变质量动力学方程
变质量动量定理
设第一级火箭总质量为m1 其内携带燃料的质量为m1e 且 m1e m1 第二级火箭总质量为m2 其内携带燃料的质量为 m2e m2 载荷的质量为 m p 设燃料从火箭喷出的相对速度 r =常数 方向与火箭速度方向相反 每秒喷出的燃料质量也为常数 火箭由静止开始运动 略去重力 由例6.1式（b）可得 第一级火箭的燃料全部喷射完时火箭的速度为 m1 m2 m p 1 r ln （a） m1 m2 m p m1 当第二级火箭的燃料也全部喷射完时 速度为 m2 m p 2 1 r ln m2 m p m2 （b）
§ 6－1 变质量质点的运动微分方程
1.变质量质点的运动微分方程
(e) 设作用于质点系的外力为 F
质点系在瞬时t的动量为 p1 m dm 1 质点系在瞬时t+dt的动量为 p2 (m dm)( d ) 根据动量定理
( e) (m dm)( d ) (m dm 1 ) F dt 将上式展开得 ( e) md dm dm d dm 1 F dt
i [
mi mi 1 mn m p (1 i )mi mi 1 mn m p
]
（e）
则得第n级火箭燃料燃烧完毕时的速度
n ri ln i
i 1
n
（f）
利用拉格朗日乘子法 可以求得满足下式的 i 将使火箭的总质量为最小值
（d）
如果取 m p / m 1/ 100 则 m2 / m 1 / 10， m1 / m 9 / 10 如果仍用 0.8 、 r / g 300s m/s 则由式（d）可得 2 max 7500 这显然比 m1 m2时的 2 6000m/s 要大得多 下面讨论多级火箭 ，mn 设各级火箭的质量分别为 m1 ，m2 ， ， 2， ，n) 各级火箭内的燃料质量为 i mi (i 1
变质量的牛顿第二定律在三维坐标、平动和转动方程
变质量的牛顿第二定律在三维坐标、平动和转动方程引子：牛顿第二定律在物理学中被广泛应用，是描述物体运动状态的重要定律之一。
然而，在一些特定情况下，物体的质量可能会发生变化，这就需要引入变质量的牛顿第二定律。
本文将围绕这一主题展开讨论，分析在三维坐标、平动和转动方程中的应用。
一、牛顿第二定律的基本概念1. 牛顿第二定律的表述及原理牛顿第二定律是经典力学中的基本定律之一，它描述了物体在外力作用下的加速度与所受力的关系，通常表达为F=ma，其中F为物体所受的合外力，m为物体的质量，a为物体的加速度。
这一定律的基本原理是力是物体运动状态改变的原因，力的大小和方向决定了物体的加速度。
2. 牛顿第二定律在三维坐标中的表示在三维坐标系中，物体可能受到来自不同方向的合外力，此时可以通过矢量运算来表示牛顿第二定律。
根据矢量的性质，可以将合外力表示为一个三维矢量F=(F_x, F_y, F_z)，物体的加速度也可以表示为一个三维矢量a=(a_x, a_y, a_z)，则牛顿第二定律可以表示为F=ma。
二、变质量的牛顿第二定律的推导及应用1. 变质量的概念及原因在一些特定情况下，物体的质量可能会随时间变化，例如火箭发射过程中燃料消耗导致质量减小。
此时，传统的牛顿第二定律就无法准确描述物体的运动状态，需要引入变质量的概念。
2. 变质量的牛顿第二定律的推导根据牛顿第二定律的基本原理，可以推导出变质量的牛顿第二定律。
假设物体的质量随时间变化，其质量函数可以表示为m(t)，则物体所受的合外力F(t)与加速度a(t)的关系可以表示为F(t)=m(t)a(t)。
在质量变化的情况下，需要考虑质量随时间的变化率dm/dt对物体运动状态的影响，进而推导出变质量的牛顿第二定律。
3. 变质量的牛顿第二定律在平动和转动方程中的应用在实际的物理问题中，变质量的牛顿第二定律被广泛应用于描述物体的平动和转动状态。
通过数学建模和推导，可以得到物体质量变化情况下的运动方程，从而更准确地预测物体的运动轨迹和速度。
变质量物体绕定轴转动的角动量定理
Ｍ＝∑ｒ Ｆ Ｉ Ｉ × ＋∑ Ｆ × Ｉ 。＝∑ × Ｉ Ｆ．
ｉ ＝１ ｉ ＝ｌ ｉ ＝ｌ
式中
为质 点系受到 的外力 ， 。为质点系 中的内
力（ 包括主体与微元 之间的相互作用 力 ） 由于内力总是成 ．
对 出现 ， 等大反向且在一条直线上 ， 故质 点系中所有 内力对 某一 固定点 的力矩之和为零． 由方程 （ ） ４ 得变质 量系统对 固定点的角动量定理为
黄 光 兵
（ 安职业技 术学院基础部 ， 广 四川 广安 ６ ８０ ） ３３ ０
摘 ．要 ： 运用角动量定理 ， 究了变质量物体 绕定轴转动的规律 ， 出了变质量物体 绕定轴 转动 的角动量 定 研 得
理， 然后 运用它分析解决 了两个常见的变质量物体绕定轴转动的 实例 。
关 键 词 ：角 动 量 定 理 ； 变质 量 ； 轴 转 动 定
警－舢 Ｍ（ ｒ ＝ ５ ）
其 中， 是变质 量系统 中所 有 质点 对某 一 固定点 的角 － ，
动量之和 ， 是系统受到 的外 力对 固定点 的力矩 之和 ， “表 示微 元合 并前 或分离后瞬间的速度 ，表示研究对象对 固定 ｒ
詈删 一ｄ＝ （ （）“ １ ｍ ）
用位矢 ｒ 矢乘方程 （ ）两边得 １
ｄ （） ３
其 中，Ｉ ×ｒ ｒ ×（ Ｉ ）＝ （ ・ ） 一（ ・Ｉｒ ２ 则 ｒ Ｉ＝ｒ ） Ｉ ．
其 中ｄ ｒ×（ ｍ ）＝Ｏ所 以方程 （ ） ２ 变为
，
整个系统对 固定转轴 的角动量为
（ ｒ×ｍｖ 一 ）一ｒד “
＝ｒ×
（） ４
绕 定轴 （ 或定点 ） 转动的角动量定理解决 ． 么对 于绕 定轴 那 转 动的变质 量问题 ， 我们又该如何去研究呢 ？ 由文献［ ］ １ 可知 ， 研究变质 量物体 的平动规 律时 ， 是把 变 质量系统 分解 为无数恒 质量 系统 ， 然后 运用 系统 的动量 定 理即可得出变 质量物体的动力学方程 ， ， 绕定轴 那么 研究 转 动的变质 量问题 时 ， 们 同样 可 以把变 质量 系统分解 成 我 无数短暂 的恒质 量系统 ， 然后运 用恒质量 系统绕 定轴转 动 的角动量定理 去研究 分析 ． １变质量物体绕定轴转动的角动量定理 变质量物体 的动力学方程 …为
变质量问题公式
变质量问题公式一、火箭发射类问题。
题目1：一枚火箭的初始质量为M_0，燃料以相对火箭的速度v_e向后喷出。
在某一时刻，火箭的质量变为M，求此时火箭的速度v（假设火箭在太空中，不受外力作用）。
解析：根据变质量物体的动力学方程：M(dv)/(dt)=-v_e(dM)/(dt)分离变量得：dv = - v_e(dM)/(M)两边积分：∫_v_0^v dv=-v_e∫_M_0^M(dM)/(M)其中v_0 = 0（初始速度为0）解得：v = v_eln(M_0)/(M)题目2：火箭的初始质量是1000kg，燃料的喷射速度为2000m/s。
当火箭的质量变为600kg时，它的速度是多少？解析：已知M_0 = 1000kg，M = 600kg，v_e=2000m/s由v = v_eln(M_0)/(M)v = 2000×ln(1000)/(600)=2000×ln(5)/(3)≈ 2000×0.5108 = 1021.6m/s题目3：火箭质量M_0 = 5000kg，燃料喷射速度v_e = 3000m/s。
若要使火箭达到6000m/s 的速度，火箭最终的质量M是多少？解析：根据v = v_eln(M_0)/(M)6000 = 3000×ln(M_0)/(M)ln(M_0)/(M)= 2(M_0)/(M)=e^2M=(M_0)/(e^2)=(5000)/(e^2)≈ 676.7kg二、雨滴增长类问题。
题目4：雨滴在云层中下落时，不断有小水滴凝结在上面。
设雨滴初始质量为m_0，在下落过程中，其质量的增长速率为λ（即(dm)/(dt)=λ），雨滴受到的空气阻力为F = - kv （k为常数，v为雨滴速度）。
求雨滴的速度随时间的变化关系。
解析：根据牛顿第二定律：(m_0+λ t)(dv)/(dt)=(m_0 +λ t)g- kv分离变量得：(dv)/(g-frac{k){m_0+λ t}v}=(dt)/(m_0+λ t)令u = m_0+λ t，则dt=(du)/(λ)方程变为：(dv)/(g-frac{k){u}v}=(du)/(λ u)这是一个一阶线性非齐次微分方程，通过求解该方程可得雨滴速度随时间的变化关系。
《理论力学 动力学》 第十六讲 变质量质点的运动微分方程
变质量动力学曾凡林哈尔滨工业大学理论力学教研组本讲主要内容1、变质量质点的运动微分方程2、变质量动力学在火箭发射中的应用3、变质量质点的动力学普遍定理1、变质量质点的运动微分方程(1) 变质量质点的运动微分方程m 在时刻t ，质点的质量为m ，速度为vv 1在时刻t+d t ，并入速度为v 1的微小质量d mm +d m v 并入后，系统质量变为m +d m ，速度变为v +质点系在t 瞬时的动量：11d m m =+×p v v t +d t 质点系在t+d t 瞬时的动量：2(d )(d )m m =++p v v 根据动量定理有：(e)21d d t=-=p p p F (e)1d d d d d d m m m m t+×+×-×=v v v v F 略去高阶微量d m ·d v ，并在等式两边同时除以d t , 得：(e)1d d ()d d m m t t --=v v v F 式中v 1-v=v r 为微小质量在并入前相对于质点m 的相对速度, 令d d r m t f =F v 则有：(e)d d m tf =+v F F —变质量质点的运动微分方程方程形式与常质量质点运动微分方程相似，仅在右端多了一项F ϕ，它具有力的量纲，常称为反推力。
当d m /d t >0 时，F ϕ与v r 同向；当d m /d t <0 时，F ϕ与v r 反向。
1、变质量质点的运动微分方程(2) 常用的几种质量变化规律i 质量按线性规律变化1)1(0<-=t t m m b b ，由知，其反推力为：b 0d d m t m-=r 0rd d mm t f b ==-F v v 当v r 为常量时，反推力也为常量，且与v r 方向相反。
ii 质量按指数规律变化tm m b -=e 0由知，其反推力为：0d d t m m e t b b -=-r 0rd d tmm e t b f b -==-F v v 令a ϕ表示仅在反推力F ϕ作用下变质量质点的加速度，则：0rrtt m e m m e b f f b b b ---===-F v a v 当v r 为常量时，a ϕ也为常量，即由反推力引起的加速度为常量。
质点动力学-动量及动量定理 (2)
用于桌面的压力，等于
已落到桌面上的绳重力
x
的三倍。
证明：取如图坐标，设t时刻已有
x长的柔绳落至桌面，随后的dt时 间内将有质量为dx（Mdx/L)的 柔绳以dx/dt的速率碰到桌面而停 止，它的动量变化率为：
o
dx dx dP dt dt dt
x
一维运动可用
标量
根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：
但在某个方向上合外力分量为 0，这个方向上的
动量守恒。
2、系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。
3、在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的
过程中，往往可忽略外力（外力与内力相比小很多） 可近似认为动量守恒。 4、定律中的速度应是对同一惯性系的速度，动 量和应是同一时刻的动量之和。 5、动量守恒定律在微观高速范围仍适用。 6、动量守恒定律只适用于惯性系。
略去二阶小量，两端除dt
对系统利用动量定理
d d m ( m v ) u F d t d t
dm u 为尾气推力。 dt
变质量物 体运动微 分方程
值得注意的是，dm可正可负，当dm取负时， 表明物体质量减小，如火箭之类喷射问题，
变质量问题
变质量问题的处理方法
(1)确定研究系统 (2)写出系统动量表达式
dP v2 ax dt
F xg N ( l x ) g
X
F xg
根据动量定理，得到
F a
xg
N
x
O
dP 3 ax F xg dt F xg 3 xa
( l x ) g
变质量问题
例 2 ：列车在平直铁轨上装煤 , 列车空载时质量为 m0, 煤炭 以速率v1竖直流入车厢,每秒流入质量为。假设列车与轨 道间的摩擦系数为,列车相对于地面的运动速度 v2保持不 变,求机车的牵引力。
大学物理总结质点运动学公式标号备注11位矢法表示质点位置12
大学物理总结第1章质点运动学1.质点确定位置的方法有坐标法、位矢法、自然法。
2.运动学方程：x,y,z=f1t,f2t,f3t,r=r t,s=f t.3.某段时间Δt内矢量增量的大小|ΔA|与同一时间内该矢量的大小的增量ΔA，一般来说不．相等．．。
4.速度（加速度）沿直角坐标系中某一坐标轴的投影，等于质点对应该轴的坐标对时间的一阶（二阶）导数。
（1.16a, 1.19a）5.在圆周运动中，当v与aτ同（反）向时，质点的运动是加（减）速的，这时v与a的夹角θ为锐（钝）角。
加速度的方向可由tan θ=a na τ确定。
6. 质点相对定坐标系Oxy 的速度v a （绝对速度）等于质点相对于动坐标系O'x'y'的速度v r（相对速度）与动坐标系O'x'y'相对于定坐标系Oxy 的平动速度u （牵连速度）的矢量和。
这一关系称为速度变换定理。
（1.50） 7. 同上，“绝对”加速度a a 等于“相对”加速度a r 与牵连加速度a e 的矢量和（加速度变换定理，1.52）。
第2章 牛顿运动定律1. 牛顿第一定律：任何质点都保持静止或匀速直线运动状态，直到其它物体对它作用的力迫使它改变这种状态为止。
2. 牛顿第二定律：某时刻质点动量对时间的变化率等于该时刻作用在质点上所有力的合力R 。
（2.3, 2.4）3. 牛顿第三定律：物体之间的作用总是相互的（2.8）。
作用力与反作用力总是同时出现，同时消失，分别作用在相互作用着的两个物体上，而且属于同种类型。
4. 牛顿定律适用的参考系称为惯性系；否则为非惯性系。
凡是相对惯性系作匀速直线运动的参考系也都是惯性系。
5. 牛顿运动定律只适用于解决宏观、低速问题。
第3章 功和能1.质点系动能定理：质点系从一个状态运动到另一个状态时，质点系动能的增量，等于作用于质点系内各质点上所有力在这一过程中做功的总和。
2.质点系机械能守恒定律：如果作用于质点系的所有非保守力都做功，或元功之和恒为零，则运动过程中质点系内个质点间动能和势能可以相互转换，但它们的总和（总机械能）保持不变。
变质量相对运动动力学系统的对称性与守恒量
（０ １）
其 中
释
”啬 毒＋一 寺 《 （ 毒 口
（， ，） 足 结构方 ｚｇ口 满
则 这种不 变性称 为变 质量 相对运 动动力 学 系统 的 Ｌｅ 称 性 。 ｉ对
定理 ２ 如果无 限小 变换 的生 成元 ， 足确定 方 程 （０ ， 存 在规 范 函数 Ｇ ￡满 】 ）且
Ｑ
３ 系统 的 Ｌ ｅ对 称性 与守 恒 量 ｉ
Ｌｅ 称性是 微分 方程 在无 限小变换 Ｆ ｉ对 的不变性 。由微分 方程 在无 限小变 换 下的不 变性 理论 可知 。 如果 无 限小变换 的生 成元 ， 毒满 足如下 确定 方程
轴 龇 ＝ （？ ０， ｏ， （ｒ ￣） Ｏ － ０ 《 ＋ ０ ｏｏ， ｅ 一 ｏ ｏ
证 明
，
岳
楠等 ： 变质量 相对 运动 动 力学 系统 的对称性 与 守恒量
２ １
０ （ 口） （Ｏ－ｏ㈣ ） ｜ ＋ ￡ ＋ 一 ＋ ￡ｇｔ－ （一” ）一 ） ｓ 軎 一ｏ２ 厶（＋ ＋（亩＝ — ） Ｘ Ｑ （口（ 一ｒＩ — 。 毒 軎 —一 ） －） Ｏ Ｑ 一＝ ” Ｌ
１ 口 ２
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（３ ２）
Ｑｌ Ｑ”￡ｑ亩，：，Ｑ ＝ ２ｇ ， ” － ，，・口） 口十 １ ＝ （ 口 其 中 ｍ ，［ ｇபைடு நூலகம்常数 。试研 究 系统 的对 称性 与守恒 量 。 ｏ０， ∞，
Ｌ 。 ‘（，＋ Ｑ” ＋ ）￡ 口 。＋ ＾０ ，＋ Ｌ） （ 。 ＋ ＋ （ 一 ）ｅ
则 变质 量相对运 动 动力学 系统 的 Ｌｅ 称性 导致 守恒 量 ． 如 ｉ对 形
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变质量动力学方程
引言
质量是物理学中一个非常重要的概念，它是描述物体的一个基本属性。
而动力学则是研究物体运动的学问。
相关公式和方程也是研究物理学
的基础。
如今，科技日新月异，我们对于物理学的理解也在不断拓展。
本文将探讨变质量动力学方程，以此来扩展我们对于动力学的认知。
什么是变质量动力学方程？
变质量动力学方程是描述质量不随时间恒定的运动的方程。
通常情况下，物体的质量是不变的，然而在某些情况下，随着时间的变化，物
体的质量会发生改变。
若忽略这一情况，将会导致对于物体运动的描
述产生误差。
变质量动力学方程使我们能更加精准地描述物体的运动状态。
通过加
入质量随时间变化的参数，我们能更加准确地计算物体的速度和加速
度变化。
变质量动力学方程的分类
变质量动力学方程可分为两大类：单质点和多体系统。
单质点方程
单质点方程适用于研究只有一个物体的运动。
下面是单质点方程的公式：
$$\frac{d(mv)}{dt} = F$$
其中，m是物体的质量，v是物体的速度，F则是物体所受到的力。
我们可以对d(mv)/dt进行简单的变形，得到以下形式：
$$ma + v\frac{dm}{dt} = F$$
这个方程是另一种形式的变质量动力学方程。
它不仅可以应用在单质点运动的情况中，也可以用于多体系统的运动中。
多体系统方程
多体系统方程适用于两个以上的物体运动的情况。
下面是多体系统方程的公式：
$$\frac{d(m_1v_1)}{dt} = F_{1,2} + F_{1,3} + ... + F_{1,n}$$
$$\frac{d(m_2v_2)}{dt} = F_{2,1} + F_{2,3} + ... + F_{2,n}$$ $$......$$
$$\frac{d(m_nv_n)}{dt} = F_{n,1} + F_{n,2} + ... + F_{n,n-1}$$
其中，$m_1$到$m_n$是物体的质量，$v_1$到$v_n$是物体的速度，$F_{1,2}$到$F_{n,n-1}$则是物体之间的力。
这个方程组描述了多个物体在相互作用下的运动情况。
结论
变质量动力学方程在物理学的研究中起着非常重要的作用。
它使我们能够对于物体运动的状态进行更加准确的描述。
同时，变质量动力学方程还被应用在许多实际问题的解决中，例如火箭发射和宇航员活动等。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解和应用这一方程。