上海中考数学压轴题专题复习——二次函数的综合

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .

（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；

（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.

【答案】（1）抛物线的解析式为223y x x =--+，直线的解析式为3y x .（2）

(1,2)M -；（3）P 的坐标为(1,2)--或(1,4)-或317(+-或317()--. 【解析】

分析：（1）先把点A ，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a ，b ，c 的值即可得到抛物线解析式；把B 、C 两点的坐标代入直线y=mx+n ，解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式；

（2）设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ，此时MA+MC 的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y 的值，即可求出点M 坐标；

（3）设P （-1，t ），又因为B （-3，0），C （0，3），所以可得BC 2=18，PB 2=（-1+3）2+t 2=4+t 2，PC 2=（-1）2+（t-3）2=t 2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标．

详解：（1）依题意得：1203b a a b c c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩

，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，

∴抛物线的解析式为223y x x =--+.

∵对称轴为1x =-，且抛物线经过()1,0A ，

∴把()3,0B -、()0,3C 分别代入直线y mx n =+，

得303m n n -+=⎧⎨=⎩，解之得：13m n =⎧⎨=⎩

， ∴直线y mx n =+的解析式为3y x =+.

（2）直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ，则此时MA MC +的值最小，把1x =-代入直线3y x =+得2y =，

∴()1,2M -.即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为()1,2-. （注：本题只求M 坐标没说要求证明为何此时MA MC +的值最小，所以答案未证明MA MC +的值最小的原因）.

（3）设()1,P t -，又()3,0B -，()0,3C ，

∴218BC =，()2222134PB t t =-++=+，()()222213610PC t t t =-+-=-+， ①若点B 为直角顶点，则222BC PB PC +=，即：22184610t t t ++=-+解得：2t =-，

②若点C 为直角顶点，则222BC PC PB +=，即：22186104t t t +-+=+解得：4t =，

③若点P 为直角顶点，则222PB PC BC +=，即：22461018t t t ++-+=解得： 1317t +=2317t -=. 综上所述P 的坐标为()1,2--或()1,4-或3171,2⎛+- ⎝⎭或3171,2⎛- ⎝⎭

. 点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．

2．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a 为抛物线y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数，a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“衍生三角形”．已知抛物线233333

y x x =--+“衍生直线”交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点C ．

（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；

（2）如图，点M 为线段CB 上一动点，将△ACM 以AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为N ，若△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，求点N 的坐标；

（3）当点E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F ，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）2323y=；（-2，231,0）； （2）N 点的坐标为（0，3-3），（0，23+3）；

（3）E （-1，43F （023）或E （-1，43），F （-4103） 【解析】

【分析】

（1）由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的a 即可；（2）过A 作AD ⊥y 轴于点D ，则可知AN=AC ，结合A 点坐标，则可求出ON 的长，可求出N 点的坐标；（3）分别讨论当AC 为平行四边形的边时，当AC 为平行四边形的对角线时，求出满足条件的E 、F 坐标即可

【详解】

（1）∵2234323y x x =-+a=233

-，则抛物线的“衍生直线”的解析式为2323y=； 联立两解析式求交点2234323332323

y=y x x ⎧=--+⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得x=-2y=23⎧⎪⎨⎪⎩x=1y=0⎧⎨⎩， ∴A （-2，3B （1,0）；

（2）如图1，过A 作AD ⊥y 轴于点D ，

在223432333y x x =--+中，令y=0可求得x= -3或x=1， ∴C （-3,0），且A （-2，23），

∴AC=22-++2133=（23）（）

由翻折的性质可知AN=AC=13，

∵△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，

∴N 在y 轴上，且AD=2，

在Rt △AND 中，由勾股定理可得

DN=22AN -AD =13-4=3，

∵OD=23，

∴ON=23-3或ON=23+3，

∴N 点的坐标为（0，23-3），（0，23+3）；

（3）①当AC 为平行四边形的边时，如图2 ，过F 作对称轴的垂线FH ，过A 作AK ⊥x 轴于点K ，则有AC ∥EF 且AC=EF ，

∴∠ ACK=∠ EFH ，

在△ ACK 和△ EFH 中

ACK=EFH AKC=EHF AC=EF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩

∴△ ACK ≌△ EFH ，

∴FH=CK=1，HE=AK=23

∵抛物线的对称轴为x=-1，

∴ F 点的横坐标为0或-2，

∵点F 在直线AB 上，

∴当F 点的横坐标为0时，则F （0，

233），此时点E 在直线AB 下方， ∴E 到y 轴的距离为EH-OF=32343，即E 的纵坐标为43