线性代数课后习题1答案(谭琼华版)
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线性代数课后题详解
第一章 行列式
1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： (1)
；
21-1
2 解：；5)1(1222
1-12=-⨯-⨯= (2)
；1
1
12
2
++-x x x
x 解：
；
1)1)(1(11
1232222--=-++-=++-x x x x x x x x x x (3) ;22b
a b a
解：
;222
2ba ab b a b
a -=
(4)
;5
984131
11 解：
;59415318119318415115
984131
11=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
(5)
;0
00
00d
c b a
解：
;00000000000000
00=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=d c b a d b c a d
c b
a (6)
.132213321 解：
.183211322133332221111
322133
21=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
2.求下列排列的逆序数： （1）34215；
解：3在首位，前面没有比它大的数，逆序数为0；4的前面没有比它大的数，逆序数为0；2的前面有2个比它大的数，逆序数为2；1的前面有3个比它大的数，逆序数为3；5的前面没有比它大的数，逆序数为0.因此排列的逆序数为5. （2）4312；
解：4在首位，前面没有比它大的数，逆序数为0；3的前面有1个比它大的数，逆序数为1；1的前面有2个比它大的数，逆序数为2；2的前面有2个比它大的数，逆序数为2.因此排列的逆序数为5.
（3）n(n-1)…21；
解：1的前面有n-1个比它大的数，逆序数为n-1；2的前面有n-2个比它大的数，逆序数为n-2；…；n-1的前面有1个比它大的数，逆序数为1；n 的前面没有比它大的数，逆序数为0.因此排列的逆序数为n(n-1)/2.
(4）13…(2n-1)(2n) …42.
解：1的前面没有比它大的数，逆序数为0；3的前面没有比它大的数，逆序数为0；…；2n-1的前面没有比它大的数，逆序数为0；2的前面有2n-2个比它大的数，逆序数为2n-2；4的前面有2n-4个比它大的数，逆序数为2n-4；…；2n 的前面有2n-2n 个比它大的数，逆序数为2n-2n.因此排列的逆序数为n(n-1). 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为 43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□，
即1324或1342.对应的t 分别为
10100=+++或22000=+++
∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.
4.计算下列各行列式：
(1)
71100
251020214214
；
解：
7110025102
021
4214343
27c c c c --0
1
14
23102021
10214
---=
34)1(14
3
10
2211014
+-⨯--- =-
14
3
10
2211014
--3
2
1
132c c c c ++-
14
17172
1099
-= 0.
(2)
;0111101111011
110
解：
0111101111011
1104342c c c c --0
1
1
1
1
10110111000--=14)1(1
11
101
1
1+-⨯-- =-1
1
1
101
01
1--
12c c +-1
2
1111
001-=-
1
2
11-=-3.
(3)
ef cf bf de cd bd ae ac ab
---；
解：
1
1
1
111
111---=---=---abcdef f
f
f
d d d a a a bc
e ef
cf
bf
de cd bd ae ac ab
3
231c c c c -+1
2
12
2100--abcdef
=.41
21
02)1(1
2abcdef abcdef
=-⨯-+
(4)
;100110011001d
c b a
---
解：
d c b
a 100
11001
10
01---21ar r +d
c
b a ab 10
1
10011
010
---+=)
1()
1(1
2-⨯-+d
c
a a
b 10
1
101--+
2
3dc c +0
10
111-+-+cd c
ad
a a
b =)
1()1(23-⨯-+cd
ad ab +-+11
1
=1++++ad cd ab abcd .
(5)
;222222b
a c c
c
b c a b b a a c
b a ------
解：
b a
c c c
b c a b b a
a c
b a ------2222223
231c c c c --b
a c c
b a
c b a b c b a a c
b a --++++------2020 13r r +b a
c c b a b c b a a c b a -+++------02020
23r r +b
a c
b
c b a a c
b a ++------002020=3)(
c b a ++. (6)
;15023
21353140422
-----
解:
150
2
321353
140
422-----134152c c c c --10
31319
5
22160
422
------=1319221642
2-----2
32
12c c c c ++1511024170
20--- =15
10
247
2---=.270]10)24(157[2-=⨯--⨯--