2015年福建省高职单招数学试卷
2015A单考单招数学试卷
2015A单考单招数学试卷DD.65π13.二次函数34)(2-+=x axx f 的最大值为5,则=)3(fA. 2B.2-C.29D.29- 14.已知53sin =α,且),,2(ππα∈则=+)4tan(πα A.7- B.7 C.71- D.71 15.在ABC∆中,若三角之比,4:1:1::=C B A 则=C B A sin :sin :sinA.4:1:1B.3:1:1C. 2:1:1D ．3:1:1 16.已知0)2)(2(2=++-y x x ,则3xy 的最小值为 CA.2-B.2C.6-D.26-17.下列各点中与点)0,1(-M 关于点)3,2(H 中心对称的是A.)1,0( B )6,5( C. )1,1(- D. )6,5(-18.焦点在x 轴上,焦距为8的双曲线,其离心率e=2.则双曲线的标准方程为 A. 112422=-y x B.141222=-y x C.112422=-x yD.141222=-x y二．填空题：(本大题共8小题，每小题3分，共24分) 19.不等式772>-x 的解集为（用区间表示）20.若),0(tan ≠=a ab α则=+αα2sin 2cos b a a 21.已知AB =()7,0-,=-BA AB 3 28 22.当且仅当∈x 时，三个数4，9,1-x 成等比数列23.在“剪刀、石头、布”游戏中，两个人分别出“石头”与“剪刀”的概率=P 2/9 24.二项式12332)2(xx +展开式的中间一项为Y25.体对角线为3cm 的正方体，其体积=Vo X26.如图所示，在所给的直角坐标系中，半径为2，且与两坐标轴相切的圆的标准方为三．解答题:(本大题共8小题，共60分)(题26图)（解答题应写出文字说明及演算步骤）27.（本题满分7分）平面内，过点)6,(),,1(n B n A -的直线与直线012=-+y x 垂直，求n 的值.28.( 本题满分7分)已知函数{=)(x f 0,230,12<-≥-x x x x ,求值:(1))21(-f ;(2分) (2))2(5.0-f ;(2分)(3))1(-t f .(3分)29 （本题满分7分）课外兴趣小组共有15人，其中9名男生，6名女生，其中1名为组长，现要选3人参加数学竞赛，分别求出满足下列各条件的不同选法数． (1)要求组长必须参加；(2分)(2)要求选出的3人中至少有1名女生；(2)(3)要求选出的3人中至少有1名女生和1名男生．(3分)30.(9分)根据表中所给的数字填空格,要求每行的数成等差数列,每列的数成等比数列.求：(1)c b a,,的值;(3分)(2)按要求填满其余各空格中的数;(3分)(3)表格中各数之和.(3分)cba21 11 2(题30表格)31.( 本题满分6分)已知2)3cos(4)sin(3)(+-+-=ππax ax x f (0≠a )的最小正周期为32, (1)求a 的值;(4分) (2))(x f 的值域.（2分） 32.( 本题满分7分)在ABC∆中，若，23,3,1==∠=∆ABC S B BC π,求角C .33. (本题满分7分)如图所示, 在棱长为a正方体1111D C B A ABCD -中,平面C AD 1把正 方体分成两部分;求:(1)直线B C 1与平面C AD 1所成的角; (2分)(2)平面D C 1与平面C AD 1所成二面角的 平面角的余弦值; (3分)(3)两部分中体积大的部分的体积. (2分)(题33图)34.( 本题满分10分)已知抛物线yx42= ，斜DA BCB 1 A 1 D 1C 1率为k 的直线L 过其焦点F 且与抛物线相交于点)(),,(2,211y xB y x A .（1）求直线L 的一般式方程；(3分) （2）求AOB ∆的面积S ；(4分)（3）由（2）判断：当直线斜率k 为何值时AOB∆的面积S 有最大值；当直线斜率k 为何值时AOB ∆的面积S 有最小值.(3分)YBA X(题34图) 参考答案 一、选择题1．D 2.C 3.A 4.C 5.C 6.B 7.D 8.C 9.A 10.D 11.D 12.C 13.C 14.D 15.B 17.B 18.A二、填空题19．(－∞，0)∪（7，+∞） 20．A21.28 22.{7,-5} 23.9224．5612672-=xC T25．33 26．4)2()2(22=+++y x三、27．34n 4(,216==+-分），n n （3分） 28．⑴4；⑵－21⑶当t －1≥0，即t ≥1时，f(t-1)=2t -2t ；t 《1时，f(t-1)= -2t+529．⑴214C =91；⑵39315C C-=371；⑶16292619C C CC +=35130． 161 323 81 325 16381 16341 16583 41 83 2185 43 2143 1 45 231212253每一列的公比都是2，分行或分列求和就可以了 31．⑴y=-5sin(ax+θ)+2；（2分） a=±3π（2分）⑵[－3，7]32．AB=2，（2分） AC=3；（2分）；C=9033．⑴0；⑵33⑶365a 34．⑴焦点F(0，1) （1分） 直线kx-y+1=0 (2分)⑵点到直线距离公式求高2分，弦长公式求底1分，面积表示1分。
2015年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)文数答案解析(正式版)(解析版)
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若(1)(23)i i a bi ++-=+（,,a b R i ∈是虚数单位），则,a b 的值分别等于（ ） A ．3,2- B ．3,2 C ．3,3- D ．1,4- 【答案】A 【解析】试题分析：由已知得32i a bi -=+，所以3,2a b ==-，选A ． 考点：复数的概念．2．若集合{}22M x x =-≤<，{}0,1,2N =，则MN 等于（ ）A ．{}0B ．{}1C ．{}0,1,2D {}0,1 【答案】D考点：集合的运算．3．下列函数为奇函数的是( )A ．y x =B ．x y e =C ．cos y x =D ．x x y e e -=-【答案】D 【解析】试题分析：函数y x =和x y e =是非奇非偶函数； cos y x =是偶函数；x x y e e -=-是奇函数，故选D ．考点：函数的奇偶性．4．阅读如图所示的程序框图，阅读相应的程序．若输入x 的值为1，则输出y 的值为（ ） A ．2 B ．7 C ．8 D ．128【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，该程序表示分段函数2,2,9,2x x y x x ⎧≥=⎨-<⎩，则(1)918f =-=，故选C ．考点：程序框图． 5．若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】C考点：基本不等式． 6．若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于（ ） A ．125 B ．125- C ．512 D ．512-【答案】D 【解析】试题分析：由5sin 13α=-，且α为第四象限角，则212cos 1sin 13αα=-=，则sin tan cos ααα= 512=-，故选D ． 考点：同角三角函数基本关系式．7．设(1,2)a =，(1,1)b =，c a kb =+．若b c ⊥，则实数k 的值等于（ ） A ．32-B ．53-C ．53D ．32【答案】A考点：平面向量数量积．8．如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)．且点C 与点D 在函数1,0()11,02x x f x x x +≥⎧⎪=⎨-+<⎪⎩的图像上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率等于（ ） A ．16 B ．14 C ．38 D ．12xyOBCDAF【答案】B考点：古典概型．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ） A ．822+ B ．1122+ C ．1422+ D ．151112【答案】B【解析】学科网试题分析：由三视图还原几何体，该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，且底面直角梯形的两底分别为12，，直角腰长为1，斜腰为2．底面积为12332⨯⨯=，侧面积为则其表面积为2+2+4+22=8+22，所以该几何体的表面积为1122+，故选B．考点：三视图和表面积．10．变量,x y满足约束条件220x yx ymx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，若2z x y=-的最大值为2，则实数m等于（）A．2-B．1-C．1D．2【答案】C【解析】x–1–2–3–41234–1–2–3–4123BOC试题分析：将目标函数变形为2y x z =-，当z 取最大值，则直线纵截距最小，故当0m ≤时，不满足题意；当0m >时，画出可行域，如图所示， 其中22(,)2121mB m m --．显然(0,0)O 不是最优解，故只能22(,)2121m B m m --是最优解，代入目标函数得4222121m m m -=--，解得1m =，故选C ． 考点：线性规划．11．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ） A ． 3(0,]2 B ．3(0,]4C ．3[,1)2 D ．3[,1)4【答案】A考点：1、椭圆的定义和简单几何性质；2、点到直线距离公式． 12．“对任意(0,)2x π∈，sin cos k x x x <”是“1k <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B考点：导数的应用．第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的相应位置.13．某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为_______． 【答案】25 【解析】试题分析：由题意得抽样比例为45190020=，故应抽取的男生人数为15002520⨯=． 考点：分层抽样．14．若ABC ∆中，3AC =，045A =，075C =，则BC =_______．【答案】2 【解析】试题分析：由题意得018060B A C =--=．由正弦定理得sin sin AC BC B A =，则sin sin AC ABC B=， 所以232232BC ⨯==．考点：正弦定理．15．若函数()2()x af x a R -=∈满足(1)(1)f x f x +=-，且()f x 在[,)m +∞单调递增，则实数m 的最小值等于_______． 【答案】1 【解析】试题分析：由(1)(1)f x f x +=-得函数()f x 关于1x =对称，故1a =，则1()2x f x -=，由复合函数单调性得()f x 在[1,)+∞递增，故1m ≥，所以实数m 的最小值等于1． 考点：函数的图象与性质．16．若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于________． 【答案】9考点：等差中项和等比中项．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．【答案】（Ⅰ）2n a n =+；（Ⅱ）2101． 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用基本量法可求得1,a d ，进而求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列前n 项和，首先考虑其通项公式，根据通项公式的不同特点，选择相应的求和方法，本题2nn b n =+，故可采取分组求和法求其前10项和．试题解析：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ．由已知得()()11143615a d a d a d +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得131a d =⎧⎨=⎩． 所以()112n a a n d n =+-=+．考点：1、等差数列通项公式；2、分组求和法． 18．（本题满分12分）全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响了的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示．组号分组 频数 1 [4,5) 2 2 [5,6) 8 3[6,7)74[7,8]3（Ⅰ）现从融合指数在[4,5)和[]7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[]7,8的概率；（Ⅱ）根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数． 【答案】（Ⅰ）910；（Ⅱ）6.05．解法一：（I ）融合指数在[]7,8内的“省级卫视新闻台”记为1A ，2A ，3A ；融合指数在[)4,5内的“省级卫视新闻台”记为1B ，2B ．从融合指数在[)4,5和[]7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{}12,A A ，{}13,A A ，{}23,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}12,B B ，共10个．其中，至少有1家融合指数在[]7,8内的基本事件是：{}12,A A ，{}13,A A ，{}23,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，共9个．所以所求的概率910P =． （II ）这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于28734.55.56.57.5 6.0520202020⨯+⨯+⨯+⨯=． 解法二：（I ）融合指数在[]7,8内的“省级卫视新闻台”记为1A ，2A ，3A ；融合指数在[)4,5内的“省级卫视新闻台”记为1B ，2B ．从融合指数在[)4,5和[]7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{}12,A A ，{}13,A A ，{}23,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}12,B B ，共10个．其中，没有1家融合指数在[]7,8内的基本事件是：{}12,B B ，共1个． 所以所求的概率1911010P =-=． （II ）同解法一．考点：1、古典概型；2、平均值． 19．（本小题满分12分）已知点F 为抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点，点(2,)A m 在抛物线E 上，且3AF =．（Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）已知点(1,0)G -，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．【答案】（Ⅰ）24y x =；（Ⅱ）详见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点距离和到准线距离相互转化．本题由3AF =可得232p+=，可求p 的值，进而确定抛物线方程；（Ⅱ）欲证明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．可证明点F 到直线GA 和直线GB 的距离相等（此时需确定两条直线方程）；也可以证明GF GF ∠A =∠B ，可转化为证明两条直线的斜率互为相反数．试题解析：解法一：（I ）由抛物线的定义得F 22pA =+． 因为F 3A =，即232p+=，解得2p =，所以抛物线E 的方程为24y x =． （II ）因为点()2,m A 在抛物线:E 24y x =上，所以22m =±，由抛物线的对称性，不妨设()2,22A ． 由()2,22A ，()F 1,0可得直线F A 的方程为()221y x =-．由()22214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得22520x x -+=，解得2x =或12x =，从而1,22⎛⎫B - ⎪⎝⎭． 又()G 1,0-，所以()G 22022213k A -==--，()G 20221312k B --==---， 所以G G 0k k A B +=，从而GF GF ∠A =∠B ，这表明点F 到直线G A ，G B 的距离相等， 故以F 为圆心且与直线G A 相切的圆必与直线G B 相切． 解法二：（I ）同解法一．（II ）设以点F 为圆心且与直线G A 相切的圆的半径为r ．因为点()2,m A 在抛物线:E 24y x =上，所以22m =±，由抛物线的对称性，不妨设()2,22A ．由()2,22A ，()F 1,0可得直线F A 的方程为()221y x =-．由()22214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得22520x x -+=，解得2x =或12x =，从而1,22⎛⎫B - ⎪⎝⎭． 又()G 1,0-，故直线G A 的方程为223220x y -+=，从而2222428917r +==+． 又直线G B 的方程为223220x y ++=，所以点F 到直线G B 的距离2222428917d r +===+． 这表明以点F 为圆心且与直线G A 相切的圆必与直线G B 相切． 考点：1、抛物线标准方程；2、直线和圆的位置关系． 20．（本题满分12分）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1PO =OB =．（Ⅰ）若D 为线段AC 的中点，求证C A ⊥平面D P O ； （Ⅱ）求三棱锥P ABC -体积的最大值； （Ⅲ）若2BC =，点E 在线段PB 上，求CE OE +的最小值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）13；（Ⅲ）262+．【解析】试题分析：（Ⅰ）要证明C A ⊥平面D P O ，只需证明AC 垂直于面D P O 内的两条相交直线．首先由PO 垂直于圆O 所在的平面，可证明C PO ⊥A ；又C OA =O ，D 为C A 的中点，可证明C D A ⊥O ，进而证明结论；（Ⅱ）三棱锥P ABC -中，高1PO =，要使得P ABC -体积最大，则底面ABC 面积最大，又2AB =是定值，故当AB 边上的高最大，此时高为半径，进而求三棱锥P ABC -体积；（Ⅲ）将侧面C B P 绕PB 旋转至平面C 'B P ，使之与平面ABP 共面，此时线段'OC 的长度即为CE OE +的最小值． 试题解析：解法一：（I ）在C ∆AO 中，因为C OA =O ，D 为C A 的中点， 所以C D A ⊥O ．又PO 垂直于圆O 所在的平面， 所以C PO ⊥A ．因为D O PO =O ，所以C A ⊥平面D P O ． （II ）因为点C 在圆O 上，所以当C O ⊥AB 时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1． 又2AB =，所以C ∆AB 面积的最大值为12112⨯⨯=． 又因为三棱锥C P -AB 的高1PO =， 故三棱锥C P -AB 体积的最大值为111133⨯⨯=． （III ）在∆POB 中，1PO =OB =，90∠POB =，所以22112PB =+=．同理C 2P =，所以C C PB =P =B ．在三棱锥C P -AB 中，将侧面C B P 绕PB 旋转至平面C 'B P ，使之与平面ABP 共面，如图所示．当O ，E ，C '共线时，C E +OE 取得最小值． 又因为OP =OB ，C C ''P =B ， 所以C 'O 垂直平分PB ， 即E 为PB 中点． 从而2626C C 222+''O =OE +E =+=， 亦即C E +OE 的最小值为262+． 解法二：（I ）、（II ）同解法一．（III ）在∆POB 中，1PO =OB =，90∠POB =，所以45∠OPB =，22112PB =+=．同理C 2P =．所以C C PB =P =B ，所以C 60∠PB =．在三棱锥C P -AB 中，将侧面C B P 绕PB 旋转至平面C 'B P ，使之与平面ABP 共面，如图所示． 当O ，E ，C '共线时，C E +OE 取得最小值． 所以在C '∆O P 中，由余弦定理得：()2C 12212cos 4560'O =+-⨯⨯⨯+212312222222⎛⎫=+-⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭23=+． 从而26C 232+'O =+=． 所以C E +OE 的最小值为262+． 考点：1、直线和平面垂直的判定；2、三棱锥体积． 21．（本题满分12分） 已知函数()2103sincos 10cos 222x x xf x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的最大值为2． （ⅰ）求函数()g x 的解析式；（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >． 【答案】（Ⅰ）2π；（Ⅱ）（ⅰ）()10sin 8g x x =-；（ⅱ）详见解析． 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先利用证明二倍角公式和余弦降幂公式将()f x 化为()10sin 56f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，然后利用2T πω=求周期；（Ⅱ）由函数()f x 的解析式中给x 减6π，再将所得解析式整体减去a 得()g x 的解析式为()10sin 5g x x a =+-，当sin x 取1的时，()g x 取最大值105a +-，列方程求得13a =，从而()g x的解析式可求；欲证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，可解不等式()00g x >，只需解集的长度大于1，此时解集中一定含有整数，由周期性可得，必存在无穷多个互不相同的正整数0x ． 试题解析：（I ）因为()2103sincos 10cos 222x x xf x =+ 53sin 5cos 5x x =++10sin 56x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．所以函数()f x 的最小正周期2πT =． （II ）（i ）将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到10sin 5y x =+的图象，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到()10sin 5g x x a =+-的图象．又已知函数()g x 的最大值为2，所以1052a +-=，解得13a =． 所以()10sin 8g x x =-．（ii ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得010sin 80x ->，即04sin 5x >． 由4352<知，存在003πα<<，使得04sin 5α=． 由正弦函数的性质可知，当()00,x απα∈-时，均有4sin 5x >． 因为sin y x =的周期为2π，所以当()002,2x k k παππα∈++-（k ∈Z ）时，均有4sin 5x >． 因为对任意的整数k ，()()00022213k k πππαπαπα+--+=->>，所以对任意的正整数k ，都存在正整数()002,2k x k k παππα∈++-，使得4sin 5k x >． 亦即存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >． 考点：1、三角函数的图像与性质；2、三角不等式． 22．（本小题满分14分）已知函数2(1)()ln 2x f x x -=-．(Ⅰ)求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）证明：当1x >时，()1f x x <-；（Ⅲ）确定实数k 的所有可能取值，使得存在01x >，当0(1,)x x ∈时，恒有()()1f x k x >-．【答案】(Ⅰ) 150,2⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）(),1-∞． 【解析】试题分析：(Ⅰ)求导函数()21x x f x x-++'=，解不等式'()0f x >并与定义域求交集，得函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）构造函数()()()F 1x f x x =--，()1,x ∈+∞．欲证明()1f x x <-，只需证明()F x 的最大值小于0即可；（Ⅲ）由（II ）知，当1k =时，不存在01x >满足题意；当1k >时，对于1x >， 有()()11f x x k x <-<-，则()()1f x k x <-，从而不存在01x >满足题意；当1k <时，构造函数()()()G 1x f x k x =--，()0,x ∈+∞，利用导数研究函数()G x 的形状，只要存在01x >，当0(1,)x x ∈时()0G x >即可．试题解析：（I ）()2111x x f x x x x-++'=-+=，()0,x ∈+∞．由()0f x '>得2010x x x >⎧⎨-++>⎩解得1502x +<<．故()f x 的单调递增区间是150,2⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭． （II ）令()()()F 1x f x x =--，()0,x ∈+∞．则有()21F x x x-'=．当()1,x ∈+∞时，()F 0x '<，所以()F x 在[)1,+∞上单调递减，故当1x >时，()()F F 10x <=，即当1x >时，()1f x x <-． （III ）由（II ）知，当1k =时，不存在01x >满足题意．当1k >时，对于1x >，有()()11f x x k x <-<-，则()()1f x k x <-，从而不存在01x >满足题意． 当1k <时，令()()()G 1x f x k x =--，()0,x ∈+∞，则有()()2111G 1x k x x x k x x-+-+'=-+-=．由()G 0x '=得，()2110x k x -+-+=．解得()2111402k k x ---+=<，()2211412k k x -+-+=>．当()21,x x ∈时，()G 0x '>，故()G x 在[)21,x 内单调递增． 从而当()21,x x ∈时，()()G G 10x >=，即()()1f x k x >-， 综上，k 的取值范围是(),1-∞． 考点：导数的综合应用．。
2015福建高职招考数学教材(面向高中生)_部分9.pdf
③log aM n= n log aM ( n ∈ R ) ;④log m N n= n log aN ( n , m ∈ R )am(6)常用对数和自然对数以 10 为底的对数log 10 x，叫做常用对数，简记为lg x 。
以无理数e 为底的对数叫做自然对数，记作log e x，简记为ln x ，其中e = 2.718 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅。
3、温馨提示（1）当n 为偶数时， na n=| a |（2）不要把log a ( MN ) = log a M + log a N 记成了 log a (M + N ) = log a M ⋅ log a N等。
三、方法总结 1、解决指数问题时常常需要取对数，而解决对数问题又需要将它转化成指数问题，这种互化是数学解题的有力杠杆。
我们在这里称之为“对指互化”。
2、注意对数恒等式、对数换底公式以及恒等式log n b m= m log b , log b =1an aalog b a在解题中的灵活运用。
3、对于对数连等式等问题，常需要引入参数，用参数作为桥梁。
4、注意方程和方程组思想的有效运用。
5、解对数和指数不等式，常用同底法，即把不等式的两边变成底数相同的对数和指数。
如：log 2 x > 3 ⇒ log 2 x > log 2 23。
【例题精讲】例 1 求log 2.5 6.25 +lg 1001+lne +21+log 2 3【解析】原式= log 2.5 2.5 2 + lg10 -2 1 + 2 log 2 6= 2 - 2 + 113+ ln e 2 + 6 =2 2例 2 已知3a = 5b= c ，且 1 + 1= 2 ，求c 的值。
a b【解析】由3a= c 得log c 3a= 1 ∴a log c 3 = 1 ∴ 1= log c 3同理可得1 = log c 5 1 + 1a = 2 ∴log c 3 + log c 5 = 2b a b∴log c 15 = 2∴c 2=15 c >0∴c =152. 5 指数与对数强化训练【基础精练】1、计算（1）(23) 0+ 2 -2 ∙ (2 1) - 12 - (0.01)0.55 4（2）(0.0001)-12 1 )-3 -1)04 + 27 3 - ( 2 - ( 2 9（3） lg 4 + 2 lg 5 - 4( -2)42、若log 2 [log 3 (log 4 x )] = 0 ，求 x 的值。
2015福建高职招考数学教材(面向高中生)_部分1.pdf
【教育高职招考数学培训教材】（教师版上）目录前言 (2)集合 (3)函数的概念与基本初等函数Ⅰ (10)立体几何初步 (70)平面解析几何初步.................................................................. .99算法初步 (120)统计 (145)概率 (160)基本初等函数Ⅱ（三角函数） (181)平面向量 (208)三角恒等变换 (232)解三角形 (239)对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次。
1.了解：初步知道知识的含义及其简单应用。
2.理解：懂得知识的概念和规律（定义、定理、法则等）以及与其他相关知识的联系。
3.掌握：能够应用知识的概念、定义、定理、法则去解决一些问题。
【考纲要求】1.集合的含义与表示①了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系。
②能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题。
（2）集合间的基本关系①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。
②在具体情境中，了解全集与空集的含义。
（3）集合的基本运算①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。
②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。
③能使用韦恩（Venn）图表达集合的关系及运算。
【基础知识】一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个总体，这个总体就叫集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。
(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素，这叫集合元素的确定性。
(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素，这叫集合元素的互异性。
(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样，这叫集合元素的无序性。
2015年福建省高考数学试卷(理科)答案与解析
2015年省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（卷）数学（理工类）1．（5分）（2015•）若集合A={i，i2，i3，i4}（i是虚数单位），B={1，﹣1}，则A∩B等于（）A．{﹣1} B．{1} C．{1，﹣1} D．ϕ考点：虚数单位i及其性质；交集及其运算．专题：集合；数系的扩充和复数．分析：利用虚数单位i的运算性质化简A，然后利用交集运算得答案．解答：解：∵A={i，i2，i3，i4}={i，﹣1，﹣i，1}，B={1，﹣1}，∴A∩B={i，﹣1，﹣i，1}∩{1，﹣1}={1，﹣1}．故选：C．点评：本题考查了交集及其运算，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题．2．（5分）（2015•）下列函数为奇函数的是（）A．y= B．y=|sinx| C．y=cosx D．y=e x﹣e﹣x考点：函数奇偶性的判断；余弦函数的奇偶性．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性的定义进行判断即可．解答：解：A．函数的定义域为[0，+∞），定义域关于原点不对称，故A为非奇非偶函数．B．f（﹣x）=|sin（﹣x）|=|sinx|=f（x），则f（x）为偶函数．C．y=cosx为偶函数．D．f（﹣x）=e﹣x﹣e x=﹣（e x﹣e﹣x）=﹣f（x），则f（x）为奇函数，故选：D点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性定义是解决本题的关键．3．（5分）（2015•）若双曲线E：=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于（）A．11 B．9C．5D．3考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定P在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得结论．解答：解：由题意，双曲线E：=1中a=3．∵|PF1|=3，∴P在双曲线的左支上，∴由双曲线的定义可得|PF2|﹣|PF1|=6，∴|PF2|=9．故选：B．点评：本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的定义，属于基础题．4．（5分）（2015•）为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x（万元）8.2 8.6 10.0 11.3 11.9支出y（万元）6.2 7.5 8.0 8.5 9.8根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（）A．11.4万元B．11.8万元C．12.0万元D．12.2万元考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：由题意可得和，可得回归方程，把x=15代入方程求得y值即可．解答：解：由题意可得=（8.2+8.6+10.0+11.3+11.9）=10，=（6.2+7.5+8.0+8.5+9.8）=8，代入回归方程可得=8﹣0.76×10=0.4，∴回归方程为=0.76x+0.4，把x=15代入方程可得y=0.76×15+0.4=11.8，故选：B．点评：本题考查线性回归方程，涉及平均值的计算，属基础题．5．（5分）（2015•）若变量x，y满足约束条件则z=2x﹣y的最小值等于（）A．B．﹣2 C．D．2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得A（﹣1，）．∴z=2x﹣y的最小值为2×（﹣1）﹣=．故选：A．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．6．（5分）（2015•）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（）A．2B．1C．0D．﹣1考点：循环结构．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i=6时满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为0．解答：解：模拟执行程序框图，可得i=1，S=0S=cos，i=2不满足条件i＞5，S=cos+cosπ，i=3不满足条件i＞5，S=cos+cosπ+cos，i=4不满足条件i＞5，S=cos+cosπ+cos+cos2π，i=5不满足条件i＞5，S=cos+cosπ+cos+cos2π+cos=0﹣1+0+1+0=0，i=6满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为0，故选：C．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题．7．（5分）（2015•）若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：利用直线与平面平行与垂直关系，判断两个命题的充要条件关系即可．解答：解：l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”可能“l∥α”也可能l⊂α，反之，“l∥α”一定有“l⊥m”，所以l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件．故选：B．点评：本题考查空间直线与平面垂直与平行关系的应用，充要条件的判断，基本知识的考查．8．（5分）（2015•）若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（）A．6B．7C．8D．9考点：等比数列的性质；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a，b 后得答案．解答：解：由题意可得：a+b=p，ab=q，∵p＞0，q＞0，可得a＞0，b＞0，又a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得①或②．解①得：；解②得：．∴p=a+b=5，q=1×4=4，则p+q=9．故选：D．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题．9．（5分）（2015•）已知，若P点是△ABC所在平面一点，且，则的最大值等于（）A．13 B．15 C．19 D．21考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：建系，由向量式的几何意义易得P的坐标，可化=﹣（﹣1）﹣4（t﹣4）=17﹣（+4t），由基本不等式可得．解答：解：由题意建立如图所示的坐标系，可得A（0，0），B（，0），C（0，t），∵，∴P（1，4），∴=（﹣1，﹣4），=（﹣1，t﹣4），∴=﹣（﹣1）﹣4（t﹣4）=17﹣（+4t），由基本不等式可得+4t≥2=4，∴17﹣（+4t）≤17﹣4=13，当且仅当=4t即t=时取等号，∴的最大值为13，故选：A．点评：本题考查平面向量数量积的运算，涉及基本不等式求最值，属中档题．10．（5分）（2015•）若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定错误的是（）A．B．C．D．考点：函数的单调性与导数的关系．专题：创新题型；导数的概念及应用．分析：根据导数的概念得出＞k＞1，用x=代入可判断出f（）＞，即可判断答案．解答：解；∵f′（x）=f′（x）＞k＞1，∴＞k＞1，即＞k＞1，当x=时，f（）+1＞×k=，即f（）﹣1=故f（）＞，所以f（）＜，一定出错，故选：C．点评：本题考查了导数的概念，不等式的化简运算，属于中档题，理解了变量的代换问题．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11．（4分）（2015•）（x+2）5的展开式中，x2的系数等于80 ．（用数字作答）考点：二项式定理．专题：计算题；二项式定理．分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中的x2项的系数．解答：解：（x+2）5的展开式的通项公式为T r+1=•x5﹣r•2r，令5﹣r=2，求得r=3，可得展开式中x2项的系数为=80，故答案为：80．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．12．（4分）（2015•）若锐角△ABC的面积为，且AB=5，AC=8，则BC等于7 ．考点：余弦定理的应用．专题：计算题；解三角形．分析：利用三角形的面积公式求出A，再利用余弦定理求出BC．解答：解：因为锐角△ABC的面积为，且AB=5，AC=8，所以，所以sinA=，所以A=60°，所以cosA=，所以BC==7．故答案为：7．点评：本题考查三角形的面积公式，考查余弦定理的运用，比较基础．13．（4分）（2015•）如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）=x2，若在矩形ABCD 随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于．考点：定积分的简单应用；几何概型．专题：导数的综合应用；概率与统计．分析：分别求出矩形和阴影部分的面积，利用几何概型公式，解答．解答：解：由已知，矩形的面积为4×（2﹣1）=4，阴影部分的面积为=（4x﹣）|=，由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于；故答案为：．点评：本题考查了定积分求曲边梯形的面积以及几何概型的运用；关键是求出阴影部分的面积，利用几何概型公式解答．14．（4分）（2015•）若函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a的取值围是（1，2] ．考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：函数的性质及应用．分析：当x≤2时，满足f（x）≥4．当x＞2时，由f（x）=3+log a x≥4，即log a x≥1，故有log a2≥1，由此求得a的围．解答：解：由于函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），故当x≤2时，满足f（x）≥4．当x＞2时，由f（x）=3+log a x≥4，∴log a x≥1，∴log a2≥1，∴1＜a≤2，故答案为：（1，2]．点评：本题主要考查分段函数的应用，对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．15．（4分）（2015•）一个二元码是由0和1组成的数字串，其中x k（k=1，2，…，n）称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：其中运算⊕定义为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于 5 ．考点：通讯安全中的基本问题．专题：创新题型；新定义．分析：根据二元码x1x2…x7的码元满足的方程组，及“⊕”的运算规则，将k的值从1至7逐个验证即可．解答：解：依题意，二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，①若k=1，则x1=0，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，从而由校验方程组，得x4⊕x5⊕x6⊕x7=1，故k≠1；②若k=2，则x1=1，x2=0，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠2；③若k=3，则x1=1，x2=1，x3=1，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠3；④若k=4，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=0，x5=1，x6=0，x7=1，从而由校验方程组，得x1⊕x3⊕x5⊕x7=1，故k≠4；⑤若k=5，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=0，x6=0，x7=1，从而由校验方程组，得x4⊕x5⊕x6⊕x7=0，x2⊕x3⊕x6⊕x7=0，x1⊕x3⊕x5⊕x7=0，故k=5符合题意；⑥若k=6，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=1，x7=1，从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠6；⑦若k=6，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=0，从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠7；综上，k等于5．故答案为：5．点评：本题属新定义题，关键是弄懂新定义的含义或规则，事实上，本题中的运算符号“⊕”可看作是两个数差的绝对值运算，知道了这一点，验证就不是难事了．三、解答题16．（13分）（2015•）某银行规定，一银行卡若在一天出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：（1）根据概率的公式即可求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（2）随机变量X的取值为：1，2，3，别求出对应的概率，即可求出分布列和期望．解答：解：（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，则P（A）=．（2）有可能的取值是1，2，3又则P（X=1=，P（X=2==，P（X=3==，所以X的分布列为：X 1 2 3PEX=1×+2×+3×=．点评：本小题主要考查古典概型、相互独立事件的概率、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想．17．（13分）（2015•）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点．（1）求证：GF∥平面ADE；（2）求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：解法一：（1）取AE的中点H，连接HG，HD，通过证明四边形HGFD是平行四边形来证明GF∥DH，由线面平行的判定定理可得；（2）以B为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，可得平面BEC和平面AEF的法向量，由向量夹角的余弦值可得．解法二：（1）如图，取AB中点M，连接MG，MF，通过证明平面GMF∥平面ADE 来证明GF∥平面ADE；（2）同解法一．解答：解法一：（1）如图，取AE的中点H，连接HG，HD，∵G是BE的中点，∴GH∥AB，且GH=AB，又∵F是CD中点，四边形ABCD是矩形，∴DF∥AB，且DF=AB，即GH∥DF，且GH=DF，∴四边形HGFD是平行四边形，∴GF∥DH，又∵DH⊂平面ADE，GF⊄平面ADE，∴GF∥平面ADE．（2）如图，在平面BEG，过点B作BQ∥CE，∵BE⊥EC，∴BQ⊥BE，又∵AB⊥平面BEC，∴AB⊥BE，AB⊥BQ，以B为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A（0，0，2），B（0，0，0），E（2，0，0），F（2，2，1）∵AB⊥平面BEC，∴为平面BEC的法向量，设=（x，y，z）为平面AEF的法向量．又=（2，0，﹣2），=（2，2，﹣1）由垂直关系可得，取z=2可得．∴cos＜，＞==∴平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为．解法二：（1）如图，取AB中点M，连接MG，MF，又G是BE的中点，可知GM∥AE，且GM=AE又AE⊂平面ADE，GM⊄平面ADE，∴GM∥平面ADE．在矩形ABCD中，由M，F分别是AB，CD的中点可得MF∥AD．又AD⊂平面ADE，MF⊄平面ADE，∴MF∥平面ADE．又∵GM∩MF=M，GM⊂平面GMF，MF⊂平面GMF∴平面GMF∥平面ADE，∵GF⊂平面GMF，∴GF∥平面ADE（2）同解法一．点评：本题考查空间线面位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，建系求二面角是解决问题的关键，属难题．18．（13分）（2015•）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与围问题．分析：解法一：（1）由已知得，解得即可得出椭圆E的方程．（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为H（x0，y0）．直线方程与椭圆方程联立化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，利用根与系数的关系中点坐标公式可得：y0=．|GH|2=．=，作差|GH|2﹣即可判断出．解法二：（1）同解法一．（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），则=，=．直线方程与椭圆方程联立化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，计算=即可得出∠AGB，进而判断出位置关系．解答：解法一：（1）由已知得，解得，∴椭圆E的方程为．（2）设点A（x1y1），B（x2，y2），AB中点为H（x0，y0）．由，化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，∴y1+y2=，y1y2=，∴y0=．G，∴|GH|2==+=++．===，故|GH|2﹣=+=﹣+=＞0．∴，故G在以AB为直径的圆外．解法二：（1）同解法一．（2）设点A（x1y1），B（x2，y2），则=，=．由，化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，∴y1+y2=，y1y2=，从而==+y1y2=+=﹣+=＞0．∴＞0，又，不共线，∴∠AGB为锐角．故点G在以AB为直径的圆外．点评：本小题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系、点与圆的位置关系、向量数量积运算性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，属于难题．19．（13分）（2015•）已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cosx的图象经如下变换得到：先将g（x）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度．（1）求函数f（x）的解析式，并求其图象的对称轴方程；（2）已知关于x的方程f（x）+g（x=m）在[0，2π）有两个不同的解α，β（i）数m的取值围；（ii）证明：cos（α﹣β）=﹣1．考点：三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：创新题型；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析：（1）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得：f（x）=2sinx，从而可求对称轴方程．（2）（i）由三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得f（x）+g（x）=sin（x+j）（其中sinj=，cosj=），从而可求||＜1，即可得解．（ii）由题意可得sin（α+j）=，sin（β+j）=．当1＜m＜时，可求α﹣β=π﹣2（β+j），当﹣＜m＜1时，可求α﹣β=3π﹣2（b+j），由cos（α﹣β）=2sin2（β+j）﹣1，从而得证．解答：解：（1）将g（x）=cosx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到y=2cosx的图象，再将y=2cosx的图象向右平移个单位长度后得到y=2cos（x ﹣）的图象，故f（x）=2sinx，从而函数f（x）=2sinx图象的对称轴方程为x=k（k∈Z）．（2）（i）f（x）+g（x）=2sinx+cosx=（）=sin（x+j）（其中sinj=，cosj=）依题意，sin（x+j）=在区间[0，2π）有两个不同的解α，β，当且仅当||＜1，故m 的取值围是（﹣，）．（ii）因为α，β是方程sin（x+j）=m在区间[0，2π）有两个不同的解，所以sin（α+j）=，sin（β+j）=．当1＜m＜时，α+β=2（﹣j），即α﹣β=π﹣2（β+j）；当﹣＜m＜1时，α+β=2（﹣j），即α﹣β=3π﹣2（β+j）；所以cos（α﹣β）=﹣cos2（β+j）=2sin2（β+j）﹣1=2（）2﹣1=．点评：本小题主要考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、分类与整体思想、化归与转化思想、数形结合思想．20．（7分）（2015•）已知函数f（x）=ln（1+x），g（x）=kx，（k∈R）（1）证明：当x＞0时，f（x）＜x；（2）证明：当k＜1时，存在x0＞0，使得对任意x∈（0，x0），恒有f（x）＞g（x）；（3）确定k的所以可能取值，使得存在t＞0，对任意的x∈（0，t），恒有|f（x）﹣g（x）|＜x2．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：创新题型；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（1）令F（x）=f（x）﹣x=ln（1+x）﹣x，x＞0，求导得到F′（x）＜0，说明F （x）在（0，+∞）上单调递减，则x＞0时，f（x）＜x；（2）令G（x）=f（x）﹣g（x）=ln（1+x）﹣kx，x∈（0，+∞），可得k≤0时，G′（x）＞0，说明G（x）在（0，+∞）上单调递增，存在x0＞0，使得对任意x∈（0，x0），恒有f（x）＞g（x）；当0＜k＜1时，由G′（x）=0，求得．取，对任意x∈（0，x0），恒有G′（x）＞0，G（x）在上单调递增，G（x）＞G（0）=0，即f（x）＞g （x）；（3）分k＞1、k＜1和k=1把不等式|f（x）﹣g（x）|＜x2的左边去绝对值，当k ＞1时，利用导数求得|f（x）﹣g（x）|＞x2，满足题意的t不存在．当k＜1时，由（2）知存在x0＞0，使得对任意的任意x∈（0，x0），f（x）＞g（x）．令N（x）=ln（1+x）﹣kx﹣x2，x∈[0，+∞），求导数分析满足题意的t不存在．当k=1，由（1）知，当x∈（0，+∞）时，|f（x）﹣g（x）|=g（x）﹣f（x）=x﹣ln（1+x），令H（x）=x﹣ln（1+x）﹣x2，x∈[0，+∞），则有x＞0，H′（x）＜0，H（x）在[0，+∞）上单调递减，故H（x）＜H（0）=0，说明当x＞0时，恒有|f（x）﹣g （x）|＜x2，此时，任意实数t满足题意．解答：（1）证明：令F（x）=f（x）﹣x=ln（1+x）﹣x，x＞0，则有F′（x）=﹣1=﹣，∵x＞0，∴F′（x）＜0，∴F（x）在（0，+∞）上单调递减，∴F（x）＜F（0）=0，∴x＞0时，f（x）＜x；（2）证明：令G（x）=f（x）﹣g（x）=ln（1+x）﹣kx，x∈（0，+∞），则有G′（x）=﹣k=，当k≤0时，G′（x）＞0，∴G（x）在（0，+∞）上单调递增，∴G（x）＞g（0）=0，故对任意正实数x0均满足题意．当0＜k＜1时，令G′（x）=0，得．取，对任意x∈（0，x0），恒有G′（x）＞0，∴G（x）在（0，x0）上单调递增，G （x）＞G（0）=0，即f（x）＞g（x）．综上，当k＜1时，总存在x0＞0，使得对任意的x∈（0，x0），恒有f（x）＞g（x）；（3）解：当k＞1时，由（1）知，对于任意x∈（0，+∞），g（x）＞x＞f（x），故g（x）＞f（x），|f（x）﹣g（x）|=g（x）﹣f（x）=kx﹣ln（1+x），令M（x）=kx﹣ln（1+x）﹣x2，x∈（0，+∞），则有，故当时，M′（x）＞0，M（x）在[0，）上单调递增，故M（x）＞M（0）=0，即|f（x）﹣g（x）|＞x2，∴满足题意的t不存在．当k＜1时，由（2）知存在x0＞0，使得对任意的任意x∈（0，x0），f（x）＞g（x）．此时|f（x）﹣g（x）|=f（x）﹣g（x）=ln（1+x）﹣kx，令N（x）=ln（1+x）﹣kx﹣x2，x∈[0，+∞），则有，故当时，N′（x）＞0，M（x）在[0，）上单调递增，故N（x）＞N（0）=0，即f（x）﹣g（x）＞x2，记x0与中较小的为x1，则当x∈（0，x1）时，恒有|f（x）﹣g（x）|＞x2，故满足题意的t不存在．当k=1，由（1）知，当x∈（0，+∞）时，|f（x）﹣g（x）|=g（x）﹣f（x）=x ﹣ln（1+x），令H（x）=x﹣ln（1+x）﹣x2，x∈[0，+∞），则有，当x＞0，H′（x）＜0，∴H（x）在[0，+∞）上单调递减，故H（x）＜H（0）=0，故当x＞0时，恒有|f（x）﹣g（x）|＜x2，此时，任意实数t满足题意．综上，k=1．点评：本小题主要考查导数及其应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想、数形结合思想，是压轴题．四、选修4-2：矩阵与变换21．（7分）（2015•）已知矩阵A=，B=（1）求A的逆矩阵A﹣1；（2）求矩阵C，使得AC=B．考点：逆变换与逆矩阵．专题：选作题；矩阵和变换．分析：（1）求出矩阵的行列式，即可求A的逆矩阵A﹣1；（2）由AC=B得（A﹣1A）C=A﹣1B，即可求矩阵C，使得AC=B．解答：解：（1）因为|A|=2×3﹣1×4=2，所以；（2）由AC=B得（A﹣1A）C=A﹣1B，故．点评：本小题主要考查矩阵、逆矩阵等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．五、选修4-4：坐标系与参数方程22．（7分）（2015•）在平面直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴非负半轴为极轴）中，直线l的方程为ρsin（θ﹣）=m，（m∈R）（1）求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；（2）设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．考点：圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）直接利用极坐标与直角坐标的互化以及参数方程与普通方程的互化求解即可．（2）直接利用点到直线的距离个数求解即可．解答：解：（1）消去参数t，得到圆的普通方程为（x﹣1）2+（y+2）2=9，由ρsin（θ﹣）=m，得ρsinθ﹣ρcosθ﹣m=0，所以直线l的直角坐标方程为：x﹣y﹣m=0．（2）依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即，解得m=﹣3±2．点评：本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．六、选修4-5：不等式选讲23．（7分）（2015•）已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值为．考点：一般形式的柯西不等式．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值；（2）运用柯西不等式，注意等号成立的条件，即可得到最小值．解答：解：（1）因为f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c≥|（x+a）﹣（x﹣b）|+c=|a+b|+c，当且仅当﹣a≤x≤b时，等号成立，又a＞0，b＞0，所以|a+b|=a+b，所以f（x）的最小值为a+b+c，所以a+b+c=4；（2）由（1）知a+b+c=4，由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（4+9+1）≥（•2+•3+c•1）2=（a+b+c）2=16，即a2+b2+c2≥当且仅当==，即a=，b=，c=时，等号成立．所以a2+b2+c2的最小值为．点评：本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算能力，属于中档题．。
2015年高考真题数学试题(福建+北京卷-含答案解析)
考点：函数的奇偶性．
3．若双曲线 E :
x2 9
y2 16
1
的左、右焦点分别为 F1, F2 ，点 P 在双曲线 E 上，且
PF1
3，
则 PF2 等于（ ）
A．11
B．9 C．5
【答案】B
【解析】
D．3
试题分析：由双曲线定义得 PF1 PF2 2a 6 ，即 3 PF2 6 ，解得 PF2 9 ，故选
S 0 ，故选 C．
考点：程序框图．
7．若 l, m 是两条不同的直线，m 垂直于平面 ，则“ l m ”是“ l / / 的 （
）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要 条件
【答案】B
考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系．
8．若 a,b 是函数 f x x2 px q p 0, q 0 的两个不同的零点，且 a,b, 2 这三个
AP AB 4AC ，则 PB PC 的最大值等于（
）
AB AC
A．13 B．15 【答案】A
C．19
D．21yC NhomakorabeaP
B
x
A
考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．
10．若定义在 R 上的函数 f x 满足 f 0 1 ，其导函数 f x 满足 f x k 1 ，
则下列结论中一定错误的是（ ）
不是等差中项，当 a 是等差中项时， 2a 4 2 ，解得 a 1， b 4 ；当 4 是等差中项时，
a
a
8 a 2 ，解得 a 4 ， b 1，综上所述， a b p 5 ，所以 p q 9 ，选 D． a
考点：等差中项和等比中项．
9 ． 已 知 AB AC, AB 1, AC t ， 若 P 点 是 ABC 所 在 平 面 内 一 点 ， 且 t
高职单招数学试卷
高职单招数学试卷一. 单项选择题(每小题3分,共30分)1．设全集{}{}{},,,,,,,I a b c d A b c B a c ===,则()I C A B =( ) A ．{},,,a b c d ； B ．{},,a c d ； C ．{},c d ； D ．{},,b c d 2．不等式(1)(32)0x x -+<解集为（ ）A ．213x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或； B ．213x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；C ．213x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭；D ．213x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ 3．(2)(3)0x x -+=是2x =的（ ）条件。
A ．充分且不必要；B ．必要且不充分；C ．充要；D ．既不充分也不必要4．二次函数221y x x =-+的单调递减区间是（ ） A ．[0,)+∞； B ．(,)-∞+∞； C ．(,1]-∞； D ．[1,)+∞ 5．设自变量x R ∈，下列是偶函数的是（ ）A ．34y x =+；B ．223y x x =++；C ．cos y α=；D ．sin y α=6．函数y = ）A ．{}2x ≥；B ．{}2x >；C ．{}2x ≤；D ．{}2x < 7．已知等差数列1,1,3,5,,---则89-是它的第（ ）项 A ．92； B ．46； C ．47； D ．45 8．已知11(,4),(,)32a b x =-=，且//a b ，则x 的值是（ ）A ．6；B ．—6；C ．23-； D ．16- 9．圆方程为222440x y x y ++--=的圆心坐标与半径分别为（ ） A ．(1,2),3r -=； B ．(1,2),2r -=； C ．(1,2),3r --=； D ．(1,2),3r -= 10．两个正方体的体积之比是1:8，则这两个正方体的表面积之比是（ ）A ．1:2；B ．1:4；C ．1:6；D ．1:8 二、填空题(每小题2分,共24分)1．集合{}1,2,3,4的真子集共有_____________个;2．322x ->的解集为_______________________________; 3．已知()y f x =是奇函数,且(5)6f -=,则(5)f =_________________; 4．若6log 2x =-,则x =________________;5．计算=︒+︒-︒-405tan )450cos(4)330sin(3____________; 6．BC AB MA CN +++=_________;7．点(3,1)-到直线3420x y -+=的距离为_________________; 8．在正方体''''ABCD A B C D -中,二面角'D BC D --的大小是___________;9．抛掷两枚质地均匀的普通骰子，点数和为4的概率是____________; 10．35sin y x =-的最大值是______________;11．在等比数列{}n a 中,若1420a a ⋅=,则23a a ⋅=___________;12．某射手在一次射击中,击中10环，9环，8环的概率分别是0.24,0.28,0.29，则这个射手在一次射击中击中9环或者10环的概率________________.三、 解答题(1,2,3,4每小题5分, ,5,6每题8分,7题10分) 1．设{}{}13,02,,A x x B x x x A B A B =≤≤=<≥或求2．证明:22221tan sin cos cos αααα--= 3．解不等式: 13log (1)0x ->4．求过点(2,3)-,且平行于直线3570x y +-=的直线方程.5．一个屋顶的某斜面成等腰梯形,最上面一层铺了一层40块瓦片,往下每一层多铺2片瓦片,,斜面上铺了20层瓦片,问共铺了多少块瓦片? 6． 已知二次函数满足(1)(3)8f f -==,且(0)5f =,求此函数的解析式及单调递增区间.参考答案:一.单项选择题（每小题3分，共30分）二.填空题（每小题2分，共20分）1.__15_个_;2. 403x x x ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或; 3. 6-; 4.136; 5. 25;6. MN ;7. 3;8. 45︒; 9 0.06.; 10. 8; 11.20 ; 12.0.52二. 解答题(1,2,3,4每小题5分, ,5,6每题8分,7题10分) 1．答案:{}{}23,01A B x x A B x x x =≤≤=<≥或 2． 3．（1，2）4．所求的直线方程为:3590x y +-=5．{}1201,40,2,(1)220(201)2040221180n a a d n n na d ==-∴=+⨯-=⨯+⨯=解:因为每一层的瓦片数构成一个等差数列其中依题意得:S 答:总共需要1180块瓦片.6．222,(1)(3)8,(0)5,89385125:2525bx c f f f a b c a b c c a b c y x x y x x ++-===-+=⎧⎪∴++=⎨⎪=⎩=⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴=-+=-+∞解：设二次函数的解析式为y=ax 因为函数满足解得:所求的二次函数解析式为的单调递增区间为[1,+).。
2015年福建师大附中自主招生数学试卷和解析答案
2015年福建师大附中自主招生数学试卷一、填空题（1-13题，每小题6分，共78分）1．（6分）函数y=地最大值是．2．（6分）已知直角三角形地周长为14，斜边上地中线长为3．则直角三角形地面积是．3．（6分）方程x2+|x|﹣12=0地所有实数根之和等于．4．（6分）一直角三角形地两直角边之比为2：3，若斜边上地高分斜边为两线段，则较小地一段与较大地一段之比是．5．（6分）已知⊙O地半径OA=1，弦AB、AC地长分别是、，则∠BAC地度数是．6．（6分）如图，已知圆O地面积为3π，AB为圆O地直径，∠AOC=80°，∠BOD=20°，点P为直径AB上任意一点，则PC+PD地最小值是．7．（6分）已知实数a满足|2014﹣a|+=a，那么a﹣20142+1地值是．8．（6分）如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心，EC为半径地半圆与以A为圆心，AB为半径地圆弧外切，则sin∠EAB地值为．9．（6分）已知两个反比例函数y=，y=，第一象限内地点P1、P2、P3、...、P2015在反比例函数y=地图象上，它们地横坐标分别为x1、x2、x3、 (x2015)纵坐标分别是1、3、5、…，共2015个连续奇数，过P1、P2、P3、…、P2015分别作y轴地平行线，与y=地图象交点依次为Q1（x'1，y'1）、Q2（x'2，y'2）、…、Q2015（x'2015，y'2015），则P2015Q2015地长度是．10．（6分）已知方程组，则=．11．（6分）观察下列各式：=1﹣=1﹣（1﹣）；=1﹣=1﹣（﹣）；=1﹣=1﹣（﹣）；…计算：+++…+=．12．（6分）已知抛物线y=+bx经过点A（4，0）．设点C（1，﹣4），欲在抛物线地对称轴上确定一点D，使得|AD﹣CD|地值最大，则D点地坐标是．13．（6分）一列分数有规律地排列如下：，，，，，，，，，，，，，，，…，则第200个分数是．二、解答题（第14题12分，第15题14分，第16题23分，第17题23分；共72分）14．（12分）若关于x地不等式组只有4个整数解，求a地取值范围．15．（14分）跃壮五金商店准备从宁云机械厂购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件地进价比每个乙种零件地进价少2元，且用80元购进甲种零件地数量与用100元购进乙种零件地数量相同．（1）求每个甲种零件、每个乙种零件地进价分别为多少元？（2）若该五金商店本次购进甲种零件地数量比购进乙种零件地数量地3倍还少5个，购进两种零件地总数量不超过95个，该五金商店每个甲种零件地销售价格为12元，每个乙种零件地销售价格为15元，则将本次购进地甲、乙两种零件全部售出后，可使销售两种零件地总利润（利润=售价﹣进价）超过371元，通过计算求出跃壮五金商店本次从宁云机械厂购进甲、乙两种零件有几种方案？请你设计出来．16．（23分）如图，OA和OB是⊙O地半径，并且OA⊥OB．P是OA上任意一点，BP地延长线交⊙O于点Q，点R在OA地延长线上，且RP=RQ．（1）求证：RQ是⊙O地切线；（2）当RA≤OA时，试确定∠B地取值范围；（3）求证：OB2=PB•PQ+OP2．17．（23分）如图1，在平面直角坐标系中，边长为1地正方形OABC地顶点B 在y轴地正半轴上，O为坐标原点．现将正方形OABC绕点O按顺时针方向旋转，旋转角为θ（0o≤θ≤45o）．（1）当点A落到y轴正半轴上时，求边BC在旋转过程中所扫过地面积；（2）若线段AB与y轴地交点为M（如图2），线段BC与直线y=x地交点为N．当θ=22.5°时，求此时△BMN内切圆地半径；（3）设△MNB地周长为l，试判断在正方形OABC旋转地过程中l值是否发生变化，并说明理由．2015年福建师大附中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（1-13题，每小题6分，共78分）1．（6分）函数y=地最大值是．【解答】解：∵y′=1﹣x（1﹣x）=x2﹣x+1=（x﹣）2+，∴有最小值，∴y=地最大值是=．故答案为：．2．（6分）已知直角三角形地周长为14，斜边上地中线长为3．则直角三角形地面积是7．【解答】解：如图，∵∠ACB=90°，CD是斜边上地中线，∴AB=2CD=6，∵AB+AC+BC=14，∴AC+BC=8，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2=36，∴（AC+BC）2﹣2AC•BC=36，AC•BC=14，∴S=AC•BC=7．故答案为：7．3．（6分）方程x2+|x|﹣12=0地所有实数根之和等于0．【解答】解：当x≥0时，方程为x2+x﹣12=0，即（x﹣3）（x+4）=0，解得：x=3或x=﹣4（舍）；当x＜0时，方程为x2﹣x﹣12=0，即（x+3）（x﹣4）=0，解得：x=﹣3或x=4（舍），则方程x2+|x|﹣12=0地所有实数根之和等于为﹣3+3=0，故答案为：0．4．（6分）一直角三角形地两直角边之比为2：3，若斜边上地高分斜边为两线段，则较小地一段与较大地一段之比是4：9．【解答】解：如图所示，Rt△ABC中，CD⊥AB，∴AC2=AD×AB，BC2=BD×BA，∴==，又∵=，∴=，故答案为：4：9．5．（6分）已知⊙O地半径OA=1，弦AB、AC地长分别是、，则∠BAC地度数是15°或75°．【解答】解：分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E．∵OE⊥AC，OD⊥AB，根据垂径定理得AE=AC=，AD=AB=，∴sin∠AOE===，sin∠AOD==，根据特殊角地三角函数值可得∠AOE=60°，∠AOD=45°，∴∠BAO=45°，∠CAO=90°﹣60°=30°，∴∠BAC=45°+30°=75°，或∠BAC′=45°﹣30°=15°．故答案为：15°或75°．6．（6分）如图，已知圆O地面积为3π，AB为圆O地直径，∠AOC=80°，∠BOD=20°，点P为直径AB上任意一点，则PC+PD地最小值是3．【解答】解：设圆O地半径为r，∵⊙O地面积为3π，∴3π=πr2，即r=．作点C关于AB地对称点C′，连接OC′，DC′，则DC′地长即为PC+PD地最小值，∵∠AOC=80°，∴∠AOC=∠AOC′=80°，∴∠BOC′=100°，∵∠BOD=20°，∴∠DOC′=∠BOC′+∠BOD=100°+20°=120°，∵OC′=OD，∴∠ODC′=30°∴DC′=2OD•cos30°=2×=3，即PC+PD地最小值为3．故答案为：3．7．（6分）已知实数a满足|2014﹣a|+=a，那么a﹣20142+1地值是2016．【解答】解：∵|2014﹣a|+=a，∴a≥0，且a﹣2015≥0，解得：a≥2015，故|2014﹣a|+=a可化简为：a﹣2104+=a，整理得：=2014，故a﹣2015=20142，则a﹣20142+1=a﹣（a﹣2015）+1=2016．故答案为：2016．8．（6分）如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心，EC为半径地半圆与以A为圆心，AB为半径地圆弧外切，则sin∠EAB地值为．【解答】解：设正方形地边长为y，EC=x，由题意知，AE2=AB2+BE2，即（x+y）2=y2+（y﹣x）2，由于y≠0，化简得y=4x，∴sin∠EAB====．9．（6分）已知两个反比例函数y=，y=，第一象限内地点P1、P2、P3、...、P2015在反比例函数y=地图象上，它们地横坐标分别为x1、x2、x3、 (x2015)纵坐标分别是1、3、5、…，共2015个连续奇数，过P1、P2、P3、…、P2015分别作y轴地平行线，与y=地图象交点依次为Q1（x'1，y'1）、Q2（x'2，y'2）、…、Q2015（x'2015，y'2015），则P2015Q2015地长度是．【解答】解：∵点P2015地纵坐标为2×2015﹣1=4029，点P2015地在反比例函数y=地图象上，∴点P2015地坐标为（，4029），∵P2015Q2015∥y轴，∴点Q2015地坐标为（，），∴P2015Q2015=4029﹣=．故答案为：．10．（6分）已知方程组，则=3．【解答】解：设a=，b=，则x+y=（x+1）+（y﹣2）+1=20，所以，（x+1）+（y﹣2）=19，即a2+b2=19，因此，方程组可化为，①平方得，a2+2ab+b2=25③，③﹣②得，2ab=6，解得ab=3，所以，=•=ab=3．故答案为：3．11．（6分）观察下列各式：=1﹣=1﹣（1﹣）；=1﹣=1﹣（﹣）；=1﹣=1﹣（﹣）；…计算：+++…+=2014．【解答】解：根据题意得原式=1﹣（1﹣）+1﹣（﹣）+1﹣（﹣）+…+1﹣（﹣）=1×2015﹣（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=2015﹣=2014，故答案为：2014．12．（6分）已知抛物线y=+bx经过点A（4，0）．设点C（1，﹣4），欲在抛物线地对称轴上确定一点D，使得|AD﹣CD|地值最大，则D点地坐标是（2，﹣8）．【解答】解：∵解：∵抛物线y=x2+bx经过点A（4，0），∴×42+4b=0，∴b=﹣2，∴抛物线地解析式为：y=x2﹣2x=（x﹣2）2﹣2，∴抛物线地对称轴为：直线x=2，∵点C（1，﹣4），∴作点C关于x=2地对称点C′（3，﹣4），直线AC′与x=2地交点即为D，因为任意取一点D（AC与对称轴地交点除外）都可以构成一个△ADC．而在三角形中，两边之差小于第三边，即|AD﹣CD|＜AC′．所以最大值就是在D是AC′延长线上地点地时候取到|AD﹣C′D|=AC′最大，设直线AC′地解析式为y=kx+b，∴，解得：，∴直线AC′地解析式为y=4x﹣16，当x=2时，y=﹣8，∴D点地坐标为（2，﹣8）．故答案为：（2，﹣8）．13．（6分）一列分数有规律地排列如下：，，，，，，，，，，，，，，，…，则第200个分数是．【解答】解：∵1+2+3+4+5+…+19==190，200﹣190=10，∴第200个分数是第20组地第10个分数，分母是10，分子是11，为．故答案为：．二、解答题（第14题12分，第15题14分，第16题23分，第17题23分；共72分）14．（12分）若关于x地不等式组只有4个整数解，求a地取值范围．【解答】解：由①得：x＜21，由②得：x＞2﹣3a，∵不等式组只有4个整数解，∴不等式组地解集为：2﹣3a＜x＜21，即不等式组只有4个整数解为20、19、18、17，且满足16≤2﹣3a＜17，∴﹣5＜a≤﹣．15．（14分）跃壮五金商店准备从宁云机械厂购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件地进价比每个乙种零件地进价少2元，且用80元购进甲种零件地数量与用100元购进乙种零件地数量相同．（1）求每个甲种零件、每个乙种零件地进价分别为多少元？（2）若该五金商店本次购进甲种零件地数量比购进乙种零件地数量地3倍还少5个，购进两种零件地总数量不超过95个，该五金商店每个甲种零件地销售价格为12元，每个乙种零件地销售价格为15元，则将本次购进地甲、乙两种零件全部售出后，可使销售两种零件地总利润（利润=售价﹣进价）超过371元，通过计算求出跃壮五金商店本次从宁云机械厂购进甲、乙两种零件有几种方案？请你设计出来．【解答】解：（1）设每个乙种零件进价为x元，则每个甲种零件进价为（x﹣2）元．由题意得：．解得：x=10．检验：当x=10时，x（x﹣2）≠0∴x=10是原分式方程地解．每个甲种零件进价为：x﹣2=10﹣2=8答：每个甲种零件地进价为8元，每个乙种零件地进价为10元．（2）设购进乙种零件y个，则购进甲种零件（3y﹣5）个．由题意得：解得：23＜y≤25∵y为整数∴y=24或25．∴共有2种方案．方案一：购进甲种零件67个，乙种零件24个；方案二：购进甲种零件70个，乙种零件25个．BP地延长线交⊙O于点Q，点R在OA地延长线上，且RP=RQ．（1）求证：RQ是⊙O地切线；（2）当RA≤OA时，试确定∠B地取值范围；（3）求证：OB2=PB•PQ+OP2．【解答】（1）证明：连接OQ．∵OA⊥OB，∴∠2+∠B=90°，∵OB=OQ，∴∠B=∠4，∵RP=RQ，∴∠1=∠3=∠2，∴∠3+∠4=90°，∴OQ⊥RQ，∴RQ是⊙O地切线．（2）解：如图1中，①当点R与A重合时，易知∠B=45°．②当AR=OA时，在Rt△ORQ中，∵∠OQR=90°，OR=2OQ，∴∠R=30°，∵RQ=RP，∴∠RPQ=∠RQP=75°，∴∠OPB=75°，∴∠B=90°﹣∠OPB=15°，综上所述，15°≤∠B＜45°．（3）如图2中，延长AO交⊙于M．∵PA•PM=PB•PQ（相交弦定理，也可以连接BM、AQ证明△PBM∽△PAQ得到），∴（OB﹣OP）（OB+OP）=PB•PQ，∴OB2﹣OP2=PB•PQ．即OB2=PB•PQ+OP2．17．（23分）如图1，在平面直角坐标系中，边长为1地正方形OABC地顶点B 在y轴地正半轴上，O为坐标原点．现将正方形OABC绕点O按顺时针方向旋转，（2）若线段AB与y轴地交点为M（如图2），线段BC与直线y=x地交点为N．当θ=22.5°时，求此时△BMN内切圆地半径；（3）设△MNB地周长为l，试判断在正方形OABC旋转地过程中l值是否发生变化，并说明理由．【解答】解：（1）如图1中，由题意当点A落到y轴正半轴上时，边BC在旋转过程中所扫过地面积=S扇形OBB′+S△OCB′﹣S△OBC﹣S扇形OCC′=S扇形OBB′﹣S扇形OCC′=﹣=．（2）如图2中，在OA取一点E，使得EM=EO，∵∠AOM=22.5°，∴∠EOM=∠EMO=22.5°，∴∠AEM=∠EOM+∠EMO=45°，∴△AEM是等腰直角三角形，∴AM=AE，设AE=AM=x，则EM=EO=x，∴x+x=1，∴x=﹣1，∴BM=AB﹣AM=1﹣（﹣1）=2﹣，同理可得BN=2﹣，∴MN=BM=2﹣2，设△BMN地内切圆地半径为r，则有（MN+BM+BN）•r=BM•BN，∴r===3﹣2．（3）在正方形OABC旋转地过程中l值不发生变化．理由：如图3中，延长BA到E使得AE=CN．∵AE=CN，∠OAE=∠OCN=90°，OA=OC，∴△OAE≌△OCN，∴OE=ON，∠AOE=∠CON，∵∠MON=45°，∴∠MOA+∠CON=∠MOA+∠AOE=45°，∴∠MOE=∠MON，∵OM=OM，∴△MOA≌△MON，∴EM=MN，∴△BNM地周长=MN+BM+BN=EM+BM+BN=（AM+BM）+（AE+BN）=（AM+BM）+（CN+BN）=2AB=2，∴△BNM地周长为定值．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：BAPl运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学(文)福建卷
2015年福建文一、选择题（共12小题；共60分）1. 若1+i+2−3i=a+b i（a,b∈R，i是虚数单位），则a，b的值分别等于 A. 3，−2B. 3，2C. 3，−3D. −1，42. 若集合M=x−2≤x<2，N=0,1,2，则M∩N等于 A. 0B. 1C. 0,1,2D. 0,13. 下列函数为奇函数的是 A. y=xB. y=e xC. y=cos xD. y=e x−e−x4. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出y的值为 A. 2B. 7C. 8D. 1285. 若直线xa +yb=1（a>0，b>0）过点1,1，则a+b的最小值等于 A. 2B. 3C. 4D. 56. 若sinα=−513，且α为第四象限角，则tanα的值等于 A. 125B. −125C. 512D. −5127. 设a=1,2，b=1,1，c=a+kb．若b⊥c，则实数k的值等于 A. −32B. −53C. 53D. 328. 如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为1,0，且点C与点D在函数f x=x+1,x≥0,−12x+1,x<0的图象上．若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 A. 16B. 14C. 38D. 129. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于 A. 8+2B. 11+2C. 14+2D. 1510. 变量x，y满足约束条件x+y≥0,x−2y+2≥0,mx−y≤0.若z=2x−y的最大值为2，则实数m等于 A. −2B. −1C. 1D. 211. 已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l:3x−4y=0交椭圆E于A，B两点．若 AF + BF =4，点M到直线l的距离不小于45，则椭圆E的离心率的取值范围是 A. 0,32B. 0,34C. 32,1 D. 34,112. “对任意x∈0,π2，k sin x cos x<x”是“ k<1”的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件二、填空题（共4小题；共20分）13. 某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为．14. 若△ABC中，AC=A=45∘，C=75∘，则BC=．15. 若函数f x=2 x−a a∈R满足f1+x=f1−x，且f x在m,+∞上单调递增，则实数m的最小值等于．16. 若a，b是函数f x=x2−px+q（p>0，q>0）的两个不同的零点，且a，b，−2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于．三、解答题（共6小题；共78分）17. 等差数列a n中，a2=4，a4+a7=15．（1）求数列a n的通项公式；（2）设b n=2a n−2+n，求b1+b2+b3+⋯+b10的值．18. 全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015 年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示．组号分组频数1 4,5 22 5,6 83 6,7 74 7,8 3（1）现从融合指数在 4,5 和 7,8 内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在 7,8 内的概率；（2）根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．19. 已知点F 为抛物线E :y 2=2px p >0 的焦点，点A 2,m 在抛物线E 上，且 AF =3．（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点G −1,0 ，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．20. 如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且PO =OB =1．（1）若D 为线段AC 的中点，求证：AC ⊥平面PDO ； （2）求三棱锥P −ABC 体积的最大值； （3）若BC = ，点E 在线段PB 上，求CE +OE 的最小值．21. 已知函数f x =10 3sin x2cos x2+10cos 2x2．（1）求函数f x 的最小正周期；（2）将函数f x 的图象向右平移π6个单位长度，再向下平移a a >0 个单位长度后得到函数g x的图象，且函数g x 的最大值为2． ①求函数g x 的解析式；②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g x 0 >0．22. 已知函数f x=ln x−x−12．2（1）求函数f x的单调递增区间；（2）证明：当x>1时，f x<x−1；（3）确定实数k的所有可能取值，使得存在x0>1，当x∈1,x0，恒有f x>k x−1．答案第一部分1. A2. D3. D4. C5. C6. D7. A8. B9. B 10. C【解析】提示：由约束条件作出大致的可行域：当目标函数对应的直线过点A时z最大．11. A 12. B 【解析】对任意x∈0,π2，k sin x cos x<x，即对任意x∈0,π2，k sin2x<2x，当k<1时，k sin2x<2x恒成立，但是对任意x∈0,π2，k sin x cos x<x，可得k=1也成立，所以“对任意x∈0,π2，k sin x cos x<x”是“ k<1”的必要而不充分条件．第二部分13. 2514. 215. 1【解析】提示：f x的图象关于直线x=1对称．16. 9【解析】由已知得a+b=p，ab=q，∵p>0,q>0，∴a>0,b>0．又a，b，−2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，∴2b=a−2 ab=4 ⋯⋯①或2a=b−2ab=4 ⋯⋯②解①得a=4 b=1;解②得a=1 b=4.∴p=a+b=5，q=1×4=4．第三部分17. （1）设等差数列a n的公差为d．由已知得a1+d=4,a1+3d+a1+6d=15,解得a1=3,d=1.所以a n=a1+n−1d=n+2．（2）由（1）可得b n=2n+n，所以b1+b2+b3+⋯+b10=2+1+22+2+23+3+⋯+210+10=2+22+23+⋯+210+1+2+3+⋯+10=21−2101−2+1+10×102=211−2+55=211+53=2101.18. （1）解法一：融合指数在7,8内的“省级卫视新闻台”记为A1，A2，A3；融合指数在4,5内的“省级卫视新闻台”记为B1，B2．从融合指数在4,5和7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：A1,A2，A1,A3，A2,A3，A1,B1，A1,B2，A2,B1，A2,B2，A3,B1，A3,B2，B1,B2，共10个．其中，至少有1家融合指数在7,8内的基本事件是：A1,A2，A1,A3，A2,A3，A1,B1，A1,B2，A2,B1，A2,B2，A3,B1，A3,B2，共9个．所以所求的概率P=910．解法二：融合指数在7,8内的“省级卫视新闻台”记为A1，A2，A3；融合指数在4,5内的“省级卫视新闻台”记为B1，B2．从融合指数在4,5和7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有的基本事件是：A1,A2，A1,A3，A2,A3，A1,B1，A1,B2，A2,B1，A2,B2，A3,B1，A3,B2，B1,B2，共10个．其中，没有1家融合指数在7,8内的基本事件是：B1,B2，共1个．所以所求的概率P=1−110=910．（2）这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于4.5×220+5.5×820+6.5×720+7.5×320=6.05．19. （1）由抛物线的定义得 AF =2+p2．因为 AF =3，即2+p2=3，解得p=2，所以抛物线E的方程为y2=4x．（2）因为点A2,m在抛物线E:y2=4x上，所以m=±22．由抛物线的对称性，不妨设A 2,22．由A 2,2，F1,0可得直线AF的方程为y=2x−1．由y=22x−1,y2=4x,得2x2−5x+2=0，解得x=2或x=12，从而B12,−2．又G−1,0，所以k GA=22−02−−1=223，k GB=−2−01−−1=−223，所以k GA+k GB=0，从而∠AGF=∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．20. （1）在△AOC中，因为OA=OC，D为AC的中点，所以AC⊥DO．又PO垂直于圆O所在的平面，所以PO⊥AC．因为DO∩PO=O，所以AC⊥平面PDO．（2）因为点C在圆O上，所以当CO⊥AB时，C到AB的距离最大，且最大值为1．又AB=2，所以△ABC面积的最大值为12×2×1=1．又因为三棱锥P−ABC的高PO=1，故三棱锥P−ABC体积的最大值为13×1×1=13．（3）解法一：在△POB中，PO=OB=1，∠POB=90∘，所以PB=12+12=2．同理PC=，所以PB=PC=BC．在三棱锥P−ABC中，将侧面BCP绕PB旋转至平面BCʹP，使之与平面ABP共面，如图所示．当O，E，Cʹ共线时，CE+OE取得最小值．又因为OP=OB，CʹP=CʹB，所以OCʹ垂直平分PB，即E为PB的中点．从而OCʹ=OE+ECʹ=22+62=2+62，即CE+OE的最小值为2+62．解法二：在△POB中，PO=OB=1，∠POB＝90∘，所以∠OPB＝45∘，PB=2+12=2．同理，PC=．所以PB=PC=BC，所以∠CPB＝60∘．在三梭锥P−ABC中，将侧面BCP绕PB旋转至平面BCʹP，使之与平面ABP共面，如图所示．当O，E，C′共线时，CE＋OE取得最小值．所以在△OCʹP中，由余弦定理得OCʹ2=1+2−2×1×2×cos45∘+60∘=1+2−2222×12−22×32=2+ 3.从而OCʹ=2+3=2+62．所以CE+OE的最小值为2+62．21. （1）因为f x=103sin x2cos x2+10cos2x2=53sin x+5cos x+5=10sin x+π6+5，所以函数f x的最小正周期T=2π．（2）①将f x的图象向右平移π6个单位长度后得到y=10sin x+5的图象，再向下平移a a>0个单位长度后得到g x=10sin x+5−a的图象．又已知函数g x的最大值为2，所以10+5−a=2，解得a=13．所以g x=10sin x−8．②要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g x0>0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得10sin x0−8>0，即sin x0>45．由45<32知，存在0<α0<π3，使得sinα0=45．由正弦函数的性质可知，当x∈α0,π−α0时，均有sin x>45．因为y=sin x的周期为2π，所以当x∈2kπ+α0,2kπ+π−α0k∈Z时，均有sin x>45．因为对任意的整数k，2kπ+π−α0−2kπ+α0=π−2α0>π3>1，所以对任意的正整数k，都存在正整数x k∈2kπ+α0,2kπ+π−α0，使得sin x k>45．即存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g x0>0．22. （1）fʹx=1x −x+1=−x2+x+1x，x∈0,+∞．由fʹx>0，得x>0,−x2+x+1>0,解得0<x<1+52．故f x的单调递增区间是0,1+52．（2）令F x=f x−x−1，x∈0,+∞，则有Fʹx=1−x2x．当x∈1,+∞时，Fʹx<0，所以F x在1,+∞上单调递减，故当x>1时，F x<F1=0，即当x>1时，f x<x−1．（3）由（2）知，当k=1时，不存在x0>1满足题意．当k>1时，对于x>1，有f x<x−1<k x−1，则f x<k x−1，从而不存在x0>1满足题意．当k<1时，令G x=f x−k x−1，x∈0,+∞，则有Gʹx=1x −x+1−k=−x2+1−k x+1x．由Gʹx=0，得−x2+1−k x+1=0，解得x1=1−k−1−k2+42<0,x2=1−k+1−k2+42>1.当x∈1,x2时，Gʹx>0，故G x在1,x2内单调递增．从而当x∈1,x2时，G x>G1=0，即f x>k x−1．综上，k的取值范围是−∞,1．。
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2015年福建省高职单招数学试卷 第Ⅰ卷（选择题 共70分） 一．单项选择题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．在每小题给出的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1.设集合1,3,5A，1,2B，则AB等于（ ）
A.1 B.1,3,5 C.2,3,5 D.1,2,3,5 2.函数2()logfxx的图象大致为（ ）
A B C D
3.已知向量(1,0)a，(1,2)b，则ab的值为（ ） A.1 B.0 C.1 D.2
4.已知()3sin(3)4fxx的最小正周期是（ ）
A.3 B.23 C.3 D.6 5.下列几何体是棱柱的是（ ）
A B C D
6.圆2220xyx的圆心坐标为（ ） A.（1 , 0 ) B.( 2 , 0 ) C.( 0 , 1 ) D.( 0 , 2 ) 7.若,xyR，则“0x且0y”是“0xy”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
8.椭圆2212xy的离心率为（ ）
A.12 B.32 C.22 D.34 9.已知函数()2xfxx的零点所在区间是（ ） A.(2,1) B.(1,0) C.(0,1) D. (1,2)
10.设,xy满足束条件1 11 xxyy，则zxy的最大值等于（ ） A.2 B.1 C.0 D.1 11.在△ABC的内角030A，2AC，3AB，则BC等于（ ） A.1 B.2 C.3 D.2 12.如图，在正方形ABCD中，以对角线AC和BD的交点O为圆心作圆O，若在正方形ABCD内，随机取一个点，则此点取自于阴影部分的概率是（ ）
A.14 B.13 C.12 D.34
13.函数4()1fxxx（0x）的最小值是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 14.设函数()fx是定义在R上的增函数，且不等式2(m2)()fxfx对xR恒成立的取值范围是（ ） A.(,1) B.(,1] C.(1,) D.[1,)
第II卷（非选择题 共80分）
二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置上） 15．(1)(1)ii ； 16．在一次抽样调查中，采用分层抽样选取样本，其中男生28人，女生21人，共抽取7人，则女生抽取________人；
17．已知函数(4),0()(4)0xxxfxxxx，，则(3)f ；
18．一个圆柱体的体积为3128cm的易拉罐有上.下底面，求高为 时用的材料最少.三.解答题（本大题共6 小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本小题满分8分） 已知函数2()sin22cos1fxxx. （Ⅰ）求()4f的值；（Ⅱ）求函数()fx的最大值. 20. （本小题满分8分） 已知等差数列{}na中，131,6aS. （Ⅰ）求数列{}na的通项公式； （Ⅱ）若数列{}nb满足2nanb，求1235bbbb的值.
21. （本小题满分10分） 右图是某公司5个销售店某月销售某机器的数量（单位：台）的茎叶图.
（Ⅰ）求该公司5个销售店当月销售这种机器的平均台数； （Ⅱ）该公司为提高销售业绩，从5个销售店中随机抽取2个进行分析，求抽到的2个销售店该月的销售量均高于平均数的概率.
22. （本小题满分10分） 设直线l过抛物线：22ypx（0p）的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，其中点(4,4)A. （Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）求线段AB的长.
5323642 23. （本小题满分12分） 某实心零件是一几何体，其三视图如图（单位：毫米，取3.14）. （Ⅰ）求该零件的表面积； （Ⅱ）电镀这种零件需要用锌，已知每平方毫米用锌41.110克，问电镀10000个零件需要用锌多少克？
24.（本小题满分12分） 已知函数31()13fxxax，且曲线()yfx在点(1,(1))f的切线与y轴垂直 （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）求()fx在区间[2,2]上的最大值；
（III）是否存在实数k，使得直线4(1)3ykx与曲线()yfx有三个交点？若存在，求k的范围；若不存在，说明理由.
俯视图侧视图正视图20
20
2010 2015年福建省高等职业教育入学考试 数学试卷答案及评分参考 （面向普通高中考生）
一、单项选择题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1．D 2．B 3．C 4．B 5．B 6．A 7．A 8．C 9．B 10．D 11．A 12．C 13．D 14．A 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 15．2 16．3 17．21 18．8cm 三、解答题（本大题共6小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.解：(1) )42sin(22cos2sin)(xxxxf „„„„„„„2分
1)424sin(2)4(f „„„„„„4分
（Ⅱ）)42sin(2)(xxf 当1)42sin(x时，f(x)=2×1=2 „„„„„„„6分 所以 f(x)的最大值是2 „„„„„„„8分 20.解：（Ⅰ）因为等差数列dasa2)13(33,1131 所以6=3×1+3d， 解得d=1 „„„„„„„„„„„„„„„„„2分 所以nan „„„„„„„„„„„„„„„„„4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知nnb2 „„„„„„5分 所以 332212,2,2bbb 公比q＝2 „„„„„„6分
115154321qaqabbbbb ＝ 62 „„„„8分 21．解：（Ⅰ）平均台数＝台3053533322624，„„„„„„„„„5分 （Ⅱ）基本事件：（24，26）（24，32）（24，33）（24，35）（26，32）（26，33）（26，35）（32，33） （32，35）（33，35）共计10种情况， 符合条件有（32，33）（32，35）（33，35）3种情况 „„„„„„„„„8分
103＝均高于平均数概率p „„„„„„„„„10分
22.解：（Ⅰ）把A（4，4）代入pxy22 „„„„„„„„„„„„2分 得：p=2 „„„„„„„„„„„„4分 所以抛物线方程：xy42 „„„„„„„„„„„5分 （Ⅱ）设),(),,(2211yxByxA 焦点F（1，0），A（4，4）
341404AFK „„„„„„„„„„„7分
直线AB方程：y=34(x-1)
xy41)-(x34=y
2
因为041742xx „„„„„„„„„„„„„„„„„8分 41721xx
pxxAB21=417+2=425 „„„„„„„„„„„„„„„„„10分
23.解：（Ⅰ）由三视图可得该几何体是一个棱长为20毫米的正方体上面放置了一个半径10毫米的半球 ＝正方体表面积s6×20×20－210＝2086 628104212＝＝半球表面积s 零件的表面积27146282086s „„„„„„4分 ＝2714（2mm） „„„„„6 该零件的表面积27142mm． （Ⅱ）电镀1000个这种零件需要用的锌为 ＝ 2714×10000×4101.1 „„„„„„„„„„„„8分 ＝2985.4（g）． „„„„„„„„„„„„10分 所以制造1000个这样的零件，需要锌2985.4克． 23．解：（Ⅰ）由题意：f(x)的切线与y轴垂直可得k=0，axxf2')( „„„„„2分 01)1('af， 解得：a=1 „„„„„4分 （Ⅱ）把a=1,代入f(x)，得131)(3xxxf „„„„„5分 因为1)(2'xxf 令0)('xf,012x，解得：1,121xx„„„„„6分 ① 2,1,1,2x当时，f(x)为增函数， ②1,1x当时，f(x)为减函数， x=-1是极大值，x=1是极小值 „„„„„„„„7分
f(-1)=35, f(2)=35 所以()fx在区间[2,2]上的最大值是35„„„8分 （III）因为直线4(1)3ykx经过定点A（1，34），如图可知，当直线K为负数或不存在时直线与f(x)只有一个交点，„„„„„„10分 设直线4(1)3ykx与f(x)相切于点B（m,1313mm）,过B的斜率K＝)('mf＝12m 1313mm＝（12m）（m-1）-34 „„„„11分
043223mm，04)2(222mmm，0)22)(2(2mmm
解得：m=2,K＝12m＝3 „„„„12分 从而存),3(k，使得直线4(1)3ykx与曲线()yfx有三个交点