初中几何辅助线大全(最全版)
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三角形中作辅助线的常用方法举例
一、延长已知边构造三角形:
分析:欲证 AD =BC ,先证分别含有AD ,BC 的三角形全等,有几种方案:△ADC 与△BCD ,△AOD 与△BOC ,△ABD 与△BAC ,但根据现有条件,均无法证全等,差角的相等,因此可设法作出新的角,且让此角作为两个三角形的公共角。
证明:分别延长DA ,CB ,它们的延长交于E 点, ∵AD ⊥AC BC ⊥BD (已知) ∴∠CAE =∠DBE =90° (垂直的定义) 在△DBE 与△CAE 中
∵⎪⎩
⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠)()()
(已知已证公共角AC BD CAE DBE E E
∴△DBE ≌△CAE (AAS )
∴ED =EC EB =EA (全等三角形对应边相等) ∴ED -EA =EC -EB 即:AD =BC 。
(当条件不足时,可通过添加辅助线得出新的条件,为证题创造条件。)
二 、连接四边形的对角线,把四边形的问题转化成为三角形来解决。
三、有和角平分线垂直的线段时,通常把这条线段延长。
分析:要证BD =2CE ,想到要构造线段2CE ,同时CE 与
∠ABC 的平分线垂直,想到要将其延长。 证明:分别延长BA ,CE 交于点F 。 ∵BE ⊥CF (已知)
∴∠BEF =∠BEC =90° (垂直的定义)
在△BEF 与△BEC 中,
1
9-图D
C
B
A
E
F 1
2
A
B
C
D
E
1
7-图O
∵ ⎪⎩
⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠)()
()
(21已证公共边已知BEC BEF BE BE ∴△BEF ≌△BEC (ASA )∴CE=FE=
2
1
CF (全等三角形对应边相等) ∵∠BAC=90° BE ⊥CF (已知)
∴∠BAC =∠CAF =90° ∠1+∠BDA =90°∠1+∠BFC =90° ∴∠BDA =∠BFC
在△ABD 与△ACF 中
⎪⎩
⎪
⎨⎧∠=∠∠=∠)()()(已知=已证已证AC AB BFC BDA CAF BAC
∴△ABD ≌△ACF (AAS )∴BD =CF (全等三角形对应边相等) ∴BD =2CE
四、取线段中点构造全等三有形。
分析:由AB =DC ,∠A =∠D ,想到如取AD 的中点N ,连接NB ,NC ,再由SAS 公理有△ABN ≌△DCN ,故BN =CN ,∠ABN =∠DCN 。下面只需证∠NBC =∠NCB ,再取BC 的中点M ,连接MN ,则由SSS 公理有△NBM ≌△NCM ,所以∠NBC =∠NCB 。问题得证。
证明:取AD ,BC 的中点N 、M ,连接NB ,NM ,NC 。则AN=DN ,BM=CM ,在△ABN 和△DCN
中 ∵ ⎪⎩
⎪⎨⎧=∠=∠=)()
()
(已知已知辅助线的作法DC AB D A DN AN ∴△ABN ≌△DCN (SAS )
∴∠ABN =∠DCN NB =NC (全等三角形对应边、角相等)
在△NBM 与△NCM 中
∵⎪⎩
⎪⎨⎧)()()
(公共边=辅助线的作法=已证=NM NM CM BM NC NB
∴△NMB ≌△NCM ,(SSS) ∴∠NBC =∠NCB (全等三角形对应角相等)∴∠NBC +∠ABN =∠NCB +∠DCN 即∠ABC =∠DCB 。
1
11-图D
C
B
A
M
N
巧求三角形中线段的比值
例1. 如图1,在△ABC中,BD:DC=1:3,AE:ED=2:3,求
AF:FC。
解:过点D作DG//AC,交BF于点G
所以DG:FC=BD:BC
因为BD:DC=1:3 所以BD:BC=1:4
即DG:FC=1:4,FC=4DG
因为DG:AF=DE:AE 又因为AE:ED=2:3
所以DG:AF=3:2
即所以AF:FC=:4DG=1:6
例2. 如图2,BC=CD,AF=FC,求EF:FD
解:过点C作CG//DE交AB于点G,则有EF:GC=AF:AC
因为AF=FC 所以AF:AC=1:2
即EF:GC=1:2,
因为CG:DE=BC:BD 又因为BC=CD
所以BC:BD=1:2 CG:DE=1:2 即DE=2GC
因为FD=ED-EF=所以EF:FD=
小结:以上两例中,辅助线都作在了“已知”条件中出现
的两条已知线段的交点处,且所作的辅助线与结论中出现的线段平行。请再看两例,让我们感受其中的奥妙!
例3. 如图3,BD:DC=1:3,AE:EB=2:3,求AF:FD。
解:过点B作BG//AD,交CE延长线于点G。
所以DF:BG=CD:CB
因为BD:DC=1:3 所以CD:CB=3:4
即DF:BG=3:4,
因为AF:BG=AE:EB 又因为AE:EB=2:3
所以AF:BG=2:3 即
所以AF:DF=
例4. 如图4,BD:DC=1:3,AF=FD,求EF:FC。
解:过点D作DG//CE,交AB于点G
所以EF:DG=AF:AD
因为AF=FD 所以AF:AD=1:2 图4
即EF:DG=1:2
因为DG:CE=BD:BC,又因为BD:CD=1:3,所以BD:BC=1:4
即DG:CE=1:4,CE=4DG
因为FC=CE-EF=
所以EF:FC==1:7
练习:
1. 如图5,BD=DC,AE:ED=1:5,求AF:FB。
2. 如图6,AD:DB=1:3,AE:EC=3:1,求BF:FC。
答案:1、1:10; 2. 9:1