小学五年级奥数高等难度练习题一

五年级奥数高等难度练习题一

平均数问题：（高等难度）

幼儿园有三个班，甲班比乙班多4人，乙班比丙班多4人，老师给小孩分枣，甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个枣，乙班每个小孩比丙班每个小孩少分5个枣，结果甲班比乙班共多分3个枣，乙班比丙班总共多分5个枣。问：三个班总共分了多少个枣？

平均数问题答案：

设丙班有x个小孩，那么乙班就有（x+4）个小孩，甲班有（x+8）个小孩。

乙班每个小孩比丙班每个小孩少分5个枣，那么x个小孩就少分5x个枣，而乙班比丙班总共多分5个枣，所以多出来的那4个小孩分了（5x+5）个枣。

同理：甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个枣，那么（x+4）个小孩就少分（3x+12）个枣。而甲班比乙班共多分3个枣，所以多出来的那4个小孩分了（3x+12+3）即（3x+15）个枣。

甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个枣，4个小孩就少3×4=12个枣，因此我们得到：5x+5=3x+15+12, 解得 x=11.

所以，丙班有11个小孩，乙班有15个小孩，甲班有19个小孩，甲班每人分12个枣，乙班每人分15个枣，丙班每人分20个枣。一共分了12×19+15×15+20×11=673个枣。

【小结】通过方程解决问题是常用的方法。

最值问题：（高等难度）

N是一个各位数字互不相等的自然数，它能被它的每个数字整除。N的最大值是。

最值问题答案：

N不能含有0，因为不能被0除。N不能同时含有5和偶数，因为此时N的个位将是0。如果含有5，则2，4，6，8都不能有，此时位数不会多。如果N只缺少5，则含有1，2，3，4，6，7，8，9，但是数字和为40，不能被9整除。所以必须再去掉一位，为了最大，应该保留9放到最高位，为了使数字和被9整除，还需要去掉4。此时由1，2，3，6，7，8，9

组成，肯定被9整除，还需要考虑被7和8整除。前四位最大为9876，剩下三个数字组成的被8整除的三位数为312，9876312被7除余5；前四位如果取9873，剩下三个数字组成的被8整除的三位数为216，9873216被7除余3；前四位如果取9872，剩下三个数字组成的被8

整除的三位数为136，9872136被7除余1；前四位如果取9871，剩下三个数字组成的被8整除的三位数为632，9871632被7除余1；前四位如果取9867，剩下三个数字组成的被8整除的三位数为312，9867312被7整除。

行程问题：（高等难度）

(2010年IMC 6年级复赛第22题，10分)"有的母牛比一般人具有更健全的头脑，"有一位农夫就曾这样认为，"瞧！有一天我的那头老家伙，有着斑纹的母牛正站在距离桥梁中心点5英尺远的地方，平静地注视着河水发呆，突然，他发现一列特别快车以每小时90英里的速度向它奔驰而来，此时，火车已经到达靠近母牛一端的桥头附近，只有两座桥长的距离了。母牛毫不犹豫，马上不失时机地迎着飞奔而来的火车作了一次猛烈冲刺，终于得救了。此时距离火车头只剩1英尺了，如果母牛按照人的本能，以同样的速度离开火车逃跑，那么母牛的屁股将有3英寸要留在桥上！"试问：桥梁的长度是多少？这只母牛狂奔的速度是多少？（1英尺=12英寸）

圆柱体答案：

观察可知，老母牛一开始在火车的中心的左端。在相遇过程中，火车走了：2个桥长-1英尺；母牛走了：0.5个桥长-5英尺；在追及过程中：火车走了：3个桥长-0.25英尺；母牛走了：0.5个桥长+4.75英尺。则在相遇和追及过程中：火车共走了5个桥长-1.25英尺；同样的时间，母牛走了1个桥长-0.25英尺。所以火车的速度是母牛狂奔时的5倍。母牛的速度为90÷5=18英里/小时。又根据2个桥长-1英尺=2.5个桥长-25英尺所以0.5个桥长=24英尺。1个桥长=48英尺。

圆柱体：（高等难度）

如图，一个有底无盖圆柱体容器，从里面量直径为10厘米，高为15厘米在侧面距离底面9厘米的地方有个洞．这个容器最多能装毫升水（π取3.14）

圆柱体答案：

解答：942

现在要求这个容器尽可能的多装一些水，则将圆柱适当的倾斜，可得新的圆柱的体积为：

毫升水。

约数倍数：（高等难度）

若 a , b , c 是三个互不相等的大于0的自然数，且a + b + c = 1155 ，则它们的最大公约数的最大值为，最小公倍数的最小值为，最小公倍数的最大值为

约数倍数答案：

解答：165、660、57065085

1) 由于a + b + c = 1155，而1155=3×5×7×11。令a=mp，b=mq，c=ms.m为a，b，c 的最大公约数，则p+q+s最小取7。此时m=165.

2) 为了使最小公倍数尽量小，应使三个数的最大公约数m尽量大，并且使A，B，C的最小公倍数尽量小，所以应使m=165，A=1，B=2，C=4，此时三个数分别为165，330，660，它们的最小公倍数为660，所以最小公倍数的最小值为660。

3) 为了使最小公倍数尽量小，应使三个数两两互质且乘积尽量大。当三个数的和一定时，为了使它们的乘积尽量大，应使它们尽量接近。由于相邻的自然数是互质的，所以可以令1155=384+385+386，但是在这种情况下384和386有公约数2，而当1155=383+385+387时，三个数两两互质，它们的最小公倍数为383×385×387=57065085，即最小公倍数的最大值为57065085。

定义新运算：（高等难度）

规定：A○B表示A、B中较大的数，A△B表示A、B中较小的数．

若（A○5＋B△3）×（B○5+ A△3）＝96，且A、B均为大于0的自然数

A×B的所有取值有个。

定义新运算答案：

共5种；

分类讨论，由于题目中所要求的定义新运算的符号是较大的数与较大的数，则对于A或者B有3类不同的范围，A小于3，A大于等于3，小于5，A大于等于5。对于B也有类似，两者合起来共有3×3=9种不同的组合，我们分别讨论。

1) 当A＜3，B＜3，则（5+B）×（5+A）=96=6×16=8×12，无解；

2) 当3≤A＜5，B＜3时，则有（5+B）×（5+3）=96，显然无解；

3) 当A≥5，B＜3时，则有（A+B）×（5+3）=96，则A+B=12.

所以有A=10，B=2，此时乘积为20或者A=11,B=1,此时乘积为11。

4) 当A＜3，3≤B＜5，有（5+3）×（5+A）=96，无解；