完全平方公式变形讲解
完全平方公式12种变形公式
完全平方公式12种变形公式完全平方公式12种变形公式是一类经典的数学公式，也叫广义完全平方公式，它可以将表示为一元二次方程的某一种形式的不定方程都变形为一元二次方程，从而使求解方程变得更加容易。
它具有广泛的应用，如科学、工程等。
完全平方公式一共有12种，每一种都是由一元二次方程的左右两边变形得到的。
下面分别介绍它们的变形过程和形式：1. 令变形：即左边的方程可以变成 [x^2+2kx+k^2=(x+k)^2]，右边可以变形为 [ax^2+2kx+2x+k^2=ax^2+2kx+2x+k^2]。
2.方相加变形：即左边的方程可以变成[x^2+(2k+a)x+ka^2=(x+k)^2+a^2]，右边可以变形为[ax^2+(2k+a)x+ka^2=(x+k)^2+a^2]。
3.乘变形：即左边的方程可以变成 [x^2+2kxy+ky^2=(x+ky)^2]，右边可以变形为 [ax^2+2kxy+ky^2=(x+ky)^2]。
4.方相减变形：即左边的方程可以变成[x^2+(2k-a)x+ka^2=(x+k)^2-a^2]，右边可以变形为[ax^2+(2k-a)x+ka^2=(x+k)^2-a^2]。
5.项变形：即左边的方程可以变成[x^2+(2k+1)x+k^2-a=x^2+(2k+1)x-a+k^2]，右边可以变形为[ax^2+(2k+1)x+k^2-a=x^2+(2k+1)x-a+k^2]。
6.积变形：即左边的方程可以变成[(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab]，右边可以变形为[ax^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)]。
7. 乘积变形：即左边的方程可以变成[x^2+2abx+b^2=a^2(x+b)^2]，右边可以变形为[ax^2+2abx+b^2=a^2(x+b)^2]。
8.积变形：即左边的方程可以变成 [x^2-2abx+b^2=a^2(x-b)^2]，右边可以变形为 [ax^2-2abx+b^2=a^2(x-b)^2]。
完全平方公式变化形式
完全平方公式变化形式完全平方公式，这可是咱们数学学习中的“常客”！它的变化形式就像是孙悟空的七十二变，花样繁多但又有迹可循。
咱们先来说说完全平方公式的基本形态：(a+b)² = a² + 2ab + b²，(a - b)² = a² - 2ab + b²。
这两个公式大家应该都不陌生吧？但是，它的变化形式那才叫有趣呢！比如说，a² + b² = (a + b)² - 2ab ，这就像是把原本的公式“拆了重装”。
我记得之前有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个学生就一脸懵地问我：“老师，这变来变去的，到底有啥用啊？”我笑着回答他：“这用处可大了去啦！就好比你要盖房子，这公式就是你的建筑蓝图，不同的变化形式能帮你解决不同的问题。
”咱们就拿一个简单的例子来说。
假设小明有一块长方形的土地，长为 a + b 米，宽为 a - b 米，让咱们求这块土地的面积。
这时候，咱们就可以用完全平方公式的变化形式来解决。
面积就是 (a + b)(a - b) ，展开之后就是 a² - b²。
再比如，在代数运算中，经常会遇到化简式子的情况。
像化简 a² +6a + 9 ，咱们一眼就能看出来，这其实就是 (a + 3)²嘛。
还有在求解方程的时候，完全平方公式的变化形式也能大显身手。
比如 x² + 4x - 5 = 0 ，咱们通过配方，可以把它变成 (x + 2)² - 9 = 0 ，这样是不是就好解多啦？总之，完全平方公式的变化形式在数学的世界里就像是一把万能钥匙，能打开各种难题的锁。
咱们在学习这些变化形式的时候，可不能死记硬背，得理解着来。
多做几道练习题，多琢磨琢磨其中的规律，慢慢地就能熟练掌握啦。
希望同学们都能跟完全平方公式的变化形式成为好朋友，让它帮助咱们在数学的海洋里畅游，攻克一个又一个难题！。
完全平方公式的变形及其应用
完全平方公式的变形及其应用完全平方公式的变形及其应用多项式乘法的完全平方公式的变形形式很多，且应用广泛。
下面结合例题，介绍完全平方公式的变形及其应用。
一、变式1：$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$这是因为：由$(a+b)=a^2+b^2+2ab$，移项，得$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$。
例1：已知$x+y=5$，$xy=2$，求下列各式的值：（1）$x^2+y^2$；（2）$x^4+y^4$。
解：由变式1，得（1）$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=5^2-2\times2=21$；（2）$x^4+y^4=\left(x^2+y^2\right)^2-2x^2y^2=21^2-2\times4=433$。
二、变式2：$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$这是因为：由$(a-b)=a^2-2ab+b^2$，移项，得$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$。
例2：已知$a-\sqrt{11}=5$，求$a^2+11$的值。
解：由变式2，得$a^2+11=\left(a-\sqrt{11}\right)^2+2\sqrt{11}=5^2+2\sqrt{11}=27$。
三、变式3：$ab=\dfrac{1}{2}\left(2a+b-\sqrt{a^2+b^2}\right)$这是因为：由$(a+b)=a^2+b^2+2ab$，得$2ab=(a+b)-\left(a^2+b^2\right)$，两边同除以2，得$ab=\dfrac{1}{2}\left(2a+b-\sqrt{a^2+b^2}\right)$。
例3：已知$a+b=7$，$a^2+b^2=29$，求$ab$的值。
解：由变式3，得$ab=\dfrac{1}{2}\left(2a+b-\sqrt{a^2+b^2}\right)=\dfrac{1}{2}\left(2a+b-\sqrt{7^2-29}\right)=10$。
完全平方公式讲解
完全平方公式讲解完全平方公式是一种求解二次方程的方法，通常用于解决含有未知数的平方项和一次项的方程。
这个公式的公式表达形式为：$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$完全平方公式在数学中具有广泛的应用，可以用来解决一元二次方程、分解因式、证明等问题。
首先，我们可以考虑一个特殊的二次多项式：$$(x+a)^2$$这里，a 是一个常数。
根据分配律，我们可以展开该二次多项式：$$(x+a)(x+a)=x^2+ax+ax+a^2$$合并相同项得到：$$x^2+2ax+a^2$$我们可以观察到，这个二次多项式中的平方项（$x^2$）和常数项（$a^2$）是完全平方的结构。
而一次项的系数项（$2ax$）是两个a的乘积的两倍。
这就是所谓的完全平方。
根据以上的推导，我们得出了完全平方的一般形式。
接下来，我们将利用完全平方公式来解决一元二次方程的问题。
对于一元二次方程$$ax^2+bx+c=0$$其中a、b、c是已知实数常数。
我们将该方程两边移项，并利用一种变形技巧，将方程转化为完全平方的形式。
具体步骤如下：1. 将方程两边移项，使等式右边等于0，得到$$ax^2+bx=-c$$2.对于方程的左边，我们将其利用完全平方公式进行变形。
如果我们能找到一个常数k，使得左边可以变为$(x+k)^2$的形式，那么我们就可以利用完全平方公式直接求解。
3. 考虑到$(x+k)^2=x^2+2kx+k^2$，我们可以发现，当$b=2k$时，方程的左边可以写成完全平方形式。
4. 所以，我们可以得到方程$$ax^2+2kx+k^2=-c$$5.然而，我们不能直接将方程的右边变为k的平方形式，因为我们无法确切地知道k的值。
所以，我们需要做一个额外的变形。
6. 我们可以再次考虑方程的两边，得到$$ax^2+2kx+k^2+c=0$$7.现在，我们成功地将方程转化为一个完全平方的形式。
进一步观察，我们可以发现，左边的二次项是$x^2$的系数与$a$的乘积，一次项是$x$的系数与$2k$的乘积，常数项则是$k^2+c$。
完全平方公式8种变形
完全平方公式8种变形完全平方公式是数学中一个重要的公式，它可以帮助我们求解一元二次方程的解，进而解决一些实际问题。
在学习完全平方公式时，我们不仅要熟记其基本形式，还需要了解其一些变形，以便更灵活地应用于解题过程中。
下面将介绍完全平方公式的8种变形，希望对大家的学习有所帮助。
1. 标准形式变形：完全平方公式的标准形式是：(a+b)²=a²+2ab+b²。
我们可以将其变形为：a²= (a+b)²-2ab-b²，这种变形可以帮助我们从平方项和常数项中提取出待求解的项。
2. 差平方变形：我们可以将完全平方公式改写为：(a-b)²=a²-2ab+b²。
这种变形用于需要处理差平方的情况，可以减少计算过程中的错误。
3. 完全平方差变形：如果我们遇到一个二次方程的形式是a²-b²=0，可以利用完全平方公式的变形来求解。
变形后的形式为(a+b)(a-b)=0，我们可以得到a+b=0或a-b=0，从而求得方程的解。
4. 半平方变形：在一些问题中，我们可能会遇到一个二次方程的形式是a√x+b=0。
我们可以将其改写为：(√x)²=-(b/a)，通过对等式两边开方并得到x的值，从而解决问题。
5. 配方法变形：配方法是解决一元二次方程的一种常用方法，我们可以将完全平方公式进行配方法的变形。
变形后的形式是(a+b)²-c²=(a+b+c)(a+b-c)，通过将多项式相加相减从而得到解。
6. 两边取平方根变形：当我们遇到一个二次方程的形式为a²=c²时，可以将完全平方公式应用于此。
变形后的形式是：a=±√c²，通过对两边同时取平方根，我们可以得到a的值。
7. 合并同类项变形：在解决一些复杂的方程时，我们可能会遇到一些多项式的平方和。
我们可以将其中的一些同类项合并，从而简化计算过程。
完全平方公式的12种变形
完全平方公式的12种变形完全平方公式，这可是数学里相当重要的一块内容。
咱今天就来好好聊聊它那 12 种变形，保证让你大开眼界！记得我之前教过一个学生，叫小李。
这孩子吧，聪明是聪明，可就是对完全平方公式总是搞不明白。
有一次做作业，碰到一个用完全平方公式变形的题，他愣是半天没做出来，急得抓耳挠腮的。
我过去一看，发现他连基本的公式都没记熟。
咱们先来说说这完全平方公式：(a+b)² = a² + 2ab + b²，(a - b)² = a² - 2ab + b²。
这是最基础的形态，可别小看它们，从这基础出发，就能变出好多花样来。
第一种变形，(a + b)² - 2ab = a² + b²。
比如说，a = 3 ，b = 4 ，那 (3 + 4)² - 2×3×4 = 7² - 24 = 49 - 24 = 25 ，正好 3² + 4²也是 25 ，是不是很神奇？第二种变形，(a - b)² + 2ab = a² + b²。
还是刚才那数，(3 - 4)² +2×3×4 = (-1)² + 24 = 1 + 24 = 25 。
第三种变形，a² + b² = (a + b)² - 2ab 。
假设 a 是 5 ，b 是 6 ，(5 + 6)²- 2×5×6 = 121 - 60 = 61 ，5² + 6²也是 61 。
第四种变形，a² + b² = (a - b)² + 2ab 。
同样，a 取 5 ，b 取 6 ，(5 - 6)² + 2×5×6 = 1 + 60 = 61 。
谈谈完全平方公式的几种变形式
数学篇学思导引完全平方公式，即(a ±b )2=a 2+b 2±2ab .它是恒等变形中的常用公式之一，也是破解数学问题的重要利器.完全平方公式经过变形或重组可以衍生出新的公式.灵活运用这些公式，可以让我们在解题时更快捷.运用完全平方公式及其变形式解题时需注意以下几点：1.a 和b 可以是数，可以是式子；2.要有整体观念，即把某个数或式子看成a 或b ，再运用公式解题；3.注意运用变形公式，可以分别将a +b ，a -b ，a 2+b 2，ab 看成四个整体，若已知其中两个整体，则可以灵活运用公式及公式变形式求得另外两个整体.变形式1：a 2+b 2=(a +b )2-2ab =(a -b )2+2ab 由(a +b )2=a 2+b 2+2ab ，(a -b )2=a 2+b 2-2ab ，可以得到：a 2+b 2=(a +b )2-2ab =(a -b )2+2ab .例1设x >y >0，且x 2+y 2-7xy =0，则x +yy -x的值为________.分析：要想求出x +yy -x的值，需要先求出x +y ，y -x 的值.而结合已知条件可知，它们的值借助完全平方变形公式x 2+y 2=(x -y )2+2xy =(x +y )2-2xy 即可求出.解：因为x 222又x 2+y 2-7xy =0，所以(x +y )2-2xy -7xy =0，即(x +y )2=9xy .因为x >y >0，所以x +y >0，所以x +y =3xy .因为x 2+y 2=(x -y )2+2xy ，又x 2+y 2-7xy =0，所以(x -y )2+2xy -7xy =0，即(x +y )2=5xy .因为x >y >0，所以y -x <0，所以y -x =-5xy .所以x +y y -x =.评注：本题利用完全平方公式的变形式a 2+b 2=(a +b )2-2ab =(a -b )2+2ab ，分别求出x +y ，y -x 的值，再将其代入所求目标式中.在这一过程中，要特别注意x +y >0，y -x <0这一隐含条件.变形式2：(a +b )2=(a -b )2+4ab 因为(a -b )2=a 2+b 2-2ab ,所以有(a -b )2+4ab =a 2+b 2-2ab +4ab =a 2+b 2+2ab =(a +b )2.例2已知x -y =2，xy =3，则(x +y )4的值为_______.分析：要想求出(x +y )4的值，需要先对江苏省盐城市新洋初级中学洪婷婷27数学篇学思导引(x+y)4进行变形,(x+y)4实际上可以看作是(x+y)2的平方，而(x+y)2=(x-y)2+4xy，这样问题也就迎刃而解了.解：(x+y)4=[(x+y)2]2=[(x-y)2+4xy2]2=(22+4×3)2=256.评注：本题先通过变形，把目标式转化为平方式，再利用完全平方公式的变形式(a+b)2=(a-b)2+4ab求出其值.变形式3：(a-b)2=(a+b)2-4ab因为(a+b)2=a2+b2+2ab，(a+b)2-4ab=a2+b2+2ab-4ab=a2+b2-2ab=a-b2，所以有a-b2=(a+b)2-4ab.例3若a，b，c满足a-b=6，ab=-9-c2，则a+b+c的值为_____.分析：本题涉及a-b，ab，a+b，若能联想完全平方公式的变形式(a-b)2=(a+b)2-4ab，则可以化难为易.解：因为(a-b)2=(a+b)2-4ab，又a-b=4，ab=-8-c2，所以62=(a+b)2-4(-9-c2)，即(a+b)2+4c2=0，根据非负数的性质可知a+b=0，c=0，所以a+b+c=0.评注：本题利用(a-b)2=(a+b)2-4ab，得出(a+b)2+4c2=0，再结合非负数的性质求出a+b+c的值，从而使问题获解.变形式4：(a+b)2-(a-b)2=4ab，由(a+b)2=(a-b)2+4ab，(a-b)2=(a+b)2-4ab，这两个变形公式，可以得到(a+b)2-(a-b)2=4ab，即ab=14[(a+b)2-(a-b)2].例4已知(a+b)2=32,(a-b)2=20,则ab的值为_______.分析：本题出现了(a+b)2和(a-b)2，若能联想完全平方公式的变形式(a+b)2-(a-b)2=4ab，即可快速求出ab的值.解：因为(a+b)2-(a-b)2=4ab，所以ab=14[(a+b)2-(a-b)2]=14×(32-20)=3.评注：本题若按照常规思路先求出a、b的值，再求ab，则较为繁琐，而利用完全平方变形公式则可以化繁为简.变形式5：(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)因为(a+b)2=a2+b2+2ab，(a-b)2=a2+b2-2ab，所以(a+b)2+(a-b)2=2(a-b)2=2(a2+b2)，即a2+b2=12[(a+b)2+(a-b)2].例5已知a+b=8，则a2+b2的最小值为_________.分析：由a+b，a2+b2可以联想完全平方公式的变形式(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2).解：因为(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)，又a+b=8，所以a2+b2=12[(a+b)2+(a-b)2]=12[82+(a-b)2]=32+12(a-b)2.因为(a-b)2≥0，所以a2+b2≥32.即当a+b=8时，a2+b2的最小值为32.评注：本题利用(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)这一完全平方公式的变形式解题，使解题过程变得简捷明了.总之，在平时的学习中，同学们不仅要熟悉完全平方公式的结构特征，而且还要掌握它的变形和推广形式，并注意结合题目的结构特征，灵活运用完全平方变形公式.这将会给我们的解题带来意想不到的效果.28。
初中完全平方公式12种变形
初中完全平方公式12种变形在初中数学课中，完全平方公式一直是学习的重要内容。
它可以用来解决复杂的问题，它可以准确地表达一个问题，而且它有很多变形，其中有12种。
首先，完全平方公式的基本原理是，当一个多项式的项中存在平方项时，可以将其化简为完全平方公式的形式。
它的基本形式是x^2+2xy+y^2=a^2，其中a为一个实数。
其次，一元二次方程的12种变形分别是：（1）x^2+2xy+y^2=a^2；（2）x^2-2xy+y^2=a^2；（3）x^2+2xy-y^2=a^2；（4）x^2-2xy-y^2=a^2；（5）ax^2+2xy+y^2=b^2；（6）ax^2-2xy+y^2=b^2；（7）ax^2+2xy-y^2=b^2；（8）ax^2-2xy-y^2=b^2；（9）x^2+2axy+y^2=c^2；（10）x^2-2axy+y^2=c^2；（11）x^2+2axy-y^2=c^2；（12）x^2-2axy-y^2=c^2；然后，我们需要分析上述12种变形的特征和特点，以便于更好地理解其含义。
首先，这些变形有一个共性，即都是完全平方公式的形式，因此它们可以看作一类。
其次，它们的参数不同，例如，前四种的参数a、b、c都是实数，而后八种的参数a、b、c则是变量。
最后，这12种变形可以分为四类，即有系数a的变形，有常数b的变形，有变量c的变形，以及包含x和y的变形。
最后，要正确使用完全平方公式的12种变形，需要掌握其特征和使用方法。
首先，要明确它们的参数，例如有些是实数，而有些则是变量。
其次，要了解它们的共性和特点，例如上面提到的变形分为四类。
最后，要熟练掌握它们的解题方法，例如展开式的方法、变量的替换方法以及因式分解的方法。
这样，才能够更好地解决完全平方公式的12种变形，让自己更加深入地掌握这门学科知识。
总之，完全平方公式可以分为12种变形，它们有着自己的特征和特点，要正确使用它们，需要掌握其参数、共性和解题方法，这样才能更好地解决复杂的问题，为自己赢得一份好成绩。
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（2）已知x y 9, xy 8, 则x y ________ 。
2 2
（3）已知(x y ) 25, ( x y ) 16,
2 2
则xy ________ 。
则a 公式变形的应用 b ________ 。
2 2
（2）已知x y 9, xy 8, 则x y ________ 。
（2）已知， 4 x kxy 25 y 是完全平方式， 则k ___________ 。
2 4
(3)x 12 x m是完全平方式, 则m ____ 可以添加____________.
(4)请把4 x 1添加一项后是完全平方式
（2）已知， 4 x kxy 25 y 是完全平方式，
计算
①(a+b+3)2 ② (2x-y-1)2
三个数和的完全平方等于这三个数的平 方和，再加上每两数乘积的2倍。
练习
1.运用完全平方公式计算:
(1)(x+6)2; (2) (y-5)2;
(3) (-2x+5)2;
(4) (
x-
y)2.
（1）已知，x ax 16是完全平方式，
完全平方式 则a _______ 。
练习
1.运用完全平方公式计算:
(1)(x+6)2; (2) (y-5)2;
(3) (-2x+5)2;
(4) (
x-
y)2.
2 2 2 (a+b) =a +2ab+b 2 2 2 (a-b) =a -2ab+b
首平方，尾平方， 首尾2倍放中央
公式变形的应用
（1）已知a b 1, ab 2, 则a b ________ 。
2 2
（2）已知， 4 x kxy 25 y 是完全平方式， 则k ___________ 。 (3)x 12 x m是完全平方式, 则m _____ .
2
(4)请把4 x 1添加一项后是完全平方式，
4
可以添加____________.
更上一层
（3）如果x2+kx+25是完全平方式， （4）如果9x2-mxy+16y 2可化为一个
±24 整式的平方，则 m=_____.
完全平方式
完全平方式
完全平方式
证明：x, y不论是什么有理数, 多项式x +y 4 x 8 y 25的值
2 2
总是正数。并求出它的最小值。
完全平方式
2 2 2 2
（3）已知(x y ) 25, ( x y ) 16 则xy ________ 。
知识回顾：
什么是完全平方式？
2 2 1.式子a ±2ab+b 叫完全平方式
。
完全平方式
完全平方式
（1）已知，x ax 16是完全平方式，
2
则a _______ 。
2 2
2
则k ___________ 。
2 4பைடு நூலகம்
完全平方式
2
(3)x 12 x m是完全平方式, 则m _____ . (4)请把4 x 1添加一项后是完全平方式， 可以添加____________.
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
拓展思维
±5 则 k=_____.