《数学物理方法》第十二章_10-2008级

耐心+坚持+努力 ≈成功
第十二章 积分变换法
积分变换法是物理学与其他应用科 学中求解数学物理方程的一种重要 方法， 它适用于求解无界区域及 半无界区域的定解问题。
积分变换法是
通过对数理方程的积分变换，减少自变量的 个数，直至化为常微分方程，使求解问题大 为简化。
此外，积分变换法还可以用来计算定积分， 求解常微分方程和积分方程．
42
7.卷积定理
函数f1(x)与f2(x)的卷积定义为
f1(x)与f2(x)卷积的傅里叶变换为
(12.1.37)
卷积定理将函数f1(x)和f2(x)的卷积运算，化为
的
乘积运算， 使计算得到简化
h
43
证明 由傅里叶变换的定义出发，随后交换积
分次序，并应用延迟定理(12.1.19)，便有
因F[f2(x)]仅为k的函数，可提出积分号外， 式(12.1.37)得证
h
29
【例12.1.4 】试证明
解 题设的积分不易直接计算。考虑到 是奇函数，
由傅里叶正弦变换的定义
可见，只要证明
, 也即证明e-k满
足傅里叶正弦逆变换(见式(12.1.20)
则本题得证
h
30
实际上，通过两次分部积分可证，留给读者 作为练习．
h
31
4. d函数的傅里叶展开
d函数可以表示为指数函数与三角函数的傅里 叶积分
(2) 求像函数
及与式(12.2.15)对应的齐
次常微分方程的通解
h
65
通解为
采用常数变易法，设式(12.2.15)的通解为
将式(12.2.17)代入式(12.2.15)，可得C(k,t)满 足的方程
将全式的 t 改为 t ，两边乘以exp( k2a2t ) 后 对t 从0到 t 积分，便有
非周期函数没有这个性质，但可认为它
是周期2l→ ㆀ的“周期函数”，从而可以 由式 (12.1.4)和式(12.1.6)出发，利用l→
ㆀ, 把符合一定条件的非周期函数展开 为傅里叶积分．
h
15
可以证明①，如果定义在(-ㆀ,ㆀ)的函数f(x) , 在任一有限区间上满足狄利克雷条件，且绝
对可积 = [
本章介绍应用最广的傅里叶变换法及拉普拉 斯变换法。
h
3
§12. 1 傅里叶变换
本节介绍傅里叶级数、傅 里叶积分、傅里叶变换和 傅里叶变换的性质。
§12.1.1 傅里叶级数和复数形式的傅里叶级数
1.傅里叶级数 一个以 2l 为周期的函数f (x)，若在区间[-l, l]
上满足狄利克雷条件（即连续或有有限个第 一类间断点，并只有有限个极大值和极小 值），则在[-l, l ]上可展开为傅里叶级数
h
44
8.像函数的卷积定理
证明 由傅里叶变换定义出发，随后交换积分 次序，再利用卷积定义，便有
h
45
前面证明应用了卷积的交换律(见习题12.1.10)
h
46
9.乘积定理
若f1(x)和f2(x)是x的实函数，则
(12.1.39)
证明 利用傅里叶逆ห้องสมุดไป่ตู้换的定义，交换积分 次序及
h
47
第二式同理可证．
有界 ]，则在f(x)的连
续点处，傅里叶积分存在
在f(x)的第一类间断点处，积分等于
这称为傅里叶积分定理．
h
16
现在将傅里叶级数过渡到傅里叶积分．
由于l→ ㆀ, 相邻两kn，值之差为
将式(12.1.6)与式(12.1.8)代入式(12.1.4)，得Cn
1/l
后式利用了定积分的定义，上式就是傅里叶 积分式(12.1.7).
它可由式(12.1.1)导出，为此令kn=n/l,则
h
13
用e-iknx乘上式两边，再对x从-l到l积分, 利用
进行求和之后，将所得公式的哑指标m全部 改用n表示，即得展开系数
h
14
§12.1.2 傅里叶积分
1. 傅里叶积分和傅里叶积分定理
周期函数的性质是f(x+2l)=f(x), x每增大 2l，函数值就有一次重复;
若f(x)为偶函数，记作fC(x) ，代入式(12.1.12)
和式(12.1.13)，由被积函数的奇偶性易见
B(k)=0，将A(k)记作
。 将结果代入式
(12.1.11)，并采用记号
上两式称为傅里叶余弦变换及其逆变换．
h
25
3. 三维傅里叶变换
正如由式(12.1.7)可以得到式(12.1.14)， 式(12.1.15)一样，由式(12.1.10)可得
h
39
5.微分定理
证明 由定义及分部积分法可得
(12.1.34)
h
40
为了计算F[f "(x)]，设 g(x) = f '(x)，由
两次利用式(12.1.34)，即有 F[f "(x)] = F[g'(x)] = ikF[g(x)] = ikF[f '(x)] = (ik)2F[f (x)]
解 设 解题的步骤分三步：
(1)作积分方程的傅里叶变换。由卷积的定义
用卷积定理，将积分方程的傅里叶变换写成
h
51
由例12.1.1的F[e-|x|]=1/(1+k2)以及例12.1.2的 ，可得
(2)求解像函数 ，由上式易见
(3)作傅里叶逆变换(反演)
为了计算方便，利用微分定理(12.1.33)及例 12.1.2的结论，可将式(12.1.44)写成
h
26
【例12.1.1】求 的傅里叶变换
解
h
27
【例12.1.2】求f(x)=exp[2ax2] 的傅里叶 变换，其中a为正数
解 由傅里叶变换的定义出发，并利用 4.2节例4.2.7 的结果，便有
h
28
【例12.1.3】求单位阶跃函数H(x-a) = 的傅里叶变换(a≥0)
解 由定义
由于积分不收敛, 故单位阶跃函数的傅里叶变 换不存在. 为改善其收敛性质, 考虑函数(b＞0)
h
5
h
6
h
7
h
8
h
9
h
10
sin cos 1[sin( )-sin( -)]
2
l sin n xcosk xdx l 1[sin(k n) x-sin (k -n) x]dx
-l l
l
-l 2
l
l
-
1 2
(k
l
n)
cos(k
n)
l
x
l -l
1 2
(k
l
- n)
cos(k
- n)
h
19
h
20
§12.1.3 傅里叶变换
1.傅里叶变换的定义
在傅里叶积分公式(12.1.7)中，令
这表明 f(x)与 ~f (k)是互相对应的： f(x)描述的
物理问题，也可以等效地用 ~f (k)来描述．
h
21
从数学上讲，函数f(x)与 ~f (k) 的关系就是一 个积分变换的关系．我们称 ~f (k) 为f(x)的傅 里叶变换，记作 ~f (k) = F[f(x)]，即
故 F[f(u)]=F[f(x)] (12.1.30)
h
37
3.位移定理
设ko为任意常数，则(见习题12.1.9)
h
38
4.相似定理
设a为不等于零的常数，则
证明 令u=ax，分别讨论a>0与a<0两种情形
注意当a<0时，由于u与x反号，故积分限要变 号．综合上述两式，即有式(12.1.32)
C组
1. 12.1.3 2. 12.1.6 3. 12.1.10
h
56
§12.2 傅里叶变换法
傅里叶变换法广泛地应用于求解无 界区域的定解问题中．求解步骤为 ①对定解问题作傅里叶变换； ②求像函数； ③对像函数作傅里叶逆变换, 得解
对于半无界区域的定解问题
可采用傅里叶正弦变换(第一类边界条件)， 或傅里叶余弦变换(第二类边界条件)；也可 将边界条件齐次化后，采用延拓法，最后用 傅里叶变换求解．
证明 令f(x)=d (x-x’)代入式(12.1.14), 得 将上式代入式(12.1.15) 即有
(12.1.25b)
h
32
利用欧拉公式及奇函数的积分性质，可得
式(12.1.25a)的三维形式为
这几个d公式[(12.1.25)和 (12.1.26)]在量 子力学中有着广泛的应用
h
33
§12.1.4 傅里叶变换的性质
为书写简单起见，将采用简写符号
h
58
【例12.2.1】求解无界弦振动方程的初值问 题
解 (1)对方程及初始条件作傅里叶变换
h
59
第一式利用x与t是独立变量，可交换积分与 微分的次序，第二式利用微分定理，由此得 带参数k的常微分方程的初值问题
h
60
(2)求像函数
方程(12.2.4)的通解为
继续往下作，即可得式(12.1.33) 微分定理将对f (x)的n 阶导数运算化为对
的乘积运算，从而把求解常微 分方程的问题化为求解代数方程的问题(见 12.2节的例题)，使计算得到简化．
h
41
6.积分定理
若f(x)满足微分定理的条件，则
证明 利用 则
及微分定理，
两边除以ik，定理得证
h
将式(12.2.6)代入式(12.2.5)，可得
将式(12.2.7)与式(12.2.8)联立，解出C1与C2后 代入式(12.2.6) ，可得
(12.2.9)
h
61
(3)作像函数应
的傅里叶逆变换
第一、三项应用延迟定理 作傅里叶逆变换得
h
(12.2.10)
62
第二、四项应用延迟定理和积分定理
h
66
将C(k,t) 代入式(12.2.17) 可得
在式(12.2.18)中令 t = 0 得 再与式(12.2.16)联立得 代入式(12.2.18)即有
(12.2.18)
h
67
(3)作像函数的傅里叶逆变换
h
68
利用奇,偶函数的性质及定积分公式(例4.2.7)p90
作傅里叶逆变换得 将式(12.2.11)与式(12.2.12)代入式(12.2.10), 得
这个结果与行波法结果相同．
h
63
回顾解题过程，傅里叶变换法的解题步 骤如图12.1所示
图12.1
h
64
§12.2.2 热传导方程的定解问题
【例12.2.2】求无界杆的热传导问题
解 (1) 对方程及初始条件作傅里叶变换
h
17
2. 三维形式的傅里叶积分
现在，将傅里叶积分由一维推广到三维
采用矢量记号
则式(12.1.9)可写成
h
18
3. 傅里叶积分的三角形式
由式(12.1.7)出发，交换积分次序，并利 用欧拉公式可得
被积函数的正弦项是k的奇函数，对k的 积分为零；余弦项是k的偶函数，为(0, ㆀ)积分值的2倍。故
数c(x, t)的傅里叶变换。
h
23
2.傅里叶的正弦变换和余弦变换
若f(x)为奇函数，记作fs(x) ，代入式(12.1.12)
和式(12.1.13)，由被积函数的奇偶性易见
A(k)=0，将B(k)记作
。 将结果代入式
(12.1.11)，并采用记号
上两式称为傅里叶正弦变换及其逆变换．
h
24
2.傅里叶的正弦变换和余弦变换
l
x
l -l
0
h
11
§12.1.1 傅里叶级数和复数形式的傅里叶级数
1.傅里叶级数 一个以 2l 为周期的函数f (x)，若在区间[-l, l]
上满足狄利克雷条件（即连续或有有限个第 一类间断点，并只有有限个极大值和极小 值），则在[-l, l ]上可展开为傅里叶级数
h
12
2.复数形式的傅里叶级数
假定下面需要取傅里叶变 换的函数，均满足傅里叶 变换的条件．
1.线性定理
若a1 、a2为任意常数，则对任意函数f1(x)
及f2(x) ，有
h
35
证明 由定义出发
h
36
2.延迟定理
设x0为任意常数，则
证明由定义出发，令u=x-x0可得
由式(12.1.16)可见,F[f(x)]仅为k的函数，与x 无关(x是定积分的积分变量)
傅里叶正弦变换与余弦变换的乘积定理见习 题12.1.7
h
48
10.帕塞瓦尔(Parseval)等式
特别是 证明 将
代入式 (12.1.40)左边，交换积分次序后应用d 函数的傅里叶展开式，便有
h
49
帕塞瓦尔等式在辐射问题中有着广泛的应用，如
计算切连科夫辐射的电磁能流密度时就会用到
h
50
【例12.1.5】 求解积分方程
称f(x)是 ~f (k) 的傅里叶逆变换，这个运算称
为反演，记作
，即
通常还把 ~f (k) 称为f(x)的像函数，把 f(x) 称 为 ~f (k) 的像原函数．
h
22
由式(12.1.16)和式(12.1.17)可得， f(x)的 傅里叶变换的逆变换等于f(x)的自身，即
在量子力学中，粒子的状态是用波函数 来描述的．以粒子动量为自变量的波函 数c(p, t)就是以粒子坐标为自变量的波函
h
52
作傅里叶逆变换，并利用式(12.1.18)，即有
h
53
【例12.1.6】试利用傅里叶变换证明
证明 令
f1(x)与f2(x)的傅里叶变换分别为
h
54
由帕塞瓦尔等式
h
可得
55
作业- §12.1 第255-6页
A组
B组
1. 12.1.1 2. 12.1.4 3. 12.1.8
1. 12.1.2 2. 12.1.5 3. 12.1.9