德（Vandermonde ）行列式.我们来证明对任意的n (2)n ≥n 级范德蒙德行列式等于12,,,n a a a 这n 个数的所有可能的差(1)i j a a j i n -≤≤≤的乘积.我们对n 作归纳法 当2n =时,211211a a a a =-结论是对的.设对于1n -级的范德蒙德（Vandermonde ）行列式结论成立;现在来看n 级的情形.在行列式d 中第n 行减去第1n -行的1a 倍,第1n -行减去第2n -的1a 倍.也就是由下而上依次的从每一行减去它上一行的1a 倍有21311222212313112121221231311111000n n nn n n n n n n n a a a a a a d a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---------=------2131122221231311212122123131n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ------------=---1232222213111231111231111()()()nn n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a ----=---后面这个行列式是1n -级的范德蒙德行列式根据归纳法假设它等于所有可能差(1)i j a a j i n -≤≤≤的乘积;而包含1a 的差全在前面出现了.因此结论对n 级范德蒙德行列式也成立.用连乘号这个结果可以简写为123222212311111231111()n n i j j i nn n n n n n a a a a a a a a a a a a a a ≤≤≤----=∏-.由这个结果立即得出范德蒙德行列式为0的充分必要条件是12,,,n a a a 这n 个数中至少有两个相等. 例3.7 证明111111111111111111110000kk r k kk k r k kkr rrr rkr rra a a ab b a ac c b b a a b b c c b b =.我们对k 用数学归纳法 当k =1时上式的左端为11111111100r r r rr a c b b c b b按第一行展开就得到所要的结论.假设上式对1k m =-,即左端行列式的右上角是1m -级时已经成立,现在来看k m =的情形,按第一行展开有1111111111110000k k kk k r r rk r rra a a a c cb bc c b b222211121111210000m m mmmr r rm r rra a a a a c cb bc c b b =+212,12,121,1,111111,11,111111,1,110000(1)i i m m m i m i mmi i i i m r r r i r i rm r rr a a a a a a a a a c c c c b b c c c c b b -+-++-+-++-+212,11,111111,11111,110000(1)m m m m mmm r r r m r rra a a a a c cb bc c b b --+--+-222212,12,12212,111111121,1,11,1(1)(1)m i i m m i m i mm mm m m i m i mmm m m a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+-++-+-⎡⎤⎢⎥=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦1111r r rr b b b b ⋅ 11111111k rk kkr rr a a b b a a b b = .这里第二个等号是用了归纳法假定最后一步是根据按一行展开的公式.根据归纳法原理上式普遍成立.行列式的解法有很多,以上介绍的是计算行列式最常用的几种方法,行列式类型有很多在具体的求解过程中要根据行列式本身的结构特点选取恰当的方法.通常选取的方法是初等变换法和画三角形法,而行列式的性质也是求解行列式的非常简便的方法之一,因此要熟记行列式的性质.另外, 拉普拉斯（Laplace ）定理及范德蒙德（Vandermonde ）行列式有其特定行列式的形式,因此二者适合于满足其条件的行列式的求解问题.参考文献[1] 俞正光,李永乐,詹汉生,线性代数与解析几何,北京,清华大学出版社,1998.5;[2] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组,高等代数高等教育出版社,2003.7,第3版;[3] 行列式的计算方法,/view/1e09d981e53a580216Fcfe10.html,2012.5.10;[4] 行列式的计算方法ppt,/f/11605140.html?from=like,2012.5.10.后记在本论文的写作过程中,我的导师李明远老师对我帮助很大,从写作提纲,到一遍又一遍地指出每稿中的具体问题,严格把关,循循善诱,并给我提供了很多建议,非常耐心的对我进行指导,告诉我应该注意的细节问题,细心的给我指出错误,在此我表示衷心感谢.。