函数系列奇偶性与单调性的综合

函数系列

奇偶性与单调性综合

一、思维导图

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⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧====<⇒>>⇒><⇒>>⇒>⎩⎨⎧⎪⎪

⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+==++++==-===++++==-=-⎪⎪⎪⎪⎩

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⎪⎪⎨⎧<⋅⇒<>⋅⇒><<-⇒<>-<⇒><<-⇒<>-<⇒>a T ，a x x f a T ，a x x f x x x f x f ，x f x x x f x f ，x f x x x f x f ，x f x x x f x f ，x f ，x f ，x f ：，，，：b a ，b a x f d b e dx cx bx ax x f ，x f x f x f ，x f e c a e dx cx bx ax x f ，x f f ，f ，x f x f x f ，x f ：x g x f x g x f x g x f x g x f a x a a x a ；x a x a x a x a a x a x a x a x 4)(2)(||||)()()(|

|||)()()()()()()()()()()()(,0],[)(0)()()

()()(0)()(0)0()0()()()()(0)()(0)()(;0)()(0)()(||||;212121212121212123423422有周期对称奇且关于若有周期对称偶且关于若有偶且单调递减若有偶且单调递增若有奇且单调递减若有奇且单调递增若原点两侧单调性相反偶若原点两侧单调性相同奇若综合要分开写区间不连续注意连续性调限制在某个区间内的单注意局部性单调性定义域关于原点对称则上具有奇偶性在若中则偶若有偶若中则奇若则有意义且奇若有奇若奇偶性或或基础不等式奇偶性与单调性综合

二、例题精析

1、（2018洛阳二模）已知)(x f 在定义域R 上的奇函数，且在),0[+∞上是增函数，则使)

22()(2

+->x x f x f 成立的x 的取值范围是___________

[解析]：由题意知，21,222<<∴+->x x x x

2、

（2018香坊区校级期末）已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，,12)(-=x x f 若),()2(2a f a f >-则实数a 的取值范围是___________

[解析]：函数)(x f 在),0[+∞上单调递增，由12,2),()2(22<<-∴>-⇒>-a a a a f a f

3、（2018汕头期末）已知函数20182)(||2-+=x x x f ，则使得)2()3(+>x f x f 成立的x 的取值范围是___________

[解析]：)(x f 是偶函数且增，由),31()31,(|2||3|)2()3(+∞+⋃--∞∈⇒+>⇒+>x x x x f x f

4、（2018兴庆区校级期末）设函数,21

)(|

|2x e

x x f +-=则不等式)4()2(x f x f -≤的解集为___________ [解析]：函数)(x f 是偶函数且在),0(+∞上单调递增，由,3

44|4||2|)4()2(<<-⇒-≤⇒-≤x x x x f x f

5、（2018金安区校级模拟）函数)(x f y =是定义为R 上的奇函数，当0≥x 时，)(x f 单调递增，若,1)1(=f 则满足1)2(1≤+≤-x f 的x 的取值范围是___________

[解析]：,1)1()1(-=-=-f f 由121),1()2()1(1)2(1≤+≤-∴≤+≤-⇒≤+≤-x f x f f x f

13-≤≤-x

6、

（2018淮南二模）已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且在区间]0,(-∞上单调递增，若实数a 满足),2()2(3log -->f f a 则a 的取值范围是___________

[解析]：⇒-->),2()2(3log f f a ⇒>),2()2(3log f f a 3223log >⇒>a a

7、（2018昌江区校级期末）设,22lg

)(x

x

x f -+=若,0)13()(>++a f a f 则a 的取值范围是___________ [解析]：),(22lg )22lg(22lg )(1x f x

x x x x x x f -=-+-=-+=+-=--奇函数，定义域为),2,2(-且单调递增 由,0)13()(>++a f a f 得13),13()13()(-->⇒--=+->a a a f a f a f ，则有

,3141,2

1322

21

3<<-∴⎪⎩

⎪

⎨⎧<+<-<<--->a a a a a

8、

（2018石家庄一模）设)(x f 是定义在]3,2[b b +-上的偶函数，且在]0,2[b -上为增函数，则)3()1(f x f ≥-的解集为___________

[解析]：由题意得：,3,032=∴=++-b b b 在]0,6[-上为增函数，3|1|)3()1(≤-⇒≥-x f x f

42,6

163

|1|≤≤-⎩⎨

⎧≤-≤-≤-x x x 。

9、

（2018信阳二模）若偶函数)(x f 在区间]0,(-∞上单调递减，且,0)3(=f 则不等式0)()1(>-x f x 的解集为___________

[解析]：由题意知，,0)3()3(==-f f ⎩⎨

⎧>>-⇒>-0)(010)()1(x f x x f x 或⎩⎨⎧<<-0

)(0

1x f x ，即：

13<<-∴x 或3>x 。

10、（2018沙坪坝校级期末）已知函数))(1()(b ax x x f +-=为偶函数，且在),0(+∞单调递减，则0)(

[解析]：,)())(1()(2b x a b ax b ax x x f --+=+-=是偶函数，所以,0=-a b 即,a b =

,0)1(,0)1(),1)(1()(=-=∴+-=∴f f x x a x f 由10)(-<⇒x 。

11、

（2018濮阳期末）已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间]0,(-∞上单调递增，若实数a 满足)2()(->f a f ，则a 的取值范围是___________

[解析]：)(x f 在),0(+∞上单调递减，由22|,2|||)2()(<

<-∴-<⇒->a a f a f