第六章参数估计答案课件
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统计学第六章参数估计
第五节 必要样本容量的确定
一、平均数的必要样本容量 二、成数的必要样本容量 三、影响必要样本容量的因素
特点
抽样推断方法与其它统计调查方法相 比，具有省时、省力、快捷的特点，能以 较小的代价及时获得总体的有关信息。
1. 根据样本资料对总体的数量特征作出具有一定 可靠性的估计和推断 2. 按照随机性原则从全部总体中抽取样本单位 3. 抽样推断必然会产生抽样误差
参参第数数六估估章计计
本章内 容
一、抽样推断的基本概念与原理
二、参数估计中的点估计
三、参数估计中的区间估计
四、抽样组织方式及其参数估计
五、必要样本容量的确定
第一节 抽样推断的基本概念与原理 一、抽样推断的特点和作用 二、重复抽样与不重复抽样 三、抽样误差与抽样平均误差 四、抽样推断的理论基础 （大数法则、中心极限定理） 五、参数估计的基本步骤
3. 根据所要求的置信水平，查正态分布表、t分布 表或其他分布表获得对应的概率度，然后再计算出抽 样极限误差，最后对总体参数作出区间推断。
点估计
点估计，也称定值估计，就是以样本估计量 直接代替总体参数的一种推断方法。 点估计常用方法：矩估计法、极大似然估计法。
点估计量的优良标准
1. 无偏性
E(x); E(p)
数落在抽样平均数 x 的范围之内；总体成 x
数落在抽样成数 pp 的范围之内。
例题2
概率度
总体参数的区间估计
例题3
开头例题
例题3
例题3
开头例题
简单随机抽样
简单随机抽样又叫纯随机抽样， 是最简单、最普遍的抽样组织方法。 它是按照随机性原则直接从总体的全 部单位中，抽取若干个单位作为样本 单位，保证总体中每个单位在抽选中 都有同等被抽中的机会。
概率论与数理统计课件：第六章 参数估计
26 September 2020
华东师范大学
第六章 参数估计
第11页
例6.1.6 设一个试验有三种可能结果，其发生概率
分别为 p 2 , p 2 (1 ), p (1 )2
1
2
3
现做了n次试验，观测到三种结果发生的次数分别
为 n1 , n2 , n3 (n1+ n2+ n3 = n)，则似然函数为
称为样本的似然函数。
26 September 2020
华东师范大学
第六章 参数估计
第10页
如果某统计量 ˆ ˆ(x1满, 足, xn) L(ˆ) max L( )
则称 是ˆ 的极(最)大似然估计，简记为MLE
（Maximum Likelihood Estimate）。
人们通常更习惯于由对数似然函数lnL( )出发寻 找 的极大似然估计。 当L( )是可微函数时，求导是求极大似然估计最 常用的方法，对lnL( )求导更加简单些。
➢ 样本均值是总体均值的相合估计； ➢ 样本标准差是总体标准差的相合估计； ➢ 样本变异系数是总体变异系数的相合估计。
26 September 2020
华东师范大学
第六章 参数估计
6.2.2 无偏性
第28页
定义6.2.2 设 ˆ ˆ(x1是, , xn的) 一个估计， 的参数空间为Θ，若对任意的∈Θ，有
i1
)2
n 2
2
0
(6.1.10)
26 September 2020
华东师范大学
第六章 参数估计
第15页
解此方程组，由(6.1.9)可得 的极大似然估计为
ˆ
1 n
n i 1
xi
西北工业大学《概率论与数理统计》课件-第六章 参数估计
最大概率的思想就是最大似然法的基本思想 .
(2) 似然函数
定义6.1 设总体X的分布密度(或分布律)为 p(x; ), 其中 (1, 2, ,m )为未知参数. 又设
( x1, x2,, xn ) 为自总体X的样本(X1,X2,…,Xn) 的一 个观察值，则称样本的联合分布
n
L( ) p(x1, x2, … , xn; ) p( xi; )
2º似然估计方程组与最大似然估计之间没有必 然
从中解得 pˆ k n
参数 p的估计值
这时, 对一切 0< p <1, 均有
P{Y k; pˆ } P{Y k; p}
综上所述： 设某试验的可能结果为： A1, A2 , ···, Ai , ···
若在一次试验中，某结果 Ai 出现，则应选择参 数使Ai 出现的概率最大.
以上这种选择一个参数使得实验结果具有
(k 1,2,, m)
(4) 求最大似然估计(MLE)的步骤:
1 写出似然函数
(1, 2 , ,m )
n
L( ) L( x1, x2,, xn; ) p( xi; )
n
i 1
2 取对数 ln L( ) ln p( xi; )
i 1
3 解似然方程(组)
ln L
ln L
2
为来自总体X的简单随机样本. 矩估计法的具体步骤:
1 求出k E( X k ) (1,2,,m )， k 1,2,,m；
2 要求k Ak , k 1,2,, m
这是一个包含 m个未知参数1,2 ,,m的方程组.
3 解出其中1,2,,m , 用ˆ1,ˆ2,,ˆm表示.
4 用方程组的解ˆ1, ˆ2 , ,ˆm 分别作为 1,2 ,,m的估计量,这个估计量称为
(2) 似然函数
定义6.1 设总体X的分布密度(或分布律)为 p(x; ), 其中 (1, 2, ,m )为未知参数. 又设
( x1, x2,, xn ) 为自总体X的样本(X1,X2,…,Xn) 的一 个观察值，则称样本的联合分布
n
L( ) p(x1, x2, … , xn; ) p( xi; )
2º似然估计方程组与最大似然估计之间没有必 然
从中解得 pˆ k n
参数 p的估计值
这时, 对一切 0< p <1, 均有
P{Y k; pˆ } P{Y k; p}
综上所述： 设某试验的可能结果为： A1, A2 , ···, Ai , ···
若在一次试验中，某结果 Ai 出现，则应选择参 数使Ai 出现的概率最大.
以上这种选择一个参数使得实验结果具有
(k 1,2,, m)
(4) 求最大似然估计(MLE)的步骤:
1 写出似然函数
(1, 2 , ,m )
n
L( ) L( x1, x2,, xn; ) p( xi; )
n
i 1
2 取对数 ln L( ) ln p( xi; )
i 1
3 解似然方程(组)
ln L
ln L
2
为来自总体X的简单随机样本. 矩估计法的具体步骤:
1 求出k E( X k ) (1,2,,m )， k 1,2,,m；
2 要求k Ak , k 1,2,, m
这是一个包含 m个未知参数1,2 ,,m的方程组.
3 解出其中1,2,,m , 用ˆ1,ˆ2,,ˆm表示.
4 用方程组的解ˆ1, ˆ2 , ,ˆm 分别作为 1,2 ,,m的估计量,这个估计量称为
应用统计学第6章参数估计(置信区间)ppt课件
从中解得
P{(n1)S2 2(n1)S2 }1
22(n1)
(n1) 2
p1 p t精选版2
20
于是 所求置信区间为：
(n1)S2 (n1)S2
[2
, 2(n1)
2 1
] 2(n 的 95% 置
信解区：间由。例1，S2 =196.52，n =10，
（1）实用中应在保证足够可靠的前提 下，尽量使得区间的长度短一些 .
（2）增大样本容量n,可在保证足够可 靠的前提下,提高估计的精度.
n
n
L 2 z /2
n
ppt精选版
31
估计均值μ时的样本容量n确定
1.指定估计的精度:
dX dL2z/2
n
2.指定估计的可靠度1-α;
3.确定σ:
(1)由历史资料确定;
对给定的置信水平1,
查正态分布表得 z 2 ,
使 P{|Xn|z2}1
ppt精选版
6
从中解得：
P{X nz2
Xnz2}
1
于是所求的 置信区间为
[X nz2, X nz2]
也可简记为
X n z 2
ppt精选版
7
求置信区间的一般步骤(1-2):
给定置信水平1：
1. 寻找参数的一个良好的点估计
T (X1,X2,…Xn)
实用中应在保证足够可靠的前提下，尽
量使得区间的长度短一些 .
ppt精选版
28
置信度与置信区间长度的关系
考虑单个正态总体μ的置信区间: 当σ已知时,
Z X n
~N(0, 1)
例如，由 P(-1.96≤U≤1.96)=0.95
我们得到 均值 的置信水平为 1 的
P{(n1)S2 2(n1)S2 }1
22(n1)
(n1) 2
p1 p t精选版2
20
于是 所求置信区间为：
(n1)S2 (n1)S2
[2
, 2(n1)
2 1
] 2(n 的 95% 置
信解区：间由。例1，S2 =196.52，n =10，
（1）实用中应在保证足够可靠的前提 下，尽量使得区间的长度短一些 .
（2）增大样本容量n,可在保证足够可 靠的前提下,提高估计的精度.
n
n
L 2 z /2
n
ppt精选版
31
估计均值μ时的样本容量n确定
1.指定估计的精度:
dX dL2z/2
n
2.指定估计的可靠度1-α;
3.确定σ:
(1)由历史资料确定;
对给定的置信水平1,
查正态分布表得 z 2 ,
使 P{|Xn|z2}1
ppt精选版
6
从中解得：
P{X nz2
Xnz2}
1
于是所求的 置信区间为
[X nz2, X nz2]
也可简记为
X n z 2
ppt精选版
7
求置信区间的一般步骤(1-2):
给定置信水平1：
1. 寻找参数的一个良好的点估计
T (X1,X2,…Xn)
实用中应在保证足够可靠的前提下，尽
量使得区间的长度短一些 .
ppt精选版
28
置信度与置信区间长度的关系
考虑单个正态总体μ的置信区间: 当σ已知时,
Z X n
~N(0, 1)
例如，由 P(-1.96≤U≤1.96)=0.95
我们得到 均值 的置信水平为 1 的
统计学参数估计PPT课件
实际应用中需要注意的问题
在应用参数估计时，需要注意样本的代表性、数据的准确性和可靠性等问题， 以保证估计的准确性和可靠性。
对未来研究的建议
01
进一步探讨参数估计的理论基础
可以进一步探讨参数估计的理论基础，如大数定律和中心极限定理等，
以更好地理解和掌握参数估计的方法和原理。
02
探索新的估计方法
随着统计学的发展，可以探索新的参数估计方法，以提高估计的准确性
指导决策
评估效果
基于参数估计结果，制定科学合理的 决策。
利用参数估计，评估政策、项目等实 施效果。
预测未来
通过参数估计，预测未来的趋势和变 化。
02
参数估计的基本概念
点估计
定义
点估计是用一个单一的数值来估 计未知参数的值。
举例
在调查某班级学生的平均身高时， 我们可能使用所有学生身高的总 和除以人数来估计平均身高，这 里的总和除以人数就是点估计。
最小二乘法的缺点是假设误差项独立 同分布，且对异常值敏感，可能影响 估计的稳定性。
最小二乘法的优点是简单易行，适用 于线性回归模型，且具有优良的统计 性质。
贝叶斯估计法
贝叶斯估计法是一种基于贝叶 斯定理的参数估计方法，通过 将先验信息与样本数据相结合 来估计参数。
贝叶斯估计法的优点是能够综 合考虑先验信息和样本数据， 给出更加准确的参数估计。
高维数据的参数估计问题
1 2 3
高维数据对参数估计的影响
随着数据维度的增加，参数估计的复杂度和难度 也会相应增加，容易出现维度诅咒等问题。
高维数据参数估计的方法
针对高维数据，可以采用降维、特征选择、贝叶 斯推断等方法进行参数估计，以降低维度对估计 的影响。
在应用参数估计时，需要注意样本的代表性、数据的准确性和可靠性等问题， 以保证估计的准确性和可靠性。
对未来研究的建议
01
进一步探讨参数估计的理论基础
可以进一步探讨参数估计的理论基础，如大数定律和中心极限定理等，
以更好地理解和掌握参数估计的方法和原理。
02
探索新的估计方法
随着统计学的发展，可以探索新的参数估计方法，以提高估计的准确性
指导决策
评估效果
基于参数估计结果，制定科学合理的 决策。
利用参数估计，评估政策、项目等实 施效果。
预测未来
通过参数估计，预测未来的趋势和变 化。
02
参数估计的基本概念
点估计
定义
点估计是用一个单一的数值来估 计未知参数的值。
举例
在调查某班级学生的平均身高时， 我们可能使用所有学生身高的总 和除以人数来估计平均身高，这 里的总和除以人数就是点估计。
最小二乘法的缺点是假设误差项独立 同分布，且对异常值敏感，可能影响 估计的稳定性。
最小二乘法的优点是简单易行，适用 于线性回归模型，且具有优良的统计 性质。
贝叶斯估计法
贝叶斯估计法是一种基于贝叶 斯定理的参数估计方法，通过 将先验信息与样本数据相结合 来估计参数。
贝叶斯估计法的优点是能够综 合考虑先验信息和样本数据， 给出更加准确的参数估计。
高维数据的参数估计问题
1 2 3
高维数据对参数估计的影响
随着数据维度的增加，参数估计的复杂度和难度 也会相应增加，容易出现维度诅咒等问题。
高维数据参数估计的方法
针对高维数据，可以采用降维、特征选择、贝叶 斯推断等方法进行参数估计，以降低维度对估计 的影响。
第6章+参数估计及评价.PPT
出估计的好坏判断标准。
23 June 2019
第六章 参数估计
第7页
§6.1 点估计的几种方法
6.1.1 矩法估计
一、替换原理 是指用样本矩去替换相应的总体矩，如：
用样本均值估计总体均值E(X)，即 Eˆ (X ) x
用样本方差估计总体方差Var(X)，即 Vˆ ar( X ) sn2 用样本的k 阶矩替代总体的 k 阶矩,Ak=E(Xk).
23 June 2019
第六章 参数估计
第8页
例6.1.1 对某型号的20辆汽车记录其每加仑汽油 的行驶里程(km)，观测数据如下：
29.8 27.6 28.3 27.9 30.1 28.7 29.9 28.0
27.9 28.7 28.4 27.2 29.5 28.5 28.0 30.0
29.1 29.8 29.6 26.9
ˆ 1/ x
另外，由于Var(X)=1/2，其反函数为 1/ Var(X ) 因此，从替换原理来看，的矩法估计也可取为
ˆ1 1/ s
从上两例说明矩估计可能是不唯一的，这是矩法 估计的一个缺点，此时通常应该尽量采用低阶矩 给出未知参数的估计。
23 June 2019
第六章 参数估计
第5页
参数 所有可能取值组成的集合称为参数空
间，常用表示。参数估计问题就是根据所 得样本对上述各种未知参数作出估计。
参数估计形式有两种：点估计与区间估计，
即
ˆ ˆ(x1, , xn )
∈[ , ]
23 June 2019
第六章 参数估计
第6页
设总体X 服从分布 F(x, )， 为未知参数
1 n
1
L( ) n
I I {0xi }
23 June 2019
第六章 参数估计
第7页
§6.1 点估计的几种方法
6.1.1 矩法估计
一、替换原理 是指用样本矩去替换相应的总体矩，如：
用样本均值估计总体均值E(X)，即 Eˆ (X ) x
用样本方差估计总体方差Var(X)，即 Vˆ ar( X ) sn2 用样本的k 阶矩替代总体的 k 阶矩,Ak=E(Xk).
23 June 2019
第六章 参数估计
第8页
例6.1.1 对某型号的20辆汽车记录其每加仑汽油 的行驶里程(km)，观测数据如下：
29.8 27.6 28.3 27.9 30.1 28.7 29.9 28.0
27.9 28.7 28.4 27.2 29.5 28.5 28.0 30.0
29.1 29.8 29.6 26.9
ˆ 1/ x
另外，由于Var(X)=1/2，其反函数为 1/ Var(X ) 因此，从替换原理来看，的矩法估计也可取为
ˆ1 1/ s
从上两例说明矩估计可能是不唯一的，这是矩法 估计的一个缺点，此时通常应该尽量采用低阶矩 给出未知参数的估计。
23 June 2019
第六章 参数估计
第5页
参数 所有可能取值组成的集合称为参数空
间，常用表示。参数估计问题就是根据所 得样本对上述各种未知参数作出估计。
参数估计形式有两种：点估计与区间估计，
即
ˆ ˆ(x1, , xn )
∈[ , ]
23 June 2019
第六章 参数估计
第6页
设总体X 服从分布 F(x, )， 为未知参数
1 n
1
L( ) n
I I {0xi }
第六章 参数值的估计
第六章 参数值的估计 第一节 参数估计的一般问题一、估计量与估计值参数估计就是用样本统计量去估计总体参数，如用X 估计μ，用S2估计2σ，用p 估计π等。
总体参数可以笼统地用一个符号θ表示。
参数估计中，用来估计总体参数的统计量的名称，称为估计量，用θ表示，如样本均值、样本比例等就是估计量。
用来估计总体参数时计算出来的估计量的具体数值，叫做估计值。
二、点估计与区间估计——参数估计的两种方法 1、点估计用样本估计量θ的值直接作为总体参数θ的估计量值。
2、区间估计它是在点估计基础上，给出总体参数估计的一个区间，由此可以衡量点估计值可靠性的度量。
这个区间通常是由样本统计量加减抽样误差而得到。
以样本均值的区间估计来说明区间估计原理：根据样本均值的抽样分布可知，重复抽样或无限总体抽样情况下，样本均值，由此可知，样本均值落在总体均值两侧各为一个标准误差范围内的概率为0.6827，两个标准误差范围0.9545，三个标准误差范围0.9973，并可计算出样本均值落在μ的两侧任何一个标准误差范围内的概率（根据已知的μ，σ计算）。
但实际估计时，μ是未知的，因而不再是估计样本均值落在某一范围内的概率，而只能根据已设定的概率计算这个范围的大小。
例如：约有95%的样本均值会落在距μ的两个标准误差范围内，即约有95%的样本均值所构造的两个标准误差的区间会包括μ。
在区间估计中，由样本统计量所构造的总体参数的估计区间，称为置信区间，区间的最小值为置信下限，最大值为置信上限。
例如，抽取了1000个样本，根据每个样本构造一个置信区间，其中有95％的区间包含了真实的总体参数，而5%的没有包括，则称95％为置信水平／置信系数。
构造置信区间时，可以用所希望的值作为置信水平，常用的置信水平是90％，95％，99％，见下表：α称为显著性水平，表示用置信区间估计的不可靠的概率，1-为置信水平。
如何解释置信区间：如用95%的置信水平得到某班学生考试成绩的置信区间为（60，80），即在多次抽样中有95%的样本得到的区间包含了总体真实平均成绩，（60，80）这个区间有95%的可能性属于这些包括真实平均成绩的区间内的一个。
统计学总体参数估计ppt课件
统计推断的过程
样本
总体
样本统计量 如：样本均值、比例、方差
总体均值、比例、方差等
*
第六章 总体参数估计
第一节 参数估计的一般问题 一、估计量与估计值 用来估计总体参数的统计量的名称，称为估计量，用符号 表示。 用来估计总体参数时计算出来的估计量的具体数值，称为估计值。 (例：样本均值80就是估计值）
第六章 总体参数估计
第一节 参数估计的一般问题 第二节 一个总体参数的区间估计 第三节 两个总体参数的区间估计 第四节 样本容量的确定
*
第六章 总体参数估计
参数估计在统计方法中的地位
参数估计
假设检验
统计方法
描述统计
推断统计
*
第六章 总体参数估计
*
第六章 总体参数估计
第三节 两个总体参数的区间估计 一、两个总体均值之差的区间估计 二、两个总体比例之差的区间估计 三、两个总体方差比的区间估计
*
第六章 总体参数估计
两个总体参数的区间估计
总体参数
符号表示
样本统计量
均值之差
比例之差
方差比
*
第六章 总体参数估计
*
第六章 总体参数估计
例题：一家保险公司收集到由36投保人组成的随机样本，得到每个投保人的年龄数据如表所示。试建立投保人年龄90%的置信区间。样本标准差: 表：36个投保人年龄的数据 S=
23
35
39
27
36
44
36
42
46
43
31
33
42
53
45
54
*
第六章 总体参数估计
【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布。以95%的置信水平建立该种食品重量方差的置信区间
样本
总体
样本统计量 如：样本均值、比例、方差
总体均值、比例、方差等
*
第六章 总体参数估计
第一节 参数估计的一般问题 一、估计量与估计值 用来估计总体参数的统计量的名称，称为估计量，用符号 表示。 用来估计总体参数时计算出来的估计量的具体数值，称为估计值。 (例：样本均值80就是估计值）
第六章 总体参数估计
第一节 参数估计的一般问题 第二节 一个总体参数的区间估计 第三节 两个总体参数的区间估计 第四节 样本容量的确定
*
第六章 总体参数估计
参数估计在统计方法中的地位
参数估计
假设检验
统计方法
描述统计
推断统计
*
第六章 总体参数估计
*
第六章 总体参数估计
第三节 两个总体参数的区间估计 一、两个总体均值之差的区间估计 二、两个总体比例之差的区间估计 三、两个总体方差比的区间估计
*
第六章 总体参数估计
两个总体参数的区间估计
总体参数
符号表示
样本统计量
均值之差
比例之差
方差比
*
第六章 总体参数估计
*
第六章 总体参数估计
例题：一家保险公司收集到由36投保人组成的随机样本，得到每个投保人的年龄数据如表所示。试建立投保人年龄90%的置信区间。样本标准差: 表：36个投保人年龄的数据 S=
23
35
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42
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43
31
33
42
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45
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*
第六章 总体参数估计
【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布。以95%的置信水平建立该种食品重量方差的置信区间
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解： （1）矩估计
E(x) 0xexdx1
解得矩估计量为 ˆ 1 X
5
2. 设总体服从指数分布 X ~ e() ， 取一个样本为 X1, X2, , Xn ，求 矩估计量和最大似 然估计量.
解：（2）似然函数为：
n
n
L() exin exi
i1
i1
n
lnL()nlnxi i1
令dlndL ()ni n1xi 0
极大似然估计值为： ˆ 1 X
6
3. 设总体 X 服从 0-1 分布 B(1, p)，这里 0 p 1. 现从总体中抽取了一个样本 X1,, X n ，
试求 p 的极大似然估计量.
n
n
解：似然函数为： L (p)n pxi(1p)1xi p i1xi(1p)n i1xi
i1
n
n
lnL (p)( xi)pn xiln (1p)
i 1
i 1
n
令dlnL(p) n
dp
i1
xi
n xi i1
1p
0
得 p的极大似然估计值为：pˆ X
7
4. 设 X ~ U (a,b) ，一个样本为 X1, X 2, , X n ，求参数 a, b 的矩估计量.
解：
b1
1b 2 a 2 a b
E (x )x d x
a b a b a 2 2
4. 设 总 体 X ~ P() ， 其 中 0 是 未 知 参 数 ， X1, , X n 是 X 的 一 个 样 本 ， 则 的 矩 估 计量
为 ˆ X ，极大似然估计为 ˆ X
。
2
二、计算题
1. 设总体服从几何分布: PX x p1 p x1 , x 1,2,3. 如果取得样本观测值为 x1 , x2 ,, xn , 求
xe a 1 x ia i
i 1
i 1
n
n
lnL ()n ln (a)(a 1 ) lnx i x ia
i 1
i 1
dlnL() n n
d
i1
xia
0
最大似然估计值为
ˆ
n
n
x
a i
i1
13
8. 设 ˆ1 和 ˆ2 为参数 的两个独立的无偏估计量，且假定 Dˆ1 2Dˆ2 ，求常数 c 和 d ，使 ˆ cˆ1 dˆ2 为 的无偏估计，并使方差 Dˆ 最小.
4X 2
8
5. 设总体 X 的概率密度为
x 1, 0 x 1,
f (x, ) 0,
其它.
其中 0，如果取得样本观测值为 x1, x2, , xn ，求参数 的矩估计值和最大似然估计值.
解 (1) 矩估计法
E(x)0 1xx1dx1
参数θ的矩估计值为
ˆ X 1 X
9
5. 设总体 X 的概率密度为
x 1, 0 x 1,
f (x, ) 0,
其它.
其中 0，如果取得样本观测值为 x1, x2, , xn ，求参数 的矩估计值和最大似然估计值.
解 (2) 最大似然估计,似然函数为
n
n
L() xi1n( xi)1
i1
i1
n
lnL()nln(1)lnxi i1
令 dln d L ()1(1)i n1lnxi 0
参数 p 的矩法估计量和极大似然估计。
(1) EX mp(1p)m1 p m(1p)m1
m1
m1
而 qm q
m1
1q
∴
mqm1
1
1
m1
(1q)2 p2
∴ EX 1 p
令
1
p
1n n i1 X i
X
得
p的矩估计值为：pˆ
1 x
3
n
(2)
似然函数为：L(p)
n
p(1 p)xi1
2. 若未知参数 的估计量是 ，若 E(ˆ)
i 1
称 是 的无偏估计量。设 1, 2 是未知参数 的两个
无偏估计量，若 D( ˆ1)D( ˆ2) 则称 1 较 2 有效。
3. 对任意分布的总体，样本均值 X 是
总体均值 E(X)
是 总体方差 D(X) 的无偏估计量。
的无偏估计量。样本方差 S 2
xi n pn(1 p)i1
i1
ln L(p)nln pln 1 (p) n xin
n
i1
令dlnL(p)
n
i1
xi
n 0
dp p 1p
得
p的极大似然估计值为：pˆ
1 x
4
2. 设总体服从指数分布 X ~ e() ， 取一个样本为 X1, X2, , Xn ，求 矩估计量和最大似 然估计量.
E (x 2 )b x 2 1d x 1b 3 a 3 a 2 a b b 2
a b a b a3
3
按矩法得方程组 a b 1 n
2 n i1 xi
a 2 ab
3
b2
1 n
n i1
x
2 i
解得矩估计量为
aˆ 2 X
3 n
n i1
x
2 i
4X
2
bˆ
3 n
n i1
x
2 i
令
E(X2)1 n ni1
Xi2
22
参数θ的矩估计值为
ˆ
1 n
n i 1
xi2
11
(2)最大似然估计法
似然函数
n
L()
i1
1
xi
e
2
1 n
1 i1
xi
2 e n
ln L () n ln 2ln 1i n 1xi
dld n L ()n12i n1xi 0
参数θ的最大似然估计值为
最大似然估计为： ˆ n n
ln xi
i1
10
6. 设总体X 服从拉普拉斯分布：f(x;)21ex, x ,
其中 0. 如果取得样本观测值为 x1,x2, ,xn,求参数θ
的矩估计值与最大似然估计值.
解 (1) 矩估计法
E(X2)21
x
x2edx 1
x
x2e dx
0
2 0x2exdx 2(3) 22
解 由题意得 cd1
D (ˆ)(2c2d2)D (ˆ2)
即要求 2c2 d2 达到最小值
从而解得
c 1 ,d 2 . 33
14
9、设 n 个随机变量
X 1，X 2 ，…，X n
ˆ
1 n
n
i 1
xi
12
7、设总体
X
的概率函数为
p( x; )
axa1exa 0
x x
0 ，其中
0
0
是未知参数，a
0
是已知常数，
试
根据
来自
总体
X
的
简单
随机
样本
X
1
,
X
2
,
X
n
，
求
的Hale Waihona Puke 最大似然估计量
^
解：最大似然估计法
n
n
似然函数 L ()
a x ia 1 e x ia(a )n
第六章 参数估计
概率论与数理统计作业15（§6.1） 概率论与数理统计作业16（§6.2～§6.5）
1
概率论与数理统计作业15（§6.1）
一、填空题
n
1.
若 X 是离散型随机变量，分布律是 P{X x} P(x; ) ，（ 是待估计参数），则似然函数
i 1
p
(
xi
,
)
，
n
X 是连续型随机变量，概率密度是 f (x; ) ，则似然函数是 f (xi , 。)
E(x) 0xexdx1
解得矩估计量为 ˆ 1 X
5
2. 设总体服从指数分布 X ~ e() ， 取一个样本为 X1, X2, , Xn ，求 矩估计量和最大似 然估计量.
解：（2）似然函数为：
n
n
L() exin exi
i1
i1
n
lnL()nlnxi i1
令dlndL ()ni n1xi 0
极大似然估计值为： ˆ 1 X
6
3. 设总体 X 服从 0-1 分布 B(1, p)，这里 0 p 1. 现从总体中抽取了一个样本 X1,, X n ，
试求 p 的极大似然估计量.
n
n
解：似然函数为： L (p)n pxi(1p)1xi p i1xi(1p)n i1xi
i1
n
n
lnL (p)( xi)pn xiln (1p)
i 1
i 1
n
令dlnL(p) n
dp
i1
xi
n xi i1
1p
0
得 p的极大似然估计值为：pˆ X
7
4. 设 X ~ U (a,b) ，一个样本为 X1, X 2, , X n ，求参数 a, b 的矩估计量.
解：
b1
1b 2 a 2 a b
E (x )x d x
a b a b a 2 2
4. 设 总 体 X ~ P() ， 其 中 0 是 未 知 参 数 ， X1, , X n 是 X 的 一 个 样 本 ， 则 的 矩 估 计量
为 ˆ X ，极大似然估计为 ˆ X
。
2
二、计算题
1. 设总体服从几何分布: PX x p1 p x1 , x 1,2,3. 如果取得样本观测值为 x1 , x2 ,, xn , 求
xe a 1 x ia i
i 1
i 1
n
n
lnL ()n ln (a)(a 1 ) lnx i x ia
i 1
i 1
dlnL() n n
d
i1
xia
0
最大似然估计值为
ˆ
n
n
x
a i
i1
13
8. 设 ˆ1 和 ˆ2 为参数 的两个独立的无偏估计量，且假定 Dˆ1 2Dˆ2 ，求常数 c 和 d ，使 ˆ cˆ1 dˆ2 为 的无偏估计，并使方差 Dˆ 最小.
4X 2
8
5. 设总体 X 的概率密度为
x 1, 0 x 1,
f (x, ) 0,
其它.
其中 0，如果取得样本观测值为 x1, x2, , xn ，求参数 的矩估计值和最大似然估计值.
解 (1) 矩估计法
E(x)0 1xx1dx1
参数θ的矩估计值为
ˆ X 1 X
9
5. 设总体 X 的概率密度为
x 1, 0 x 1,
f (x, ) 0,
其它.
其中 0，如果取得样本观测值为 x1, x2, , xn ，求参数 的矩估计值和最大似然估计值.
解 (2) 最大似然估计,似然函数为
n
n
L() xi1n( xi)1
i1
i1
n
lnL()nln(1)lnxi i1
令 dln d L ()1(1)i n1lnxi 0
参数 p 的矩法估计量和极大似然估计。
(1) EX mp(1p)m1 p m(1p)m1
m1
m1
而 qm q
m1
1q
∴
mqm1
1
1
m1
(1q)2 p2
∴ EX 1 p
令
1
p
1n n i1 X i
X
得
p的矩估计值为：pˆ
1 x
3
n
(2)
似然函数为：L(p)
n
p(1 p)xi1
2. 若未知参数 的估计量是 ，若 E(ˆ)
i 1
称 是 的无偏估计量。设 1, 2 是未知参数 的两个
无偏估计量，若 D( ˆ1)D( ˆ2) 则称 1 较 2 有效。
3. 对任意分布的总体，样本均值 X 是
总体均值 E(X)
是 总体方差 D(X) 的无偏估计量。
的无偏估计量。样本方差 S 2
xi n pn(1 p)i1
i1
ln L(p)nln pln 1 (p) n xin
n
i1
令dlnL(p)
n
i1
xi
n 0
dp p 1p
得
p的极大似然估计值为：pˆ
1 x
4
2. 设总体服从指数分布 X ~ e() ， 取一个样本为 X1, X2, , Xn ，求 矩估计量和最大似 然估计量.
E (x 2 )b x 2 1d x 1b 3 a 3 a 2 a b b 2
a b a b a3
3
按矩法得方程组 a b 1 n
2 n i1 xi
a 2 ab
3
b2
1 n
n i1
x
2 i
解得矩估计量为
aˆ 2 X
3 n
n i1
x
2 i
4X
2
bˆ
3 n
n i1
x
2 i
令
E(X2)1 n ni1
Xi2
22
参数θ的矩估计值为
ˆ
1 n
n i 1
xi2
11
(2)最大似然估计法
似然函数
n
L()
i1
1
xi
e
2
1 n
1 i1
xi
2 e n
ln L () n ln 2ln 1i n 1xi
dld n L ()n12i n1xi 0
参数θ的最大似然估计值为
最大似然估计为： ˆ n n
ln xi
i1
10
6. 设总体X 服从拉普拉斯分布：f(x;)21ex, x ,
其中 0. 如果取得样本观测值为 x1,x2, ,xn,求参数θ
的矩估计值与最大似然估计值.
解 (1) 矩估计法
E(X2)21
x
x2edx 1
x
x2e dx
0
2 0x2exdx 2(3) 22
解 由题意得 cd1
D (ˆ)(2c2d2)D (ˆ2)
即要求 2c2 d2 达到最小值
从而解得
c 1 ,d 2 . 33
14
9、设 n 个随机变量
X 1，X 2 ，…，X n
ˆ
1 n
n
i 1
xi
12
7、设总体
X
的概率函数为
p( x; )
axa1exa 0
x x
0 ，其中
0
0
是未知参数，a
0
是已知常数，
试
根据
来自
总体
X
的
简单
随机
样本
X
1
,
X
2
,
X
n
，
求
的Hale Waihona Puke 最大似然估计量
^
解：最大似然估计法
n
n
似然函数 L ()
a x ia 1 e x ia(a )n
第六章 参数估计
概率论与数理统计作业15（§6.1） 概率论与数理统计作业16（§6.2～§6.5）
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概率论与数理统计作业15（§6.1）
一、填空题
n
1.
若 X 是离散型随机变量，分布律是 P{X x} P(x; ) ，（ 是待估计参数），则似然函数
i 1
p
(
xi
,
)
，
n
X 是连续型随机变量，概率密度是 f (x; ) ，则似然函数是 f (xi , 。)