振动问题的有限元法
机械结构中的模态振型分析
机械结构中的模态振型分析引言机械结构中的模态振型分析是一种重要的工程手段，它可以帮助工程师深入了解机械结构的动态特性，为优化结构设计提供科学依据。
本文将探讨机械结构中模态振型分析的原理、方法与应用，并结合实例进行说明。
一、模态振型的概念模态振型就是机械结构在其固有频率下的振动形态。
通过模态振型分析，我们可以了解机械结构的固有频率、振动模式以及相应的振动幅值。
模态振型分析是理解结构动力学行为的基础，对于抗震分析、噪声控制、疲劳寿命预测等工程问题具有重要意义。
二、模态振型分析的原理模态振型分析的核心原理是求解结构的特征值和特征向量。
特征值表示结构的固有频率，而特征向量则表示结构的振动模态。
通常，我们可以采用有限元方法、模型投影法等数值方法来进行模态振型分析。
有限元方法是一种常用的模态振型分析方法。
它将结构离散为一系列小单元，并基于有限元理论建立结构的模型。
然后，通过求解结构的特征值问题，得到结构的固有频率和模态振型。
这种方法可以适用于各种不同形态的结构，并可以考虑结构的几何非线性和材料非线性。
模型投影法（或称为物理模态法）是另一种常用的模态振型分析方法。
该方法主要适用于线性结构，并将结构的动力方程以投影矩阵的形式表示。
通过对投影矩阵的分解，可以直接得到特征值和特征向量。
虽然该方法在计算上比有限元方法简化，但其适用范围较窄。
三、模态振型分析的应用模态振型分析在工程实践中有着广泛的应用。
以下几个方面是模态振型分析的主要应用领域。
1. 结构设计优化：通过模态振型分析，可以评估不同结构参数对于结构的固有频率和振动模态的影响，进而指导结构设计的优化。
例如，在飞机设计中，模态振型分析可以帮助工程师选择适当的材料和减震措施，提高飞机的结构强度和稳定性。
2. 抗震分析：模态振型分析在抗震设计中起到至关重要的作用。
通过分析结构的固有频率和振动模态，可以评估结构在地震荷载下的动态响应，为结构的抗震设计提供依据。
模态振型分析还可以帮助确定结构的主要振动模态，从而选择适当的减震措施。
线性振动理论和振动近似解法简略史 正文
线性振动理论和振动近似解法简略史摘要：读史使人明智，本文意在对线性振动理论和工程振动近似解法的发展做简要明了的阐述，其中线性振动理论史以科学家对具体模型的解答为路线，依次阐述：单摆、弦线、梁、膜、板壳、三维弹性体理论、激励响应和强迫振动理论。
工程近似解法以时间为顺序依次阐述各近似解法，依次简要阐述：邓克莱法、逐步近似法、阵型叠加法，传递矩阵法、瑞立法、里茨法、有限元法。
部分近似解法做了较为详细的解释。
关键词线性振动近似解法简略史1线性振动理论1.1单摆单摆是最早引起人们注意的振动之一，真正对单摆的研究要追溯到16世纪，早在1581年，伽利略发现了摆的等时性，之后科学家对单摆的研究主要就是计算摆的周期，当然也包括伽利略本人。
伽利略在1638年用落体公式推得摆动周期正比于摆长与重力加速度比的平方根,还从能量的角度讨论摆的周期，但始终没得到正确的比例系数。
结束摆周期的计算是在17世纪中后叶，惠更斯利用几何方法，得到摆振动周期的正确公式。
1678年牛顿在其划时代的《自然哲学的数学原理》中建立运动变化与受力的关系，使振动问题的动力学研究成为可能,假设了介质阻力与速度及速度平方成正比,形成阻尼概念的雏形，在1728年欧拉考察了摆在有阻尼介质中的运动建立并求解了相应的二阶常微分方程，至此单摆在无阻尼和有阻尼的条件下的周期计算基本结束，后期对摆的研究主要集中在摆的大幅振动和其具有的非线性特征。
1638年伽利略摆动周期正比于摆长与］重力加速度比的平方根，即：T二1LJ(1673年伽利略利用几何方法得到单摆振动周期的正确公式\准确解：T二4j(l/g)*K(sin(a/2))广1728年欧拉建立并求解了摆在有阻尼、介质中的运动相应的二阶常微分方程I)图一单摆周期的发现及求解简略图1.2弦线在振动力学研究兴起之前,有两个典型的振动问题引起注意,一个是单摆摆动，另一个就是弦线振动。
弦线振动是无穷多自由度连续系统的振动,单摆摆动是单自由度离散系统的振动,振幅不大时都可认为是线性的。
复杂结构体系的振动分析与控制
复杂结构体系的振动分析与控制随着复杂工程结构体系的不断发展，结构体系的振动问题也逐渐引起了人们的重视。
在工程实践中，振动问题对工程结构体系的安全性、可靠性和耐久性均有着不可忽视的影响。
因此，对于复杂结构体系的振动分析和控制具有重要的理论意义和实际应用价值。
一、复杂结构体系的振动分析复杂结构体系的振动问题主要包括结构固有频率、振型、振幅等多方面。
对于复杂结构体系的振动分析，通常采用有限元法、频域分析法和时域分析法等方法。
1. 有限元法有限元法是目前最为常用的一种结构振动分析方法，其基本思想是将整个结构体系离散化，通过分析每个单元的动力响应来计算整个结构体系的振动特性。
有限元法可以对结构体系的任何形状进行分析，具有较高的精度和可靠性。
但是，其计算过程比较复杂，需要大量的计算资源和时间。
2. 频域分析法频域分析法是将结构振动过程看作频率与振幅之间的关系，通过计算结构振动的频谱密度及振幅的峰值等参数来分析结构的动态响应特性。
该方法计算速度较快，可以对结构体系进行静态、动态和稳定性分析，但其结果并不精确。
3. 时域分析法时域分析法是通过计算结构振动过程中的时域变化规律来分析结构体系的动态响应特性。
该方法具有计算精度高、运算速度快等优点，但需要满足一些前提条件，如假设结构运动为线性、时间周期相等等。
二、复杂结构体系的振动控制结构振动控制是指通过采取某种措施来降低或消除结构振动的行为。
针对不同的振动问题，有着不同的控制措施。
1. 被动控制被动控制是指对结构进行一定形式结构改造，给结构增加某些被动装置来控制结构振动的方法。
常用的被动装置有质量阻尼器、支撑滞尼器、增振器和阻尼器等。
被动控制的主要优点是安装简单、使用成本低、稳定可靠，但是其控制性能差，不能有效地控制高频振动。
2. 主动控制主动控制是利用主动控制器激励一些控制原件来产生反馈力，消耗振动能量，达到控制结构振动的目的。
常用的主动控制技术有智能材料控制技术、电流传输线控制技术和阵列振荡器技术等。
有限元法应用举例
核反应堆运行过程中涉及高温、 高压、高辐射等极端条件，热工 水力学分析是确保安全性的重要
环节。
有限元法可以对核反应堆的热工 水力学进行模拟，评估冷却剂流 动、热能传递、压力容器应力分
布等关键参数。
通过模拟分析，可以优化反应堆 设计，提高运行效率，降低事故
风险。
建筑物的能耗模拟与优化
建筑物的能耗是节能减排的重要领域，能耗模拟与优化有助于降低能源消耗和碳排 放。
况，为设备的电磁兼容性设计和优化提供依据。
通过有限元分析，可以评估设备的电磁辐射是否符合相关标准
03
和规定，以及优化设备的天线布局和结构设计等。
高压输电线路的电场分析
高压输电线路在运行过程中会 产生电场和磁场，其强度和分 布情况对环境和人类健康具有 一定影响。
有限元法可以用来分析高压输 电线路的电场分布情况，包括 电场强度的计算和分布规律的 分析等。
通过有限元分析，可以评估高 压输电线路对环境和人类健康 的影响，为线路的规划、设计 和优化提供依据。
07
有限元法应用举例：声学分析
消声室的声学设计
消声室是用于测试和测量声音的特殊 实验室，其内部环境需要极低的噪音 水平。
通过模拟和分析，可以确定最佳的吸 音材料和布局，以及最佳的隔音结构， 以达到最佳的消声效果。
有限元法应用举例
• 有限元法简介 • 有限元法应用领域 • 有限元法应用举例：结构分析 • 有限元法应用举例：流体动力学分析 • 有限元法应用举例：热传导分析 • 有限元法应用举例：电磁场分析 • 有限元法应用举例：声学分析
01
有限元法简介
定义与原理
定义
有限元法是一种数值分析方法，通过将复杂的物理系统离散 化为有限数量的简单单元（或称为元素），并建立数学模型 ，对每个单元进行单独分析，再综合所有单元的信息，得到 整个系统的行为。
机械结构的振动模态识别方法
机械结构的振动模态识别方法机械结构是工程中非常重要的一部分，它们的振动特性直接影响着其工作性能和寿命。
因此，准确识别机械结构的振动模态对于设计和维护都具有重要意义。
本文将介绍一些常用的机械结构振动模态识别方法。
一、频域分析法频域分析法是最常见的振动模态识别方法之一。
在该方法中，通过对机械结构振动信号进行傅里叶变换，可以将时域信号转换为频域信号。
通过频谱分析，可以得到机械结构在不同频率下的振动特性。
在实际应用中，通常使用傅里叶变换的快速算法（FFT）来加快计算速度。
频域分析方法可以识别机械结构的基频和各个谐振频率，同时还可以得到相应的振动模态形状。
通过对振动模态形状的研究，可以更好地理解和优化机械结构的设计。
二、模态分析法模态分析法是一种基于数学模型的振动模态识别方法。
在该方法中，通过建立机械结构的振动动力学模型，可以得到其固有频率、振型和阻尼比等参数。
常见的模态分析方法包括有限元法、边界元法和等效线性化方法等。
有限元法是一种基于连续介质力学理论的模态分析方法。
在该方法中，将机械结构进行离散化处理，并通过求解结构的动力学特征方程来得到振动模态参数。
有限元法可以较为准确地预测机械结构的振动模态。
边界元法是一种基于泛函分析和积分变换的模态分析方法。
在该方法中，将机械结构看作由一系列边界上的振动片段组成，并通过求解边界上的积分方程来得到振动模态参数。
边界元法适用于边界振动明显的机械结构。
等效线性化方法是一种基于非线性动力学理论的模态分析方法。
在该方法中，通过将机械结构的非线性振动转化为等效的线性振动，可以得到振动模态参数。
等效线性化方法适用于非线性振动较为显著的机械结构。
三、信号处理方法信号处理方法是一种基于振动信号的模态识别方法。
在该方法中，通过对机械结构的振动信号进行预处理和特征提取，可以得到振动模态参数。
常见的信号处理方法包括小波分析、自适应滤波和Hilbert-Huang变换等。
小波分析是一种将信号分解为不同频率和时间尺度的方法。
模态分析在机械振动中的应用
模态分析在机械振动中的应用机械振动是现代工业中不可避免的现象，通过振动来实现生产运行和机器运转，然而机械振动也会在一定程度上影响生产效率和机械的使用寿命。
因此，进行机械振动的分析和优化非常必要。
模态分析是一种理论和实验相结合的分析方法，在机械振动中的应用有着广泛的意义。
模态分析可以通过对机器的振动模式进行分析，找到影响振动的主要因素，从而通过调整机器的结构或外部环境来优化机械运行的机能。
一、模态分析的基本原理模态分析是振动分析中最常用的方法之一，它是通过对机械系统进行稳态或暂态振动分析，来研究机械系统的固有振动特性，从而得到机械系统的振动模态。
模态分析通过分析机器在对其施加的外界激励下产生的振动，通过数学模型进行分析，可以确定出机器结构的振动模态和测量机器的振动频率、振幅以及振型。
通过对振动的分析和诊断，找出机器结构的主要影响因素，并对其进行局部优化或调节。
模态分析方法可以帮助机器改善性能、延长寿命、减少振动和减小噪音。
二、模态分析的应用1、振动问题诊断通过模态分析方法，可以测量分析机器的固有频率，以及找出机器结构的主要影响因素。
这些影响因素有可能是机器结构本身的质量、材料、强度等一些固有的因素，也有可能是机器在运行过程中引入的一些外部环境和激励因素。
通过对这些因素进行分析并进行优化，可以解决机器的振动问题，使机器的使用寿命得到延长，并减少故障产生的频率。
2、机械设计和开发在机械产品的设计和开发阶段，模态分析可以提供重要的参考。
通过对机械产品的振动模式进行分析，可以发现设计中的缺陷和问题，从而调整加以优化，减少振动、减少噪音和提高机械性能。
3、机械优化通过模态分析可以测量和分析机器在运转过程中的振动模态和频率，并寻找机器振动产生的主要原因。
在找到振动问题的根本原因后，则可以通过调整和优化机器结构、材料和其他相关因素来改善和解决振动问题，以达到机械的优化效果。
4、电子产品振动分析电子产品的可靠性和稳定性与其振动特性有着密切关系，因此对于电子产品相关振动特性进行分析，也需要使用到模态分析的方法。
第七章结构振动的有限元分析
第七章结构振动的有限元分析第一节引言结构振动是指结构在外力的作用下发生的同步振动。
它在工程结构的设计和分析中具有重要的意义。
传统的结构振动分析方法主要有模态分析法和频域分析法。
近年来，随着计算机技术的发展，有限元方法在结构振动分析中的应用越来越广泛。
第二节有限元方法概述有限元方法是一种通过将连续结构离散化为有限个单元，并在每个单元内进行局部计算，然后将单元组装起来进行全局分析的一种方法。
有限元方法的基本思想是将连续体分解为有限个离散单元，通过求解每个单元的位移和应变，进而得到整个结构的力学行为和响应。
在结构振动分析中，有限元方法可以更准确地描述结构的边界条件和模态特性。
第三节有限元建模有限元建模是有限元分析的关键步骤之一、在有限元建模过程中，需要根据实际情况选择适当的单元类型和单元尺寸，并确定边界条件。
有限元建模的准确性直接影响到振动分析的有效性和准确性。
第四节模态分析模态分析是结构振动分析的常用方法之一、它可以通过求解结构的本征频率和本征振型，对结构进行全面的振动特性分析。
在有限元分析中，模态分析主要通过求解结构的特征值问题来实现。
第五节动力分析动力分析是结构振动分析的另一种常用方法。
与模态分析相比，动力分析能够更真实地反映结构在外力作用下的振动响应。
在有限元分析中，动力分析主要通过求解结构的动力方程来实现。
第六节振动问题的求解技巧与注意事项在进行结构振动的有限元分析时，需要注意一些技巧和问题。
首先，应正确选择结构的边界条件和单元类型，以保证分析结果的准确性。
其次，应注意振动问题的约束条件和模态解耦技巧，以简化计算过程。
此外，在求解动力方程时，还需要注意存在间接刚度法和直接刚度法两种不同的求解方法。
第七节结构振动的应用领域结构振动的有限元分析在工程领域中有着广泛的应用。
例如，在建筑工程中，可以用有限元分析来评估结构的自然频率和振动幅度，以确定结构的稳定性和耐久性。
在航空航天工程中，可以通过有限元分析来研究飞机的结构动态特性，并优化结构设计。
结构振动分析中的模态分析方法
结构振动分析中的模态分析方法结构振动是指建筑、桥梁、机器等各类工程结构在受到外部激励或自身运动时所发生的振动现象。
为了有效地研究和应对这些结构振动问题，需要运用先进的分析技术来分析结构的振动特性，其中最常用的方法之一就是模态分析。
一、模态分析的基本原理模态分析是研究结构振动的一种分析方法，它是通过计算结构在不同的固有频率下的振动模态来描述结构振动特性的方法。
在模态分析中，首先需要使用有限元方法建立结构的数学模型，然后通过解析数学模型的特征方程，得到结构在不同频率下的振型，即模态，及其对应的振幅和相位差等振动参数。
根据这些振动参数，可以得到结构各个部分的振动响应，并进一步分析结构的振动特性，包括结构在不同频率下的最大振幅、结构振动的稳定性、结构间的耦合特性等。
二、模态分析的主要应用模态分析是结构振动分析中应用最为广泛的方法之一，其主要应用场景包括以下几个方面：1、确定结构的固有频率和振型。
通过模态分析，可以准确地计算结构的固有频率和振型。
这些固有频率和振型的计算结果可用于评估结构在不同激励下的响应特性，以便优化结构设计和制定合理的振动控制措施。
2、分析结构的动态响应。
模态分析可以用来预测结构在外部激励下的动态响应，包括结构的动态位移、速度、加速度等。
这些响应特性的预测结果对于工程结构的安全性评估和振动噪声控制等方面具有重要的意义。
3、评估结构的稳定性。
模态分析可以用于评估结构在振动中的稳定性。
通过计算结构在不同频率下的稳定性，可以有效地分析工程结构的稳定性问题，以便制定相应的振动控制措施。
4、进行结构损伤诊断。
工程结构的残损或破坏会导致结构频率的变化和振动模态的变化。
通过模态分析，可以检测并诊断工程结构的残损或破坏情况，为结构维修和保养提供重要的依据。
三、模态分析的计算方法在计算模态分析的过程中，需要先确定结构的数学模型，包括结构的几何形状、材料特性和载荷情况等。
根据这些数据，可以采用有限元方法求解结构的特征方程，然后求解特征方程得到结构的固有频率和振型。
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由此得到
L
t2 t1
(qe
)T ( Keqqe
Meqqe
Ceqqe
Feq)d t
0
由于单元位移的变分 (qe )T 是任取的，所以可由式 得到单元的运动方程为
Meqqe Ceqqe Keqqe Feq
Theory of Vibration
工程振动与测试
7.2 单元体的特性分析 7.2.1 形函数矩阵N
t2 [ (qe )T ( t1
cN T N dV )qe ]d t
V
Theory of Vibration
工程振动与测试
于是变分式成为
L t2 (qe )T[( BTDB dV )qe ( rN T N dV )qe
t1
V
V
( cN T N dV )qe ( N TFV dV ) ( N TFS d S)]d t 0
Theory of Vibration
工程振动与测试
单元体上的应力为 σ Dε DBq e
D为应力应变关系矩阵，又称为弹性矩阵，所 以单元体的应变能为
U
V
1 2
εTσ dV
V
1 (qe )T BT DBq e 2
dV
Theory of Vibration
工程振动与测试
设单元体振动时，阻尼系数为c，则阻尼力为 cq 。 单元体上阻尼力所消耗的能量Wd为
Theory of Vibration
工程振动与测试
有限元计算的基本过程： （1）将结构离散化，即把结构划分成离散的单
元。 （2）考虑单元的性质，建立单元的质量矩阵、
刚度矩阵、阻尼矩阵、载荷矩阵，推导出单元体的运 动方程式。
（3）组合各单元的质量矩阵、刚度矩阵、阻尼 矩阵，得到整个离散系统的运动方程。
在有限元中，形函数的作用十分重要，因为单 元形状和相应的形函数确定以后，其它运算可依照 标准步骤和普遍公式进行。单元上任一点的位移用 节点的位移表示为
V
V
S
令
Keq BTDBdV
V
Meq rN TN dV
V
Ceq cN TN dV
V
Feq ( N TFV dV ) ( N TFS d S)
V
S
Theory of Vibration
工程振动与测试
Keq、Meq、Ceq、Feq分别表示单元体的刚度 矩阵、质量矩阵、阻尼矩阵和载荷矩阵
t2 [ (qe )T ( rN T N dV )qe ]d t
t1
V
t2 [ (qe )T ( t1
rN T N dV )qe ]d t
V
Theory of Vibration
工程振动与测试
用同样的方法可得到
t2 [ (qe )T ( cN T N dV )qe ]d t
t1
V
S
工程振动与测试
应用分步积分公式，上式的第二项有
t2 [ (qe )T ( rN T N dV )qe ]d t
t1
V
[ (qe )T(
V
rN T N
d
V
)q
e
]t2 t1
t2 [ (qe )T (
t1
V
rN T N dV )qe ]d t
式中qe(t1)=0，qe(t2)=0，则只剩下第二项。
工程振动与测试
第7章 振动问题的有限元法
有限元法是力学模型系统上近似的数值计算方 法。它先将要分析的工程结构模型，假想地分割成 有限个单元，组成离散化模型。
各个单元之间在单元的外节点处互相连接起来。 然后导出各单元体的运动方程，然后由各个单元的 运动方程组合而形成原工程结构的有限元运动方程。
有限元法中分析的结构，是一个由有限个单元 组成的与原结构非常接近的离散系统。计算所得结 果的精确程度取决于单元体的划分。
L t2 [ (qe )T( BTDBdV )qe (qe )T( rN T N dV )qe
t1
V
V
(qe )T( cN T N dV )qe (qe )T( N TFV dV )
V
V
Theory of Vibration
(qe )T( N TFS d S)]d t 0
单元体中任一点的速度矢量可表示为
q u v w T Nqe
Theory of Vibration
工程振动与测试
单元体的动能为
T
1
V
2
rqTq dV
1
V
2
r (qe )T N T Nqe
dV
式中r为单元体积的质量
由弹性力学公式，应变与位移的关系为
ε Bqe
式中B为应变位移关系矩阵，是几何矩阵，与t 无关。
（4）解特征方程，求出频率与振型。 （5）求解动力响应问题。
Theory of Vibration
工程振动与测试
有限元法中采用的单元类型很多，其形状、 大小可以变化，各单元互相之间也容易连接，因 此它能适应复杂的结构，也适用于各种不同的边 界条件。
有限元法中的分析顺序是比较固定的，因此 便于计算机计算，并有标准程序和通用程序。
Wd
V
1 cqTq dV
2
V
1 c(qe )T N T Nq e dV 2
单元体上所受的外力分为两部分，即体积力 FV和表面力FS。它们的势能分别为
We1 qTFV dV (qe )T N TFV dV
V
V
We2 qTFS d S (qe )T N TFS d S
S
S
We We1 We2
任一点的位移矢量q用单元体上各节点的位移矢量qe
表示为
q Nq e
式中N为形函数矩阵，它是坐标x、y、z的函数。
Theory of Vibration
工程振动与测试 单元体中任一点的位移矢量q又可表示为
q u(t) v(t) w(t)T
式中u(t)、v(t)、w(t)分别表示该点沿x、y、z方向 的位移，它们都是时间t的函数。
Theory of Vibration
工程振动与测试
拉格朗日函数
L 1
[r (qe )T N T Nqe (qe )T BT DBq e c(qe )T N T Nqe
2V
2(qe )T N TFV ]dV (qe )T N TFS d S
S
由哈密尔顿原理，将其在时间区间(t1,t2)上对L积分， 并使其变分等于零，考虑到D的对称性后，有
Theory of Vibration
工程振动与测试
7.1 单元体的运动方程式
取一单元体，设单元体的动能为T，应变能为U，
阻尼消耗的能量为Wd，外力的势能为We。建立拉格 朗日函数为
L T U Wd We
设q为单元体中任一点的位移矢量，qe为单元体上
各节点的位移矢量，它是时间t的函数。令单元体中