局部线性嵌入(LLE)
医学图像分析中的特征选择与降维技术
医学图像分析中的特征选择与降维技术医学图像分析是一门涉及医学影像处理和分析的学科，它在医学诊断、疾病监测和治疗等方面具有重要的应用价值。
然而，医学图像数据的维度通常非常高，包含大量的特征信息，这给医学图像分析带来了挑战。
为了提高医学图像分析的效果和准确性，特征选择和降维技术成为了研究的热点。
特征选择是从原始特征中选择出最具有代表性和区分性的特征子集，以减少特征维度和消除冗余信息。
在医学图像分析中，特征选择的目标是找到与疾病相关的特征，以辅助医生进行诊断和治疗。
常用的特征选择方法包括过滤式、包裹式和嵌入式方法。
过滤式方法通过对特征进行评估和排序，选择出具有最大区分能力的特征。
包裹式方法则通过特征子集的搜索和评估，选择出最佳的特征子集。
嵌入式方法将特征选择融入到模型训练过程中，通过优化模型的性能来选择特征。
降维技术是将高维特征空间映射到低维特征空间的方法，以减少特征维度和提高计算效率。
常见的降维技术包括主成分分析（PCA）、线性判别分析（LDA）和局部线性嵌入（LLE）等。
PCA是一种无监督的降维方法，通过保留数据的主要信息来减少特征维度。
LDA是一种有监督的降维方法，通过最大化类间距离和最小化类内距离来选择最佳的投影方向。
LLE是一种非线性的降维方法，通过保持数据的局部邻域结构来实现降维。
特征选择和降维技术在医学图像分析中具有重要的应用价值。
首先，它们可以减少特征维度，降低计算复杂度，提高算法的效率和速度。
其次，它们可以去除冗余和无关的特征，提取出与疾病相关的特征，提高模型的准确性和可解释性。
此外，特征选择和降维技术还可以帮助医生理解疾病的发展和变化规律，为疾病的预测和治疗提供指导和支持。
然而，特征选择和降维技术在医学图像分析中也面临一些挑战和问题。
首先，如何选择合适的特征选择和降维方法是一个关键问题。
不同的方法适用于不同的数据和任务，需要根据具体情况进行选择和调整。
其次，特征选择和降维可能会引入信息丢失和模型偏差，影响分析结果的准确性和可靠性。
流形学习算法综述
流形学习算法综述流形学习(manifold learning)是一种无监督学习方法，用于在数据集中发现潜在的低维流形结构。
与传统的线性降维方法相比，流形学习算法可以更好地捕捉非线性结构，并在保持数据结构的同时降低数据的维度。
在本文中，我们将综述流形学习算法的主要方法和应用领域。
首先，我们将介绍几种常用的流形学习算法。
其中一种是主成分分析(PCA)。
PCA是一种线性降维算法，通过计算数据的协方差矩阵的特征向量，将数据投影到低维空间中。
然而，PCA只能发现线性结构，对于复杂的非线性数据，效果较差。
另一种常用的算法是多维缩放(MDS)，它通过最小化高维数据点之间的欧氏距离和降维空间点之间的欧氏距离之间的差异，来获取降维的坐标。
然而，MDS在处理大规模数据集时计算复杂度较高。
还有一种被广泛研究的算法是局部线性嵌入(LLE)，它通过保持每个样本与其邻居样本之间的线性关系来进行降维。
LLE能够很好地处理非线性结构，但对于高维稀疏数据表现不佳。
除了以上提到的算法，还有一些流行的流形学习方法。
其中之一是等距映射(Isomap)，它通过计算数据点之间的最短路径距离来构建邻接图，然后使用MDS将数据映射到低维空间。
Isomap能够很好地处理数据中的非线性流形结构，但对于高维数据计算开销较大。
另一个流行的算法是局部保持投影(LPP)，它通过最小化数据点之间的马氏距离来进行降维。
LPP能够保持数据的局部关系，并且对于高维数据有较好的效果。
除了上述算法，还有一些最新的流形学习算法。
其中之一是随机投影流形学习(SPL)，它使用随机投影技术来近似流形嵌入问题，从而提高了运行效率。
另一个新算法是自编码器(Autoencoder)，它通过训练一个神经网络来学习数据的非线性特征表示。
自编码器在流形学习中被广泛应用，并取得了很好的效果。
流形学习算法在许多领域中有广泛的应用。
其中一个应用是图像处理领域，例如图像分类和人脸识别。
流形学习可以帮助将图像特征降维到低维空间，并保留图像之间的相似性。
特征升维方法
特征升维方法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：特征升维是机器学习中常用的一种数据处理方法，通过增加原始特征的组合，从而提高数据的表征能力。
特征升维方法可以帮助模型更好地理解数据的复杂关系，提高数据的分类或回归性能。
本文将结合理论和实践，对特征升维方法进行细致的介绍和分析。
一、特征升维的原理特征升维的原理是通过增加原始特征的维度，从而使数据在更高维度空间中更容易区分。
以线性模型为例，如果原始数据在低维空间中无法被线性分隔，可以通过特征升维的方式将数据映射到高维空间中，使数据线性可分。
特征升维主要有两种方法：一种是通过添加原始特征的多项式组合、交叉等方式来产生新特征，另一种是通过降维方法，在较低维度空间中降低数据的复杂度，然后再将数据映射到高维空间。
1. 多项式特征升维多项式特征升维是一种简单且有效的特征升维方法。
通过对原始特征进行多项式组合，生成新的特征。
对于二维特征(x1, x2)，通过多项式特征升维可以产生新的特征(x1^2, x2^2, x1*x2)。
这种方法在处理非线性数据时非常有效，可以提高模型的拟合能力。
2. 核方法核方法是一种常用的特征升维方法，通过将原始特征映射到高维空间中，实现原始数据线性不可分的问题。
核方法常用的核函数有线性核、多项式核、高斯核等。
核方法的优势在于可以将非线性问题转化为线性问题，简化模型的建模过程。
3. 自编码器自编码器是一种无监督学习的特征升维方法，通过神经网络结构将原始数据映射到高维空间中，并且在映射后的高维空间中再将数据重构回原始空间。
自编码器通过学习数据的压缩表示，提取数据中的重要特征，进而实现特征的升维。
4. 特征选择与特征组合特征选择是一种简单有效的特征升维方法，通过筛选关键特征，减少数据的维度。
特征组合是通过组合原始特征，产生新的特征，提高数据的表达能力。
特征选择与特征组合可以结合使用，提高模型的性能。
1. 图像识别在图像识别领域，特征升维方法被广泛应用。
高维数据降维算法综述
高维数据降维算法综述高维数据是指数据集中包含大量的特征，每个特征之间相对独立，且维度数较高. 对于这种数据，传统的分析方法往往难以具有良好的性能表现。
因此，降维算法被广泛应用于高维数据的数据分析和处理中。
降维是指通过某种方法将高维数据映射到低维空间，使得数据保持原有的重要特征，同时减少冗余信息。
随着机器学习技术的不断发展，各种各样的高维数据降维算法应运而生。
一、PCA最常用的降维算法是PCA(Principal Component Analysis)。
PCA将高维数据投影到低维子空间上，尽量保留原始数据最具有代表性的方差，以此简化数据，减少数据的维度。
PCA 的优点在于简单易于实现，缺点是对于非线性数据分布会有问题。
二、LLE另一个流行的高维数据降维算法是局部线性嵌入(Locally Linear Embedding，LLE)算法。
LLE 算法在处理高维数据时非常有用，因为它不需要提前假设数据空间的结构或可能的数据分布模型。
三、t-SNEt - SNE 是 t-Distributed Stochastic Neighbor Embedding 的缩写，也是一种非常流行的降维算法，特别适合可视化高维数据。
该算法基于随机梯度下降，并使用类似于 PCA 的累积变化比率来确定数据集的哪些维度影响最大。
四、UMAPUMAP ,Uniform Manifold Approximation and Projection，是一种新兴的高维数据降维算法，在F矩阵上构建比较等距与局部结构，并通过优化数值方法实现。
UMAP 在计算效率和表示效果方面都比 t-SNE 表现更加优秀。
五、AE除了上述算法外，还有自编码器(Autoencoder)等神经网络方法可以用于高维数据降维。
自编码器通过编码器将高维数据投影到低维向量，然后在解码器中重建原始的数据。
这种方法同时可以学习特征表示，适用于超高维度的数据降维。
Conclusion本文简要介绍了几种经典的高维数据降维算法，每种算法都有其优缺点和适用范围。
基于稀疏约束的LLE改进算法
基于稀疏约束的LLE改进算法
孙洋;叶庆卫;王晓东;周宇
【期刊名称】《计算机工程》
【年(卷),期】2013(39)5
【摘要】局部线性嵌入(LLE)算法可以发现隐藏在高维空间中的局部线性低维流形,实现数据降维,而LLE算法对数据噪声比较敏感,在较强噪声下算法稳定性很差.为此,提出一种基于稀疏约束的改进算法,在计算重构误差的表达式后添加L1范数的惩罚性约束,促使最优重构权值矩阵更具有稀疏性.通过正则化处理,把添加稀疏约束的重构误差最优化目标函数变换成一般二次规划问题,引入内点迭代法快速搜索最优解.仿真实验结果表明,在不同噪声影响下,稀疏约束的改进LLE算法的降维效果明显好于经典LLE算法,具有更强的噪声抵抗能力.
【总页数】5页(P53-56,60)
【作者】孙洋;叶庆卫;王晓东;周宇
【作者单位】宁波大学信息科学与工程学院,浙江宁波315211;宁波大学信息科学与工程学院,浙江宁波315211;宁波大学信息科学与工程学院,浙江宁波315211;宁波大学信息科学与工程学院,浙江宁波315211
【正文语种】中文
【中图分类】TP311
【相关文献】
1.基于改进LLE算法的山东烟叶香型风格分析研究 [J], 宋楠
2.基于改进监督 LLE 算法的故障特征提取方法 [J], 胡峰;王传桐;吴雨川;范良志;余联庆
3.基于LLE及其改进距离算法的轴承故障诊断模型 [J], 魏永合;刘炜;杨艳君;苏君金
4.基于改进LLE算法的机械故障特征压缩与诊断 [J], 王江萍;崔锦
5.基于通勤时间距离与Rank-Order距离的LLE算法改进 [J], 吕冰倩;范林元因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
非线性降维方法在数据处理中的应用
非线性降维方法在数据处理中的应用一、引言非线性降维方法是解决高维数据问题的一种有效手段，其优劣势在于降维后数据结构的保持和原始数据的表示能力。
在数据处理领域的应用已经得到了深入的研究和开发，为数据挖掘、机器学习等领域提供了重要的技术支持和实现基础。
二、线性降维方法线性降维方法是将高维数据投影到低维子空间中，以实现降低维度的目的。
它可以通过PCA（主成分分析）等方法实现，PCA 即通过最大化各个数据点到投影超平面的投影距离平方和，来找到最合适的投影超平面。
但是这种方法存在一个限制，就是只能处理线性可分的数据问题。
三、非线性降维方法由于很多高维数据并不能通过线性方法完全描述，因此非线性降维方法逐渐成为处理高维数据的关键。
其中比较常用的方法有Kernel PCA、Isomap、LLE等。
这些方法不仅能够处理非线性可分数据，而且能够保持原始数据的主要特征，这对于数据处理的结果来说十分重要。
1、Kernel PCAKernel PCA是对PCA的一种改进方法，其核心是使用核函数对数据进行映射，而不是直接进行线性投影。
这种方法通过将数据映射到一个更高维的特征空间中，从而使得数据变得线性可分。
进而找到一个合适的投影方向，实现高维数据降维的目的。
Kernel PCA的优势在于可以处理非线性可分数据，但缺点是由于映射到更高维度的空间中，可能会导致维度增加的问题。
2、IsomapIsomap是一种基于流形学习的方法，其核心是将高维数据映射到一个低维度的流形空间中。
Isomap中的距离是通过测量数据在流形空间中的距离来计算的，可以有效的控制数据在降维后的分布，从而保持原始数据的特征和结构。
Isomap能够处理非线性可分数据，并且具有局部不变性，适用于噪声数据的处理。
3、LLELLE（局部线性嵌入）是一种局部方法，其核心是通过测量每个数据点和其邻居之间的线性依赖程度，从而对数据进行降维。
LLE能够有效的保持数据的局部结构和特征，对于高维数据的降维效果很好。
传统特征抽取算法及优缺点分析
传统特征抽取算法及优缺点分析随着机器学习和深度学习的快速发展，特征抽取作为机器学习的重要环节，也变得越来越重要。
在传统机器学习中，特征抽取是将原始数据转化为可供机器学习算法使用的特征向量的过程。
本文将对传统特征抽取算法进行分析，并探讨其优缺点。
一、主成分分析（PCA）主成分分析是一种常用的无监督降维算法，通过线性变换将原始数据映射到一个新的特征空间。
PCA通过计算协方差矩阵的特征值和特征向量，选择最大的特征值对应的特征向量作为主成分，从而实现数据降维。
优点是简单易实现，能够保留数据的主要信息；缺点是无法处理非线性关系，对异常值敏感。
二、线性判别分析（LDA）线性判别分析是一种有监督的降维算法，它通过最大化类间距离和最小化类内距离来实现数据的降维。
LDA通过计算类内散度矩阵和类间散度矩阵的特征值和特征向量，选择最大的特征值对应的特征向量作为投影方向。
优点是能够保留类别间的差异，适用于分类问题；缺点是对异常值敏感，无法处理非线性关系。
三、局部线性嵌入（LLE）局部线性嵌入是一种非线性降维算法，它通过在原始数据的局部邻域内进行线性重构，将原始数据映射到低维空间。
LLE首先计算每个样本与其邻居之间的权重，然后通过最小化重构误差来确定低维表示。
优点是能够保留数据的局部结构，适用于非线性关系；缺点是计算复杂度高，对参数敏感。
四、奇异值分解（SVD）奇异值分解是一种常用的矩阵分解方法，它将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积：原始矩阵=左奇异矩阵×奇异值矩阵×右奇异矩阵。
SVD可以用于特征抽取，通过选择最大的奇异值对应的奇异向量作为特征向量，实现数据降维。
优点是能够保留数据的主要信息，适用于大规模数据；缺点是计算复杂度高，对稀疏矩阵不适用。
五、小波变换（Wavelet Transform）小波变换是一种多尺度分析方法，它通过将信号分解为不同尺度的小波函数来实现特征抽取。
小波变换可以提取信号的局部特征，并且能够适应信号的非平稳性。
LLE算法+人脸识别方法
4 结束语
本文提出了一种基于 LLE算法的人脸识别方法 ,实验结
果表明该方法具有很高的正确识别率 ,且对于表情变化和姿态
变化有良好的鲁棒性 。
(下转第 187页 )
第 10期
石 丹 ,等 : JPEG2000编码在数字电影中的优化研究与实现
·1 87 ·
据技术 ,以并行方式处理多个数据元素 ,从而提高多媒体软件 的运行速度 [6 ] 。
第 10期
陈高曙 ,等 :基于 LLE算法的人脸识别方法
·1 77 ·
子 ,则有
L (W )
=
N
∑
i=1
(w i)
T Ziw i
+λ(kLeabharlann ∑wj=1ij
-
1)
]
( 5L ) / ( 5w i ) = 2Ziw i +λ ×l] Z iw i = c ×l
(5)
通过式 ( 5)即可求得 w i (式 ( 5)中 c通常取值为 1) 。 c)将所有的样本点映射嵌入到低维空间中 。映射嵌入满
2 基于 LLE算法的人脸识别
基于 LLE算法的人脸识别过程由训练和识别两个阶段组
成 。在训练阶段 ,设训练样本集为 X = [ x1 , x2 , …, xN ], xi ∈RD 。 其中 : xi 表示一幅人脸图像的向量表示形式 。通过 LLE算法 得到训练样本的输出为 Y = [ y1 , y2 , …, yN ], yi ∈Rd ,且 d∈D。
Abstract: This paper analyzed and argued locally linear embedding (LLE) algorithm. Proposed face recognition method based on LLE algorithm. The method was tested against two face databases: UM IST & ORL. Key words: sub2space analysis; locally linear embedding; nonlinear dimensionality reduction; face recognition
基于WLLE和SVM的植物叶片图像识别方法
Ｊ ｕ ｌ ｙ ２ ０ １ ３
Ｖｏ ｌ ｜ ３ ７ Ｎｏ． ４
ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ０ － ２ １ ６ ２ ． ２ ０ １ ３ ． ０ ４ ． ０Ｍ 的植 物 叶 片 图像 识 别方 法
中图分类号 ： Ｔ Ｐ ３ ９ １ ． ４ １ 文 献 标 志码 ： Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ ０ — ２ １ ６ ２ （ ２ ０ １ ３ ） ４－ ０ ０ ０ ６ １ ＂ ０ ７
Ｒｅ ｃ ｏ ｇ ｎｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ｍｅ ｔ ｈｏ ｄ ｏ ｆ ｐ ｌ ａ ｎ ｔ ｌ ｅ ａ ｖ ｅ ｓ ｂ ａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ Ｗ ＬＬＥ ａ ｎｄ ＳＶＭ
处理后的含有高斯噪声 叶片图像进行特 征提取 ， 然后采用 Ｓ Ｖ Ｍ分类机制对 叶片图像进 行训 练和识别 ， 最后 在
真实的植物 叶片 图像数据库 中提取 植物 叶片 图像 进行分 类实 验． 实 验结果 表 明该 方法能 提高 叶片图像 的分
类率．
关键词 ： 流形学 习 ； 局部线性嵌入 ； 加权局部线性嵌入 ； 特征提取 ； 支 持向量机 ； 植物 叶片识别
丁 娇 ， 梁 栋 ， 阎 庆
２ ３ ０ ０ ３ ９ ） （ 安徽大学 电子信息工程学 院 ， 安徽 合肥 摘
要： 针 对局部线性嵌入 （ Ｌ Ｌ Ｅ ） 算法易受噪声影响 ， 以及最近邻分类器不能有效识别植物 叶片图像 ， 提 出一
种基于加权局部线性嵌入 （ ＷＬ Ｌ Ｅ） 和支持 向量机 （ Ｓ Ｖ Ｍ） 的植 物叶片图像识别方法． 首 先利 用 ＷＬ Ｌ Ｅ算法对 预
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：Ｉ ｎ ｇ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｌ ，ｎ ｏ ｉ ｓ ｅ ｃ ｏ ｕ ｌ ｄ ｉ ｎ ｌ ｆ ｕ ｅ ｎ ｃ ｅ ｔ ｈ ｅ ａ ｌ ｇ ｏ ｉ ｒ ｔ ｈ ｍ ｏ ｆ Ｌ Ｌ Ｅ， ａ ｎ ｄ ｎ ｅ ａ ｒ ｅ ｓ ｔ ｎ ｅ ｉ ｇ ｈ ｂ ｏ ｒ ｃ ｌ ａ ｓ ｓ ｉ ｆ ｉ ｅ ｒ
collapse 映射 折叠 流形 数据点
折叠映射：理解流形数据点的折叠现象引言在数据分析和机器学习领域，映射是一种将高维数据转化为低维表示的常用技术。
而折叠映射（Collapse Mapping）是一种特殊的映射方法，用于理解和描述流形数据点的折叠现象。
本文将介绍折叠映射的概念、应用场景以及算法原理，并通过示例说明其在实际问题中的作用。
折叠映射概述折叠映射是一种将高维数据点映射到低维空间的方法，以便更好地理解和可视化数据。
它基于流形学习的理论，认为高维数据往往存在于一个低维流形上。
而折叠现象是指当数据点被映射到低维空间时，原本相距较远的数据点可能会被映射到相邻的位置上，从而导致数据点在低维空间中的分布发生折叠。
折叠映射的目标是通过将高维数据点映射到低维空间，保留数据点之间的局部关系和结构信息。
这样做的好处是可以降低数据维度，减少计算复杂度，并且更容易进行可视化和理解。
折叠映射应用场景折叠映射在许多领域都有广泛的应用，特别是在数据可视化和模式识别中。
以下是一些常见的应用场景：1.图像处理：在图像处理中，折叠映射可以用于将高维图像特征映射到低维空间，以便进行图像分类、检索和识别等任务。
2.文本分析：在文本分析中，折叠映射可以用于将文本数据映射到低维空间，以便进行主题建模、情感分析和文本分类等任务。
3.生物信息学：在生物信息学中，折叠映射可以用于对基因表达数据进行降维处理，以便进行基因聚类、生物序列比对和蛋白质结构预测等任务。
4.金融数据分析：在金融数据分析中，折叠映射可以用于将多维金融数据映射到低维空间，以便进行风险评估、投资组合优化和市场预测等任务。
折叠映射算法原理折叠映射有多种算法，其中最常用的是局部线性嵌入（Locally Linear Embedding，简称LLE）算法。
以下是LLE算法的基本原理：1.局部邻域选择：对于每个数据点，LLE算法通过选择其最近的k个邻居来定义其局部邻域。
2.局部线性重构：对于每个数据点，LLE算法通过线性组合其最近邻居的权重来重构该点。
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降维定义
• 假设D维空间上的一个样本集为X = {x1,x2,x3,….xn |xi∈RD}定义降维问题的模型（X，F），其中，X为 数据集，降维映射F F：X ->Y, Y ∈Rd , yj =f(xi)称 为X到低维空间的嵌入映射。
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LLE算法描述
• 由此LLE算法可以应用于样本的聚类。而线性方法， 如PCA和MDS，都不能与它比拟的。LLE算法操作简 单，且算法中的优化不涉及到局部最小化。该算法能
解决非线性映射，但是，当处理数据的维数过大，数
量过多，涉及到的稀疏矩阵过大，不易于处理。在图 中的球形面中，当缺少北极面时，应用LLE算法则能 很好的将其映射到二维空间中，如图中的C所示。如 果数据分布在整个封闭的球面上，LLE则不能将它映 射到二维空间，且不能保持原有的数据流形。那么我
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LLE算法
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LLE算法
LLE算法认为在局部意义下，数据的结构是线性的，或者说局 部意义下的点在一个超平面上，一次任取一个点，可以使用它的 邻近点的线性组合表示。
步骤1：计算或寻找数据点Xi 的邻居数据点 设原始数据由N 个D维的实值向量组成，对于每一个点xi , i=1,2,3,…,n;寻找最邻近的点。由于数据由真正光滑的多面体取样 而来，故每个数据点和它的邻居近位于或近似位于该多面体的局 部线性平面上。这样就能通过线性组合系数刻画出局部平面的几 何特征。在LLE中，通过度量欧氏距离的方法可找到每个数据点 的K 个最近邻居数据点。
局部线性嵌入（LLE）
张昕
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1
基本概念
• 有监督学习：假设有一个可用的训练数据集，并通 过先验已知信息来设计分类器。
• 无监督学习：没有已知类别标签的训练数据可用， 给定一组特征向量x 来揭示潜在的相似性，并且将相 似性的特征向量分为一组。
• LLE就是一种无监督学习的方法。
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流形学习
• 假设数据是均匀采样于一个高维欧式空间中的低维 流形，流形学习就是从高维空间采样数据中恢复低维 流形的结构，即找到高维空间中的低维流形，并求出 相应的嵌入映射，以实现维数约减或者数据可视化， 它是从观测的现象中去寻找事物的本质，找到数据的 内在规律。
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关于权值Wij
用邻近点逼近Xi
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权值（ Wij ）的计算
• 权值Wij 说明第j 个数据点对重构第i 个数据点所做的 贡献。为了得到合适的权值，在下面两个条件下，对 成本函数进行最小值计算：
• 条件一，每个数据点只能通过它的邻近数据点来构 造，并且当某个数据点不属于所重构数据点的邻近数 据点时，Wij＝0；
·
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LLE算法
步骤2：计算权值，Wij ,i, j=1,2,3,…,n,权值由与xi 最邻近点重构得到，这样可以得到最小化核：
• 其中，Xj表示第i个点的第j个近邻。其权值被限制为： （a） Wij = 0,对于非邻近点。 （b）∑j Wij = 1,对于邻近点。即覆盖所有邻近点的权 值之和为1。
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4
数据降维的方法
线性 非线性
主成分分析PCA 线性判别分析LDA
LLE
保留局部 LE
不保留局部
LTSA
ISOMAP
基于距离
MDS
基于核函数 KPCA
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流形框架
• 1.寻找局部邻域；a.希望邻域足够大。 b.希望邻域确保局部的线性特征
• 2.寻找邻域的局部线性结构； • 3.计算全局线性结构，保持2所构造的线性结构
们在处理数据中，首先假设数据不是分布在闭合的球 面或者椭球面上。
·
9
LLE算法介绍
• LLE 算法是基于几何直觉的，即把高维空间数据点
按维数映射到低维嵌入空间，即Xi→Yi。步骤为：计 算或寻找数据点Xi 的邻居数据点，计算权值矩阵Wij 并通过Wij 与邻居数据点构造数据点，通过权值矩阵 Wij 计算低维向量Yi。
得到，而平移的不变性则由条件二保证。由于这种 对称性，重构权值能够刻画每一个邻居数据点的几何 属性，而不是依据特定的参考框架的属性。
·
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• 假定数据位于或近乎位于一个维数d＜＜D 的光 滑的非线性多面体上，为了得到好的近似，存在一 个线性映射（包含平移、旋转、缩放），这个映射 能映射该多面体上每个邻近数据点的高维坐标值到 一个单一的内部坐标系统（也即多面体本质属性所 确定的内部坐标系统）。故重构权值Wij 能反映旋 转不变的内在几何属性，而重构原始D 维空间的权 值Wij 也能用于在个不变性证明
• 旋转不变性 • 缩放不变性 • 平移不变性
·
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LLE算法
步骤3，使用前面步骤所得到的权值计算相关的点 Yi ∈Rd,i=1,2,3,…,n,这样，可以最小化未知点 Y={yi,i=1,2,3,…,n}的代价：
• 该成本函数是基于局部线性重构误差的。式中的嵌入 成本函数是向量Yi 的一个二次方的形式，为简化，可 通过求解稀疏矩阵的特征向量求解最小值。它的最下 面的d 个非零特征向量提供了一组有序的以原点为中 心的正交坐标系统。
·
6
非线性降维实例：B是从A中提取的样本点（三维），通过非 线性降维算法（LLE），将数据映射到二维空间中（C）。从C图 中的颜色可以看出通过LLE算法·处理后的数据，能很好的保持原7 有数据的邻域特性
LLE算法描述
LLE算法可以由图所示的一个例子来描述。在图 中，LLE能成功地将三维非线性数据映射到二维空间 中。如果把图（B）中红颜色和蓝颜色的数据分别看 成是分布在三维空间中的两类数据，通过LLE算法降 维后，则数据在二维空间中仍能保持相对独立的两类。 在图（B）中的黑色小圈中可以看出，如果将黑色小 圈中的数据映射到二维空间中，如图（C）中的黑色 小圈所示，映射后的数据任能保持原有的数据流形， 这说明LLE算法确实能保持流形的领域不变性。
• 条件二，权值矩阵每行的所有元素之和等于1，即 ΣjWij＝1。最优权值Wij 将通过计算其最小平方得到。
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权值（ Wij ）的特性
• 在限制条件下，通过最小化重构错误得到的最优权值 遵循如下对称特性，即对于特定的数据点，在其本身 和其邻居数据点有旋转、缩放、平移操作时将保持其 原有性质不变。旋转和缩放不变性从式