§2.7 变质量物体的运动
2.7 变质量物体的运动
2.7 变质量物体的运动
(1) 吸收
由(1)(2)两式可得
mv mv mu F (t t )t
(3) (4) (5)
做泰勒展开
dF (t ) F (t t ) F (t ) t ... dt
(4)代入(3)，只保留一阶无穷小，可得
mv mv mu F (t )t
向运动方向(在无外力的情况下，火箭做直 线运动)投影可得
dv dm m vr 0 dt dt
dm dv v r m
做定积分
dm v0dv vr m0 m
v m
m0 1 v vr ln v0 vr ln v0 m f (t )
7
2.7 变质量物体的运动
8
2.7 变质量物体的运动
2.7 变质量物体的运动
变质量的含义 这里的变质量是指：物体吸收外界质量， 或者释放自身质量。 另外，这里只考虑物体质量连续改变的情 况，即m(t)是对时间可微的函数。
2
2.7 变质量物体的运动
(1) 吸收
v
A, m
u
B, △m>0
v+△v
t
A, m+△m
t+△t时刻
t时刻
解：设火箭的速度为v, 燃料以绝对速度u喷出， 则火箭的运动微分方程为
d ( mv ) dm u0 dt dt
(1)
(2)
u=v+vr 其中 (2)代入(1)可得
dv dm m 变质量物体的运动 dv dm m vr 0 dt dt
例题
(3)
上式两边同时除以△t, 并取 t 0 可得
d dm ( mv ) u F (t ) dt dt
量子力学_第二章_线性谐振子
其中 2
2E
此式是变系数 二阶常微分方程
（2）求解
d 2 [ 2 ] ( x ) 0 2 d
1. 渐近解
为求解方程，我们先看一下它的渐 近解，即当 ξ→±∞ 时波函数 ψ的行为。在此情况下，λ<< ξ2， 于是方程变为：
d 2 0 2 d
为此考察相邻 两项之比：
2
bk 2 k 2 2k 1 2 (k 1)(k 2) bk k
k
2 2 k
exp[ 2 ] 1
1 !
4
2!
k 2
k
( )!
k 2
k 2
( 1)!
考察幂级数exp[ξ 2}的 展开式的收敛性
§2.7 线性谐振子
（一）引言
l
（1）何谓谐振子 （2）为什么研究线性谐振子
l
l
l
（二）线性谐振子
（1）方程的建立 （2）求解 （3）应用标准条件 （4）厄密多项式
l
l
l
（一）引言
（1）何谓谐振子
d2x 2 kx dt
其解为 x = 简谐振动，
在经典力学中，当质量为 的粒 子，受弹性力F = - kx作用，由牛 顿第二定律可以写出运动方程为：
2
欲验证解的正确性， 可将其代回方程，
2 d d 2 / 2 e / 2 e d d
其解为：ψ∞ =exp[±ξ2/2]
ξ2 >> ± 1
d d 2 d [ 2 1] 2 [ ] 2 d d d
第九讲 变质量物体的运动
第九讲 变质量物体的运动教学时间：2学时教学目的要求：使学生熟练掌握变质量物体的运动微分方程——密舍尔斯基方程并能解决实际问题。
重点：密舍尔斯基方程的应用。
难点：如何判断对具体问题使用哪种密舍尔斯基方程。
教学方法：数学推导结合典型实例分析。
讲授要点及内容：日常生活和生产实践中，我们经常见到物体在运动过程中其质量不断发生变化，例如： 喷气飞机、火箭、洒水车、下落的雨点等等。
定义：若物体在运动过程中，其质量随时间不断变化，则物体的这种运动称为变质量物体 的运动。
说明：1）本节只研究物体运动时，其质量按一定规律变化的情况。
2）本节所研究的变质量物体可视为质点。
3）本节研究物体的质量随时间变化，与相对论中物体的质量随速度变化就有本质 的不同。
（一）对变质量物体运动的初步分析1、基本概念主体——质量随时间不断变化的运动物体（如飞机、雨滴）。
并体（分体）——在dt 时间内合并到主体上或从主体上分出的微质量物体。
2、问题的实质——将主体和并体（或分体）均视为质点并且由于合并（分开）瞬时它们之 间存在相互作用力，因此问题的实质应为质点组动力学问题。
3、研究问题的着眼点——质量不断发生变化的主体的运动规律应是研究问题的着眼点，因 此这类问题又可视为主体的质点动力学问题。
4、研究问题的方法——从质点的动力学基本定理出发，最后归结为主体的运动微分方程。
（二）变质量物体的运动微分方程（以质量不断增加为例）设：1）t 时刻，主体质量为m ，相对于某惯性系的绝对速度是v r ，并体质量为dm ，相对于同一惯性系的绝对速度为u r 。
2）在dt 时间内主体与并体完成合并。
3）在t dt + 时刻，主体的质量变为m dm + ，相对于同一惯性系的速度为v dv + r r。
4）在dt 时间内，作用在和的外力主矢量为F u r 。
根据质点组动量定理( )( ) ( )m dm v dv mv udm Fdt ++-+= r r r r u r ， 将该式展开并略去二阶无穷小量dmdv r，得 ( ) d dm mv u F dt dt -= r r u r （1）， ( ) dv dm m F v u dt dt =+- r u r r r （2） 可进一步将方程整理成两种形式（1）（2）两式均称为密舍尔斯基方程，使解决变质量物体运动的重要动力学方程。
理论力学问答题
第一章思考题解答1.1答：平均速度是运动质点在某一时间间隔t t t ∆+→内位矢大小和方向改变的平均快慢速度，其方向沿位移的方向即沿t ∆对应的轨迹割线方向；瞬时速度是运动质点在某时刻或某未知位矢和方向变化的快慢程度其方向沿该时刻质点所在点轨迹的切线方向。
在0→∆t 的极限情况，二者一致，在匀速直线运动中二者也一致的。
1.2答：质点运动时，径向速度r V 和横向速度θV 的大小、方向都改变，而r a 中的r 只反映了r V 本身大小的改变，θa 中的θθ r r +只是θV 本身大小的改变。
事实上，横向速度θV 方向的改变会引起径向速度rV 大小大改变，2θ r -就是反映这种改变的加速度分量；经向速度r V 的方向改变也引起θV 的大小改变，另一个θ r 即为反映这种改变的加速度分量，故2θr r a r -=，.2θθθ r r a +=。
这表示质点的径向与横向运动在相互影响，它们一起才能完整地描述质点的运动变化情况1.3答：内禀方程中，n a 是由于速度方向的改变产生的，在空间曲线中，由于a 恒位于密切面内，速度v 总是沿轨迹的切线方向，而n a 垂直于v 指向曲线凹陷一方，故n a 总是沿助法线方向。
质点沿空间曲线运动时，0,0≠=b b F a z 何与牛顿运动定律不矛盾。
因质点除受作用力F ，还受到被动的约反作用力R ，二者在副法线方向的分量成平衡力0=+b b R F ，故0=b a 符合牛顿运动率。
有人会问：约束反作用力靠谁施加，当然是与质点接触的周围其他物体由于受到质点的作用而对质点产生的反作用力。
有人也许还会问：某时刻若b b R F 与大小不等，b a 就不为零了？当然是这样，但此时刻质点受合力的方向与原来不同，质点的位置也在改变，副法线在空间中方位也不再是原来b a 所在的方位，又有了新的副法线，在新的副法线上仍满足00==+b b b a R F 即。
这反映了牛顿定律得瞬时性和矢量性，也反映了自然坐标系的方向虽质点的运动而变。
理论力学课程教学大纲.
《理论力学课程》教学大纲学时：72 时学分：4 分课程类型：必修适用专业：物理学一、课程性质、地位和任务理论力学是四年制高等院校物理学专业的必修的基础课程。
本课程以牛顿运动定律为基础，高等数学为工具，通过严密的逻辑推理，全面的阐述宏观物体机械运动的基本概念和基本规律。
通过教学，应使学生：一，对宏观机械运动规律有比较全面，系统的认识，能掌握处理力学问题的一般方法，培养起一定的抽象思维和逻辑推理能力；二，能较深刻的分析力学教材，能分析生产生活中的问题；三，认识教学与物理的密切联系，能运用数学工具解决物理问题；四，通过本教材的学习为进一步学习理论物理打下了坚实的基础。
本课程总学时为72学时，讲授与习题的比例为3：1，具体情况如下。
二、课程主要内容概述及教学基本要求本课程主要内容：第一篇牛顿力学主要包括：质点力学、质点组力学、刚体力学、非惯性系力学等；第二篇分析力学主要包括：虚功原理、拉格朗日方程、哈密顿正则方程、哈密顿原理等。
理论力学是学生接触到的第一门理论物理课程。
与普通物理力学相比，它在理论上和解决问题的方法上都有较大提高。
通过本课程的学习，使学生受到理论物理研究方法的初步训练，应培养学生严密逻辑推理的能力、抽象思维的能力、从一般到特殊的分析方法及运用高等数学方法解决力学问题的能力，并较好理解数学与物理的密切关系。
三、课程内容绪论1.理论力学的研究对象和方法2.经典力学的运用方法第一章质点力学基本要求：（1）.空间和时间，力和质量，惯性参照系是经典力学的基本概念，牛顿定律是经典力学的基本定律。
它是理论力学的起点。
同时介绍现代科学的观点。
（2）.重点：1.平面坐标系和自然坐标系中速度加速度分量式的推导和应用，也是本章的难点。
2.质点运动微分方程的建立和求解。
要多举几种不同类型（F=F（r,v,t））例题，学会以高等数学为工具把物理问题转化为数学方程，并求数学表达式分析其中的物理意义，从而提高提出问题，分析问题解决问题的能力 3.要求学生明确质点的约束运动在加约束反力后，可按自由质点处理 4.由于质点的三个基本定律及守恒律在力学多半阐述过，要在原有基础上概括提高，对于一些问题要能正确判断一个力为保守力，并能求出相应的势能曲线。
理论力学-第六章-变质量动力学课件
理论力学-第六章-变质量动力学
略去高阶微量 dmdv 并以dt除各项 得
md dv td dm tvd dm tv1F(e)
式中或(1是)微小质m 量d ddvtm在dd并m t(入v1前v , )对F(e 于) 质点m得相对速度 r
令
F
dm dt v r
－－反推力
mdv dt
F(e)
F
－－变质量质点的运动微分方程
理论力学-第六章-变质量动力学
2.常用的几种质量变化规律
（1）质量按线性规律变化
m m 0(1 t)， t 1
由
dm dt
m知0
其反推力为
Fddm t vr m0vr
（2）质量按指数规律变化
mm0et
由 ddmt m知0et
即
v2(lgv1v)sin
得
arcsin[(lgv1v)/v2]
理论力学-第六章-变质量动力学
例 6－4
已知：总质量为 m ，0 总长度为l的一排方块放在如图所示水
平面上，设小方块长度极短，数量很多，相邻的小方
块互相接触而不连接，初始静止，小方块最外端在桌 边，如图加一水平的常力 。F
求：在如下两种情况下，当小方块已经有一半离开桌面时 留在桌面上的小方块的速度。 （1）忽略桌面上的摩擦力 （2）桌面与小方块间的动滑动摩擦因数为f
Fdt
0
显然 即使F0 v 也不是常量
2.变质量质点的动量矩定理
d (mv) F dt
vm0v0/m
变质量质点对任一点O 的动量矩为
式中 r为从点O 指向该质点的矢径
LO rmv
普通物理学（第六版）公式大全
普通物理学（第六版）公式⼤全⼀、⼒和运动1.1 质点运动的描述！1.质点2.参考系和坐标系3.空间和时间4.运动学⽅程轨迹⽅程5.位⽮6.位移7.速度（瞬时）速度：（瞬时）速率：8.加速度（瞬时）加速度：1.2 圆周运动和⼀般曲线运动！1.切向加速度和法向加速度⾃然坐标系；法向加速度处处指向曲率中⼼。
2.圆周运动的⾓量描述⾓速度：⾓加速度：3 .抛体运动的⽮量描述1.3 相对运动常见⼒和基本⼒1.相对运动（伽利略）速度变换式：2.常见⼒重⼒、弹⼒、摩擦⼒、万有引⼒3.基本⼒万有引⼒、电磁⼒、强⼒、弱⼒1.4 ⽜顿运动定律！1.⽜顿第⼀定律（惯性定律）2.⽜顿第⼆定律3.⽜顿第三定律（作⽤⼒和反作⽤定律）4.⽜顿运动定律应⽤举例1）常⼒作⽤下的连接体问题2）变⼒作⽤下的单体问题1.5 伽利略相对性原理⾮惯性系惯性⼒1.伽利略相对性原理（⼒学的相对性原理）2.经典⼒学的时空观 *3.⾮惯性系 *4.惯性⼒⼆、运动的守恒量和守恒定律2.1 质点系的内⼒和外⼒质⼼质⼼运动定理！1.质点系的内⼒与外⼒2.质⼼对于N个质点组成的质点系：质⼼的位⽮对于质量连续分布的物体：质⼼的位⽮3.质⼼运动定理2.2 动量定理动量守恒定律！1.动量定理冲量：动量定理：动量定理是⽜顿第⼆定律的积分形式。
*2. 变质量物体的运动⽅程 3.动量守恒定律*4.⽕箭飞⾏2.3 功能量动能定理！1.功的概念功：功率：2.能量3.动能定理动能：动能定理：2.4 保守⼒成对⼒的功势能！1.保守⼒保守⼒：重⼒、万有引⼒、弹性⼒以及静电⼒等。
⾮保守⼒：摩擦⼒、回旋⼒等。
2.成对⼒的功3.势能4.势能曲线2.5 质点系的功能原理机械能守恒定律！1.质点系的动能定理2.质点系的动能原理3.机械能守恒定律4.能量守恒定律*5.⿊洞2.6 碰撞对⼼碰撞（正碰撞）1.碰撞过程系统动量守恒2.⽜顿的碰撞定律恢复系数：完全弹性碰撞（1）；⾮弹性碰撞；完全⾮弹性碰撞（0）完全弹性碰撞过程，系统的机械能（动能）也守恒。
变质量物体的运动
dm (m v) u F , ( m m (t ) ) dt dt d
F
m
t 时刻
但此时：
t t 时刻
m m ( t );
讨论: （1）
（2）
v u
dm dt
时 ：m
dv dt
F,
可正，可负，合‘ + ’，离‘ - ’ .
例：P.137. 由题意：
m0 m
m ms
)
m’ 更有效于v 的增加, 故采用多级火箭发射（3~ 4级）.
vr(
影响燃烧室的温度和压力, 故不能太大) 比增大
2. 喷射行程
m0 ① m 为直线率： m m 0 m 0 t vr t s s0 v 0t ln ( 1 t ) d ( 1 t )
d
dm d dm (m v) u F, m v F (u v) dt d力： Fr
m 0 v r ( 常量 ) Fr v r
m ② 指数率： m 0 e
t
, 则 :s s0 v 0 t
0
s s0 v 0 t v r
t
ln
m
dt
0
( ln xdx x ln x x c )
s s0 v 0t
vr
[( 1 t ) ln ( 1 t ) t ]
* m 为直线率说明反冲力是常量. dm m m 0 m 0 t , 则， m 0 ( 常量 ) dt
1 2
v rt
2
* m 为指数率说明反冲力引起的附加加速度是常量.
Fr v r dm dt m 0 v r e
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1 ( Mt t 2 ) g ds (2Mt t 2 ) g (2Mt 2t 2 ) g 2 v dt M t 2( M t ) 2 ( M t ) (2Mt 2t 2 ) g M 2 g M 2 g ( M t )tg Mg ( M t ) M 2 g 2 ( M t ) 2 ( M t ) 1 1M M 2 / 2 gt g g 2 2 M t
将Δm ,m ，视为一质点组，外力矢量和为F，
则由动量定理得：(m m)(v v ) mv mu Ft mv mv mu mv Ft
dv dm m (u v ) F dt dt d (mv ) dm ——米歇尔斯基方程 uF dt dt 3.特例： 1)若u=0，即并入前或放出后的Δm绝对静止，则
§2.7 变质量物体的运动 一、变质量物体的运动方程 1.当物体m（主体物）在运动中，随时间t增长不断地有 质量放出或并入， 称为变质量物体的运动。 一般有m=m(t), 如：喷气式飞机， 火箭，下落的雨滴. 2.运动方程 t时刻,主体物m，v（绝对速度）,放出或并入微元质 量为Δm，u
t+Δt时刻,Δm与m合并，Δm +m的速度为v+Δv
d (mv ) F dt dv F 2)若u=v，则 m dt dv dm m 3)对火箭： F (u v ) F Fr dt dt
t 0, mv 0
dm dm dm Fr 源自 (u v ) vr vr | |i dt dt dt
dm 解: dt
积分得, m(t ) M t
u 0, F mg (M t ) g
v t dmv 1 2 ( M t ) g d [( M t )v] ( M t ) gdt (Mt t ) g 0 0 dt 2
1 2 积分得： ( M t )v ( Mt t ) g C1 2 1 2 ( Mt t ) 2 因为：t=0,v=0故 C1 0 v g ( M t )
—反推力，与运动方向相同
4.注意: 1) 2) 变质量是指主体物m=m(t)，质点组总质量不 变. 并入dm>0，分出dm<0
3) u是Δm并入前或分出后的瞬时速度，F为作用 于m,Δm上的外力矢量和。
例:雨点开始下落时的质量为M,在下落过程中,单位时 间内凝结上的水蒸气λ,略去空气的阻力,求雨点在t秒 后下落的距离.
1 2 1M M 2g s gt gt ln(M t ) C 2 4 2 2
M g t 0, s 0 C ln M 2 2 2 1 1 2 M M t s g[ t t 2 ln(1 ) 2 2 M
2