【全国市级联考】湖南省郴州市2017届高三第二次教学质量监测文数(解析版)

湖南省郴州市2017届高三第二次教学质量监测文数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 已知集合{}2124x A x +=≥，(){}2log 2B x y x ==-，则A B =（ ）A ．12x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭B ．{}2x x <C ．122x x x ⎧⎫≤>⎨⎬⎩⎭或 D ．122xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【答案】D考点：1.集合的表示；2.集合的运算. 2. 复数22iz i=-（i 为虚数单位）所对应的点位于复平面内（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】 试题分析：22(2)242(2)(2)55i i i z i i i i +===-+--+,所以复数22i z i =-（i 为虚数单位）所对应的点24(,)55Z -位于复平面内第二象限.考点：1.复数的运算；2.复数的几何意义.3. 从标有数字1，2，3的三个红球和标有数字2，3的两个白球中任取两个球，则取得两球的数字和颜色都不相同．．．．的概率为（ ） A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】B 【解析】试题分析： 从这五个球中任取两个球的基本事件有：（红1，红2），（红1，红3），（红1，白1），（红1，白2），（红2，红3）,（红2，白1）,（红2，白2）,（红3，白1）,（红3，白2）,（白1，白 2），共10个基本事件，其中两球的数字和颜色的都不相同基本事件有（红1，白2）, （红2，白1），（红3，白1）,（红3，白2）共4个基本事件，所以两球的数字和颜色的都不相同概率为42105P ==，故选B. 考点：古典概型.4. “2a =”是“函数()21f x x ax =++在区间[)1,-+∞上为增函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A考点：1.二次函数的性质；2.充分条件与必要条件.5. 已知双曲线221259x y -=的左右焦点分别为1F ，2F ，若双曲线左支上有一点M 到右焦点2F 距离为18，N 为2MF 的中点，O 为坐标原点，则NO 等于（ ）A ．23B ．1C ．2D ．4【答案】D 【解析】试题分析：由双曲线的定义可知12218108MF MF a =-=-=，由三角形中位线知识可知1142NO MF ==，故选D.考点：双曲线的定义、标准方程与几何性质.6. 函数()sin cos f x a x a c ωω=+（0a >，0ω>）的图象如图所示，则实数a 和ω的最小正值分别为（ ）A ．2a =，2ω=B ．2a =，1ω=C ．2a =，32ω=D ．2a =，12ω=【答案】C考点：三角函数的图象与性质.7. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为（ ）A．35B．20C．18D．9【答案】C考点：1.数学文化；2.程序框图.8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12B．18C．20D．24【答案】D【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为如下图所示的多面体ABC DEF -，它是由三棱柱ABC DGF -截去三棱锥E DGF -后所剩的几何体，所以其体积11134534324232V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=，故选D.4考点：三视图.9. 已知实数x ，y 满足不等式组21010x x y m x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，若目标函数2z x y =-+的最大值不超过4，则实数m 的取值范围是（ ） A．( B．⎡⎣C．⎡⎤⎣⎦D．⎡⎣【答案】D考点：线性规划.10. 函数223xx xy e-=的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】试题分析： 由2230x x ->得0x <或32x >，所以当0x <或32x >时，0y >，当302x <<时，0y <，排除B 、D ，又()()()222213(43)(23)273x xx xx x x x e x x e x x y e e e ------+-'===-，所以函数在区间1(,)2-∞,(3,)+∞上单调递减，在区间1(,3)2上单调递增，排除B ，故选A.考点：1.函数与函数图象；2.导数与函数的单调性.【名师点睛】本题考查.函数与函数图象、导数与函数的单调性，属中档题；由函数解析式确定函数的图象，首先要考虑函数的定义域，其次是研究函数的奇偶性、单调性、对称性等，再看函数是否过某些特殊点，还要注意函数图象变换特性（如平移、对称、伸缩变换等）. 11. 已知等比数列{}n a 的前n 项和2n n S a =-，则22212n a a a +++等于（ ）A ．()221n- B ．()1213n- C ．41n-D ．()1413n- 【答案】D考点：等比数列的性质与求和.【名师点睛】本题考查等比数列的性质与求和，属中档题；解本题需要掌握的知识点是等比数列的定义、等比数列的通项公式和等比数列的前n 项和公式，即等比数列的定义：1n na q a +=（常数），等比数列的通项公式：11n n a a q -=，前n 项和公式为11,1(1),11n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩.12. 已知关于x 的方程23ln 02x ax -+=有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．20,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．20,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．20,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．20,3e ⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】A 【解析】试题分析：设23()ln 2f x x ax =-+，则()f x 为偶函数，函数()f x 有4个零点等价于函数()f x 在区间(0,)+∞有两个零点.当0a <时，0x >时，函数2233()ln ln 22f x x ax x ax =-+=-+在区间(0,)+∞上单调递增，最多只有一个零点，由偶函数性质可知，有两个两个零点，不符合题意；所以0a >，当0x >时，2233()ln ln 22f x x ax x ax =-+=-+，2112()2ax f x ax x x -'=-=，由()0f x '>得0x <<，由()0f x '<得x >()f x在区间上单调递增，在区间)∞上单调递减，所以函数max ()1f x f ==+，函数()f x 在区间(0,)+∞上有两个零点等价于max()10f x =>，解之得202e a <<，故选A.考点：1.函数与方程；2.函数的奇偶性；3.导数与函数的单调性、极值、最值.【名师点睛】本题考查函数与方程、函数的奇偶性、导数与函数的单调性、极值、最值，属难题；高考对函数零点的考查多以选择题或填空题形式出现，根据函数零点或方程的根所在区间求参数的范围应分三步：1.判断函数的单调性；2.利用函数存在性定理，得到参数所满足的不等式；3.解不等式求参数范围.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知1a =，2b =，a 与b 的夹角为60︒，则2a b -=____________．考点：向量的模与向量的数量积. 14. 已知π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π4sin 45α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan α=____________． 【答案】17【解析】试题分析：因为π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以πππ,442α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，π3cos 45α⎛⎫+== ⎪⎝⎭，4tan()43πα+=，所以41tan[()tan1344tan tan[()]44471tan[()tan 1443ππαππααππα-+-=+-===+++. 考点：1.同角三角函数关系；2.三角恒等变换.15. 底面为正方形，顶点在底面的投影为底面中心的棱锥P ABCD -的五个顶点在同一球面上．若该棱锥的底面边长为4，侧棱长为，则这个球的表面积为____________．【答案】36π 【解析】试题分析：正四棱锥P ABCD -的外接球的球心在它的高1PO 上，11,4,4PO AO R PO OO R ====-，在1Rt AOO ∆中，228(4)R R =+-，解得3R =，所以球的表面积36S π=. 考点：1.球的切接问题；2.球的表面积.AC【名师点睛】本题考查球的切接问题与球的表面积，属中档题；球与旋转体的组合，通常通过作出它的轴截面解题；球与多面体的组合，通常通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.16. 已知抛物线C ：28y x =，点P 为抛物线上任意一点，过点P 向圆D ：22430x y x +-+=作切线，切点分别为A ，B ，则四边形PADB面积的最小值为____________． 考点：1.抛物线的几何性质；2.直线与圆的位置关系.【名师点睛】本题考查抛物线的几何性质与直线与圆的位置关系，属中档题；本题是抛物线与圆的综合问题，抛物线的定义在解题中有重要的作用，即经常把抛物线上一点到焦点的距离与到准线的距离相互转化，直线与圆的位置关系一般要考虑几何法，少用代数法.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）已知a ，b ，c 分别为ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对边的边长，且满足cos sin 0a C C b c --=． （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若2a =，ABC ∆b ，c ． 【答案】（Ⅰ）60A =︒；（Ⅱ）2b c ==.（Ⅱ）1sin 2S bc A ==，所以4bc =，…………………………………………………………（7分） 2a =，2222cos a b c bc A =+-，则4b c +=（或0b c -=），………………………………（8分）解得：2b c ==．………………………………………………………………………………………（10分） 考点：1.正弦定理与余弦定理；2.三角恒等变换.【名师点睛】本题考查正弦定理与余弦定理、三角恒等变换，属中档题；解三角形问题实质是附加条件的三角变换,因此在解三角形问题的处理中,正弦定理、余弦定理就起到了适时、适度转化边角的作用,分析近几年的高考试卷,有关的三角题,大部分以三角形为载体考查三角变换.18. （本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，26a =，3627a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 的通项公式为13n n b -=，求数列{}n n a b 的前n 项的和n T ．【答案】（Ⅰ）3n a n =；（Ⅱ）()121334n nn T +-+=. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知3n a n =，所以3n n n a b n =．…………………………………………………（6分）231323333n n T n =⨯+⨯+⨯++ ①…………………………………………………………（7分） 234131323333n n T n +=⨯+⨯+⨯++ ②…………………………………………………………（8分）①-②，得：()123113132133333313n n n n n T n n ++--=⨯++++-=--………………………………………（9分）故：()1331232n n n T n +--=-…………………………………………………………………………（10分）即()121334n nn T +-+=．……………………………………………………………………………（12分）考点：1.等差数列的定义与性质；2.错位相减法求和.【名师点睛】本题考查等差数列的定义与性质、错位相减法求和，属中档题；数列前n 项和常用的方法有六种：(1)公式法；（2）裂项相消法（通过将通项公式裂成两项的差或和，在前n 项相加的过程中相互抵消）； （3）错位相减法（适合于等差数列乘以等比数列型）；（4）分组求和法(根据数列通项公式的特点，将其分解为等差数列求和以及等比数列求和)；（5）奇偶项分析法（适合于整个数列特征不明显，但是奇数项之间以及偶数项之间有明显的等差数列特征或等比数列特征）．（6）倒序相加法. 19. （本小题满分12分）2015年12月，京津冀等地数城市指数“爆表”，北方此轮污染为2015年以来最严重的污染过程．为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到北方某城市2015年12月份某星期星期一到星期日某一时间段车流量与PM2.5的数据如表：（Ⅰ）由散点图知y 与x 具有线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程；（Ⅱ）（ⅰ）利用（Ⅰ）所求的回归方程，预测该市车流量为8万辆时PM2.5的浓度；（ⅱ）规定：当一天内PM2.5的浓度平均值在(]0,50内，空气质量等级为优；当一天内PM2.5的浓度平均值在(]50,100内，空气质量等级为良．为使该市某日空气质量为优或者为良，则应控制当天车流量在多少万辆以内？（结果以万辆为单位，保留整数．）参考公式：回归直线的方程是y bx a =+，其中1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-．【答案】（Ⅰ）619y x =+；（Ⅱ）（ⅰ）67微克/立方米；（ⅱ）控制当天车流量在13万辆以内. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由表中数据先计算77211,,,i iii i x xy x y ==∑∑，代入公式1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑求出b ，由a y bx=-求出a 即可得出线性回归方程；（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）中公式，令8x =计算即可；（ⅱ）解不等式619100x +≤即可.（Ⅱ）（ⅰ）当车流量为8万辆时，即8x =时，681967y =⨯+=．故车流量为8万辆时，PM2.5的浓度为67微克/立方米．………………………………………（10分） （ⅱ）根据题意信息得：619100x +≤，即13.5x ≤，…………………………………………（11分） 故要使该市某日空气质量为优或为良，则应控制当天车流量在13万辆以内．…………………（12分） 考点：线性回归. 20. （本小题满分12分）如图甲，在直角梯形ABCD 中，AD BC P ，π2BAD ∠=，1AB BC ==，2AD =，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点，将ABE ∆沿BE 折起到1A BE ∆的位置，如图乙．（Ⅰ）证明：CD ⊥平面1AOC ∆；（Ⅱ）若平面1A BE ⊥平面BCDE ，求点B 到平面1ACD 的距离． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）12. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知可得CD BE P ，所以欲证CD ⊥平面1AOC ，只要证BE ⊥平面1AOC 即可，即证ME AO ⊥且BE OC ⊥即可，由1AB BC ==，2AD =，E 是AD 的中点，π2BAD ∠=，可得BE AC ⊥，即1BE OA ⊥，BE OC ⊥，可证结论成立；（Ⅱ）等体积法求距离，即设点B 到平面1ACD 的距离为h ，由11B A CD A BCD V V --=，求之即可.（Ⅱ）解：由已知，CD BE ==，平面1A BE ⊥平面BCDE ，1BE OA ⊥，1OA ∴⊥平面BCDE ，1OA OC ∴⊥，……………………………………………………………（7分）11AC ∴=，又由（Ⅰ）知，BE ⊥平面1AOC ，1AC ⊂平面1AOC ， 1BE AC ∴⊥．CD BE P ，1CD AC ∴⊥．………………………………………………………………………（9分）设B 到平面1ACD 的距离为d ，且11A C =，CD =1A O =由11B A CD A BCD V V --=得：11113π1132324⨯⨯=⨯⨯，…………………………（11分） 12d ∴=，故B 到平面1ACD 的距离为12．………………………………………………………（12分） 考点：1.线面垂直的判定与性质；2.多面体的体积. 21. （本小题满分12分）如图，已知圆E ：221924x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭经过椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的左右焦点1F ，2F ，与椭圆C 在第一象限的交点为A ，且1F ，E ，A 三点共线．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设与直线OA （O 为原点）平行的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点．当AMN ∆的面积取到最大值时，求直线l 的方程．【答案】（Ⅰ）22142x y +=；（Ⅱ）y x =±. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由1F ，E ，A 三点共线可知1F A 为圆E 的直径，从而可得13AF =，在圆方程中令0y =求出x =c =21AF =，由椭圆定义求出,a b 的值即可；（Ⅱ）设直线l 的方程为y x m =+，由点到直线的距离公式求出A 到直线l的距离d =S =，由基本不等式求最值及取得最值时m 的值即可.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，点A 的坐标为)，∴直线OA ………………………………………………………………………………（6分） 故设直线l的方程为y x m =+，联立22142y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得，2220x m ++-=…………………………………………………（7分） 设()11,M x y ，()22,N x y，12x x ∴+=，2122x x m =-，222480m m ∆=-+>，22m ∴-<<．…………………………………………………………（8分）1x -==9分）点A 到直线l 的距离d =10分）21112322AMN S MN d m ∆∴==-)()222422m m m -+=≤⨯=当且仅当224m m -=，即m =时等号成立，此时直线l 的方程为y x =±．………………………………………………………………（12分） 考点：1.椭圆的定义与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系. 22. （本小题满分12分） 已知函数()()1ln f x x x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）设()()2F x ax f x '=+（a ∈R ），讨论函数()F x 的单调性；（Ⅲ）若斜率为k 的直线与曲线()y f x '=交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，其中12x x <，求证：121x x k<<．【答案】（Ⅰ）()2min 1f x e=-；（Ⅱ）当0a ≥时，()F x 在区间()0,+∞内是增函数，当0a <时，()F x在⎛ ⎝内单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎭内单调递减．（Ⅲ）见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）求函数()f x 的导数()ln 2f x x '=+，由()0f x '<与()0f x '>求函数的单调区间与单调性，从而可得()2min1f x f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（Ⅱ）由已知可知()2ln 2F x ax x =++，()221ax F x x +'=，分0a ≥与0a <分别讨论导数的符号可得函数()F x 的单调区间；（Ⅲ）()()21212121ln ln f x f x x x k x x x x ''--==--，则不等式121x x k <<22112122211111ln ln ln x x x x x x x x x x x x --⇔<<⇔<<-，令21x t x =，只要证不等式ln 1ln t t t t<-<（1t >）即可，分别构造函数()1ln g t t t =--（1t >）与()()ln 1h t t t t =--（1t >），可证ln 1ln t t t t <-<成立.试题解析： （Ⅰ）()ln 2f x x '=+（0x >），…………………………………………………………（1分） 令()0f x '=，得21x e =， 当210,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当21,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>． 则()f x 在210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内递减，在21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内递增，…………………………………………………（2分） 所以当21x e =时，函数()f x 取得最小值，且()2222min1111ln 1f x f e e e e ⎛⎫⎛⎫==+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……（3分） （Ⅱ）()2ln 2F x ax x =++，()21212ax F x ax x x+'=+=（0x >），………………………（4分）当0a ≥时，恒有()0F x '>，()F x 在区间()0,+∞内是增函数；………………………………（5分） 当0a <时，令()0F x '>，即2210ax +>，解得0x <<令()0F x '<，即2210ax +<，解得x >，………………………………………………（6分） 综上，当0a ≥时，()F x 在区间()0,+∞内是增函数，当0a <时，()F x在⎛ ⎝内单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎭内单调递减．…………………………………………………………………………（7分）考点：1.导数与函数的单调性、极值、最值；2.函数与方程、不等式.。