四边形

B
C
F
四边形的各条边不都在任意 一条边所在直线的同一侧．
四边形的各条边都在任意 一条边所在直线的同一侧．
凸四边形
凹四边形
注：本套教科书所说的四边形等多边形，都指凸多边形，
即多边形的各条边都在任意一条边所在直线的同一侧．
你会画四边形吗？如果会请画一个！ 你能验证你的结论吗？前后 同学交流一下你所用的方法。
n边形共有对角线
n(n 3) 条(n≥3) 2
１、一个十边形的内角和是1440 度。 ２、如果一个多边形的内角和是900度，那么 这是 七 边形。
多边形的外角和
多边形 三角形
2
图形
1 3
多边形的外角和
3×180 -1×180 =360 4×180 -2×180 =360 5×180 -3×180 =360
o ∠B:∠C:∠E=3:2:4,则∠C的度数为_______ 80 o o
o
（5） 一个内角和为1620°的多边形可连 44 条
对角线。
• 王大意在计算某多边形的内角和时，得到 的答案是2070°，老师发现他把其中一个 外角也加了进去。你知道王大意计算的是 几边形的内角和吗？那个加进去的外角是 多少度？
0
0
C
已知四边形ABCD，A=∠B=∠C=90°
90 ° 则∠D=_____.
４ 个直角？ 四边形最多有_____ ３ 个钝角？ 最多有_____
2.已知四边形ABCD中， ∠A与∠C互补， ∠B＝80 °，则∠D＝ 100 °.
当四边形的四个内角中有两个角互补时 ，另两个角也互补。
在四边形ABCD中，∠B=90°,∠A、∠C 30° 、∠D的度数比为1∶3∶5,则 90°度，∠C=________ ∠A=________ 150°度， ∠D=________度.
观察以下图形并思考在镶嵌时，
如何做到既无缝隙又不重叠?
每个顶点处几个角的和为360°
正三角形为什么能镶嵌？
正方形为什么能镶嵌？
正五边形可以镶嵌吗？
原来拼不了 ！为什么?
1 2
3
∠1+∠2+∠3=?
正五边形不能密铺!
正六边形为什么能镶嵌？
正多边形能否镶嵌平面,关键是拼接点处的 几个内角和能否构成360°.
……..
三角形 四边形 五边形 六边形
八边形
对角线 多边形中不相邻两顶点的连线
是解决多边形问题的常用辅助线 多边形问题 （未知） 转化 三角形问题 （已知）
请探索任意一个多边形的内角和与外 角和的规律.
……
三角形 四边形 五边形 六边形
n边形
边数 3 4 5
图形
从某顶点出发 的对角线条数
划分成的三 角形个数
1:2:3:4．求四个内角的度数.
36˚ 、 72 ˚ 、 108 ˚ 、 144 ˚
(3) 在四边形ABCD中，∠Ａ与∠Ｃ互为 补角，∠Ａ:∠Ｂ:∠Ｄ＝６:４:５． ∠Ｃ=60 ˚ 求∠Ｃ的度数．
你会吗…
1
（５）、已知四边形的三个内角的度数 110 度。 如图所示，则∠1的度数是______ （６）、四边形ABCD中，若∠A：∠B： ∠C=4：2：3，∠D=720，则其中最大角 128 的度数是__________ 度？最小角的度数 64 是__________ 度？
即∠A+∠ABC+∠C+∠CDA =360 °
=360°
符号表示：
四边形ABCD
∠ A＋ ∠A BC＋ ∠C ＋ ∠ADC＝ 360°
你还有其他 定理： 的证法吗？
四边形的内角和等于360 °
A D
B
C
如图，四边形风筝的四个内角∠A、∠B、
∠C、∠D的度数之比为1∶1∶0.6∶1，
求它的四个内角的度数．
F A B E D C
这节课你学到了什么? 还有什么困惑？
. 一个定义
一组公式 五个一 一个性质 一种重要数学思想方法（转化思想） 一种常见辅助线
再 见
义务教育课程标准实验教科书
浙江版《数学》八年级下册
请你欣赏
观察以下图案，说明它们都是由哪些 几何图形组成？
从现实生活中抽象出几何图形
正角形
在四边形ABCD中，已知∠A与∠C互补， ∠B比∠D大15°，求∠B、∠D的度数。 ∠B= 97.5° ∠D= 82.5°
1
B
A
4
D C
2 3
清晨，小明沿一个四边形广场周围的小路，按 （ 1 ）小明每从一条街道转到下一条街道时，身体 （ 3 （ ）在上图中，你能求出 2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多 1+2+3+ 4的值？ 转过的角是哪个角？ 逆时针方向跑步。 你是怎样得到的？ 少？
做一做:求下列各正多边形的各个内角度数
正三角形
正方形
正五边形
正六边形
60
o
90
o
108
o
120
o
练一练: 144 度 (1)正十边形的每个内角为_____ (2)一个正多边形的内角和为1260 ,那么这个正 40 度. 多边形有______ 9 条边,它的一个外角是_____ (3)下列各正多边形都是轴对称图形吗？ 各有几条对称轴？
证明：连结BD.
1
B
6
C
证明思路： ∵ ∠A+∠ABD+ ∠ADB =180 ° 四边形的内角和定理： ∠ C+∠CBD+ ∠CDB =180 °(三角形三个内角的和等于180 °)
∴ ∠A+∠ABD+ ∠ADB+ ∠C+∠CBD+ ∠CDB
四边形的内角和=2个三角形的内角和
360°． =180 °+四边形的内角和等于 180° = 360°
1 ∴∠FAB＋∠BCD＋∠DEF= ×720°=360° 2
拓展一：一个六边形如图，已知 BA∥DE ， ∠B= ∠ E，∠C=∠F
（1）求证：CD∥AF
（2）求∠A＋∠C＋∠E的度数．
E
1 2
D C
F
4
3
A
B
拓展二：六边形ABCDEF的
每个内角度数是120度,且 AF=AB=3,BC=CD=2. 求：DE，EF的长度．
o
正三角形
正方形
3条
4条
正五边形
正六边形
5条
6条
用一种或几种多边形进行拼接,彼此之间不留缝隙,
也不重叠地铺成一片,叫做平面图形的镶嵌.
生活中利用镶嵌组成的美丽图案
你注意到地砖的形状一般都是几边形吗？ 下列各正多边形中 ,哪些能单独镶嵌平面， 有没有正五边形地砖？你知道为什么吗？ 哪些不能，为什么？
多边形
（1）
生 活 中 的 四 边 形
C
定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺 次相接所形成的图形叫三角形 。
A
你能根据三角形的定义类比 出四边形的定义和特点吗?
A
B
由不在同一条直线上的四条线段首尾顺 次相接所形成的图形叫四边形 。
B
D
记作：四边形ABCD
或四边形ADCB
C
A D G E
H
你所画的四边 形的四个内角 和是多少？
拿起你手中的四边形，找出四个内角，并 作上记号，请剪下四个内角，把它们拼在一起 （四个角的顶点重合），你发现了这四个内角 有什么规律？和你猜得是否一样。
命题：四边形的内角和等于360 °
已知：四边形ABCD（如图）
A
2
3
4 5
D
求证： ∠A+∠ABC+ ∠C+ ∠ADC=360 °
设A x度， ∵∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D=360° （四边形的内角和等于360˚） ∠A、∠B、∠C、∠D的度数 之比为1∶1∶0.6∶1， 0 则x x 0.6 x x 360 解得：x 100 A B D 1000 ,
A D B
C 100 0.6 60
4
∴∠1+∠2＝∠3+∠4， A B 即∠FAB＝∠CDE，同理∠B＝∠E，∠C＝∠F ∵∠FAB＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F =（6－2）×180°= 720° ∴∠FAB＋∠C＋∠E= 1／2 ×720°=360°
3
例： 一个六边形如图，已知AB∥DE，BC∥EF，
CD∥AF，求∠A＋∠C＋∠E的度数。
多边形的内角和
0 1 2 3
1 2 3 4
1800
2×1800
3×1800 4×1800
6 … n …
… n-3
… n-2
…
(n-2)×1800
从上表中得到了什么结论？
从上表中得到了什么结论？
结论：n边形的内角和为： （n－2）×180°(n≥3).
n边形从一个顶点出发的对角线有 (n－3) 条(n≥3)
在每个顶点处取这个 四边形的一个外角，它 们的和叫做这个四边形 的外角和。
1
B
A
4
D C
2 3
你能用数学理论推导出多边形外角和性质吗？
四边形的外角和等于360ْ
你会吗…
(1) 四边形中有三个角的外角分别为72˚、 46 ˚ 89˚、65˚,则第四个角的度数为______. (2) 一个四边形的四个内角之比为
6 5
o
o
o
四边形
五边形 六边形 n边形
1 2 3 4
o
o
o
2 3
1 5 4
1
o
o
o
2 3 4
6×180 -4×180 =360