2.7 变质量物体的运动
上式两边同时除以△t, 并取 t 0 可得
d dm ( mv ) u F (t ) dt dt
其中 dm 0
此即吸收质量时，物体的 运动微分方程。
4
2.7 变质量物体的运动
(2) 释放
v
A, m t时刻
v+△v
t
A, m+△m
u
B, －△m
△m<0
t+△t时刻
同理分析可得物体A在释放质量时的运动微 分方程
解：设火箭的速度为v, 燃料以绝对速度u喷出， 则火箭的运动微分方程为
d ( mv ) dm u0 dt dt
(1)
(2)
u=v+vr 其中 (2)代入(1)可得
dv dm m vr 0 dt dt
(3)
6
2.7 变质量物体的运动 dv dm m vr 0 dt dt
例题
(3)
2.7 变质量物体的运动
2.7 变质量物体的运动
变质量的含义 这里的变质量是指：物体吸收外界质量， 或者释放自身质量。 另外，这里只考虑物体质量连续改变的情 况，即m(t)是对时间可微的函数。
2
2.7 变质量物体的运动
(1) 吸收
v
A, m
u
B, △m>0
v+△v
t
A, m+△m
t+△t时刻
t时刻
2.7 变质量物体的运动
(1) 吸收
由(1)(2)两式可得
mv mv mu F (t t )t
(3) (4) (5)
做泰勒展开
dF (t ) F (t t ) F (t ) t ... dt
(4)代入(3)，只保留一阶无穷小，可得
mv mv mu F (t )t
向运动方向(在无外力的情况下，火箭做直 线运动)投影可得
dv dm m vr 0 dt dt
dm dv v r m
做定积分
dm v0dv vr m0 m
v m
m0 1 v vr ln v0 vr ln v0 m f (t )
7
2.7 变质量物体的运动
8
吸收前后系统动量的增量为
p (m m)(v v) (mv mu)
mv mv mu
(1)
只保留到一 阶无穷小
由冲量定理，可得
p F (t t )t
(2) F (t t ) 是在(t, t+△t)时间段内，作用于系统的外 力和的等效平均
3
d dm ( mv ) u F (t ) dt dt
其中 dm 0
可见，吸收和释放两种情况的运动微分方程形 式是相同的，差别只是dm一正一负。
5
2.7 变质量物体的运动
例题
火箭发射前总质量为m0, 发射后燃料相对于火箭喷 出的速度为vr 且恒定，已知火箭的初速度为v0, 总 质量随时间的变化规律为m(t)=m0 f(t). 求火箭的速 度随时间的变化规律。(忽略火箭所受外力)
高中物理学习细节(人教版)之机械能守恒定律：反冲运动 火箭(含解析)
【学习目标】【知识网络预览】【自主学习】一、反冲1. 定义: 一个静止的物体在_____的作用下分裂为两部分,一部分向某个方向运动,另一部分必然向_____的方向运动的现象。
2. 规律:反冲运动中,相互作用力一般较大,满足_____________。
3. 反冲现象的应用及防止:(1) 应用: 农田、园林的喷灌装置利用反冲使水从喷口喷出时,一边喷水一边_____。
(2) 防止: 用枪射击时,由于枪身的反冲会影响射击的_______,所以用枪射击时要把枪身抵在肩部,以减少反冲的影响。
二、火箭1. 工作原理:利用_____运动,火箭燃料燃烧产生的高温、高压燃气从尾部喷管迅速喷出,使火箭获得巨大速度。
2. 影响火箭获得速度大小的两个因素:(1) 喷气速度: 现代火箭的喷气速度为2000～4000m/s。
(2) 质量比: 火箭起飞时的质量与火箭除燃料外的箭体质量之比。
喷气_____越大,_______越大,火箭获得的速度越大。
3. 现代火箭的主要用途:利用火箭作为_____工具,如发射探测仪器、常规弹头和核弹头、人造卫星和宇宙飞船等。
【答案】一内力；相反；动量守恒定律；旋转；准确性；二反冲；速度；质量比；运载；【细节诠释】一、对反冲运动的理解1. 反冲运动的三个特点:(1) 物体的不同部分在内力作用下向相反方向运动。
(2) 反冲运动中,相互作用的内力一般情况下远大于外力或在某一方向上内力远大于外力,所以可以用动量守恒定律或在某一方向上应用动量守恒定律来处理。
(3) 反冲运动中,由于有其他形式的能转化为机械能,所以系统的总动能增加。
2. 反冲运动中，以下三种情况均可应用动量守恒定律解决(1) 系统不受外力或所受外力之和为零，满足动量守恒的条件，可以用动量守恒定律解决反冲运动问题。
(2) 系统虽然受到外力作用，但内力远远大于外力，外力可以忽略，也可以用动量守恒定律解决反冲运动问题。
(3) 系统虽然所受外力之和不为零，系统的动量并不守恒，但系统在某一方向上不受外力或外力在该方向上的分力之和为零，则系统的动量在该方向上的分量保持不变，可以在该方向上应用动量守恒定律。
高中物理竞赛_话题7：变质量系统的运动
话题7：变质量系统的运动一、变质量系统运动方程的推导设t 时刻，本体质量为m ，速度为v 。
质量为m ∆，速度为u 的微粒。
经过t ∆时间后两者合并，质量为()m m ∆+,共同速度为()v v ∆+，则系统动量的改变是()()()P m m v v mv mu ∆=+∆+∆-+∆如果系统受到合外力F 作用，忽略上式中m v ∆∆，则得到()P m v u v m F t ∆=∆--∆=∆由此得到质量并入时的运动方程()dm ma u v F dt--= (1)式中a 是加速度，()u v -是m ∆相对m 的相对速度。
同样讨论得到分出质量时的方程完全相同。
讨论：(1)方程中，外力F 是两者受到的合外力。
微粒对本体的作用力是()dmu v dt-。
(2)当u v =时,方程在形式上与牛顿第二定律一样，但质量仍然是变化的。
(3)当0u =时,方程变成()dv dm d mv mv F dt dt dt-==这与牛顿第二定律一样。
(4)方程是在0m ∆>条件下推导的，但对0m ∆<同样成立。
二、示例分析例1、一条线密度为λ、长度l 的松散型链条，堆放在光滑地面上，链条一端系有质量为M 的物体，使此系统由静止出发，以恒定的加速度a 竖直上升，求作用在上端的作用力F 。
【解1】这是质量并入的变质量运动。
但可以不用“一般公式”，直接通过分析得到结果。
如图，设上升的高度用坐标x 表示。
则升高的部分质量是∆v∆m M x λ=+ (1)其动量是()P mv M x v λ==+ (2)该段受到的力包括F 与该段的重力()mg M x g λ=+，两者方向相反。
利用P F t ∆=∆，首先利用(2)求出动量的改变是[]()()()M x x v v M x vP t tλλ++∆+∆-+∆=∆∆ M v x v xv x vtλλλ∆+∆+∆+∆∆=∆v v x M x v t t tλλ∆∆∆=++∆∆∆2Ma xa v λλ=++ (3)利用了关系v a t ∆=∆,xv t∆=∆，按照牛顿定律 PF mg t∆=+∆ (4)以及基本关系 212x at =,v at = (5)把 (3)(5)代入(4),求出作用力是21()(3)2F M a g a g a t λ=+++ (6)【解2】利用变质量公式求解。
第四章 动量定理与动量守恒定律
v dpi v v (e) v (i) = Fi = Fi + Fi dt
m1
v ex Fi
v in m i m2 Fi
求和, 求和 有
合外力 合内力
v v (e) v (i) dpi d v ∑ dt = dt ∑ pi = ∑Fi + ∑Fi
因为内力成对出现, 上式可写为: 因为内力成对出现 上式可写为
I x = ∫ Fxdt = mvx mvx0
t0 t
t
I y = ∫ Fydt = mvy mvy0
t0 t
I z = ∫ Fzdt = mvz mvz0
t0
May 31, 2010 Page #
ANHUI UNIVERSITY
大学物理学
第四章 第四章动量定理与动量守恒定律
(3) 在碰撞或冲击问题中 牛顿定律无法直接应用 而动 在碰撞或冲击问题中, 牛顿定律无法直接应用, 量定理的优点在于避开了细节而只讨论过程的总体效果. 量定理的优点在于避开了细节而只讨论过程的总体效果 (4) 动量定理仅适用于惯性系 且与惯性系的选择无关 动量定理仅适用于惯性系, 且与惯性系的选择无关. 如图, 锤从高度为h 例 如图 一重锤从高度为 =1.5m的地方由 的地方由 静止下落, 静止下落,锤与被加工的工件的碰撞后的 末速度为零. 若打击时间分别为10 末速度为零 若打击时间分别为 -1s, 10-2s, 10-3s, 10-4s,试计算这几种情形下平均冲力 , 与重力的比值. 与重力的比值 如图坐标系, 设重锤质量为m 解: 取如图坐标系 设重锤质量为 . 重锤初速度
10-1s 6.5 10-2s 56
Page #
由此解得
计算结果如下
t
变质量动力学
变质量动力学引言有些物体在运动过程中质量不断增加或减少，譬如火箭在飞行时不断地喷出燃料燃烧后产生的气体，火箭的质量在不断减小，因此飞行中的火箭质量是变化的物体；还有比如不断吸进空气又喷出燃气的喷气式飞机、投掷载荷的飞机、在农业收割机旁不断接收粮食的汽车以及在江河中不断凝聚或融化的浮冰等，都是变质量的物体。
要搞清楚他们运动的特征就要将他们简化成物理模型进行研究。
一般情况下，当变质量物体作平移，或只研究它们的质心的运动时，可简化为变质量指点来研究。
关键词；变质量 运动学 动量定理 动量距定理1.变质量指点的运动微分方程1. 变质量指点的运动微分方程：设变质量质点在瞬时t 的质量为m ，速度为v ；再瞬时t dt +,有微小质量dm 并入，只是指点的质量为dm m +,速度为v dv +；微小质量dm 在尚未并入的瞬时t ,它的速度为1v ，以原质点与并入的微小质量组成质点系。
设作用于质点系的外力为()e F 。
质点在瞬时t 的动量为：11p mv dm v =+⋅质点系在瞬时t dt +的动量为：2()()p m dm v dv =++根据动量定理()21e dp p p F dt =-=得()1()()()e m dm v dv mv dm v F dt ++-+⋅=将上式展开得()1e mdv dm v dm dv dm v F dt +⋅+⋅-⋅=略去高阶微量dm dv ⋅，并以dt 除各项，得()1e dv dm dm m v v F dt dt dt+-= 或()1()e dv dm m v v F dt dt--= 上式中1()v v -是微小质量dm 在并入前相对于质点m 的相对速度r v ，令r dm F v dtΦ=则可以得到 ()e dv m F F dtΦ=+上式称为变质量质点的运动微分方程。
式中m 是变量，dm dt 是代数量。
变质量质点的运动微分方程是求解变质量质点运动规律的基本方程。
2022至2023年年初二下半期第一次学情调研物理题带答案和解析(江苏省盐城市大丰区第一共同体)
选择题下列物体的质量最接近50g的是（）A. 一只蚂蚁B. 一只鸡蛋C. 一本物理教材D. 一张课桌【答案】B【解析】A. 一只蚂蚁的质量非常小，在50mg=0.05g左右，故A不符合实际；B.10个鸡蛋的质量大约1斤，而1斤=500g，所以一个鸡蛋的质量在50g左右，故B符合实际；C.一个苹果的质量在200g左右，八年级物理教材的质量与此差不多，在200g左右。
故C不符合实际；D. 一张课桌的质量在10kg=104g左右。
故D不符合实际。
故选B.选择题下列现象中，属于分子运动的是( )A. 水向低处流B. 玉兰花香四溢C. 风吹枝叶动D. 扫地时尘土飞扬【答案】B【解析】分子运动和机械运动的区别是：分子运动是肉眼看不见的，在不知不觉中发生的，而机械运动是物体的运动，是肉眼能看见的，所以水向低处流、风吹树叶动、尘土飞扬，都是机械运动，玉兰花香四溢是分子运动，故选B。
选择题下列措施中，能使瓶中矿泉水的质量发生变化的是（）A. 宇航员将它带到太空B. 放在冰箱里，水温度变低C. 水结成冰，体积变大D. 打开瓶盖，放在阳光下晒一段时间【答案】D【解析】A、从地面带入太空的矿泉水，位置发生变化但质量不变，故A不符合题意；B、矿泉水放入冰箱，温度降低，但质量不随温度而变，故B不符合题意；C、水结成冰，体积变大，但水的质量不变，故C不符合题意；D、打开瓶盖，放在阳光下晒一段时间，物质减少，水的质量发生变化，故D符合题意。
故选D。
选择题甲、乙、丙三个轻质小球用绝缘细绳悬挂，相互作用情况如图所示，如果丙带正电荷，则甲（）A. 一定不带电B. 一定带负电荷C. 可能不带电D. 可能带正电荷【答案】C【解析】因为乙、丙两个小球互相排斥，所以乙、丙两个小球一定带同种电荷，又因为丙球带正电，所以乙球一定带正电，因为甲、乙两个小球相互吸引，且带电体可以吸引轻小物体，异种电荷也可以相互吸引，所以甲小球可能不带电也可能带负电荷，故C选项正确，ABD选项错误。
第三章动量定理
(
)
0 −V
2
解出： 解出：
m (T − Mg ) H 2 0 −V = 2 M
M + m V2 m2 H= h= ⋅ = 2 2 M − m 2g M − m h 2 M −1 8 m
(mg −T) H =2
例题3.2 柔软链条自桌上小孔自由下落， 例题3.2 柔软链条自桌上小孔自由下落，求下落速度 与落下距离之间关系. 与落下距离之间关系.
Xc
∑m x = ∑m
i i
i
∑ m x +∑ m x = ∑ m +∑ m
A i i B i A i B i
i
13
∑A mi xi ∑B mi xi mA + mB mA mB ( XA )c mA + ( XB )c mB Xc = = mA + mB mA + mB
由于所有内力的矢量和为零， 由于所有内力的矢量和为零，即
n n
∑f
i =1
i
=0
∫ F dt = ∑m v − ∑m v
P−P 0
质点系的动量定理——作用于系统的合外力在一段时间 作用于系统的合外力在一段时间 质点系的动量定理 内的总冲量等于系统动量的增量. 内的总冲量等于系统动量的增量. 5
分析：这是一个质点系的动量问题， 分析：这是一个质点系的动量问题，可用体系动量定理 求解. 求解. 如图，建立坐标系, 解： 如图，建立坐标系,令线密度 λ ,则在某时刻
F = my g = λyg 外
p = my v = λyv
dp 根据 F = 外 dt 得
O y
my
d( yv) d( yv) dy ⋅ =v yg = dy dt dy
大学物理第三章动量与角动量分解
mg=Mgx/L
所以
F总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg
19
例2:(page72)一辆装煤车以v=3m/s的速率从煤斗下通过,每
秒钟落入车厢的煤为Δ m=500kg.如果使车厢的速率保持不
变,应用多大的牵引力拉车厢?
v
dm m F
20
例3:质量为M的滑块正沿着光滑水平地面向右滑动.一质量 为m的小球水平向右飞行,以速度 v 1 (相对地面)与滑块斜 面相碰,碰后竖直向上弹起,速度为 v (相对地面).若碰撞
F 可分解为两个分量 F//
与水对船的垂直阻力相平衡 与船平行,并指向船前进的方 向 10
例4.一篮球质量m = 0.58kg,从h = 2.0m的高度下落,到达 地面后以同样速率反弹,接触地面时间 t 0.019 s 。 求：篮球对地面的平均冲力 F 球对地
解：篮球到达地面的速率为：
f f’
m1
m2
F2
碰撞后两质点的速度分别为
1和 2
相碰时的相互作用内力为 f 和f
同时受系统外其它物体的作用外力为 F1和F 2
d P1 对质点m1: F1 f dt d P2 对质点m2:F2 f dt
两式相加,得
13
f f
d P1 d P2 F1 F2 f f dt dt
p 2mv 篮球接触地面前后动量改变（大小）为：
由动量定理有： F 地对球 t p 2mv 由牛顿第三定律有： F 球对地 F 地对球
v 2 gh 2 9.80 2 6.26 m/s
2mv 2 0.58 6.26 t 0.019 3.82 10 2 N
湘潭大学现代物理导论2课件2.2质点组动能定理
现代物理导论II
（一）质点组动能定理 第一章介绍了， 质点动能的微分等于作用在质点上力所 做的功。对于质点组中的任意一质点，则有
对所有质点求和，则有
n
( e ) (i ) 1 2 d ( mi ri ) dTi Fi dri Fi dri 2
（2.4.1）
n 1 n (i ) d ( mi ri 2 ) Fi ( e ) dri Fi dri （2.4.2） i 1 2 i 1 i 1 若 T 表示质点组的动能，则 n n (e) (i ) dT Fi dri Fi dri （2.4.3）
解：设 A 速度 vA ，系统动量矩守恒，有
m(v vA )r mvAr 0 所以 vA v / 2
同时到达。
现代物理导论II
例 2、两个重物 m1 , m2 ，分别系在两 根绳子上， 绳子又分别绕在半径 r , r2 1 的滚轮上，求滚轮的角加速度。不计 滚轮、绳子质量，不计摩擦。 解：设角速度 ，系统运动分析如图，动 量矩为
i 1
i 1
质点组动能的微分，等于诸内力及诸外力所做元功之和，这 关系叫做质点组的动能定理。
现代物理导论II
要注意的是， 在动量定理和动量矩定理里面， 内力都消 去了，但在动能定理中，除非在某种特殊的情况下，例如刚 体内力所做的功，通常不能互相抵消。例如炮弹发射，人在 车上走动等。
1
关于内力所做元功之和一般不能抵 消，可以用下面两个质点的情况加 以说明。
z
C
y
d r mi Fi ( e ) Fi (i ) (mi ) rC t
2 ' i 2
x
普通物理学（第六版）公式大全
普通物理学（第六版）公式⼤全⼀、⼒和运动1.1 质点运动的描述！1.质点2.参考系和坐标系3.空间和时间4.运动学⽅程轨迹⽅程5.位⽮6.位移7.速度（瞬时）速度：（瞬时）速率：8.加速度（瞬时）加速度：1.2 圆周运动和⼀般曲线运动！1.切向加速度和法向加速度⾃然坐标系；法向加速度处处指向曲率中⼼。
2.圆周运动的⾓量描述⾓速度：⾓加速度：3 .抛体运动的⽮量描述1.3 相对运动常见⼒和基本⼒1.相对运动（伽利略）速度变换式：2.常见⼒重⼒、弹⼒、摩擦⼒、万有引⼒3.基本⼒万有引⼒、电磁⼒、强⼒、弱⼒1.4 ⽜顿运动定律！1.⽜顿第⼀定律（惯性定律）2.⽜顿第⼆定律3.⽜顿第三定律（作⽤⼒和反作⽤定律）4.⽜顿运动定律应⽤举例1）常⼒作⽤下的连接体问题2）变⼒作⽤下的单体问题1.5 伽利略相对性原理⾮惯性系惯性⼒1.伽利略相对性原理（⼒学的相对性原理）2.经典⼒学的时空观 *3.⾮惯性系 *4.惯性⼒⼆、运动的守恒量和守恒定律2.1 质点系的内⼒和外⼒质⼼质⼼运动定理！1.质点系的内⼒与外⼒2.质⼼对于N个质点组成的质点系：质⼼的位⽮对于质量连续分布的物体：质⼼的位⽮3.质⼼运动定理2.2 动量定理动量守恒定律！1.动量定理冲量：动量定理：动量定理是⽜顿第⼆定律的积分形式。
*2. 变质量物体的运动⽅程 3.动量守恒定律*4.⽕箭飞⾏2.3 功能量动能定理！1.功的概念功：功率：2.能量3.动能定理动能：动能定理：2.4 保守⼒成对⼒的功势能！1.保守⼒保守⼒：重⼒、万有引⼒、弹性⼒以及静电⼒等。
⾮保守⼒：摩擦⼒、回旋⼒等。
2.成对⼒的功3.势能4.势能曲线2.5 质点系的功能原理机械能守恒定律！1.质点系的动能定理2.质点系的动能原理3.机械能守恒定律4.能量守恒定律*5.⿊洞2.6 碰撞对⼼碰撞（正碰撞）1.碰撞过程系统动量守恒2.⽜顿的碰撞定律恢复系数：完全弹性碰撞（1）；⾮弹性碰撞；完全⾮弹性碰撞（0）完全弹性碰撞过程，系统的机械能（动能）也守恒。
变质量物体的运动
dm (m v) u F , ( m m (t ) ) dt dt d
F
m
t 时刻
但此时：
t t 时刻
m m ( t );
讨论: （1）
（2）
v u
dm dt
时 ：m
dv dt
F,
可正，可负，合‘ + ’，离‘ - ’ .
例：P.137. 由题意：
m0 m
m ms
)
m’ 更有效于v 的增加, 故采用多级火箭发射（3~ 4级）.
vr(
影响燃烧室的温度和压力, 故不能太大) 比增大
2. 喷射行程
m0 ① m 为直线率： m m 0 m 0 t vr t s s0 v 0t ln ( 1 t ) d ( 1 t )
d
dm d dm (m v) u F, m v F (u v) dt d力： Fr
m 0 v r ( 常量 ) Fr v r
m ② 指数率： m 0 e
t
, 则 :s s0 v 0 t
0
s s0 v 0 t v r
t
ln
m
dt
0
( ln xdx x ln x x c )
s s0 v 0t
vr
[( 1 t ) ln ( 1 t ) t ]
* m 为直线率说明反冲力是常量. dm m m 0 m 0 t , 则， m 0 ( 常量 ) dt
1 2
v rt
2
* m 为指数率说明反冲力引起的附加加速度是常量.
Fr v r dm dt m 0 v r e