1990考研数学三真题及答案解析

D
域.
(3)
求级数
n1
(x
3)n n2
的收敛域.
(4) 求微分方程 y y cos x (ln x)e sin x 的通解.
四、(本题满分 9 分) 某公司可通过电台及报纸两种形式做销售某种商品的广告,根据统计资料,销售收入
R (万元)与电台广告费用 x1 (万元)及报纸广告费用 x2 (万元)之间的关系有如下经验公式: R 15 14x1 32x2 8x1x2 2x12 10x22.
n n
11
(2)【答案】 b a
【解析】由于 F (x) 在 x 0 处连续,故 A F (0) lim F (x) . x0
lim F (x) 为“ 0 ”型的极限未定式,又 f (x) 在点 0 处导数存在,所以
x0
0
A lim f (x) a sin x lim f (x) a cos x b a .
x0
x
x0
1
【相关知识点】函数 y f (x) 在点 x0 连续：设函数 y f (x) 在点 x0 的某一邻域内有定义,
如果 lim x x0
f (x)
f (x0), 则称函数
f
(x) 在点 x0 连续.
(3)【答案】 4 1
2
y
【解析】先解出两条曲线在平面的交点,即令 x2 x 2 ,
4
,知(A)不正确；
4
由
f
4
0,
f
4
0
,而
f
0
0 ,知(D)不正确.
证明(C)不正确可用反证法.
设 g x tan x esinx ,于是 g x 的定义域为 D x | x k ,k 0,1,2, ,
2
且 g x 的全部零点为 xn n ,n 0,1,2,. 若 f x xg x 以 T T 0 为周期,则
九、(本题满分 4 分)
从 0,1, 2,, 9 十个数字中任意选出三个不同数字,试求下列事件的概率： A1 {三个数字中不含 0 和 5}； A2 {三个数字中不含 0 或 5}.
十、(本题满分 5 分)
一电子仪器由两个部件构成,以 X 和 Y 分别表示两个部件的寿命(单位:千小时),已知
X 和 Y 的联合分布函数为:
81 布,由二项分布的概率公式,事件“四次均不中”的概率为 (1 p)4 ,它是至少命中一次的对
立事件.依题意
(1 p)4 1 80 1 p 1 p 2 .
81
3
3
本题的另一种分析方法是用随机变量 X 表示独立地进行射击中命中目标的次数, p 表
示一次射击的命中率,则 X B(4, p) ,依题意
1 O
2x
解得 x 1 和 x 2 ,故所围成的平面图形如右图所示:
所求面积为
S 2 x 2 x2 dx 1
1 2
x2
2x
1 3
x3
2 1
4
1 2
.
(4)【答案】 a1 a2 a3 a4 0
【解析】由于方程组有解 r( A) r( A) ,对 A 作初等行变换,
第一行乘以 1 加到第四行上,有
F ( x,
y)
1-e0.5x
e0.5 y
e , 0.5( x y)
若x 0, y 0,
0,
其他.
(1) 问 X 和Y 是否独立?
(2) 求两个部件的寿命都超过 100 小时的概率 .
十一、(本题满分 7 分) 某地抽样调查结果表明,考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布,平均成绩为 72
分,96 分以上的占考生总数的 2.3%,试求考生的外语成绩在 60 分至 84 分之间的概率.
PX
4
0 1 P X
k
1,
k 1
81
即 (1 p)4 1 p 2 .
81
3
【相关知识点】二项分布的概率公式：
若Y
B(n,
p)
,则
P Y
k
C
k n
p
k
(1
p )nk
,k
0,1,, n
.
二、选择题(本题满分 15 分,每小题 3 分.)
(1)【答案】(B)
【解析】由于 lim x esin x e ,而 lim tan x ,所以,
f x xg x 不可能是周期函数.
【相关知识点】极限的四则运算法则:
若 lim f (x) A , lim g(x) B ,则有 lim f (x) g(x) AB .
x x0
x x0
x x0
(2)【答案】(D)
【解析】通过变量代换 t x 1或按定义由关系式 f (1 x) af (x) 将 f (x) 在 x 1 的可
x
2
xFra Baidu bibliotek
2
2
lim x tan x esin x ,故 f (x) 无界.
x 2
或考察
f
(x) 在 xn
2n
4
(n
1, 2,)
的函数值,有 lim n
f
(xn )
lim
n
xne
2 2
,可见
f (x) 是无界函数.应选(B).
以下证明其他结论均不正确.
由
f
4
sin
e4
4
f
4
e sin
f
(x)
a sin x
x
,
x 0,
A,
x0
在 x 0 处连续,则常数 A =___________.
(3) 曲线 y x2 与直线 y x 2 所围成的平面图形的面积为_________.
x1 x2 a1 ,
(4)
若线性方程组
x2
x3
x3 x4
a2 , a3
,
有解,则常数
导性与 f (x) 在 x 0 的可导性联系起来.
令 t x 1,则 f (t) af (t 1) .由复合函数可导性及求导法则,知 f (t) 在 t 1可导,且 f (t) t1 af (t 1)(t 1) t1 af (0) ab ,
(1) 在广告费用不限的情况下,求最优广告策略； (2) 若提供的广告费用为 1.5 万元,求相应的最优广告策略.
五、(本题满分 6 分)
设 f (x) 在闭区间 [0, c] 上连续,其导数 f (x) 在开区间 (0, c) 内存在且单调减少； f (0) 0 ,试应用拉格朗日中值定理证明不等式: f (a b) f (a) f (b) ,其中常数 a、b 满足条件 0 a b a b c .
lim( n 3 n n n ) lim ( n 3 n n n ) ( n 3 n n n )
n
1
n
n3 n n n
lim n 3 n n n , n n 3 n n n
再分子分母同时除以 n ,有
原式 lim
4
.
n 1 3 1 1
n
n
因为 lim a 0 ,其中 a 为常数,所以原式 4 2.
a1
,
a2
,
a3
,
a4
应满足条件________.
x4 x1 a4
(5) 一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为 80 ,则该射手的命 81
中率为________.
二、选择题(本题满分 15 分,每小题 3 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,
把所选项前的字母填在题后的括号内.)
矩阵 A Ab 的秩,即是 r( A) r( A) (或者说, b 可由 A 的列向量 1,2 ,, n 线表出,
亦等同于1,2 ,, n 与1,2 ,, n, b 是等价向量组). 设 A 是 m n 矩阵,线性方程组 Ax b ,则
（1）有唯一解 r( A) r( A) n.
（2）有无穷多解 r( A) r( A) n.
有
x T g x T xg x ,x D.
令 x 0,有 Tg T 0, 即 g T 0 .从而 T k ,其中 k 为某一正数.于是 2k 也是
xg x 的周期.代入即得,对 x D 有
x 2k g x 2k x 2k g x xg x .
这表明 2k g x 0 在 x D 上成立,于是 g x 0 在 x D 上成立,导致了矛盾. 故
(3) 方程组有解时,求出方程组的全部解.
七、(本题满分 5 分)
已知对于 n 阶方阵 A ,存在自然数 k ,使得 Ak 0 ,试证明矩阵 E A 可逆,并写出其逆 矩阵的表达式( E 为 n 阶单位阵).
八、(本题满分 6 分)
设 A 是 n 阶矩阵, 1 和 2 是 A 的两个不同的特征值, X1, X 2 是分别属于 1 和 2 的特征 向量.试证明 X1 X 2 不是 A 的特征向量.
1990 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题(本题满分 15 分,每小题 3 分.把答案填在题中横线上.)
(1) 极限 lim( n 3 n n n ) _________. n
(2) 设函数 f (x) 有连续的导函数, f (0) 0, f (0) b ,若函数
F ( x)
PY m 1 1
22
则下列式子正确的是
(A) X Y
(C) PX Y 1
2
(B) PX Y 0 (D) PX Y 1
()
三、计算题(本题满分 20 分,每小题 5 分.)
(1) 求函数 I (x)
x e
t
2
ln t 2t
1
dt
在区间
[e,
e2
]
上的最大值.
(2) 计算二重积分 xe y2 dxdy ,其中 D 是曲线 y 4x2 和 y 9x2 在第一象限所围成的区
（3） 无解
r( A) 1 r( A). b 不能由 A 的列向量1,2 ,, n 线表出.
(5)【答案】 2 3
【解析】这是一个四重伯努利试验概率模型,设试验的成功率即射手的命中率为 p ,则进行 四次独立的射击, 设事件Y 为“射手命中目标的次数”, Y 服从参数 n 4, p 80 的二项分
()
(4) 设 A, B 为两随机事件,且 B A ,则下列式子正确的是
()
(A) P A B P A
(B) P AB P A
(C) P B A P B
(D) PB A P(B) P A
(5) 设随机变量 X 和 Y 相互独立,其概率分布为
m
-1 1
PX m 1 1
22
m
-1 1
六、(本题满分 8 分)
已知线性方程组
x1 x2 x3 x4 x5 a ,
3x2x122xx3 22xx34
x4 6x5
3x5 b,
0,
5x1 4x2 3x3 3x4 x5 2,
(1) a、b 为何值时,方程组有解?
(2) 方程组有解时,求出方程组的导出组的一个基础解系；
0 0
0 0
1 1
1 1
a1
a3 a2
a4
1
1 0
a1
a3 a2 a3
a4
为使 r( A) r( A) ,常数 a1 , a2 , a3 , a4 应满足条件: a1 a2 a3 a4 0 .
【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：
设 A 是 m n 矩阵,线性方程组 Ax b 有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广
(1) 设函数 f (x) x tan x esin x ,则 f (x) 是
()
(A) 偶函数
(B) 无界函数
(C) 周期函数
(D) 单调函数
(2) 设函数 f (x) 对任意 x 均满足等式 f (1 x) af (x) ,且有 f (0) b, 其中 a, b 为非零常
数,则
()
(A) f (x) 在 x 1 处不可导 (C) f (x) 在 x 1 处可导,且 f (1) b
1 1 0 0 a1 1
0 1
1
0
a2
0
0
0
1
1
a3
0
1 0 0 1 a4 0
1 0 0 a1
11 0
a2
,
0 1
1 0
1 1
a3 a1 a4
第二行加到第四行上,再第三行乘以 1 加到第四行上,有
1 1 0 0 a1 1 1 0 0
a1
0 1 1 0
a2
11 0
a2
.
[附表]
x
0 0.5
(x) 0.500 0.692
1.0 0.841
1.5 0.933
2.0 0.977
2.5 0.994
3.0 0.999
表中 (x) 是标准正态分布函数.
1990 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题(本题满分 15 分,每小题 3 分.)
(1)【答案】 2
【解析】对原式进行分子有理化,分子分母同乘以有理化因子 n 3 n n n .
(B) f (x) 在 x 1处可导,且 f (1) a (D) f (x) 在 x 1处可导,且 f (1) ab
(3) 向量组1,2 ,, s 线性无关的充分条件是 (A) 1,2 ,, s 均不为零向量 (B) 1,2 ,, s 中任意两个向量的分量不成比例 (C) 1,2 ,, s 中任意一个向量均不能由其余 s 1个向量线性表示 (D) 1,2 ,, s 中有一部分向量线性无关