数学九年级上册 圆 几何综合专题练习(解析版)

数学九年级上册 圆 几何综合专题练习（解析版）

一、初三数学 圆易错题压轴题（难）

1．如图，二次函数y=x 2-2mx+8m 的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边且OA≠OB ),交y 轴于点C ，且经过点（m ，9m ）,⊙E 过A 、B 、C 三点。 （1）求这条抛物线的解析式； （2）求点E 的坐标；

（3）过抛物线上一点P （点P 不与B 、C 重合）作PQ ⊥x 轴于点Q ，是否存在这样的点P 使△PBQ 和△BOC 相似？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，说明理由

【答案】（1）y=x 2

+2x-8（2）（-1，-

72）（3）（-8，40），（-15

4，-1316），（-174

，-25

16

） 【解析】

分析：（1）把(),9m m 代入解析式，得：22289m m m m -+=，解这个方程可求出m 的值；

（2）分别令y =0和x =0，求出OA ，OB ，O C 及AB 的长，过点E 作EG x ⊥轴于点

G ,EF y ⊥轴于点F ,连接CE ，AE ,设OF =GE =a ,根据AE CE = ，列方过程求出a 的值，

从而求出点E 的坐标；

（3）设点P (a , a 2+2a -8)， 则2

28,2PQ a a BQ a =+-=-，然后分PBQ ∽CBO 时

和PBQ ∽BCO 时两种情况，列比例式求出a 的值，从而求出点P 的坐标.

详解：（1）把(),9m m 代入解析式，得：22289m m m m -+= 解得：121,0m m =-=（舍去） ∴228y x x =+-

（2）由（1）可得：2

28y x x =+-，当0y =时，124,2x x =-=;

∵点A 在点B 的左边 ∴42OA OB ，== ， ∴6AB OA OB =+=， 当0x =时，8y =-， ∴8OC =

过点E 作EG x ⊥轴于点G ,EF y ⊥轴于点F ,连接CE ，,

则11

6322

AG AB =

=⨯= ，

设

，则

， 在Rt AGE ∆中，，

在

中，

()2

22218CE EF CF a =+=+-，

∵AE CE = ，

∴()2

2918a a +=+- ，

解得：7

2a =

， ∴712E ⎛

⎫-- ⎪⎝

⎭

，

； （3）设点()2,28a a a P +-，

则2

28,2PQ a a BQ a =+-=-， a.当PBQ ∆∽CBO ∆时，

PQ CO

BQ OB =，即228822

a a a +-=-， 解得：10a =（舍去）；

22a =（舍去）；38a =- ，

∴()18,40P - ；

b.当PBQ ∆∽BCO ∆时，

PQ BO

BQ CO =，即228228

a a a +-=-， 解得：12a =（舍去），2154a =-；317

4

a =- ， ∴21523,416P ⎛⎫-

- ⎪⎝⎭；31725416P ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

， ； 综上所述，点P 的坐标为：()18,40P -，21523,416P ⎛⎫--

⎪⎝⎭，31725416P ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

， 点睛：本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与坐标轴的交点，垂径定理，勾股定理，相似三角形的性质和分类讨论的数学思想，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系、相似三角形的性质是解答本题的关键.

2．如图，在直角体系中,直线AB 交x 轴于点A(5,0),交y 轴于点B,AO 是⊙M 的直径,其半圆交AB 于点C,且AC=3.取BO 的中点D,连接CD 、MD 和OC ． （1）求证：CD 是⊙M 的切线；

（2）二次函数的图象经过点D 、M 、A,其对称轴上有一动点P,连接PD 、PM,求△PDM 的周长最小时点P 的坐标；

（3）在（2）的条件下,当△PDM 的周长最小时,抛物线上是否存在点Q ，使S △PDM =6S △QAM ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】解：（1）证明：连接CM ，

∵OA 为⊙M 直径，∴∠OCA=90°．∴∠OCB=90°． ∵D 为OB 中点，∴DC=DO ．∴∠DCO=∠DOC ． ∵MO=MC ，∴∠MCO=∠MOC ． ∴

．

又∵点C 在⊙M 上，∴DC 是⊙M 的切线． （2）∵A 点坐标（5，0），AC=3 ∴在Rt △ACO 中，．

∴545(x )x 5)12152-

=--（，∴，解得10

OD 3

=

． 又∵D 为OB 中点，∴

1552

+．∴D 点坐标为（0，154)．

连接AD ，设直线AD 的解析式为y=kx+b ，则有

解得．

∴直线AD 为

．

∵二次函数的图象过M （5

6

，0)、A(5，0)， ∴抛物线对称轴x=

15

4

． ∵点M 、A 关于直线x=154对称，设直线AD 与直线x=15

4

交于点P ， ∴PD+PM 为最小．

又∵DM 为定长，∴满足条件的点P 为直线AD 与直线x=15

4

的交点． 当x=

15

4时，45y (x )x 5)152

=

--（． ∴P 点的坐标为（15

4，56

）． （3）存在．