广东省增城市2013届高三毕业班调研测试数学(理)
2013年广州市一模理科数学试题及答案(纯word版)
图1俯视图正视图试卷类型：A2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）2013.3一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集{}123456U ,,,,,=，集合{}135A ,,=，{}24B ,=，则A ．U AB = B ．U =()U A ðB C ．U A = ()U B ð D ．U =()U A ð()U B ð2. 已知11abi i=+-，其中a b ,是实数，i 是虚数单位，则a b +i = A ．12+i B ．2+i C ．2-i D ．12-i3．已知变量x y ,满足约束条件21110x y x y y ,,.⎧+≥⎪-≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =-的最大值为A ．3-B ．0C ．1D ．3 4.直线0x -=截圆()2224x y -+=所得劣弧所对的圆心角是A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π 5. 某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是A ．2B ．1C. 23D. 136. 函数()()y x xx x sin cos sin cos =+-是A ．奇函数且在02,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．奇函数且在2,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．偶函数且在02,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．偶函数且在2,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增7．已知e 是自然对数的底数，函数()f x =e 2xx +-的零点为a ，函数()ln 2g x x x =+-的零点为b ，则下列不等式中成立的是A ．()()()1f a f f b << B. ()()()1f a f b f << C. ()()()1f f a f b << D. ()()()1f b f f a << 8．如图2，一条河的两岸平行，河的宽度600d =m ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B . 已知AB =1km ，水流速度为2km/h, 若客船行 驶完航程所用最短时间为6分钟，则客船在静水中 的速度大小为A ．8 km/h B ．C ．km/hD ．10km/h 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9. 不等式1x x -≤的解集是 . 10．10x cos ⎰d x = .11．某工厂的某种型号的机器的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)有下表的统计资料：根据上表可得回归方程ˆˆ1.23yx a =+，据此模型估计，该型号机器使用年限为10年时维修费用约 万元（结果保留两位小数）．12．已知01a a ,>≠，函数()()()11xa x f x x a x ,,⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩若函数()f x 在02,⎡⎤⎣⎦上的最大值比最小值大52，则a 的值为 . 13. 已知经过同一点的nn (∈N 3n *,)≥个平面，任意三个平面不经过同一条直线.若这n 个平面将空间分成()fn 个部分，则()3f = ，()f n = .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）图4ABC A 1C 1B 1D E 图3C在极坐标系中，定点32,2A π⎛⎫⎪⎝⎭，点B 在直线cos sin 0ρθθ=上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标为 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图3，AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，AC 与O 交于点D 若3BC =，165AD =，则AB 的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数()sin()4f x A x πω=+（其中x ∈R ，0A >，0ω>）的最大值为2，最小正周期为8. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()f x 图象上的两点,P Q 的横坐标依次为2,4，O 为坐标原点，求△POQ 的面积.17．（本小题满分12分）甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为12，乙，丙做对的概率分别为m ，n (m ＞n )，且三位学生是否做对相互独立.记ξ为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：(1) 求至少有一位学生做对该题的概率； （2) 求m ，n 的值； （3) 求ξ的数学期望. 18．（本小题满分14分）如图4，在三棱柱111ABC A B C -中，△ABC 是边长为2的等边三角形， 1AA ⊥平面ABC ，D ，E 分别是1CC ，AB 的中点.（1）求证：CE ∥平面1A BD ； （2）若H 为1A B 上的动点，当CH 与平面1A AB求平面1A BD 与平面ABC 所成二面角（锐角）的余弦值. 19．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且 12323(1)2(n n a a a na n S n n +++⋅⋅⋅+=-+∈N *).(1) 求数列{}n a 的通项公式；（2）若p q r ,,是三个互不相等的正整数，且p q r ,,成等差数列，试判断111p q r a a a ,,---是否成等比数列？并说明理由.20．（本小题满分14分）已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两个焦点分别为1(2,0)F -，2F ()20,，点(2,3)A 在椭圆1C 上，过点A 的直线L 与抛物线22:4C x y =交于B C ,两点，抛物线2C 在点B C ,处的切线分别为12l l ,，且1l 与2l 交于点P . (1) 求椭圆1C 的方程；(2) 是否存在满足1212PF PF AF AF +=+的点P ? 若存在，指出这样的点P 有几个（不必求出点P 的坐标）; 若不存在，说明理由. 21．（本小题满分14分） 已知二次函数()21fx x ax m =+++，关于x 的不等式()()2211f x m x m <-+-的解集为()1m m ,+，其中m 为非零常数.设()()1f xg x x =-.（1）求a 的值；（2）k k (∈R )如何取值时，函数()x ϕ()g x =-()1k x ln -存在极值点，并求出极值点；（3）若1m =，且x 0>，求证：()()1122nn ng x g x n (⎡⎤+-+≥-∈⎣⎦N *).2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10．1sin 11．12.38 12．12或7213．8，22n n -+ 14．1116,π⎛⎫⎪⎝⎭15．4 说明：① 第13题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分． ② 第14题的正确答案可以是：11126k k ,(ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ). 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：∵()f x 的最大值为2，且0A >， ∴2A =. ……………1分∵()f x 的最小正周期为8， ∴28T πω==，得4πω=. ……………2分∴()2sin()44f x x ππ=+. ……………3分（2）解法1：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭， ……………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭ ……………5分∴(4,P Q .∴OP PQ OQ ===……………8分∴222222cos 2OP OQ PQPOQ OP OQ+-+-∠===………10分 ∴POQ sin ∠==3……………11分 ∴△POQ的面积为11223S OP OQ POQ sin =∠=⨯⨯⨯=……………12分解法2：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭……………4分(4)2sin 2sin 44fπππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭ ……………5分∴(4,P Q . （苏元高考吧： ）∴(4,OP OQ ==. ……………8分∴cos cos ,3OP OQ POQ OP OQ OP OQ⋅∠=<>===. ……………10分 ∴POQ sin ∠==3……………11分 ∴△POQ的面积为11223S OP OQ POQ sin =∠=⨯⨯⨯=……………12分解法3：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭……………4分(4)2sin 2sin 44fπππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭ ……………5分∴(4,P Q .∴直线OP 的方程为2y x =，即0x -=. ……………7分∴点Q 到直线OP 的距离为d ==……………9分∵OP =……………11分∴△POQ 的面积为1122S OP d =⋅=⨯⨯=……………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的均值等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）解：设“甲做对”为事件A ，“乙做对”为事件B ，“丙做对”为事件C ，由题意知， ()()()12P A P B m P C n ,,===. ……………1分 （1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“0ξ=”是对立的，所以至少有一位学生做对该题的概率是()1310144P ξ-==-=. …………3分 （2）由题意知()()()()1101124PP ABC m n ξ===--=， ……………4分 ()()113224P P ABC mn ξ====， ……………5分 整理得112mn =，712m n +=.由m n >，解得13m =，14n =. ……………7分 （3）由题意知()()()()1a PP ABC P ABC P ABC ξ===++()()()()11111111122224m n m n m n =--+-+-=， ………9分 (2)1(0)(1)(3)b P P P P ξξξξ===-=-=-==14， ……………10分 ∴ξ的数学期望为0(0)1(1)2(2)3(3)E P P P P ξξξξξ=⨯=+⨯=+=+==1312.H FABCA 1C 1B 1DE…………12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法） 解法一：（1）证明：延长1A D 交AC 的延长线于点F ，连接BF . ∵CD ∥1AA ，且CD 12=1AA ，∴C 为AF 的中点. ……………2分 ∵E 为AB 的中点，∴CE ∥BF . ……………3分∵BF ⊂平面1A BD ，CE ⊄平面1A BD ， ∴CE ∥平面1A BD . ……………4分 （2）解：∵1AA ⊥平面ABC ，CE ⊂平面ABC ，∴1AA ⊥CE . ……………5分 ∵△ABC 是边长为2的等边三角形，E 是AB 的中点， ∴CE AB ⊥，2CE AB == ∵AB ⊂平面1A AB ，1AA ⊂平面1A AB ，1AB AA A = ， ∴CE ⊥平面1A AB . ……………6分 ∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角. ……………7分∵CE =在Rt △CEH 中，tan CE EHC EH ∠==， ∴当EH 最短时，tan EHC ∠的值最大，则EHC ∠最大. ……………8分 ∴当1EH A B ⊥时，EHC ∠最大. 此时，tan CE EHC EH EH∠===2.A∴5EH =. ……………9分 ∵CE ∥BF ，CE ⊥平面1A AB ， ∴BF ⊥平面1A AB . ……………10分 ∵AB ⊂平面1A AB ，1A B ⊂平面1A AB ， ∴BF ⊥AB ，BF ⊥1A B . ……………11分 ∴1ABA ∠为平面1A BD 与平面ABC 所成二面角（锐角）. ……………12分 在Rt △EHB中，BH ==5，cos 1ABA∠5BH EB ==.…13分 ∴平面1A BD 与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值为5. ……………14分 解法二：（1）证明：取1A B 的中点F ，连接DF 、EF . ∵E 为AB 的中点， ∴EF ∥1AA ，且112EF AA =. ……………1分 ∵CD ∥1AA ，且CD 12=1AA ，∴EF ∥CD ，EF =CD . ……………2分 ∴四边形EFDC 是平行四边形.∴CE ∥DF . ……………3分 ∵DF ⊂平面1A BD ，CE ⊄平面1A BD ， ∴CE ∥平面1A BD . （苏元高考吧： ） ……………4分 （2）解：∵1AA ⊥平面ABC ，CE ⊂平面ABC ，∴1AA ⊥CE . ……………5分 ∵△ABC 是边长为2的等边三角形，E 是AB 的中点，∴CE AB ⊥，2CE AB == ∵AB ⊂平面1A AB ，1AA ⊂平面1A AB ，1AB AA A = ， ∴CE ⊥平面1A AB . ……………6分 ∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角. ……………7分∵CE =在Rt △CEH 中，tan CE EHC EH EH∠==， ∴当EH 最短时，tan EHC ∠的值最大，则EHC ∠最大. ……………8分 ∴当1EH A B ⊥时，EHC ∠最大. 此时，tan CE EHC EH EH∠===2.∴5EH =. ……………9分 在Rt △EHB中，BH ==∵Rt △EHB ～Rt △1A AB ， ∴1EH BHAA AB =，即1552AA =. ∴14AA =. ……………10分 以A 为原点，与AC 垂直的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴，1AA 所在的直线为z 轴， 建立空间直角坐标系A xyz -. 则()000A ,,，1A ()004,,，B )10,，D ()02,,2.∴1AA = ()004,,，1A B =)14,-，1A D =()02,,-2.设平面A BD 1的法向量为n =()x y z ,,，由n 10A B ?，n 10A D?，得40220y z y z .ìï+-=ïíï-=ïî （苏元高考吧： ） 令1y =，则1z x ==,∴平面A BD 1的一个法向量为n=)11,. ……………12分∵1AA ⊥平面ABC ， ∴1AA=()004,,是平面ABC 的一个法向量.∴cos 111,⋅==n AA n AA nAA ……………13分 ∴平面1A BD 与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值为5. ……………14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前n 项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力） (1) 解：12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+ ，∴ 当1n =时，有 11(11)2,a S =-+ 解得 12a =. ……………1分 由12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+ , ①得1231123(1)2(1)n n n a a a na n a nS n ++++++++=++ , ② ……………2分 ② - ①得: 11(1)(1)2n n n n a nS n S +++=--+. ③ ……………3分 以下提供两种方法：法1：由③式得：11(1)()(1)2n n n n n S S nS n S +++-=--+，即122n n S S +=+; ……………4分∴122(2)n n S S ++=+， ……………5分∵112240S a +=+=≠，∴数列{2}n S +是以4为首项,2为公比的等比数列.∴1242n n S -+=⨯,即1142222n n n S -+=⨯-=-. ……………6分 当2n ≥时, 11(22)(22)2n n n n n n a S S +-=-=---=， ……………7分 又12a =也满足上式,∴2n n a =. ……………8分 法2：由③式得：()111(1)(1)22n n n n n n n a nS n S n S S S ++++=--+=-++，得12n n a S +=+. ④ ……………4分当2n ≥时,12n n a S -=+, ⑤ ……………5分 ⑤-④得：12n n a a +=. ……………6分 由12224a a S +=+，得24a =，∴212a a =. ……………7分 ∴数列{}n a 是以12a =为首项，2为公比的等比数列. ∴2n n a =. ……………8分 （2）解：∵p q r ,,成等差数列，∴2p r q +=. ……………9分假设111p q r a a a ,,---成等比数列， 则()()()2111p rq a aa --=-， ……………10分即()()()2212121p r q --=-，化简得：2222p r q+=⨯. （*） ……………11分∵p r ≠，∴2222p r q +>=⨯，这与（*）式矛盾，故假设不成立.……13分 ∴111p q r a a a ,,---不是等比数列. ……………14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）(1) 解法1：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>,依题意: 222222231,4.a ba b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得: 2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ……………2分 ∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分 解法2：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，根据椭圆的定义得1228a AF AF =+=，即4a =， ……………1分 ∵2c =， ∴22212b a c =-=. ……………2分∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分 (2)解法1：设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ，则))(41,(212212x x x x BC --=， )413,2(211x x BA --=，∵C B A ,,三点共线, （苏元高考吧： ）∴BC BA //. ……………4分∴()()()222211211113244x x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭,化简得：1212212x x x x ()+-=. ① ……………5分 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-，即211412x x x y -=. ② 同理，抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为 222412x x x y -=. ③ ……………8分设点),(y x P ，由②③得：=-211412x x x 222412x x x -， 而21x x ≠，则 )(2121x x x +=. ……………9分 代入②得 2141x x y =， ……………10分 则212x x x +=，214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ，即点P 的轨迹方程为3-=x y .……………11分若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，而点P 又在直线3-=x y 上， ……………12分∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分 解法2：设点),(11y x B ,),(22y x C ，),(00y x P ， 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………4分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-， 即2111212x y x x y -+=. ……………5分 ∵21141x y =， ∴112y x x y -= . ∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① ……………6分 同理， 20202y x x y -=. ② ……………7分 综合①、②得，点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程y x xy -=002. ……………8分 ∵经过),(),,(2211y x C y x B 的直线是唯一的，∴直线L 的方程为y x xy -=002， ……………9分 ∵点)3,2(A 在直线L 上， ∴300-=x y . ……………10分 ∴点P 的轨迹方程为3-=x y . ……………11分若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，又在直线3-=x y 上，……12分 ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分 解法3：显然直线L 的斜率存在，设直线L 的方程为()23y k x =-+，由()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ，得248120x kx k -+-=. ……………4分设()()1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==-. ……………5分 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=.…7分 ∵21141x y =， ∴211124x y x x =-. 同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222124x y x x =-. ……………8分 由211222124124x y x x x y x x ,,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩ ∴()223P k k ,-. ……………10分 ∵1212PF PF AF AF +=+,∴点P 在椭圆22111612x y C :+=上. ……………11分 ∴()()2222311612k k -+=.化简得271230k k --=.(*) ……………12分由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>, ……………13分可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个. ……………14分 21．（本小题满分14分）（本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识） （1）解：∵关于x 的不等式()()2211fx m x m <-+-的解集为()1m m ,+，即不等式()22120x a m x m m ++-++<的解集为()1m m ,+，∴()2212x a m x m m ++-++=()()1x mx m ---.∴()2212x a m x m m ++-++=()()2211x m x m m -+++.∴()1221a m m +-=-+.∴2a =-. ……………2分(2)解法1:由(1)得()()1f xg x x =-()221111x x m m x x x -++==-+--.∴()()xg x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞. ∴()1x ϕ'=-()211mkx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. ……………3分 方程()2210x k x k m -++-+=（*）的判别式()()222414Δk k m k m =+--+=+. ……………4分①当0m >时，0Δ>，方程（*）的两个实根为11x ,=<21x ,=> ……………5分则()21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>. ∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x . ……………6分②当0m <时，由0Δ>,得k <-k >若k <-1212k x ,+-=<2212k x ,++=<故x ∈()1,+∞时，()0x ϕ'>，（苏元高考吧： ） ∴函数()x ϕ在()1,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ没有极值点. ……………7分若k >11x ,=>21x ,=>则()11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>. ∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x . ……………8分 综上所述, 当0m >时，k 取任意实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m <时，k >()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x .………9分(其中122k x +-=, 222k x ++=解法2:由(1)得()()1f xg x x =-()221111x x m mx x x -++==-+--.∴()()xg x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211m kx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. ……………3分 若函数()()xg x ϕ=-()1k x ln -存在极值点等价于函数()x ϕ'有两个不等的零点，且至少有一个零点在()1,+∞上. ……………4分 令()x ϕ'()()22211x k x k m x -++-+=-0=,得()221x k x k m -++-+0=, (*)则()()2224140Δkk m k m =+--+=+>,(**) ……………5分方程（*）的两个实根为122k x +-=, 222k x ++=设()h x=()221x k x k m -++-+,①若1211x x ,<>,则()10h m =-<,得0m >,此时,k 取任意实数, (**)成立. 则()21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>. ∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x . ……………6分②若1211x x ,>>,则()10212h m k ,.⎧=->⎪⎨+>⎪⎩得00m k ,.⎧<⎨>⎩又由(**)解得k >k <-故k >……………7分 则()11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>. ∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x . ……………8分 综上所述, 当0m >时，k 取任何实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m <时，k>()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x .………9分(其中1x =2x =(2)证法1：∵1m =， ∴()g x=()111x x -+-. ∴()()1111nnnn n g x g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+-+=+-+ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭ 112212111111n n n n n n n n n n n n n x C x C x C x C x x x x x x ----⎛⎫=+⋅+⋅++⋅+-+ ⎪⎝⎭122412n n n nn n n C xC x C x ----=+++ . ……………10分 令T 122412n n n n n n n C xC x C x ----=+++ ， 则T 122412n nn n n n n n C x C x C x -----=+++122412nn n n n n n C xC x C x ----=+++ .∵x 0>， ∴2T ()()()122244122n n n n n n n n n n C xx C x x C x x -------=++++++ ……11分≥121n nn n C C C -⋅+⋅++⋅ …12分 ()1212n n n nC C C -=+++()012102n n nn n n nn n n C C C C C C C -=+++++--()222n=-. ……………13分∴22nT ≥-，即()()1122nn ng x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦. ……………14分证法2：下面用数学归纳法证明不等式11nn n x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22n≥-.① 当1n =时，左边110x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，右边1220=-=，不等式成立； ……………10分② 假设当n k =k (∈N *)时，不等式成立，即11kk k x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22k ≥-，则 11111k k k x x x x +++⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11111111kk k k k k k x x x x x x x x x x x x ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111kk kx x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111k k x x --⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ……………11分()22k ≥⋅-+ ……………12分 122k +=-. ……………13分也就是说，当1n k =+时，不等式也成立. 由①②可得，对∀n ∈N *，()()1122nn n g x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦都成立. ………14分精品文档你我共享薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。
广东省11大市2013年高三数学一模试题分类汇编1：集合与常用逻辑用语(理科).pdf
广东省11大市2013年高三数学（理）一模试题分类汇编 集合与常用逻辑用语 1、（广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一））设全集，集合，，则 A． B． C． D． 答案：D 2、（江门市2013届高三2月高考模拟）已知函数定义域为，定义域为，则 A．B．C．D． ，集合，则=A．．．．2－2x－3＜0，xR}，集合B＝{－2,2}，则A∩B为A、（－1,2）B、（－2,－1）C、（－2,3）D、（－2,2） 答案：A 5、（汕头市2013届高三3月教学质量测评）集合A＝{x｜2012＜x＜2013}，B＝{x｜x＞a}可满足A∩B＝．则实数a的取值范围（ ）A、{a｜a≥2012 }B、{a｜a≤2012 }C、{a｜a≥2013}D、{a｜a≤2013 } 答案：C 6、（韶关市2013届高三调研考试）如果集合A＝{x｜x2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a的值是（ ）A、0B、0或2C、2D、－2或2 答案：D 7、（深圳市2013届高三2月第一次调研考试）设集合， ，如果命题“”是真命题，则实数的取值范围是____ 答案： 【解析】易知两圆半径均为，圆心分别为，所以 ，解左边得，;解右边得 所以.因此满足题意的结果应为. 另解：圆心所在直线过定点，画图可知两圆相外切的两个确定的位置，此时圆心所在的直线的斜率分别为，依据变化可得. 8、（肇庆市2013届高三3月第一次模拟考试）集合，，则A． B． C． D． ”的否定是 A． B． C． D． 答案：C 10、（佛山市2013届高三教学质量检测（一））已知集合， ,且,则 A． B． C． D． 答案：B 11、（茂名市2013届高三第一次高考模拟考试）设集合≤≤,≤≤，则（ ） 、，则是的 A．B．C．D．，｜x＋1｜＋｜x－2｜＞a，则a＜3”；命题q：“设M为平面内任意一点，则A、B、C三点共线的充要条件是存在角，使”，则A、为真命题B、为假命题C、为假命题D、为真命题 答案：C 解析：P正确，q错误：，BA=MA-MB=(cosa)^2*(MC-MB)=(cosa)^2*BC,==>A,B,C三点共线。
2013年广东卷理科数学高考试卷(原卷 答案)
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)理科数学本试卷共21题，共150分。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．M∪N=（））））7．（5分）（2013•广东）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F （3，0），离心率等于，则C 的方程是y ，z ）|x ，y ，z ∈X ，且三条件x ＜y ＜z ，y ＜z ＜x ，z ＜x ＜y 恰有一个成立}．若（x ，y ，z ）和（z ，w ，x ）都在S 中，则下列选项正确的是二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． 9．（5分）（2013•广东）不等式x 2+x ﹣2＜0的解集为 _________ ． 10．（5分）（2013•广东）若曲线y=kx+lnx 在点（1，k ）处的切线平行于x 轴，则k= _________ ． 11．（5分）（2013•广东）执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为4，则输出s 的值为 _________ ．12．（5分）（2013•广东）在等差数列{a n }中，已知a 3+a 8=10，则3a 5+a7= _________ ． 13．（5分）（2013•广东）给定区域D ：．令点集T={（x 0，y 0）∈D|x 0，y 0∈Z ，（x 0，y 0）是z=x+y 在D上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定 _________ 条不同的直线． 14．（5分）（2013•广东）（坐标系与参数方程选做题） 已知曲线C 的参数方程为（t 为参数），C 在点（1，1）处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为 _________ ． 15．（2013•广东）（几何证明选讲选做题）如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC=CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E ．若AB=6，ED=2，则BC= _________ ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）（2013•广东）已知函数，x∈R．（1）求的值；（2）若，，求．17．（12分）（2013•广东）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．（1）根据茎叶图计算样本均值；（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．18．（14分）（2013•广东）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=6，D，E分别是AC，AB上的点，，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱椎A′﹣BCDE，其中A′O=．（1）证明：A′O⊥平面BCDE；（2）求二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值．19．（14分）（2013•广东）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，，n∈N*．（1）求a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．20．（14分）（2013•广东）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．21．（14分）（2013•广东）设函数f（x）=（x﹣1）e x﹣kx2（k∈R）．（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当时，求函数f（x）在[0，k]上的最大值M．2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 理科数学(参考答案)==4，﹣2），故选==，，．故选=k+解：由的圆．，即或（填或（填C，∴∠ACE=，又．）因为，所以=，，，同理得．，．所以为二面角A′﹣CD﹣B的平面角．．．．的平面角的余弦值为时，，解得①时，，即，时，{所以，即的通项公式为）因为=的距离，的方程为，，所以切线的斜率分别为，：的坐标为，即，的斜率为，整理得的斜率的方程为整理得，即的方程为）根据抛物线的定义，有，所以所以所以当时，的最小值为，，）在，）＜因为，所以对任意的，。
广东省11大市2013年高三数学一模试题分类汇编5：复数(理科).pdf
广东省11大市2013年高三数学（理）一模试题分类汇编 复数 1、（广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一））已知，其中是实数，i是虚数单位，则i A．i B．i C．i D．i 答案：B 2、（江门市2013届高三2月高考模拟）在复平面内，是原点，向量对应的复数是（其中，是虚数单位），如果点关于实轴的对称点为点，则向量对应的复数是 A．B．C．D． 在复平面内对应的点分别为，则 A．．．．对应的点在A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限 答案：A 5、（汕头市2013届高三3月教学质量测评）设x，yR，则“x＝0”是“复数x+yi为纯虚数”的（ ） A充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：B 6、（韶关市2013届高三调研考试）已知i为虚数单位，则＝（ ）A、－iB、－1C、iD、1 答案：C 7、（深圳市2013届高三2月第一次调研考试）已知是虚数单位，则复数 A． B． C． D． 答案：C 8、（佛山市2013届高三教学质量检测（一））设为虚数单位，则复数等于 A． B． C． D． 答案：A 9、（茂名市2013届高三第一次高考模拟考试）计算：( ) A．-2 B．2 C．2i D．-2i 答案：A 10、（湛江市2013届高三高考测试（一））复数z满足z＋1＝2＋i（i为虚数单位），则z（1－i）＝A、2B、0C、1＋iD、i 答案：A 11、（肇庆市2013届高三3月第一次模拟考试）设（是虚数单位），则A． B． C． D．。
广东省增城市2013届高三毕业班调研测试理综
增城市2013届高三毕业班调研测试理科综合能力试题注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。
用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
可能用到的相对原子质量：H 1 O 16一、单项选择题：本题包括16小题，每小题4分，共64分。
每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
多选、错选均不得分。
1．下列关于细胞结构和功能有关的叙述，正确的是A．唾液腺细胞和胰腺细胞中高尔基体数量较少B．抑制膜上载体的活性会阻碍细胞吸收矿质离子C．凋亡细胞内所有基因的表达都下降，酶活性都减弱D．细胞内酶的形成需要消耗ATP，A TP的形成不需要酶的催化2．下列有关实验或调查的叙述，正确的是A．用花生子叶做脂肪的鉴定实验，需用显微镜才能看到被染色的脂肪粒B．用样方法调查蒲公英的种群密度时，在分布较密的地区取样C．在全市人群中随机抽样调查白化病，可得出该病的遗传方式D．将解离、漂洗后的洋葱根尖置于载玻片上，盖上盖玻片即可在显微镜下观察3．下列有关变异与进化的说法，正确的是A．长期的地理隔离通常会形成生殖隔离，因此生殖隔离一定是地理隔离的结果B．二倍体水稻与四倍体水稻杂交，可得到含三个染色体组的单倍体水稻C．精原细胞有可能发生基因重组现象，不可能发生基因突变现象D．生物进化过程的实质在于种群基因频率发生定向改变4．如图是一种伴性遗传病的家系图。
广东省广州市2013届高三1月调研测试数学(理)试题
广州市2021届高三年级调研测试数 学〔理 科〕本试卷共4页，21小题， 总分值150分．考试用时120分钟．考前须知：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型〔A 〕填涂在答题卡相应位置上. 2．选择题每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点 涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试完毕后，将试卷和答题卡一并交回.一．选择题：本大题共8小题，每题5分，总分值40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的. 1．i 为虚数单位，那么复数i 23(-i)对应的点位于 A ．第一象限B ． 第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．集合}4,3,2,1,0{=A ，集合},2|{A n n x x B ∈==，那么=B AA ．}0{B ．}4,0{C ．}4,2{D ．}4,2,0{ 3．函数()2030x x x fx x log ,,⎧>=⎨≤⎩, 那么14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是A ．9B ．19 C ．9- D ．19- =a ()21x ,-，=b ()14x ,+，那么“3x =〞是“a //b 〞的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．函数)(x f y =的图象向右平移6π单位后与函数x y 2sin =的图象重合，那么)(x f y =的解析式是 A ．()f x =)32cos(π-x B ．()f x =)62cos(π-x C ．()fx =)62cos(π+x D ．()f x =)32cos(π+x6．四棱锥P ABCD -的三视图如图1所示，那么四棱锥P ABCD -的四个侧面中面积最大的是侧视图正视图433A ．3 B． C ．6 D ．87．在区间15,⎡⎤⎣⎦和24,⎡⎤⎣⎦分别取一个数,记为a b ,,那么方程22221x y a b+=表示焦点在x的椭圆的概率为A ．12 B ．1532C ．1732D ．3132 8．在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗假设对任意2x >，不等式()2x a xa -⊗≤+都成立，那么实数a 的取值范围是 A ．17,⎡⎤-⎣⎦ B ．(3,⎤-∞⎦C ．(7,⎤-∞⎦D ．()17,,⎤⎡-∞-+∞⎦⎣二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每题5〔一〕必做题〔9～13题〕9. 等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，假设34512a a a ++=，那么7S 的值为 .291()ax x的展开式的常数项为84，那么a 的值为 . 2y x m =+是曲线ln y x x =的切线，那么实数m 的值为 .2224150x y x y +++-=上到直线20x y -=的点的个数是 _ . 13.图2是一个算法的流程图，那么输出S 的值是 . 〔二〕选做题〔14～15题，考生只能从中选做一题〕14.〔几何证明选讲选做题〕如图3，AB 是⊙O 的一条弦，点P 为AB 上一点，PC OP ⊥，PC 交⊙O 于C ，假设4AP =，2PB =， 那么PC 的长是图315．〔坐标系与参数方程选讲选做题〕圆C 的参数方程为2x y cos ,sin ,θθ⎧=⎨=+⎩(θ为参数), 以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为1sin cos ρθρθ+=, 那么直线l截圆C 所得的弦长是 .三、解答题：本大题共6小题，总分值80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.〔本小题总分值12分〕ABC 的内角A B C ,,的对边分别是a b c ,,,且123a b B ,,π===.(1) 求A sin 的值；(2) 求2C cos 的值. 17.〔本小题总分值12分〕某市,,,A B C D 四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四 所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查. 〔1〕问,,,A B C D 四所中学各抽取多少名学生？〔2〕从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率； 〔3〕在参加问卷调查的50名学生中，从来自,A C 两所中学的学生当中随机抽取两名学生，用ξ表示抽得A 中学的学生人数，求ξ的分布列.18. 〔本小题总分值14分〕 如图4,四棱锥PABCD ，底面ABCD 是正方形，PA 面ABCD ，点M 是CD 的中点，点N 是PB 的中点,连接AM ,AN MN ,. (1) 求证：MN //面PAD ； 〔2〕假设5MN ,3AD =，求二面角N AM B 的余弦值.图4M NBCDAP19.〔本小题总分值14分〕如图5, 抛物线2P y x :=，直线AB 与抛物线P 交于OA OB ，OA OB OC ，OC 与AB 交于点M .(1) 求点M 的轨迹方程； (2) 求四边形AOBC 的面积的最小值.20.〔本小题总分值14分〕在数1和2之间插入n 个实数,使得这2n +个数构成递增的等比数列,将这2n +个数的乘积记为n A ,令2n n a A log =,n ∈N *.(1)求数列{}n A 的前n 项和n S ；(2)求2446222n n n T a a a a a a tan tan tan tan tan tan +=⋅+⋅++⋅.21.〔本小题总分值14分〕假设函数()f x 对任意的实数1x ，2x D ∈，均有2121()()f x f x x x -≤-，那么称函数()f x 是区间D 上的“平缓函数〞(1) 判断()sin g x x =和2()h x x x =-是不是实数集R 上的“平缓函数〞，并说明理由； (2) 假设数列{}n x 对所有的正整数n 都有 121(21)n n x x n +-≤+，设sin n n y x =,求证： 1114n y y +-<.。
广东省2013届高三最新理科试题精选(37套含13大市区的二模)分类汇编9圆锥曲线
广东省2013届高三最新理科试题精选（37套含13大市区的二模）分类汇编9：圆锥曲线一、选择题1 ．（广东省韶关市2013届高三第三次调研考试数学(理科)试题（word 版） ）椭圆221x my +=的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m 的值为 （ ）A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】A2 ．（广东省湛江一中等“十校”2013届高三下学期联考数学（理）试题）定义:关于x 的不等式||x A B-<的解集叫A 的B 邻域.已知2a b +-的a b +邻域为区间(2,8)-,其中a b 、分别为椭圆12222=+by a x 的长半轴和短半轴.若此椭圆的一焦点与抛物线x y 542=的焦点重合,则椭圆的方程为（ ）A ．13822=+y xB ．14922=+y xC ．18922=+y xD ．191622=+y x【答案】B3 ．（广东省海珠区2013届高三上学期综合测试一数学（理）试题）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的,双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C 的方程为.A 22184x y += .B 221126x y += .C 221168x y += .D 221205x y +=【答案】B4 ．（广东省潮州市2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）若抛物线22y px =的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合,则p 的值为 （ ）A ．2-B ．2C ．4-D ．4【答案】D 双曲线22122x y -=的右焦点为(2,0),所以抛物线22y px =的焦点为(2,0),则4p =.5 ．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD 版））设F 1,F 2是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点,若直线x =m a (m >1)上存在一点P,使ΔF 2PF 1是底角为300的等腰三角形,则m 的取值范围是（ ）A D ．【答案】A6 ．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））已知双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为y =,则以它的顶点为焦点,焦点为顶点的椭圆的离心率等于（ ）A ．12B C D ．1【答案】A7 ．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD 版））方程||||169x x y y +=-1的曲线即为函数y=f(x)的图象,对于函数y=f(x),有如下结论:①f(x)在R 上单调递减;②函数F(x)=4f(x)+3x 不存在零点;③函数y=f(x)的值域是R;④f(x)的图象不经过第一象限,其中正确的个数是 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】D二、填空题8 ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第一次联考数学（理）试题）已知双曲线22221(0b 0)x y a a b-=＞，＞和椭圆22x y =1169+有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为____________.【答案】22143x y -= 9．（广东省深圳市南山区2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y +=,则双曲线的离心率e 的值为__________ .【答案】10．（广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）双曲线的焦点在x 轴上,实轴长为4,离心率为3,则该双曲线的标准方程为___,渐近线方程为___.【答案】221432x y -= y =± 11．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）已知动点P 在抛物线y 2=4x 上,那么使得点P 到定点Q(2,,-1)的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和最小的点P 的坐标为___【答案】)1,41(-12．（广东省梅州市2013届高三3月总复习质检数学（理）试题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条近线的夹角为3π,则双曲线的离心率为___【答案】13．（广东省茂名市实验中学2013届高三下学期模拟（二）测试数学（理）试题（详解））已知点A 是抛物线C 1:y 2=2px(p>0)与双曲线C 2:22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的交点,若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p,则双曲线的离心率等于____【答案】14．（广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）已知双曲线221x ky -=的一个焦点是0),则其渐近线方程为________.【答案】2y x =±;15．（广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学（理）试题（含解析））已知圆C 经过直线220x y -+=与坐标轴的两个交点,且经过抛物线28y x =的焦点,则圆C 的方程为______________.【答案】22115()()222x y -+-=[或2220x y x y +---=];易得圆心坐标为11(,)22,半径为r =, 故所求圆的方程为22115()()222x y -+-=【或2220x y x y +---=. 】16．（广东省江门市2013年高考模拟考试（即一模）数学（理）试题 ）在平面直角坐标系Oxy 中,若双曲线14222=+-m y m x 的焦距为8,则=m _______. 【答案】3(未排除4-,给3分)17．（2013年广东省佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学（理）试题）已知抛物线24x y =上一点P到焦点F 的距离是5,则点P 的横坐标是_____.【答案】4±18．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）设点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点,其中12,F F 分别是双曲线的左、右焦点,若21tan 3PF F ∠=,则双曲线的离心率为______________.【答案】19．（广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）下图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降2米后水面宽________米.【答案】20．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）过双曲线221916x y -=的右焦点,且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 ________.【答案】双曲线221916x y -=的右焦点为(5,0),渐近线的方程为43y x =±,所以所求直线方程为4(5),3y x =-即43200x y --=.三、解答题21．（广东省韶关市2013届高三第三次调研考试数学(理科)试题（word 版） ）在平面直角坐标系xoy 中,设点F (1,0),直线l :1x =-,点P 在直线l 上移动,R 是线段PF 与y 轴的交点,,RQ FP PQ l ⊥⊥.(Ⅰ)求动点Q 的轨迹的方程;(Ⅱ) 记Q 的轨迹的方程为E ,过点F 作两条互相垂直的曲线E 的弦AB 、CD ,设AB 、CD 的中点分别为N M ，.求证:直线MN 必过定点)0,3(R .【答案】解:(Ⅰ)依题意知,直线l 的方程为:1x =-.点R 是线段FP 的中点,且RQ ⊥FP ,∴RQ 是线段FP 的垂直平分线∴PQ 是点Q 到直线l 的距离.∵点Q 在线段FP 的垂直平分线,∴PQ QF =故动点Q 的轨迹E 是以F 为焦点,l 为准线的抛物线,其方程为:24(0)y x x => (Ⅱ) 设()()B B A A y x B y x A ,,,,()()N N M M y x N y x M ,,，,直线AB 的方程为)1(-=x k y则⎪⎩⎪⎨⎧==)2(4)1(422BB A A x y x y(1)—(2)得k y y B A 4=+,即ky M 2=, 代入方程)1(-=x k y ,解得122+=kx M .所以点M 的坐标为222(1,)k k+同理可得:N 的坐标为2(21,2)k k +-. 直线MN 的斜率为21kkx x y y k N M N M MN -=--=,方程为 )12(1222---=+k x kk k y ,整理得)3()1(2-=-x k k y , 显然,不论k 为何值,(3,0)均满足方程, 所以直线MN 恒过定点R (3,0).1422．（广东省汕头一中2013年高三4月模拟考试数学理试题 ）在平面直角坐标系中,已知点()2,0A、()2,0B -,P 是平面内一动点,直线PA 、PB 的斜率之积为34-.(1)求动点P 的轨迹C 的方程;(2)过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭作直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点,线段EF 的中点为M ,求直线MA 的斜率k 的取值范围.2013年4月汕头一中高三模拟考【答案】(1)依题意,有3224PA PB y y k k x x ⋅=⋅=--+(2x ≠±), ----------------------------- 化简得: 22143x y += (2x ≠±),为所求动点P 的轨迹C 的方程------------------------(2)依题意,可设(,)M x y 、(,)E x m y n ++、(,)F x m y n --,则有 2222()()143()()143x m y n x m y n ⎧+++=⎪⎪⎨--⎪+=⎪⎩, 两式相减,得4430014342EF mx n n x y k m y x -+=⇒==-=-, 由此得点M 的轨迹方程为:226830x y x +-=(0x ≠).------------------------------ 设直线MA :2x my =+(其中1m k=),则 22222(68)211806830x my m y my x y x =+⎧⇒+++=⎨+-=⎩, ------------------------------ 故由22(21)72(68)0||8m m m ∆=-+≥⇒≥,即18k≥, 解得:k 的取值范围是11,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. ---------------------------23．（广东省汕头一中2013年高三4月模拟考试数学理试题 ）已知抛物线C :212x y =,过焦点F 的动直线l 交抛物线于A 、B 两点,O 为坐标原点. (1)求证:OA OB ⋅为定值;(2)设M 是线段AB 的中点,过M 作x 轴的垂线交抛物线C 于点N ,证明:抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行.【答案】(1)设直线l 的方程为:18y kx =+,()11,A x y ,()22,B x y . ------------------------- 由21218x y y kx ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得:2110264x kx --=,∴12116x x =- ------------------------∴()2121212123464OA OB x x y y x x x x ⋅=+=+=-为定值---------------------------- (2)由(1)得:点M 的横坐标为4k ,∴点N 的横坐标为4k----------------------------∵'4y x = ∴4'|k x y k == ----------------------------∴平行另解:设()00,N x y ,则12024x x k x +==,220028k y x ==---------------------------- 设抛物线C 在点N 处的切线为284k k y m x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 由228412k k y m x x y⎧⎛⎫-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩得:2202816m mk k x x -+-= ------------------------------- ∴22404816m mk k ⎛⎫∆=--= ⎪⎝⎭,解得:m k = ------------------------------- ∴平行24．（广东省东莞市2013届高三第二次模拟数学理试题）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为e =直线:2l y x =+与以原点为圆心、以椭圆1C 的短半轴长为半径的圆O 相切. (1)求椭圆C 1的方程;(2)设椭圆1C 的左焦点为1F ,右焦点为2F ,直线1l 过点1F ,且垂直于椭圆的长轴,动直线2l 垂直于1l ,垂足为点P ,线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ,求点M 的轨迹2C 的方程;(3)设2C 与x 轴交于点Q ,不同的两点R 、S 在2C 上,且满足0=⋅,求||QS 的取值范围.【答案】解:(1)由直线:2l y x =+与圆222xy b +=相切,b =,即b =由e =,得222213b e a =-=,所以a =所以椭圆的方程是221:132x y C +=(2)由条件,知2||||MF MP =,即动点M 到定点2F 的距离等于它到直线1:1l x =-的距离,由抛物线的定义得点M 的轨迹2C 的方程是x y 42=(3)由(2),知(0,0)Q ,设221212,,,44y y R y S y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴222121121,,,44y y y QR y RS y y ⎛⎫⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由0=⋅RS QR ,得()()222121121016y y y y y y -+-=∵12y y ≠,∴21116y y y ⎛⎫=-+⎪⎝⎭,∴222121256323264y y y =++≥=,当且仅当2121256y y =,即14y =±时等号成立 又||y QS ⎛== ,∵2264y ≥,∴当2264y =,即28y =±时,min ||QS =故||QS 的取值范围是)⎡+∞⎣25．（广东省肇庆市2013届高三上学期期末统一检测数学（理）试题）已知两圆222212:20,:(1)4C x y x C x y +-=++=的圆心分别为12,C C ,P 为一个动点,且12||||PC PC +=(1)求动点P 的轨迹M 的方程;(2)是否存在过点(2,0)A 的直线l 与轨迹M 交于不同的两点C 、D,使得11||||C C C D =?若存在,求直线l 的方程;若不存在,请说明理由.【答案】解:(1)两圆的圆心坐标分别为1(1,0),C 和2(1,0)C -∵1212||||||2PC PC C C +=>=∴根据椭圆的定义可知,动点P 的轨迹为以原点为中心,1(1,0),C 和2(1,0)C -为焦点,长轴长为2a =的椭圆, 1,1a c b ====∴椭圆的方程为2212x y +=,即动点P 的轨迹M 的方程为2212x y += (2)(i)当直线l 的斜率不存在时,易知点(2,0)A 在椭圆M 的外部,直线l 与椭圆M 无交点,所以直线l 不存在.(ii)设直线l 斜率存在,设为k ,则直线l 的方程为(2)y k x =-由方程组2212(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(21)8820k x k x k +-+-=①依题意28(21)0k ∆=-->解得22k -<<当k <<时,设交点1122(,),(,)C x y D x y ,CD 的中点为00(,)N x y ,方程①的解为12x x == ,则212024221x x k x k +==+ ∴2002242(2)22121k ky k x k k k ⎛⎫-=-=-= ⎪++⎝⎭要使11||||C C C D =,必须1C N l ⊥,即11C N k k ⋅=-∴222212114021kk k k k --+⋅=--+,即2102k k -+=② ∵1114102∆=-⨯=-<或,∴2102k k -+=无解所以不存在直线,使得11||||C C C D =综上所述,不存在直线l ,使得11||||C C C D =26．（广东省深圳市南山区2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的,. (1)求椭圆C 的方程;(2)设直线l 与椭圆C 交于A B ，两点,坐标原点O 到直线l 求AOB △面积的最大值.【答案】(2)设11()A x y ，,22()B x y ，.27．（广东省汕头市东山中学2013届高三下学期入学摸底考试数学（理）试题）己知斜率为1的直线l 与双曲线2222:1x y C a b-=(0a >,0b >),相交于B 、D 两点,且BD 的中点为(1,3)M(1)求双曲线C 的离心率;(2)设C 的右顶点为A ,右焦点为F ,||||17DF BF ⋅=,证明:过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切.【答案】解:(1)由题设知,直线l 的方程为2y x =+代入双曲线C 的方程,并化简得:2222222()440b a x a x a a b ----=设11(,)B x y ,22(,)D x y ,则212224a x x b a +=-,22212224a a b x x b a+⋅=- ①由(1,3)M 为BD 的中点知:1212x x +=,故2221412a b a ⋅=-,即223b a = ② 所以2223c a a -=,即224c a = 故2c e a==所以双曲线C 的离心率为2e =(注:本题也可用点差法解决)(2)由①、②知,双曲线C 的方程为:22233x y a -=(,0)A a ,(2,0)F a ,122x x +=,2124302a x x +⋅=-<1|||2|BF x a =-同理2|||2|DF x a =-2222121212|||||(2)(2)||42()||864||548|BF DF x a x a x x a x x a a a a a a ⋅=--=-++=----=++又因为||||17DF BF ⋅= 且25480a a ++> 所以254817a a ++= 解得:1a =,95a =-(舍去)12|||6BD x x -连结MA ,则由(1,0)A ,(1,3)M 知||3MA =,从而||||||MA MB MD ==,且MA x ⊥轴, 因此以M 为圆心,MA 为半径的圆经过A 、B 、D 三点,且在点A 处与x 轴相切. 所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切28．（广东省汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题（详解））已知直线033=+-y x 经过椭圆C :12222=+by a x (0>>b a )的一个顶点B 和一个焦点F .⑴求椭圆的标准方程;⑵设P 是椭圆C 上动点,求||||||PB PF -的取值范围,并求||||||PB PF -取最小值时点P 的坐标.【答案】【答案】⑴依题意,)1 , 0(B ,)0 , 3(-F , 所以1=b ,3=c ,222=+=c b a ,所以椭圆的标准方程为1422=+y x 5分. ⑵||||||||0BF PB PF ≤-≤,当且仅当||||PB PF =时,0||||||=-PB PF ,当且仅当P 是直线BF 与椭圆C 的交点时,||||||||BF PB PF =- ,2||=BF ,所以||||||PB PF -的取值范围是]2 , 0[ . 设) , (n m P ,由||||PB PF =得013=++n m ,由⎪⎩⎪⎨⎧=++=+0131422n m n m ,解得⎩⎨⎧-==10n m 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=13111338n m , 所求点P 为)1 , 0(-P 和)1311, 1338(-P . 29．（广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）在平面直角坐标系xOy 中,动点P到两点(0),0)的距离之和等于4,设点P 的轨迹为曲线C ,直线l 过点(1,0)E -且与曲线C 交于A ,B 两点.(1)求曲线C 的轨迹方程;(2)是否存在△AOB 面积的最大值,若存在,求出△AOB 的面积;若不存在,说明理由.【答案】解.(Ⅰ)由椭圆定义可知,点P 的轨迹C是以(0),0)为焦点,长半轴长为2 的椭圆.故曲线C 的方程为2214x y +=(Ⅱ)存在△AOB 面积的最大值因为直线l 过点(1,0)E -,可设直线l 的方程为 1x my =-或0y =(舍).则221,4 1.x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩整理得 22(4)230m y my +--= 由22(2)12(4)0m m ∆=++>. 设1122()()A x y B x y ，，，.解得1y =2y =. 则21||y y -=因为1212AOB S OE y y ∆=⋅-= 设1()g t t t=+,t =t ≥.则()g t在区间)+∞上为增函数.所以()g t ≥.所以AOB S ∆≤当且仅当0m =时取等号,即max ()AOB S ∆=. 所以AOB S ∆30．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）〔本小题满分14分)如图.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴为AB,过点B 的直线l 与x 轴垂直,椭圆的离心率e =,F 为椭圆的左焦点且11AF F B =1 .(I)求椭圆的标准方程; (II)设P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点,PH⊥x 轴,H 为垂足,延长HP 到点Q 使得HP=PQ.连接AQ 并延长交直线l 于点M.N 为MB 的中点,判定直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系.【答案】解:(Ⅰ)易知A )0,(a -, B )0,(a )0,(1c F -1)()0,(11=+⋅-=⋅∴c a c a F AF1222==-∴b c a又23=e 43122222=-==∴aa a c e ,解得42=a1422=+∴y x 所求椭圆方程为：(Ⅱ)设),(00y x P 则)2,(00y x Q )22(≠-≠x x 及 2200+=∴x y k AQ 所以直线AQ 方程)2(22:00++=x x y y )28,2(00+∴x y M )24,2(00+∴x y N 42222420000000-=--+=∴x y x x y x y k QN又点P 的坐标满足椭圆方程得到:442020=+y x ,所以 202044y x -=-200200024242y x y y x x y x k QN -=-=-=∴ ∴直线 QN 的方程:)(22000x x y x y y --=- 化简整理得到:442202000=+=+y x y y x x 即4200=+y y x x 所以 点O 到直线QN 的距离244220=+=y x d∴直线QN 与AB 为直径的圆O 相切.31．（广东省梅州市2013届高三3月总复习质检数学（理）试题）(本小题满分14分)已知F 1,F 2分别是椭圆C:22221(0)y x a b a b+=>>的上、下焦点,其中F 1也是抛物线C 1:24x y =的焦点,点M 是C 1与C 2在第二象限的交点,且15||3MF =. (1)求椭圆C 1的方程;(2)已知A(b,0),B(0,a),直线y=kx(k>0)与AB 相交于点D,与椭圆C 1相交于点E,F 两点,求四边形AEBF 面积的最大值. 【答案】32．（广东省茂名市实验中学2013届高三下学期模拟（二）测试数学（理）试题（详解））如图,已知点M0(x0,y0)是椭圆C:222yx=1上的动点,以M0为切点的切线l0与直线y=2相交于点P.(1)过点M0且l0与垂直的直线为l1,求l1与y轴交点纵坐标的取值范围;(2)在y轴上是否存在定点T,使得以PM0为直径的圆恒过点T?若存在,求出点T的坐标;若不存在,说明理由.【答案】解:(1)由椭圆得:y =,'y =1222(22)x x ---切线的斜率为所以,直线l 1的方程为:000)y y x x -=-,与y 轴交点纵坐标为因为011x -≤≤,所以,2001x ≤≤,200222x ≤-≤,所以,当切点在第一、二象限时l 1与y 轴交点纵坐标的取值范围为:0y ≤≤,则对称性可知 l 1与y 轴交点纵坐标的取值范围为:22y -≤≤. (2)依题意,可得∠PTM 0=90°,设存在T(0,t),M 0(x 0,y 0)由(1)得点P 的坐标(220000222y y x x -+,2),由00PT M T =可求得t=1所以存在点T(0,1)满足条件.33．（广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）已知椭圆1C :22221x y a b+= (0a b >>)的离心率为3,连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为.(1)求椭圆1C 的方程;(2)设椭圆1C 的左焦点为1F ,右焦点为2F ,直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴,动直线2l 垂直1l 于点P ,线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ,求点M 的轨迹2C 的方程;(3)设O 为坐标原点,取2C 上不同于O 的点S ,以OS 为直径作圆与2C 相交另外一点R ,求该圆面积的最小值时点S 的坐标.【答案】解:(1)解:由e =得223a c =,再由222c a b =-,解得a =由题意可知1222a b ⋅⋅=,即a b ⋅=解方程组2a ab ⎧=⎪⎨⎪=⎩得a b ==所以椭圆C 1的方程是22132x y += (2)因为2MP MF =,所以动点M 到定直线1:1l x =-的距离等于它到定点2F (1,0)的距离,所以动点M 的轨迹2C 是以1l 为准线,2F 为焦点的抛物线,所以点M 的轨迹2C 的方程为24y x =(3)因为以OS 为直径的圆与2C 相交于点R ,所以∠ORS = 90°,即0OR SR ⋅= 设S (1x ,1y ),R (2x ,2y ),SR =(2x -1x ,2y -1y ),OR =(2x ,2y )所以222221*********()()()()016y y y OR SR x x x y y y y y y -⋅=-+-=+-= 因为12y y ≠,20y ≠,化简得12216y y y ⎛⎫=-+⎪⎝⎭所以221222256323264y y y =++≥=, 当且仅当2222256y y =即22y =16,y 2=±4时等号成立 圆的直径|OS===因为21y ≥64,所以当21y =64即1y =±8时,min OS =, 所以所求圆的面积的最小时,点S 的坐标为(16,±8)34．（广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学（理）试题（含解析））如图(6),设点)0,(1c F -、)0,(2c F 分别是椭圆)1(1:222>=+a y ax C 的左、右焦点,P 为椭圆C 上任意一点,且12PF PF ⋅uuu r uuu r 最小值为0.(1)求椭圆C 的方程;(2)若动直线12,l l 均与椭圆C 相切,且12//l l ,试探究在x 轴上是否存在定点B ,点B 到12,l l 的距离之积恒为1?若存在,请求出点B 坐标;若不存在,请说明理由.图（6）F 2F 1oyx【答案】解:(1)设),(y x P ,则有),(1y c x PF +=,),(2y c x P F -=[]a a x c x aa c y x PF PF ,,11222222221-∈-+-=-+=⋅ 由12PF PF ⋅uuu r uuu r最小值为0得210122=⇒=⇒=-a c c , ∴椭圆C 的方程为1222=+y x(2)①当直线12,l l 斜率存在时,设其方程为,y kx m y kx n =+=+ 把1l 的方程代入椭圆方程得222(12)4220k x mkx m +++-=∵直线1l 与椭圆C 相切,∴2222164(12)(22)0k m k m ∆=-+-=,化简得2212m k =+同理,2212n k =+∴22m n =,若m n =,则12,l l 重合,不合题意,∴m n =- 设在x 轴上存在点(,0)B t ,点B 到直线12,ll 的距离之积为1,则1=,即2222||1k t m k -=+,--- 把2212k m +=代入并去绝对值整理,22(3)2k t -=或者22(1)0k t -=前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的k R ∈恒成立则210t -=,解得1t =±;---------------------------------------------------------②当直线12,l l 斜率不存在时,其方程为x =和x =,定点(1,0)-到直线12,l l 的距离之积为1)1-+=;定点(1,0)到直线12,l l 的距离之积为1)1=; 综上所述,满足题意的定点B 为(1,0)-或(1,0)35．（广东省江门市2013年高考模拟考试（即一模）数学（理）试题 ）已知椭圆C 的中心在原点O ,离心率23=e ,右焦点为)0 , 3( F . ⑴求椭圆C 的方程;⑵设椭圆的上顶点为A ,在椭圆C 上是否存在点P ,使得向量OA OP +与FA 共线?若存在,求直线AP 的方程;若不存在,简要说明理由.【答案】解:⑴设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>,椭圆C 的离心率23=e ,右焦点为)0 , 3( F ,∴c c a ==, 222a b c =+,∴2,1,a b c ===,故椭圆C 的方程为2214x y += ⑵假设椭圆C 上是存在点P (00,x y ),使得向量OA OP +与FA 共线,00(,1)OP OA x y +=+,(FA =,∴011y +=,即001)x y =+,(1) 又点P (00,x y )在椭圆2214x y +=上,∴220014x y += (2)由⑴、⑵组成方程组解得0001x y =⎧⎨=-⎩,或0017x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, ∴(0,1)P -,或1()7P , 当点P 的坐标为(0,1)-时,直线AP 的方程为0y =,当点P的坐标为1()7P 时,直线AP440y -+=, 故直线AP 的方程为0y =440y -+=36．（广东省华附、省实、深中、广雅四校2013届高三上学期期末联考数学（理）试题）已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点D (0, 2 )为圆心,1为半径的圆相切,又知双曲线C 的一个焦点与D 关于直线y =x 对称. (Ⅰ)求双曲线C 的方程;(Ⅱ)设直线y =mx +1与双曲线C 的左支交于A ,B 两点,另一直线l 经过M (-2,0)及AB 的中点,求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围;(Ⅲ)若Q 是双曲线C 上的任一点,F 1F 2为双曲线C 的左,右两个焦点,从F 1引∠F 1QF 2的平分线的垂线,垂足为N ,试求点N 的轨迹方程.【答案】解:(Ⅰ)设双曲线C 的渐近线方程为y =kx ,则kx -y =0∵该直线与圆x 2+(y - 2 )2=1相切,有｜－ 2 ｜k 2+ 1= 1 ⇒ k =±1. ∴双曲线C 的两条渐近线方程为y =±x , 故设双曲线C 的方程为 x 2a 2－y 2a2 = 1 .易求得双曲线C 的一个焦点为 ( 2 ,0),∴2a 2=2,a 2=1.∴双曲线C 的方程为x 2-y 2=1.(Ⅱ)由 ⎩⎨⎧ y =mx +1 x 2－y 2=1得(1-m 2)x 2-2mx -2=0.令f (x )= (1-m 2)x 2-2mx -2直线与双曲线左支交于两点,等价于方程f (x )=0在(-∞,0)上有两个不等实根. 因此 ⎩⎪⎨⎪⎧ △>02m 1－m 2 <0－21－m 2>0解得1<m <2 .又AB 中点为(m 1－m 2 ,11－m2 ),∴直线l 的方程为y =1－2m 2+m +2 (x +2). 令x =0,得b =2－2m 2+m +2=2－2(m －14 )2+178.∵1<m < 2 ,∴-2(m -14 )2+178 ∈ (-2+ 2 , 1),∴b ∈ (-∞,-2- 2 )∪(2,+∞).(Ⅲ)若Q 在双曲线的右支上,则延长2QF 到T ,使||||1QF QT =, 若Q 在双曲线的左支上,则在QF 2上取一点T ,使| QT |=|QF 1 |.根据双曲线的定义| TF 2 |=2,所以点T 在以F 2( 2 ,0)为圆心,2为半径的圆上,即点T 的轨迹方程是(x - 2 )2+y 2=4 (x ≠ 0) ①由于点N 是线段F 1T 的中点,设N (x ,y ),T (x T ,y T ).则 ⎩⎪⎨⎪⎧ x =x T－ 2 2 y =y T2,即 ⎩⎨⎧ x T=2x + 2y T= 2y .代入①并整理得点N 的轨迹方程为x 2+y 2=1.(x ≠ -22) (或者用几何意义得到| NO |=12| F 2T |=1, 得点N 的轨迹方程为x 2+y 2=1.)37．（广东省海珠区2013届高三上学期综合测试一数学（理）试题）(本小题满分14分)设抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ,()()000,0A x y x ≠是抛物线C 上的一定点.(1)已知直线l 过抛物线C 的焦点F ,且与C 的对称轴垂直,l 与C 交于,Q R 两点, S 为C 的准线上一点,若QRS ∆的面积为4,求p 的值;(2)过点A 作倾斜角互补的两条直线AM ,AN ,与抛物线C 的交点分别为()11,,M x y ()22,N x y .若直线AM ,AN 的斜率都存在,证明:直线MN 的斜率等于抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点1A 处的切线的斜率.【答案】(本小题主要考查直线、抛物线、对称等知识,考查数形结合、化归与转化、方程的思想方法,考查数学探究能力以及运算求解能力) 解: (1)由题设0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,设1,,2p Q x ⎛⎫ ⎪⎝⎭则1,2p R x ⎛⎫- ⎪⎝⎭QR =2p ===.∴由QRS ∆的面积为4,得:1242p p ⨯⨯=,得: 2.p =(2)由题意()100,A x y -首先求抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点1A 处的切线的斜率.解法一:设抛物线在1A 处的切线的斜率为k ,则其方程为()00y k x x y =++ 联立()0022y k x x y x py⎧=++⎪⎨=⎪⎩得2002220x pkx px k py ---=将2002py x =代入上式得:2200220x pkx px k x ---=()()22002420pk px k x ∆=-++=即2220020p k px k x ++= 即()200pk x += 得0.x k p=-即抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点1A 处的切线的斜率为0.x p-解法二:由22x py =得212y x p=, ∴'x y p=∴抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点()100,A x y -处的切线的斜率为0.x p-再求直线MN 的斜率.解法一:设直线AM 的斜率为1k ,则由题意直线AN 的斜率为1k -直线AM 的的方程为()010y y k x x -=-,则直线AN 的的方程为()010y y k x x -=--.联立()21002x py y k x x y ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩得221100220x pk x pk x x -+-=(1)方程(1)有两个根01,x x ,∴()()2210102420pk px k x ∆=--->∴0,1x =0112x x pk +=,即1102x pk x =-,同理可得2102x pk x =--直线MN 的斜率222121122121222MNx x y y x x p p k x x x x p --+===--0022x x p p-==- ∴直线MN 的斜率等于抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点1A 处的切线的斜率解法二:AM AN k k =-01020102y y y y x x x x --∴=--- 将222012012,,222x x x y y y p p p ===分别代入上式得:2222001201022222x x x x p p p p x x x x --=---, 整理得0122x x x =+∴直线MN 的斜率222121122121222MNx x y y x x p p k x x x x p --+===--0022x x p p-==- ∴直线MN 的斜率等于抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点1A 处的切线的斜率.38．（广东省广州市2013届高三调研测试数学（理）试题）如图5, 已知抛物线2P yx :=,直线AB 与抛物线P 交于A B ,两点,OA OB ^,OA OB OC uu r uu u r uuu r+=,OC 与AB 交于点M .(1) 求点M 的轨迹方程;求四边形AOBC 的面积的最小值.,考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识) 解法一:(1)解:设()()()221122M x y A y y B y y ,,,,,, ∵OA OB OC +=, ∴M 是线段AB 的中点 ∴()222121212222yy y y y y x +-+==,①122y y y +=. ② ∵OA OB ⊥, ∴0OA OB ⋅=. ∴2212120y y y y += 依题意知120y y ≠,∴121y y =-. ③把②、③代入①得:2422y x +=,即()2112y x =- ∴点M 的轨迹方程为()2112yx =- (2)解:依题意得四边形AOBC 是矩形,∴四边形AOBC 的面积为S OA OB ==⋅===∵22121222y y y y +≥=,当且仅当12y y =时,等号成立,∴2S ≥=∴四边形AOBC 的面积的最小值为2 解法二:(1)解:依题意,知直线OA OB ,的斜率存在,设直线OA 的斜率为k , 由于OA OB ⊥,则直线OB 的斜率为1k-故直线OA 的方程为y kx =,直线OB 的方程为1y x k=-. 由2y kx y x ,.⎧=⎨=⎩ 消去y ,得220k x x -=.解得0x =或21x k=∴点A 的坐标为211k k ,⎛⎫⎪⎝⎭同理得点B 的坐标为()2k k ,- ∵OA OB OC +=, ∴M 是线段AB 的中点 设点M 的坐标为()x y ,,则221212k k x k k y ,.⎧+⎪=⎪⎪⎨⎪-⎪=⎪⎩消去k ,得()2112yx =- ∴点M 的轨迹方程为()2112y x =-(2)解:依题意得四边形AOBC 是矩形, ∴四边形AOBC 的面积为S OA OB==⋅=≥2=当且仅当221kk=,即21k =时,等号成立 ∴四边形AOBC 的面积的最小值为239．（广东省广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一）数学（理）试题）已知椭圆1C 的中心在坐标原点,两个焦点分别为1(2,0)F -,2F ()20,,点(2,3)A 在椭圆1C 上,过点A 的直线L 与抛物线22:4C x y =交于B C ,两点,抛物线2C 在点B C ,处的切线分别为12l l ,,且1l 与2l 交于点P .(1) 求椭圆1C 的方程;(2) 是否存在满足1212PF PF AF AF +=+的点P ? 若存在,指出这样的点P 有几个(不必求出点P 的坐标); 若不存在,说明理由.【答案】(本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识,考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识)(1) 解法1:设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>,依题意: 222222231,4.a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得: 2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y += 解法2:设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>,根据椭圆的定义得1228a AF AF =+=,即4a =,∵2c =, ∴22212b a c =-=∴椭圆1C 的方程为2211612x y += (2)解法1:设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ,则))(41,(212212x x x x --=, )413,2(211x x BA --=, ∵C B A ,,三点共线, (苏元高考吧:) ∴BC BA // ∴()()()222211211113244x x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭,化简得:1212212x x x x ()+-=. ① 由24xy =,即214y x ,=得y '=12x ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-,即211412x x x y -=. ② 同理,抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为 222412x x x y -=. ③ 设点),(y x P ,由②③得:=-211412x x x 222412x x x -, 而21x x ≠,则 )(2121x x x += 代入②得 2141x x y =, 则212x x x +=,214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ,即点P 的轨迹方程为3-=x y . 若1212PF PF AF AF +=+ ,则点P 在椭圆1C 上,而点P 又在直线3-=x y 上, ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0), ∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个 解法2:设点),(11y x B ,),(22y x C ,),(00y x P ,由24xy =,即214y x ,=得y '=12x ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-, 即2111212x y x x y -+=∵21141x y =, ∴112y x x y -= .∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① 同理, 20202y x x y -=. ② 综合①、②得,点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程y x xy -=002∵经过),(),,(2211y x C y x B 的直线是唯一的, ∴直线L 的方程为y x xy -=002, ∵点)3,2(A 在直线L 上, ∴300-=x y ∴点P 的轨迹方程为3-=x y若1212PF PF AF AF +=+ ,则点P 在椭圆1C 上,又在直线3-=x y 上, ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0), ∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个解法3:显然直线L 的斜率存在,设直线L 的方程为()23y k x =-+,由()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ,得248120x kx k -+-=设()()1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==- 由24xy =,即214y x ,=得y '=12x∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-,即2111212x y x x y -+= ∵21141x y =, ∴211124x y x x =-.同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222124x y x x =- 由211222124124x y x x x y x x ,,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩ ∴()223P k k ,-∵1212PF PF AF AF +=+,∴点P 在椭圆22111612x y C :+=上 ∴()()2222311612k k -+=.化简得271230k k --=.(*)由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>,可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个40．（广东省潮州市2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）已知点(4,0)M 、(1,0)N ,若动点P 满足6||MN MP NP =⋅.(1)求动点P 的轨迹C ; (2)在曲线C 上求一点Q ,使点Q 到直线l :2120x y +-=的距离最小.【答案】解:(1)设动点(,)P x y ,又点(4,0)M 、(1,0)N ,∴(4,)MP x y =-,(3,0)MN =-,(1,)NP x y =- 由6||MN MP NP =⋅,得3(4)x --=∴222(816)4(21)4x x x x y -+=-++,故223412x y +=,即22143x y +=,∴轨迹C 是焦点为(1,0)±、长轴长24a =的椭圆;评分说明:只求出轨迹方程,没有说明曲线类型或交代不规范的扣1分. (2)椭圆C 上的点Q 到直线l 的距离的最值等于平行于直线l :2120x y +-= 且与椭圆C 相切的直线1l 与直线l 的距离. 设直线1l 的方程为20(12)x y m m ++=≠-由22341220x y x y m ⎧+=⎨++=⎩,消去y 得2242120x mx m ++-= (*). 依题意得0∆=,即0)12(16422=--m m ,故216m =,解得4m =±.当4m =时,直线1l :240x y ++=,直线l 与1l 的距离5d ==.当4m =-时,直线1l :240x y +-=,直线l 与1l 的距离d ==<,故曲线C 上的点Q 到直线l 当4m =-时,方程(*)化为24840x x -+=,即2(1)0x -=,解得1x =. 由1240y +-=,得32y =,故3(1,)2Q . ∴曲线C 上的点3(1,)2Q 到直线l 的距离最小 41．（广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（理）试题）设椭圆22221(0,0)x y a b b a+=>>的离心率为12,其左焦点E 与抛物线21:4C x y =-的焦点相同.(Ⅰ)求此椭圆的方程;(Ⅱ)若过此椭圆的右焦点F 的直线与曲线C 只有一个交点P ,则(1)求直线的方程;(2)椭圆上是否存在点(,)M x y ,使得12MPF S ∆=,若存在,请说明一共有几个点;若不存在,请说明理由.【答案】解:(Ⅰ)抛物线C 的焦点为(1,0)E -,它是题设椭圆的左焦点.离心率为112b =,所以,2b =.由2221b a -=求得a =因此,所求椭圆的方程为22143x y += (*)(Ⅱ)(1)椭圆的右焦点为(1,0)F ,过点F 与y 轴平行的直线显然与曲线C 没有交点.设直线的斜率为k ,① 若0k =,则直线0y =过点(1,0)F 且与曲线C 只有一个交点(0,0),此时直线 的方程为0y =;② 若0k ≠,因直线过点(1,0)F ,故可设其方程为(1)y k x =-,将其代入24y x =-消去y ,得22222(2)0k x k x k --+=.因为直线与曲线C 只有一个交点P ,所以判别式22224(2)40k k k --⋅=,于是1k =±,从而直线的方程为1y x =-或1y x =-+.因此,所求的直线的方程为0y =或1y x =-或1y x =-+.(2)由(1)可求出点P 的坐标是(0,0)或(1,2)-或(1,2)--. ①若点P 的坐标是(0,0),则1PF =.于是12MPF S ∆==112y ⨯⨯,从而1y =±,代入(*)式联立: 221431x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩或221431x y y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩,求得x =此时满足条件的点M 有4个: ,,1,1⎫⎛⎫⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭⎭⎝⎭. ②若点P 的坐标是(1,2)-,则PF =点M 到直线:1y x =-+于是有11122MPF S y ∆==⨯-,从而112x y +-=±, 与(*)式联立:22143112x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩或22143112x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=-⎪⎩解之,可求出满足条件的点M 有4个:,,1115,714⎛⎫- ⎪⎝⎭,31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. ③ 若点P 的坐标是(1,2)--,则PF =,点(,)M x y 到直线:1y x =-是有11122MPF S y ∆==⨯-,从而112x y --=±,与(*)式联立:22143112x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩或22143112x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪--=-⎪⎩,解之,可求出满足条件的点M有4个:,,1115,714⎛⎫⎪⎝⎭,31,2⎛⎫--⎪⎝⎭.综合①②③,以上12个点各不相同且均在该椭圆上,因此,满足条件的点M共有12个.图上椭圆上的12个点即为所求.42．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD版））已知抛物线C:y2=4x, F 是抛物线的焦点,设A(x1,y1),B(x2 ,y2)是C上异于原点O的两个不重合点,OA丄OB,且AB与x轴交于点T(1) 求x1x2的值;(2) 求T的坐标;(3) 当点A在C上运动时,动点R满足:FRFBFA=+,求点R的轨迹方程.【答案】F的距43．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））已知动点M到点(0,1) y=的距离之和为5.离与到直线4(1)求动点M的轨迹E的方程,并画出图形;=+与轨迹E有两个不同的公共点,A B,求m的取值范围;(2)若直线:l y x mAB的最大值.(3)在(2)的条件下,求弦长||【答案】44．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）已知椭圆)(112222１ >=-+a a y a x 的左右焦点为21,F F ,抛物线C:px y 22=以F 2为焦点且与椭圆相交于点()11,M x y 、N ()22,x y ,点M 在x轴上方,直线1F M 与抛物线C 相切.(1)求抛物线C 的方程和点M 、N 的坐标;(2)设A,B 是抛物线C 上两动点,如果直线MA ,MB 与y 轴分别交于点,P Q . MPQ ∆是以MP ,MQ 为腰的等腰三角形,探究直线AB 的斜率是否为定值?若是求出这个定值,若不是说明理由.【答案】解:(1)由椭圆方程得半焦距1)1(c 22=--a a ＝所以椭圆焦点为），（ ，01F )01(21-F 又抛物线C 的焦点为)0,2(p ,2,12==∴p p x y C 42=∴： ∵),(11y x M 在抛物线C 上, ∴1214x y =,直线M F 1的方程为)1(111++=x x y y 代入抛物线C 得22211(1)4(1),y x x x +=+22114(1)4(1)x x x x +=+即 22111(1)0,x x x x x ∴-++= ∵1F M 与抛物线C 相切,04)121221=-+∆∴x x ＝（,11,x ∴= ∴ M、N 的坐标分别为(1,2)、(1,-2) (2)直线AB 的斜率为定值—1. 证明如下:设11(,)A x y ,22(,)B x y ,(1,2)M ,A 、B 在抛物线24y x =上,∴211222244241y x y x ⎧=⎪=⎨⎪=⨯⎩①②③由①-③得,1112412MA y k x y -==-+④由②-③得,2222412MB y k x y -==-+④因为MPQ ∆是以MP,MQ 为腰的等腰三角形,所以MA MB k k =-由MAMB k k =-得11222124122412y x y y x y -⎧=-⎪-+⎪⎨-⎪=-⎪-+⎩ 化简整理,。
广东省2013年高考压轴卷数学理及答案
2013广东省高考压轴卷 数学理试题本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目．2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回． 参考公式：（S 是锥体的底面积，h 是锥体的高） (R 是半径)一、选择题：5分，满分40分.1、设全集R ，{|(2)0},{|ln(1)},A x x x B x y x =-<==- 则A U （C B ）= （ ） A ．(2,1)- B ．[1,2) C ．(2,1]- D ．(1,2)2、已知复数z 的实部为1-，虚部为2 （ ） A ．2i - B ．2i + C ．2i -- D ． 2i -+3、已知a ∈R ，则“2a <”是“|2|||x x a -+>恒成立”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4、函数()sin ()f x x x x R =+∈ （ ） A ．是偶函数，且在(,)-∞+∞上是减函数； B ．是偶函数，且在(,)-∞+∞上是增函数； C ．是奇函数，且在(,)-∞+∞上是减函数； D ．是奇函数，且在(,)-∞+∞上是增函数；5、A 是曲线2x y =与若向区域Ω上随机投一点P A 的概率为 （ ）6、图1是某市参加2012年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A 1，A 2，…，A 10（如A 2表示身高（单位：cm ）在[150，155）内的学生人数）图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm （含160cm ，不含180cm ）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是 （ ）A ．i ＜6B ．i ＜7C ．i ＜8D ．i ＜97、2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 （ ） A. 60 B. 48 C. 42 D. 368、称(,)||d a b a b =- 为两个向量,a b 间的距离。
2013广州一模数学理试题及答案
试卷类型：A 2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）2013.3本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：如果事件相互独立,那么.线性回归方程中系数计算公式，其中表示样本均值.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集，集合，，则A． B．C． D．2. 已知，其中是实数，i是虚数单位，则iA．i B．i C．i D．i3．已知变量满足约束条件则的最大值为A． B． C． D．4. 直线截圆所得劣弧所对的圆心角是A． B．C． D．5. 某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是A． B． C. D.6. 函数是A．奇函数且在上单调递增 B．奇函数且在上单调递增C．偶函数且在上单调递增 D．偶函数且在上单调递增7．已知e是自然对数的底数，函数e的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是A． B.C. D.8．如图2，一条河的两岸平行，河的宽度m，水流方向一艘客船从码头出发匀速驶往河对岸的码头.已知km，水流速度为km/h, 若客船行驶完航程所用最短时间为分钟，则客船在静水中的速度大小为A． km/h B．km/h 图2C．km/h D．km/h二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9. 不等式的解集是 .10．d .11．某工厂的某种型号的机器的使用年限和所支出的维修费用(万元)有下表的统计资料：234562.23.8 5.5 6.57.0根据上表可得回归方程，据此模型估计，该型号机器使用年限为10年时维修费用约 万元（结果保留两位小数）．12．已知，函数若函数在上的最大值比最小值大，则的值为 . 13. 已知经过同一点的N个平面，任意三个平面不经过同一条直线.若这个平面将空间分成个部分，则， .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，定点，点在直线上运动，当线段最短时，点的极坐标为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图3，是的直径，是的切线，与交于点，若，，则的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数（其中，，）的最大值为2，最小正周期为.（1）求函数的解析式；2）若函数图象上的两点的横坐标依次为，为坐标原点，求△ 的面积.17．（本小题满分12分）甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为，乙，丙做对的概率分别为， (＞)，且三位学生是否做对相互独立.记为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：(1) 求至少有一位学生做对该题的概率；（2) 求，的值；（3) 求的数学期望.18．（本小题满分14分）如图4，在三棱柱中，△是边长为的等边三角形，平面，，分别是，的中点.（1）求证：∥平面；（2）若为上的动点，当与平面所成最大角的正切值为时，求平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值.19．（本小题满分14分）已知数列的前项和为，且 N.(1) 求数列的通项公式；（2）若是三个互不相等的正整数，且成等差数列，试判断是否成等比数列？并说明理由.20．（本小题满分14分）已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，，点在椭圆上，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为，且与交于点.(1) 求椭圆的方程；(2) 是否存在满足的点? 若存在，指出这样的点有几个（不必求出点的坐标）; 若不存在，说明理由.21．（本小题满分14分）已知二次函数，关于的不等式的解集为，其中为非零常数.设.（1）求的值；（2）R如何取值时，函数存在极值点，并求出极值点；（3）若，且，求证：N.2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．题号12345678答案D B C D A C A B二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9． 10． 11． 12．或 13．8，14． 15．说明：① 第13题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分．② 第14题的正确答案可以是：Z.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：∵的最大值为2，且， ∴. ……………1分∵的最小正周期为， ∴，得. ……………2分∴. ……………3分（2）解法1：∵，……………4分，……………5分∴.∴. ……………8分∴. ………10分∴. ……………11分∴△的面积为.12分解法2：∵，……………4分，……………5分∴. （苏元高考吧：）∴. ……………8分∴. ……………10分∴. ……………11分∴△的面积为.12分解法3：∵，……………4分，……………5分∴.∴直线的方程为，即. ……………7分∴点到直线的距离为. ……………9分∵， ……………11分∴△的面积为. ……………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的均值等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）解：设“甲做对”为事件，“乙做对”为事件，“丙做对”为事件，由题意知，. ……………1分（1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“”是对立的，所以至少有一位学生做对该题的概率是. …………3分（2）由题意知， ……………4分 ，……………5分整理得，.由，解得，. ……………7分（3）由题意知， ………9分=， ……………10分∴的数学期望为=.12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法）解法一：（1）证明：延长交的延长线于点，连接.∵∥，且，∴为的中点. ……………2分∵为的中点，∴∥. ……………3分∵平面，平面，∴∥平面. ……………4分（2）解：∵平面，平面，∴. ……………5分∵△是边长为的等边三角形，是的中点，∴，.∵平面，平面，，∴平面. ……………6分∴为与平面所成的角. ……………7分∵，在R t△中，，∴当最短时，的值最大，则最大. ……………8分∴当时，最大. 此时，.∴. ……………9分∵∥，平面，∴平面. ……………10分∵平面，平面，∴，. ……………11分∴为平面与平面所成二面角（锐角）. (12)分在R t△中，，.…13分∴平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值为. ……………14分解法二：（1）证明：取的中点，连接、.∵为的中点，∴∥，且. ……………1分∵∥，且，∴∥，. ……………2分∴四边形是平行四边形.∴∥. ……………3分∵平面，平面，∴∥平面. （苏元高考吧：） (4)分（2）解：∵平面，平面，∴. ……………5分∵△是边长为的等边三角形，是的中点，∴，.∵平面，平面，，∴平面. ……………6分∴为与平面所成的角. ……………7分∵，在R t△中，，∴当最短时，的值最大，则最大. ……………8分∴当时，最大. 此时，.∴. ……………9分在R t△中，.∵R t△～R t△，∴，即.∴.……………10分以为原点，与垂直的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系.则，，，.∴，，.设平面的法向量为，由，，得 （苏元高考吧：）令，则.∴平面的一个法向量为. ……………12分∵平面， ∴是平面的一个法向量.∴. ……………13分∴平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值为. ……………14分19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力）(1) 解：，∴ 当时，有 解得 . ……………1分由, ①得, ② ……………2分② - ①得: . ③ ……………3分以下提供两种方法：法1：由③式得：，即; ……………4分， ……………5分∵，∴数列是以4为首项,2为公比的等比数列.∴,即. ……………6分当时, ， ……………7分又也满足上式,∴. ……………8分法2：由③式得：，得. ④ ……………4分当时,, ⑤ ……………5分⑤-④得：. ……………6分由，得，∴. ……………7分∴数列是以为首项，2为公比的等比数列. ∴. (8)分（2）解：∵成等差数列，∴. ……………9分假设成等比数列，则， ……………10分即，化简得：. （*） ……………11分∵，∴，这与（*）式矛盾，故假设不成立.……13分∴不是等比数列. ……………14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）(1) 解法1：设椭圆的方程为,依题意: 解得: ……………2分∴椭圆的方程为. ……………3分解法2：设椭圆的方程为，根据椭圆的定义得，即，……………1分∵，∴. ……………2分∴椭圆的方程为. ……………3分(2)解法1：设点,，则，，∵三点共线, （苏元高考吧：）∴. ……………4分∴,化简得：. ① ……………5分由,即得. ……………6分∴抛物线在点处的切线的方程为，即. ②同理，抛物线在点处的切线的方程为 . ③ ……………8分设点，由②③得：，而，则 . ……………9分代入②得，……………10分则，代入 ① 得 ，即点的轨迹方程为.11分若 ，则点在椭圆上，而点又在直线上，12分∵直线经过椭圆内一点,∴直线与椭圆交于两点.……………13分∴满足条件的点有两个. ……………14分解法2：设点,，，由,即得. ……………4分∴抛物线在点处的切线的方程为，即. ……………5分∵，∴ .∵点在切线上, ∴. ① ……………6分同理， . ② ……………7分综合①、②得，点的坐标都满足方程. ……………8分∵经过的直线是唯一的，∴直线的方程为，……………9分∵点在直线上， ∴. ……………10分∴点的轨迹方程为. ……………11分若 ，则点在椭圆上，又在直线上，……12分∵直线经过椭圆内一点,∴直线与椭圆交于两点.……………13分∴满足条件的点有两个. ……………14分解法3：显然直线的斜率存在，设直线的方程为，由消去，得. ……………4分设,则. ……………5分由,即得. ……………6分∴抛物线在点处的切线的方程为，即.…7分∵，∴.同理,得抛物线在点处的切线的方程为. ……………8分由解得∴. ……………10分∵,∴点在椭圆上. ……………11分∴.化简得.(*) ……………12分由, ……………13分可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点有两个.……………14分21．（本小题满分14分）（本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识）（1）解：∵关于的不等式的解集为，即不等式的解集为，∴.∴.∴.∴. ……………2分(2)解法1:由(1)得.∴的定义域为.∴. ……………3分方程（*）的判别式. ……………4分①当时，，方程（*）的两个实根为……………5分则时，；时，.∴函数在上单调递减，在上单调递增.∴函数有极小值点. ……………6分②当时，由,得或，若，则故时，，（苏元高考吧：）∴函数在上单调递增.∴函数没有极值点. ……………7分若时，则时，；时，；时，.∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.∴函数有极小值点，有极大值点. ……………8分综上所述,当时，取任意实数, 函数有极小值点；当时，，函数有极小值点，有极大值点.………9分(其中, )解法2:由(1)得.∴的定义域为.∴. ……………3分若函数存在极值点等价于函数有两个不等的零点，且至少有一个零点在上.……………4分令,得, (*)则,(**) ……………5分方程（*）的两个实根为, .设,①若,则,得,此时,取任意实数, (**)成立.则时，；时，.∴函数在上单调递减，在上单调递增.∴函数有极小值点.……………6分②若,则得又由(**)解得或,故. ……………7分则时，；时，；时，.∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.∴函数有极小值点，有极大值点.……………8分综上所述,当时，取任何实数, 函数有极小值点；当时，，函数有极小值点，有极大值点.………9分(其中, )(2)证法1：∵， ∴.∴. ……………10分令，则.∵，∴ ……11分…12分. (13)分∴，即. ……………14分证法2：下面用数学归纳法证明不等式.① 当时，左边，右边，不等式成立；10分② 假设当N时，不等式成立，即，则……………11分……………12分. ……………13分也就是说，当时，不等式也成立.由①②可得，对N，都成立. ………14分。
2015高考数学《空间中的平行与垂直问题》一轮复习测试题
一、选择题 错误！未指定书签。 ． （广东省潮州市 20 13 届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）
对于平面 和共面的两直线 m 、 n ,下列命题中是真命题的为 A．若 m , m n ,则 n // C．若 m , n // ,则 m // n
【答案】C
学 学 科 网 ZX X
（
）
错误！ 未指定书签。 ． （广东省惠州市 2014 届高三第一次调研考试数学 （理） 试题 （word 版） ）
对于平面 、 、 和直线 a 、 b 、 m 、 n ,下列命题中真命题是 A．若 a m, a n, m , n , ,则 a B ． 若 a // b, b , 则
【答案】C
（
）
B．若 m // , n // ,则 m // n D．若 m 、 n 与 所成的角相等,则 m // n
考查空间中线、面的平行与垂直的位置关系的判断.
错误！未指定书签。 ． （2009 高考(广东理)）给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；w.w.w.zxxk.c.o.m ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂 直． 其中，为真命题的是 w.w.w.zxxk.c.o.m A．①和② B．②和③
【答案】B
错误！未指定书签。 ． （广东省 华附、省实、深中、广雅四校 2013 届高三上学期期末联考数学 （理）试题）若平面 α,β 满足 α⊥β,α∩β=l,P∈α,P l,则下列命题中是假命题
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增城市2013届高三毕业班调研测试 数学（理）试题 试题分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。 共150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1．第I卷（选择题）每小题选出答案后，用铅笔把答卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上； 2．第II卷（非选择题）答案写在答卷上。
参考公式：24RS球,3114,,(),333VShVShVSSSShVR柱锥台球
如果事件A、B互斥，那么)()()(BPAPBAP． 如果事件A、B相互独立，那么)()()(BPAPBAP． 第I卷（选择题，共40分）
一、选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{9},{1,2,3},={3,4,5,6}UxxAB是小于的正整数集合集合则BCACuu A． {3} B． {7,8} C．{4,5,6,7,8} D．{1,2,7,8} 2．复数5-2+i的共轭复数是 A． 2+i B． 2i C． 2i D． 2i 3．已知函数2()fxx，则
A． ()fx为偶函数且在),0(上单调增 B． ()fx为奇函数且在),0(上单调增 C．()fx为偶函数且在),0(上单调减 D． ()fx为奇函数且在),0(上单调增 4．函数xxf3log)(的定义域是 A． ]1,0( B． ),1[ C． ),3( D． ),3[ 5．已知实数x满足,31xx则22xx A． 53 B．5 C．53 D．5
6．给出三个命题： （1）若两直线和第三条直线所成的角相等，则这两直线互相平行． （2）若两直线和第三条直线垂直，则这两直线互相平行． （3）若两直线和第三条直线平行，则这两直线互相平行． 其中正确命题的个数是 A．0 B． 1 C． 2 D．3 7．有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 则下列判断正确的是 A． 甲射击的平均成绩比乙好 B． 乙射击的平均成绩比甲好 C． 甲比乙的射击成绩稳定 D． 乙比甲的射击成绩稳定
8．设M是平行四边形ABCD的对角线的交点，O为任意一点，则ODOCOBOA A．OM B．OM2 C．OM3 D．OM4 第II卷（非选择题，共110分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共30分．其中14～15题是选做题，只能做一题，两题全答的，只计算前一题得分． （一）必做题（9～13题）
9．已知非空集合},{2RxaxxA，则实数a的取值范围是 ． 10．有一问题的算法程序是 1i 0S WHILE 100i iSS 1ii WEND PRINT S END 则输出的结果是 ．
11．二项式9)1(xx的展开式中3x的系数是 ．
12．曲线xy2与2xy所围成的图形的面积是 ． 13．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐 18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存磷酸盐10吨， 硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．如果生产1车皮甲种肥料产生的利润为10000 元，生产1车皮乙种肥料产生的利润为5000元，那么如何安排生产，可产生的最大利润 是 ． （二）选做题（14、15题） 14（几何证明选讲选做题）已知圆O割线PAB交圆O于BA,)(PBPA两点，割线PCD经过圆心O)(PDPC，已知6PA,317AB,10PO;则圆O的半径是 ．
15（坐标系与参数方程选做题）曲线1tytx（t为参数且0t）与曲线12coscosyx（为参数）的交点坐标是 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16（12分）已知函数)cos(sinsin2)(xxxxf （1）求()fx的最小正周期及最大值； （2）用五点法画出)(xf在一个周期上的图像． 17（12分）某种饮料每箱6听，如果其中有两听不合格产品． （1）质检人员从中随机抽出1听，检测出不合格的概率多大？；
（2）质检人员从中随机抽出2听，设为检测出不合格产品的听数，求的分布列及数学期望．
18（14分）如图，在三棱锥VABC中，VA平面ABC, 90ABC,且422VABCAC． （1）求证：平面VBA平面VBC; （2）求二面角BVCA的平面角的余弦值．
19（14分）在等比数列{}na中，已知29,2333Sa． （1）求{}na的通项公式； （2）求和122nnSaana．
20（14分）已知点P是圆16)1(22yx上的动点，圆心为B，)0,1(A是圆内的定点；PA的中垂线交BP于点Q． （1）求点Q的轨迹C的方程；
V A B
C （2）若直线l交轨迹C于NM,MN(与x轴、y轴都不平行）两点，G为MN的中点，求OGMNkk
的值（O为坐标系原点）．
21（14分）圆221xy内接等腰梯形ABCD，其中AB为圆的直径（如图）． （1）设(,)(0)Cxyx，记梯形ABCD的周长为 ()fx，求()fx的解析式及最大值； （2）求梯形ABCD面积的最大值． O A B
C D y
x 参考答案
选择题：BBCBC BDD 18.填空题：9． ),0[ 10． 5050 11． -84 12． 31 13．30000元
14． 52 15． （1,2） 三、解答题： 16．）（1）xxxxfcossin2sin2)(2 1分 xx2sin2cos1 3分 =)2cos4sin4cos2(sin21xx 4分
=)42sin(21x 5分 )(xf的最小正周期是，最小值是12 7分 A.列表 9分 画图 10分 特征点 11分 坐标系 12分 （1）（1）在6听中随机抽出1听有6种方法 1分
在2听中随机抽出1听有2种方法 2分
所以3162P 4分 答： 5分 （1）2,1,0 6分
当0时，52)0(2624CCP 7分 当1时，158)1(261412CCCP 8分 当2时，151)2(2622CCP 9分 分布列为： 10分 15121581520)(E 11分
=32 12分 16、（1）VA平面BCVAABC 1分 ACBCABC90 2分 BC平面VBA 4分 平面VBA平面VBC 5分 18、过点B作VCMB于M，过点A作VCAN于N， 过点M作VCMD交CA于D，则MD//NA 7分
2422,90VBVAVABCACABC
32AB 8分 VA平面4,52,,VBVCABVAACVAABC 9分
554,852,852ANBMNABM 10分
55855252,552)554(42CNVNCM 11分
1,55,41CDMDCACDCNCMNA
MD 12分
在ABC中，60,30,2ACBCABBCAC 360cos12214BD 13分
在BMD中，41555542351516cosBMD 所以所求二面角的平面角的余弦值是41 14分 或解：过点B作BB平面ABC，建立直角坐标系如图 6分 则)2,32,0(),0,0,2(),0,32,0(),0,0,0(VCAB 7分 )2,32,0(),0,0,2(),0,32,2(),2,0,0(BVBCACAV 8分 设AVmACmyxm,),,,2( 9分
则)0,332,2(0332020324myxyx 10分 同理设BVnBCnstn,),,2,( 11分 则)32,2,0(320023402nstst 12分 设m与n的夹角为，则
41124344334cosnmnm
13分
所以所求二面角的平面角的余弦值是41 14分 19.（1）解：由条件得：2321qa 1分
292
111qaqaa 2分
212q
q 3分
1q或21q 4分 当1q时，23,231naa 5分 当21q时，11)21(6,6nnaa 6分 所以 7分 或解：当1q时由条件得：
291)1(233121q
qa
qa 2分