2019年重庆一中高2019级高三下期4月月考数学(文科)测试试题卷(PDF版,无答案)
2019年重庆一中高2019届高三下期第一次月考数学(文)试题及答案
2019年重庆一中高2019届高三下期第一次月考数学（文）试题及答案一、选择题（每题5分，共计50分）1．集合1A x y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，集合1B y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，则有（ ）A AB ⊆ B A B ⋂=∅C B A ⊆D 以上均错误2．一个半径为1球内切于一个正方体，切点为,,,,,A B C D E F ，那么多面体ABCDEF 的体积为（ ）A 112B 16C 23D 433．对于任意[1,5]x ∈，则x 满足不等式2340x x --<的概率为（ ）A 34B 15C 35D 454．（原创）直线cos sin 20x y θθ+-=与圆221(sin )(2cos ),()4x y R θθθ-+-=∈的位置关系为（ ）A 相交，相切或相离B 相切C 相切或相离D 相交或相切 5．已知:p “tan tan 1αβ=”， q ：“cos()0αβ+=”，那么p 是q 的（ ）条件 A 充要 B 既不充分，也不必要 C 必要不充分 D 充分不必要6．向量(2,3),(1,)a b λ=-=-r r ，若,a b r r的夹角为钝角，则λ的取值范围为（ ）A23λ>B 23,32λλ>≠-且C 23,32λλ>-≠且D 23λ>-7．（原创）首项为1的正项等比数列{}n a 的前100项满足1=3S S 奇偶，那么数列3log n n a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭（ ）A 先单增，再单减B 单调递减C 单调递增D 先单减，再单增8x m=+没有实数根，则实数m 的取值范围为（ ）A (,)-∞⋃+∞B ⎡⎣C (,)-∞⋃+∞D9．式子的最大值为（ ）A 12 B 110．（原创）定义在实数集R 函数()f x 满足()()20f x f x ++=，且()1f x -为奇函数，现有以下三种叙述：（1）8是函数()f x 的一个周期；（2）()f x 的图像关于点(3,0)对称；（3）()f x 是偶函数.其中正确的是（ ） A （2）（3） B （1）（2） C （1）（3） D （1）（2）（3）二、填空题（每题5分，共计25分）11．椭圆22221(a b 0)x y a b +=>>的左顶点为A ，左右焦点分别为12,F F ，且点1F 分2AF uuu r 的比为12，则该椭圆的离心率为12．三角形,6,4,8ABC AB BC AC ===中，则AB BC ∙=uu u r uu u r13．某小区共有2018人，其中少年儿童，老年人，中青年人数依次成等差数列，现用分层抽样的方法从中抽取60人，那么老年人被抽取了 人14．（原创）直线l 过定点(2,2)且与圆229x y +=交于点,A B ，当AB 最小时，直线l 恰好和抛物线29x ay =-（0a <）相切，则a 的值为15．（原创）集合{}3,[1,2]A y y x x ==∈，集合{}ln 20B x x ax =-+>，且A B ⊆，则实数a 的取值范围是三、解答题（共计75分） 16．（13分）现从两个文艺组中各抽一名组员完成一项任务，第一小组由甲，乙，丙三人组成，第二小组由丁，戊两人组成.（1）列举出所有抽取的结果； （2）求甲不会被抽到的概率.17．（13分）函数44()cos sin 2sin cos 2,()f x x x x x x R =-++∈ （1）求函数)2(x f 的最小正周期和对称轴；（2）求函数)8(π+x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,0π的值域.18．（13分）数列}{n a 满足,11=a 且),1(*1N n n n a a n n ∈>+=-， （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）数列}{n b 满足n n a b 1=，求数列}{n b 的前n 项的和n S .19．原创（12分）直三棱柱111ABC A B C -，棱1AA 上有一个动点E 满足1AE A E λ=.（1）求λ的值，使得三棱锥E ABC -的体积是三棱柱111ABC A B C -体积的19；（2）在满足（1）的情况下，若12AA AB BC AC ====，1CE AC M⋂=，确定BE 上一点N ，使得11//MN BCC B 面，求出此时BN 的值.20．（12分）已知函数()()2ln 20f x x ax bx a =-+>，且'(1)0f =（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）试问函数()f x 图像上是否存在两点()()1122,,,A x y B x y ，其中21x x >，使得函数()f x 在C 1B 1A 1MECB122x x x +=的切线与直线AB 平行？若存在，求出,A B 的坐标，不存在说明理由.21．原创（12分）点1F ，2F 是椭圆C 的22143x y +=左右焦点，过点1F 且不与x 轴垂直的直线交椭圆于,P Q 两点. （1）若22PF QF ⊥，求此时直线PQ 的斜率k ；（2）左准线l 上是否存在点A ，使得V PQA 为正三角形？若存在，求出点A ，不存在说明理由.出题人：廖桦 审题人：张伟2018年重庆一中高2018级高三下期第一次月考 数 学 答 案（文科）一、选择题（每题5分，共计50分） BDACD CACBD二、填空题（每题5分，共计25分）11．12； 12．6； 13. 2014．18- 15．2ln 8(,)8+-∞三、解答题（共计75分）16．（13分） 解：（1）结果有：甲丁，甲戊，乙丁，乙戊，丙丁，丙戊； （2）记A=“甲不会被抽到”，根据（1）有3264)(==A P17．（13分） 解：（1）44()cos sin 2sin cos 2cos 2sin 22)24f x x x x x x x x π=-++=++=++所以2)44sin(2)2(++=πx x f根据公式，其最小正周期242ππ==T ，要求其对称轴，则有Zk k x ∈+=+,244πππ，即对称轴为Z k k x ∈+=,164ππ（2）22cos 22)22sin(2)8(+=++=+x x x f ππ，根据单调性，其在⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,0π的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,22218．（13分）解：（1）由),1(*1N n n n a a n n ∈>+=-有n a a n n =--1，由叠加可得 121321(1)()()()12(2)2n n n n n a a a a a a a a n n -+=+-+-++-=+++=>L L ，当1=n 时，上式的值为1，满足条件,11=a所以，2)1(+=n n a n（2）)111(2)1(2+-=+=n n n n b n ，所以12)1113121211(2+=+-++-+-=n n n n S n19．（12分）解：（1）根据条件，有11=39Sh Sh 锥柱，1=3h h 锥柱，即点E 到底面ABC 的距离是点1A 到底面ABC 距离的13，所以12λ=； （2）根据条件，易得112AE EM CC CM ==，则当13EM EN MC BN ==时//BC MN ，即有11//MN BCC B 面，即34BN BE=时，有，所以BN =20．（12分）解：（1）()'122f x ax b x =-+，又'(1)0f =，所以有221b a =-，所以()()'1122112,f x ax a x a x x ⎛⎫=-+-=--+ ⎪⎝⎭又0,0a x >>，所以()'0f x >有01x <<，所以()f x C 1B 1A 1ME CB的单调递增区间为(0,1) （2）根据条件()21111ln 21y x ax a x =-+-，()21222ln 21y x ax a x =-+-，所以()()1212121212ln ln 21AB y y x x k a x x a x x x x --==-++---，而()()'1212122212ABx x f a x x a k x x +⎛⎫=-++-= ⎪+⎝⎭，则整理可得121212ln ln 2x x x x x x -=-+，即有12121221ln 1x x xx x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，令12(0t 1)x t x =<<，即4ln 201t t +-=+，令()4g ln 2(0t 1)1t t t =+-<≤+，则()()()2'21g 01t t t t -=≥+，则函数()g t 在(]0,1上单增，而()g 10=，所以在()0,1内，()g 0t <，即4ln 201t t +-=+在()0,1内无解，所以，不存在.21．（12分）解：（1）设直线PQ 为()1y k x =+，联立椭圆方程22143x y +=可得()22223484120k xk x k +++-=，设点()()1122,k ,,k P x x k Q x x k ++，则有221212228412,3434k k x x x x k k -+=-=++，又22PF QF ⊥，可得220PF QF ∙=uuu r uuu r，即有()()()22212121110kx x k x x k -+++++=，整理可得279,k k ==（2）记PQ 的中点为M ，要使得PQA 为正三角形，当且仅当点A 在PQ 的垂直平分线上且PQ MA 23=,现作l MM ⊥1于1M ，则123MM PQ >,根据第二定义可得PQePQ MM ==21，则有123>，显然不成立，即不能存在.。
重庆市一中2019届高三数学下学期4月模拟考试试题理
重庆市一中届高三数学下学期月模拟考试试题理注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。
.作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
.考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷一．选择题：本题共小题，每小题分，共分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
．已知复数满足（是虚数单位），则．．．．.已知集合，，则．．．．.若，，，则实数的大小关系为. ．．．. 下列说法正确的是. 设是实数，若方程表示双曲线，则．.“为真命题”是“为真命题”的充分不必要条件．. 命题“，使得”的否定是：“，”．. 命题“若为的极值点，则”的逆命题是真命题．. 执行右边的程序框图，若输出的的值为，则判断框中可以填入的关于的判断条件是．．．．. 在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论。
甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师（第题）看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了。
”请问下列说法正确的是.甲说对了. 甲做对了 .乙说对了.乙做对了.割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现。
右图揭示了刘徽推导三角形面积公式的方法。
在内任取一点，则该点落在标记“盈”的区域的概率为. . . .是. 将函数的图像向左平移（）个单位长度后，所得图像关于轴对称，则的值可能为．．．．.已知空间中不同直线、和不同平面、，下面四个结论：①若、互为异面直线，，则；②若，，，则；③若，，则；④若，，，则. 其中正确的是. ①② .②③ . ③④ . ①③.在中，三内角、、对应的边分别为、、，且，，边上的高为，则的最大值为．．．．. 若一个四位数的各位数字相加和为，则称该数为“完美四位数”，如数字“”.试问用数字组成的无重复数字且大于的“完美四位数”有（）个. . . ..设表示不大于实数的最大整数，函数，若关于的方程有且只有个解，则实数的取值范围为. . . .第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
重庆市第一中学2019届高三下学期4月月考(理)数学试题(解析版)
2019年重庆一中高2019级高三下期月考理科学数学一、选择题1.设集合2{log 1}A x x =≤，集合2{|20}B x x x =+-<，则A B U 为（ ）A. (0,1)B. (2,2]-C. (,2]-∞D. (2,1)- 【答案】B【分析】先通过解不等式得出集合,A B ，然后再求A B U .【详解】由2log 1x ≤得，02x <≤，即(]0,2A =.由220x x +-<得，21x -<<，即()2,1B =-.所以(]2,2A B =-U故选：B【点睛】本题考查解对数不等式和二次不等式以及集合的并集运算，属于基础题.2.已知复数z 满足()2201913z i i +=+，则||z =（ ）A. B. C. 14 D. 【答案】A【分析】由2019450433i i i i ⨯+==-=先求出复数z ，然后再求||z .【详解】由2019450433i i i i ⨯+==-=.所以由()2201913z i i +=+得：()213z i i -=+即()23z i i -=+，故：33122i i z i +-==-所以||2z == 故选：A【点睛】本题考查复数的运算，复数的模长的计算，属于基础题.3.设函数31log (1),1()1,12x x x f x x -->⎧⎪=⎨⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎩…，则(1)f =（ ）A. 0B. 1-C. 1D. 2【答案】C 【分析】根据函数的表达式直接将(1)f 的值代出可求出答案. 【详解】由函数的表达式有111(1)12f -⎛⎫== ⎪⎝⎭故选：C 【点睛】本题考查分段函数求函数值，属于基础题.4.已知第一象限内抛物线24y x =上的一点Q 到y 轴的距离是该点到抛物线焦点距离的12，则点Q 的坐标为（ ）A. (1,2)-B. (1,2)C.D. 1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】B【分析】设()(),0,0Q x y x y >>，根据抛物线的定义以及题目条件可得12x x +=，从而求出Q 点的坐标.【详解】抛物线24y x =的准线方程为：1x =-.设()(),0,0Q x y x y >>，则点Q 到y 轴的距离为x ，点Q 到准线的距离为1x +.根据抛物线的定义有：点Q 到焦点的距离为1x +.又点Q 到y 轴的距离是该点到抛物线焦点距离的12. 所以12x x +=，得1x = ，则2y =即(1,2)Q故选：B【点睛】本题考查抛物线的定义的运用，属于基础题.5.我国古代数学著作《孙子算经》中记有如下问题：“今有五等诸侯，其分橘子六十颗，人別加三颗”，问：“五人各得几何？”其意思为：“现在有5个人分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子.”根据这个问题，下列说法错误的是（ ）A. 得到橘子最多的诸侯比最少的多12个B. 得到橘子的个数排名为正数第3和倒数第3的是同一个人C. 得到橘子第三多的人所得的橘子个数是12D. 所得橘子个数为倒数前3的诸侯所得的橘子总数为24。
2019届重庆市第一中学校高三下学期第三次月考数学(理)试题(含答案解析)
2019届重庆市第一中学校高三下学期第三次月考数学（理）试题一、单选题1．已知复数z 满足(1)1z i i -=+（i 是虚数单位），则z =（ ） A ．0 B ．12C ．1D ．32【答案】C【解析】先求出复数z,再求|z|得解. 【详解】由题得21(1)2,||11(1)(1)2i i iz i z i i i ++====∴=--+ 故选C 【点睛】本题主要考查复数的除法运算和复数的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 2．已知集合{|A x y ==，2{|230,}B x x x x Z =--<∈，则()RC A B =I （ ） A ．{1} B ．{2}C ．{1,2}D ．{1,2,3}【答案】C【解析】先化简集合A,B ，再求()R C A B I 得解. 【详解】由题得A={x|x ＜1},B={x|-1＜x ＜3，x ∈Z}={0,1,2}, 所以{|1}R C A x x =≥， 所以()={1,2}R C A B I . 故选：C 【点睛】本题主要考查集合的化简，考查集合的补集和交集的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．若，，，则实数，，的大小关系为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】先求出a,b,c 的范围，再比较大小即得解. 【详解】 由题得，，所以a>b>c. 故选：A 【点睛】本题主要考查对数函数和指数函数的单调性的应用，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 4．下列说法正确的是（ ）A ．设m 为实数，若方程22112x y m m+=--表示双曲线，则m ＞2．B ．“p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的充分不必要条件C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2+2x +3＜0”的否定是：“∀x ∈R ，x 2+2x +3＞0”D ．命题“若x 0为y ＝f （x ）的极值点，则f ’（x ）＝0”的逆命题是真命题 【答案】B【解析】根据双曲线的定义和方程判断A ，复合命题真假关系以及充分条件和必要条件的定义判断B ，特称命题的否定是全称命题判断C ，逆命题的定义以及函数极值的性质和定义判断D. 【详解】对于A ：若方程表示双曲线，则()()120m m --<，解得2m >或1m <，故A 错误； 对于B ：若p q ∧为真命题，则p ，q 同时为真命题，则p q ∨为真命题，当p 真q 假时，满足p q ∨为真命题，但p q ∧为假命题，即必要性不成立，则“p q ∧为真命题”是“p q ∧为真命题”的充分不必要条件，故B 正确；对于C ：命题“x R ∃∈，使得2230x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，2230x x ++≥”，故C 错误；对于D ：命题“若0x 为()y f x =的极值点，则()0f x '=”的逆命题是：“若()0f x '=，则0x 为()y f x =的极值点”，此逆命题为假命题，比如：在()3f x x =中，()23f x x '=，其中()00f '=，但0x =不是极值点，故D 错误. 故选：B. 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，综合性较强，难度不大，属于基础题． 5．执行下面的程序框图，若输出的S 的值为63，则判断框中可以填入的关于i 的判断条件是（ ）A ．5i ≤B ．6i ≤C ．7i ≤D ．8i ≤【答案】B【解析】根据程序框图，逐步执行，直到S 的值为63，结束循环，即可得出判断条件. 【详解】 执行框图如下： 初始值：0,1S i ==，第一步：011,112S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第二步：123,213S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第三步：347,314S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第四步：7815,415S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第五步：151631,516S i =+==+=，此时不能输出，继续循环；第六步：313263,617S i =+==+=，此时要输出，结束循环； 故，判断条件为6i ≤. 故选B 【点睛】本题主要考查完善程序框图，只需逐步执行框图，结合输出结果，即可确定判断条件，属于常考题型.6．在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论.甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了.”请问下列说法正确的是（ ） A ．乙做对了 B ．甲说对了C ．乙说对了D ．甲做对了【答案】B【解析】分三种情况讨论：甲说法对、乙说法对、丙说法对，通过题意进行推理，可得出正确选项. 【详解】分以下三种情况讨论：①甲的说法正确，则甲做错了，乙的说法错误，则甲做错了，丙的说法错误，则丙做对了，那么乙做错了，合乎题意；②乙的说法正确，则甲的说法错误，则甲做对了，丙的说法错误，则丙做对了，矛盾； ③丙的说法正确，则丙做错了，甲的说法错误，则甲做对了，乙的说法错误，则甲做错了，自相矛盾. 故选：B. 【点睛】本题考查简单的合情推理，解题时可以采用分类讨论法进行假设，考查推理能力，属于中等题.7．割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现．下图揭示了刘徽推导三角形面积公式的方法．在ABC ∆内任取一点，则该点落在标记“盈”的区域的概率为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】C【解析】根据题意可得该点落在标记“盈”的区域的面积为三角形面积的四分之一，即可得解. 【详解】 由题得1,=,22ABC ABC aS ah S h S S ∆∆=∴=矩形矩形. 所以“盈”的区域的面积等于“虚”的区域的面积. 而“虚”的区域占矩形区域的面积的四分之一，所以该点落在标记“盈”的区域的面积为三角形面积的四分之一， 故该点落在标记“盈”的区域的概率为14， 故选C ． 【点睛】本题考查了几何概型的概率公式，考查了数学文化知识，属于基础题 8．将函数2()23)sin 2sin 12f x x x x ππ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭的图像向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的值可能为（ ） A ．6π B ．23π C ．2π D ．3π 【答案】D【解析】先化简函数的解析式，再平移得到函数2sin(22)6y x πϕ=+-，再根据函数的对称性得解. 【详解】由题得(x)23sin cos cos23sin 2cos22sin(2)6f x x x x x x π=-=-=-，将函数2()23)sin 2sin 12f x x x x ππ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭的图像向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到2sin[2()]2sin(22)66y x x ππϕϕ=+-=+-，由题得2,,()6223k k k Z ππππϕπϕ-=+∴=+∈, 当k=0时，=3πϕ.故选D 【点睛】本题主要考查三角恒等变换和图像的变换，考查函数奇偶性的应用，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 9．已知空间中不同直线m 、n 和不同平面α、β，下面四个结论： ①若m 、n 互为异面直线，m ∥α，n ∥α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ②若m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，则α⊥β； ③若n ⊥α，m ∥α，则n ⊥m ； ④若α⊥β，m ⊥α，n ∥m ，则n ∥β． 其中正确的是（ ） A ．①② B ．②③C ．③④D ．①③【答案】D【解析】由线面和面面平行和垂直的判定定理和性质定理即可得解． 【详解】对于①，由面面平行的判定定理可得，若m 、n 互为异面直线，m ∥α，n ∥β，则α∥β或相交，又因为m ∥β，n ∥α，则α∥β，故①正确；对于②，若m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，则α⊥β或α∥β或α，β相交，故②错误， 对于③，若n ⊥α，m ∥α，则n ⊥m ；故③正确，对于④，若α⊥β，m ⊥α，n ∥m ，则n ∥β或n ⊂β，故④错误， 综上可得：正确的是①③， 故选D ． 【点睛】本题考查了线面、面面的位置关系，考查了线面垂直、平行的判定及性质定理的应用，属中档题．10．在ABC ∆中，三内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，且a =(sin )sin C B B A =，BC 边上的高为h ，则h 的最大值为（ ）A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】C【解析】先化简已知得c 2sin()3B π=+，再求出1sin(2)62h B π=-+，再利用三角函数求h 最大值得解. 【详解】(sin )sin C B B A =+，(sin )(sin )B B a B B =+⋅=+所以c 2sin()3B π=+.所以1h csinB 2sin()sinB 2sinB(sinB )32B B π==+= 所以1sin(2)62h B π=-+, 所以当B=3π时，h 取最大值32. 故选C 【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，考查三角函数和三角恒等变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11．若一个四位数的各位数字相加和为10，则称该数为“完美四位数”，如数字“2017”.试问用数字0，1，2，3，4，5，6，7组成的无重复数字且大于2017的“完美四位数”有（ ）个. A ．71 B ．66C ．59D ．53【答案】A【解析】根据题意，分析可得四位数字相加和为10的情况有①0、1、3、6，②0、1、4、5，③0、1、2、7，④0、2、3、5，⑤1、2、3、4；共5种情况，据此分5种情况讨论，依次求出每种情况下大于2017的“完美四位数”的个数，将其相加即可得答案． 【详解】根据题意，四位数字相加和为10的情况有①0、1、3、6，②0、1、4、5，③0、1、2、7，④0、2、3、5，⑤1、2、3、4；共5种情况， 则分5种情况讨论：①、四个数字为0、1、3、6时，千位数字可以为3或6，有2种情况，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有336A =种情况，此时有2612⨯=个“完美四位数”，②、四个数字为0、1、4、5时，千位数字可以为4或5，有2种情况，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有336A =种情况，此时有2612⨯=个“完美四位数”，③、四个数字为0、1、2、7时，千位数字为7时，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有336A =种情况，千位数字为2时，有2071、2107、2170、2701、2710，共5种情况，此时有6511+=个“完 美四位数”，④、四个数字为0、2、3、5时，千位数字可以为2或3或5，有3种情况，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有336A =种情况，此时有1863=⨯个“完美四位数”，⑤、四个数字为1、2、3、4时，千位数字可以为3或4或2，有3种情况，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有336A =种情况，此时有1863=⨯个“完美四位数”，则一共有121211181871++++=个“完美四位数”， 故选：A ． 【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的运用，分类讨论注意做到不重不漏．12．设[]x 表示不大于实数x 的最大整数，函数2ln [ln ]1,0()(1),0xx x x f x e ax x ⎧-->=⎨+≤⎩，若关于x 的方程()1f x =有且只有5个解，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,1)-∞-B ．(,)e -∞-C ．(,1]-∞-D ．(,]e -∞-【答案】A【解析】根据分段函数的解析式，先讨论当x ＞0时，函数零点的个数为三个，再讨论当x≤0时，函数的零点的个数为2个，利用导数结合数形结合分析得解. 【详解】首先，确定在x ＞0上，方程f(x)=1的解.{0,1,2,3,4,}n ∈L 时，在(1)(1)[,)n n n n x e e e x e -+--+-∈≤<上，， (1)ln n x n -+≤<-，所以由取整意义有[lnx]=-(n+1), 又222ln (1),n x n <≤+22()31,n n f x n n ∴+<≤++即在(1)[,)n n x ee -+-∈上，恒有22()31,n nf x n n +<≤++221(x)1n 3,n n f n +-<-≤+取n=0,1()10f x -<-≤，令11,()1,x e f e --==此时有一根1x e -=， 当n≥1时，恒有f(x)-1＞1， 此时在(1)[,)n n x e e -+-∈上无根.在1[,)nn x e e+∈上，1n n e x e +≤<，ln 1[ln ]n x n x n ≤<+=，，又222ln 1n x n ≤<+（），221()(1)1,n n f x n n ∴--≤<+--所以在1[,)nn x e e+∈上，恒有221()n n f x n n --≤<+，222()11n n f x n n ∴--≤-≤+-.n=1时，在2[,e e ）上，有2f -≤≤（x)-11, n=2时，在23,)e [e 上， 有0()15,f x ≤-<()1,f x ∴=即2ln 11,x n --=2ln 2,,n x n x e+=+=所以此时有两根，32,.x e =x=e 这样在+∞（0，）上，f(x)=1, 有三根，132123,,x e x e -==x =e 在(,0]f(x)e (1),xx ax ∈-∞=+上， 显然(0)1,f =有一根4=0x ，所以在-0∞（，）上，f(x)=1有且仅有一根， →∞又x -时，由“洛必达法则” -lim ()lim (1)0.x x x f x e ax →∞→-∞=+=-0∴∞在（，）上，f(x)是先增后减，(1),0x ax a ''++f (x)=e f (x)=得101a x a a+=-<⇒<-或a ＞0. 1--)()a f x a +∞又在（，上，单调递增，()0f x '∴>即1e ()0,01,a aa a a +-⋅->⇒<<-又1.a ∴<-故选：A 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，难度较大.二、填空题13．若实数，满足约束条件，则的最大值是________．【答案】【解析】作出不等式组表示的平面区域，平移目标函数所表示的直线，可得出目标函数的最大值.【详解】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示：可变形为，表示斜率为的直线，平移该直线，当直线经过点时，取得最大值，．【点睛】本题考查简单的线性规划问题.14．已知平面向量a r ，b r 的夹角为3π，且1a =r ，1322b ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r ，则(2)a b b +⋅=r r r________．【答案】52【解析】先由题意求出b r ，得到a b ⋅r r，进而可求出结果.【详解】因为13,22b ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r ，所以1b =r ，又向量a r ，b r 的夹角为3π，且1a =r ，则1cos 32b a b a π=⋅=r r r r ，所以21(2)52222a b b a b b +⋅=⋅+=+=r r r r r r .故答案为52【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，熟记概念与运算法则即可，属于常考题型.15．在(0)na x a x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，且所有项的系数和为256，则含6x 的项的系数为_________． 【答案】8.【解析】根据已知求出n=8和a=1,再求含6x 的项的系数. 【详解】因为只有第5项的二项式系数最大， 所以n=8.因为所有项的系数和为256， 所以81+a)256,1a =∴=（.设81x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项为8821881()r r r r r r T C x C x x --+==，令8-2r=6,所以r=1.所以含6x 的项的系数为188C =.故答案为：8 【点睛】本题主要考查二项式的展开式的系数的求法，考查二项式系数问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16．已知抛物线C ：24(0)y mx m =>与直线0x y m --=交于A 、B 两点（A 、B 两点分别在x 轴的上、下方），且弦长8AB =，则过A ，B 两点、圆心在第一象限且与直线50x y +-+=相切的圆的方程为____________． 【答案】22(1)(4)24x y -+-=.【解析】先求出圆的半径为1,4），即得圆的方程. 【详解】联立直线和抛物线的方程得2260,x mx m -+=由题得1，所以m=1.所以2610,x x -+=解之得A(3(3B ++--,所以AB 的垂直平分线方程为y=-x+5, 因为圆心在AB 的垂直平分线上， 所以设圆心（t,-t+5）,因为AB的垂直平分线和直线50x y +-+=平行，因为两平行线间的距离为d ==所以圆的半径为因为点A (3++在圆上，所以22)(3)24,(05)t t t +-=<<（， 所以t=1.所以圆心为（1,4），所以圆的方程为22(1)(4)24x y -+-=. 故答案为：22(1)(4)24x y -+-= 【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查圆的标准方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题17．已知数列{}n a 满足：()*111,2n n n a a n N a +≠=-∈，数列{}n b 中，11n n b a =-，且124,,b b b 成等比数列； （1）求证：{}n b 是等差数列；（2）n S 是数列{}n b 的前n 项和，求数列{1nS }的前n 项和n T ． 【答案】(1)证明见解析 (2)21n nT n =+． 【解析】（1）根据递推式构造出111111n n a a +=+--，即11n n b b +=+，可得证；（2）先根据等差数列的前n 项和公式，求出n S ，可得1nS ，再运用裂项求和的方法可得解. 【详解】（1）证明：()*111,2n n n a a n a +≠=-∈N ，可得11111n n n na a a a +--=-=， 所以111111n n a a +=+--，因为11n n b a =-，所以得11n n b b +=+，所以{}n b 是公差为1的等差数列；（2）124,,b b b 成等比数列，可得2214b b b =，可得()()211113b b b +=+，解得11b =，即21(1)22n n nS n n n +=+-=，可得12112(1)1n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 则前n 项和11111212231n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪+⎝⎭L 122111nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 所以21n nT n =+. 【点睛】本题考查根据递推式证明数列是等差数列，等差数列的前n 项和,以及运用裂项相消法求数列的和的方法，在证明数列是等差数列时，需构造等差数列的定义式，属于中档题. 18．某蛋糕店制作并销售一款蛋糕，制作一个蛋糕成本3元，且以8元的价格出售，若当天卖不完，剩下的则无偿捐献给饲料加工厂。
重庆一中2019-2020学年高三(下)第一次月考数学试卷(文科)(解析版)
2019-2020学年重庆一中高三（下）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若全集U＝{x|﹣1≤x≤4}，集合A＝{x|≤3x≤27}，则∁U A＝（）A．[﹣1，3]B．（3，4]C．[3，4]D．（3，4）2．已知i为虚数单位，则i+i2+i3+…+i2019等于（）A．i B．1C．﹣i D．﹣13．已知椭圆（a＞b＞0）分别过点A（2，0）和B（0，﹣1），则该椭圆的焦距为（）A．B．C．D．4．中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13.1万公里，其中高铁营业里程2.9万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，如图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图，以下结论不正确的是（）A．每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著B．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年价正相关C．2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上D．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列5．若，则tan2θ＝（）A．B．C．D．6．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3+a6＝20，S5＝35，则S7＝（）A．57B．60C．63D．667．已知一个圆柱的轴截面是面积为36的正方形，则这个圆柱的侧面积为（）A．36πB．27πC．18πD．12π8．若变量x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．B．C．﹣2D．9．在直三棱柱ABC﹣A 1B1C1中，已知AB⊥BC，AB＝BC＝2，，则异面直线AC1与A1B1所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°10．已知函数f（x）＝﹣x2+4x+m（e x﹣2+e2﹣x）有唯一零点，则实数m＝（）A．﹣B．2C．D．﹣211．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，且F到准线l的距离为2，直线与抛物线C交于P，Q两点（点P在x轴上方），与准线l交于点R，若|QF|＝3，则＝（）A．B．C．D．12．设奇函数f（x）的定义域为（﹣，），且f（x）的图象是连续不间断，∀x∈（﹣，0），有f′（x）cos x+f（x）sin x＞0，若f（m）＜f（）cos（﹣m），则m的取值范围是（）A．（﹣，﹣）B．（0，）C．（﹣，）D．（，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知f（x）＝，则f（f（ln3））＝．14．西周初数学家商高在公元前1000年发现勾股定理的一个特例，勾三，股四，弦五．此发现早于毕达哥拉斯定理五百到六百年，我们把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数成为勾股数．现从（3，4，5），（5，12，13），（6，8，10），（7，24，25），（8，15，17），（9，40，41），（9，12，15），（10，24，26），（15，20，25），（15，36，39）这几组勾股数中随机抽取1组，则被抽出的这组勾股数刚好构成等差数列的概率为．15．在平面直角坐标系中，动点P在椭圆C：+＝1上运动，则点P到直线x﹣y﹣10＝0的距离的最大值为．16．已知三棱锥D﹣ABC的每个顶点都在球O的表面上，AB＝6，AC＝2，AB⊥AC，顶点D在平面ABC上的投影E为BC的中点，且DE＝5，则球O的体积为．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）已知等差数列{a n}的公差为d（d≠0），等差数列{b n}的公差为2d，设A n，B n 分别是数列{a n}，{b n}的前n项和，且b1＝3，A2＝3，A5＝B3．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设，数列{c n}的前n项和为S n，证明：．18．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是边AD上的一点，且AE＝2ED，点H是BE的中点，将△ABE沿着BE折起，使点A运动到点S处，且有SC＝SD．（1）证明：SH⊥平面BCDE；（2）求三棱锥C﹣SHE的体积．19．（12分）某大型商场的空调在1月到5月的销售量与月份相关，得到的统计数据如表：月份x12345销量y（百台）0.60.8 1.2 1.6 1.8（1）经分析发现1月到5月的销售量可用线性回归模型拟合该商场空调的月销量y（百件）与月份x之间的相关关系．请用最小二乘法求y关于x的线性回归方程，并预测6月份该商场空调的销售量；（2）若该商场的营销部对空调进行新一轮促销，对7月到12月有购买空调意愿的顾客进行问卷调查．假设该地拟购买空调的消费群体十分庞大，经过营销部调研机构对其中的500名顾客进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：有购买意愿对应的月份789101112频数60801201308030现采用分层抽样的方法从购买意愿的月份在7月与12月的这90名顾客中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3人进行跟踪调查，求抽出的3人中恰好有2人是购买意愿的月份是12月的概率．参考公式与数据：线性回归方程，其中，．20．（12分）已知抛物线y2＝2px（p＞0），直线y＝x+2是它的一条切线．（1）求p的值；（2）若A（2，4），过点p（m，0）作动直线交抛物线于B，C两点，直线AB与直线AC 的斜率之和为常数，求实数m的值．21．（12分）设函数f（x）＝ax2﹣（a﹣2）x﹣lnx（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）恰有两个零点，求a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴正半轴重合，直线l 的参数方程为：，曲线C的极坐标方程为：ρ＝4sinθ．（1）写出曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于P，Q两点，直线l过定点M（2，0），若，求直线l的斜率．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，函数f（x）＝|x﹣a|．（1）若a＝2，解不等式f（x）+f（x+3）≤5；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣f（x+2a），且存在x0∈R使得成立，求实数a的取值范围．2019-2020学年重庆一中高三（下）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【分析】可以求出集合A，然后进行补集的运算即可．【解答】解：∵U＝{x|﹣1≤x≤4}，A＝{x|﹣1≤x≤3}，∴∁U A＝（3，4]．故选：B．【点评】本题考查了描述法、区间的定义，指数函数的单调性，补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．【分析】利用等比数列前n项和化简，再由虚数单位i的性质及复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：i+i2+i3+ (i2019)＝．故选：D．【点评】本题考查等比数列前n项和，考查虚数单位i的性质，是基础题．3．【分析】利用已知条件求出a，b，c，即可求出椭圆的焦距．【解答】解：椭圆（a＞b＞0）分别过点A（2，0）和B（0，﹣1），可得：a＝2，b＝1，所以，从而．故选：B．【点评】本题考查椭圆的性质，考查运算求解能力．4．【分析】先对图表信息进行处理，再结合等差数列的概念及简单的合情推理逐一检验即可得解．【解答】解：由2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图可知：选项A，B显然正确；对于选项C，因为，即选项C正确；1.6，1.9，2.2，2.5，2.9不是等差数列，即选项D错误，故选：D．【点评】本题考查统计的知识，考查数据处理能力和应用意识，属中档题．5．【分析】由已知利用两角差的正切函数公式可求tanθ的值，根据二倍角的正切函数公式即可求解．【解答】解：因为，所以，解得tanθ＝7，从而．故选：C．【点评】本题考查三角恒等变换在三角函数化简求值中的应用，考查运算求解能力，属于基础题．6．【分析】设数列{a n}的公差为d，因为数列a3+a6＝20，S5＝35，所以a3+a6＝20，a3＝7，解得a3＝7，a6＝13，利用通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设数列{a n}的公差为d，因为数列a3+a6＝20，S5＝35，所以a3+a6＝20，a3＝7，解得a3＝7，a6＝13，所以a6﹣a3＝3d＝6，解得，所以a n＝2n+1，，从而S7＝63．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．【分析】设出底面半径，求出底面半径与高，即可求解圆柱的侧面积．【解答】解：设底面圆的半径为r，则高为2r，由2r•2r＝36，得r2＝9，所以．故选：A．【点评】本题考查圆柱体的侧面积的计算，考查空间想象能力和运算求解能力．8．【分析】画出可行域，利用目标函数的几何意义求解即可．【解答】解：表示通过可行域内的点（x，y）与坐标原点的直线的斜率，画出不等式组表示的可行域，点A（﹣1，2）坐标原点（0，0）的连线斜率最小，可行域的B（﹣2，1）与原点（0，0）的连线斜率最大，最大值为：．故选：B．【点评】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力．9．【分析】由题意画出图形，连接AC1，BC1，可知∠BAC1为异面直线AC1与A1B1所成的角．然后求解三角形得答案．【解答】解：连接AC1，BC1，可知∠BAC1为异面直线AC1与A1B1所成的角．∵△ABC1为直角三角形，且AB⊥BC1，AB＝2，，∴，得∠BAC 1＝60°．即异面直线AC1与A1B1所成的角为60°．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成的角的大小，考查空间想象能力和运算求解能力，是基础题．10．【分析】由已知结合f（4﹣x）＝f（x），从而可得函数的图象关于x＝2对称，交点也关于x＝2对称，结合唯一零点的条件可得f（2）＝0，从而可求．【解答】解：因为f（x）＝x（4﹣x）+m（e x﹣2+e2﹣x），所以f（4﹣x）＝（4﹣x）x+m（e x﹣2+e2﹣x）＝f（x）所以f（4﹣x）＝f（x）即函数图象关于x＝2轴对称，故函数的图象与x轴的交点也关于x＝2对称，又因为函数有唯一零点，故根据函数的对称性可知，只能交在（2，0即f（2）＝4+2m＝0，所以m＝﹣2．故选：D．【点评】本题主要考查了利用函数的对称性求解函数值，解题的关键是发现函数图象关于x＝2对称的性质．11．【分析】如图所示，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，且F到准线l的距离为2，可得p＝2．y2＝4x．由|QF|＝3＝x Q+1，解得x Q＝2．联立，化为：x2﹣（4m2+2）x+5＝0．利用根与系数的关系可得x P，利用＝＝即可得出．【解答】解：如图所示，∵抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，且F到准线l的距离为2，∴p＝2．∴y2＝4x．|QF|＝3＝x Q+1，解得x Q＝2．联立，化为：x2﹣（4m2+2）x+5＝0．∴2x P＝5，解得x P＝，则＝＝＝＝．故选：C．【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、斜率计算公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．【分析】依题意，令g（x）＝，x∈（﹣，），则g（x）＝为奇函数且在区间（﹣，）上单调递增，故f（m）＜f（）cos（﹣m）可等价转化为：＝＜，从而可得答案．【解答】解：令g（x）＝，x∈（﹣，），∵f（x）为奇函数，y＝cos x为偶函数，∴g（x）＝，x∈（﹣，）为奇函数．∵∀x∈（﹣，0），有f′（x）cos x+f（x）sin x＞0，∴g′（x）＝＞0，∴g（x）在区间（﹣，0）上单调递增，又g（x）为奇函数，∴g（x）在区间（﹣，）上单调递增，当x∈（﹣，），cos x＞0，∴f（m）＜f（）cos（﹣m）⇔＝＜，∴﹣＜m＜．故选：C．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查等价转化思想与综合运算能力，考查函数的单调性与奇偶性，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（ln3）的值，进而计算可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）＝，则f（ln3）＝﹣e ln3＝﹣3，则f（f（ln3））＝f（﹣3）＝（﹣3）2﹣1＝8；故答案为：8．【点评】本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题．14．【分析】基本事件总数n＝10，被抽出的这组勾股数刚好构成等差数列包含的基本事件有4个，由此能求出被抽出的被抽出的这组勾股数刚好构成等差数列的概率．【解答】解：可以构成一个直角三角形三边的一组正整数成为勾股数．现从（3，4，5），（5，12，13），（6，8，10），（7，24，25），（8，15，17），（9，40，41），（9，12，15），（10，24，26），（15，20，25），（15，36，39）这几组勾股数中随机抽取1组，基本事件总数n＝10，被抽出的这组勾股数刚好构成等差数列包含的基本事件有：（3，4，5），（6，8，10），（9，12，15），（15，20，25），共4个，则被抽出的被抽出的这组勾股数刚好构成等差数列的概率为P＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．【分析】设与直线x﹣y﹣10＝0平行的直线与椭圆相切时，两条平行线之间的最大值为点到直线的最大距离，将所设直线与椭圆联立，由判别式等于0可得参数的值，由平行线间的距离公式可得最大值．【解答】解：设与直线x﹣y﹣10＝0平行的直线x﹣y+c＝0与椭圆相切，两条平行线的距离的最大值为点P到直线x﹣y﹣10＝0的距离的最大值，联立，整理可得25x2+32cx+16c2﹣16×9＝0，△＝322c2﹣4×25×16（c2﹣9）＝0，解得：c2＝25，c＝±5，所以平行线间的距离为：＝或，所以最大值为，故答案为：．【点评】本题考查直线与椭圆相切及椭圆的性质，属于中档题．16．【分析】由题意可知DE⊥平面ABC，球心O在DE上，由球的性质可知，代入可求R，然后结合球的体积公式即可求解．【解答】解：因为AB＝6，AC＝2，AB⊥AC，所以BC＝＝2，由题意可知△ABC外接圆半径r＝＝，因为DE⊥平面ABC，则可知球心O在DE上，由球的性质可知R2＝（5﹣R）2+15，解可得R＝4，故球的体积V＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了球体积的求解，解题的关键是球半径的求解，属于中档试题．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．【分析】（1）运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得，运用数列的求和公式和裂项相消求和，计算可得所求和．【解答】解：（1）因为数列{a n}，{b n}是等差数列，且A2＝3，A5＝B3，所以2a1+d＝3，5a1+10d＝9+6d．解得a1＝d＝1，所以a n＝a1+（n﹣1）•d＝n，即a n＝n，b n＝b1+（n﹣1）•2d＝2n+1，即b n＝2n+1．综上a n＝n，b n＝2n+1．（2）证明：由（1）得，所以，即．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和和裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18．【分析】（1）取CD的中点M，连接HM，SM，推导出SH⊥BE．从而CD⊥平面BCDE，进而CD⊥SH，由此能证明SH⊥平面BCDE．（2）三棱锥C﹣SHE的体积V C﹣SHE＝V C﹣SHE＝V S﹣HEC．由此能求出结果．【解答】解：（1）证明：取CD的中点M，连接HM，SM，由已知得AE＝AB＝2，∴SE＝SB＝2，又点H是BE的中点，∴SH⊥BE．∵SC＝SD，点M是线段CD的中点，从而CD⊥平面BCDE，∴CD⊥SH，又CD，BE不平行，∴SH⊥平面BCDE．（2）由（1）知，，∴三棱锥C﹣SHE的体积．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．【分析】（1）由已知表格中的数据求得与的值，得到线性回归方程，取x＝6求得y 值即可；（2）利用枚举法写出从6人中随机抽取3人的所有情况，再求出从这6人中随机抽取3人的所有情况，由古典概型概率计算公式求解．【解答】解：（1）∵，，∴，则，于是y关于x的回归直线方程为．当x＝6时，（百台）；（2）现采用分层抽样的方法从购买意愿的月份在7月与12月的这90名顾客中随机抽取6名，则购买意愿为7月份的抽4人记为a，b，c，d，购买意愿为12月份的抽2人记为A，B．从这6人中随机抽取3人的所有情况为（a，b，c）、（a，b，d）、（a，b，A）、（a，b，B）、（a，c，d）、（a，c，A）、（a，c，B）、（a，d，A）、（a，d，B）、（a，A，B）、（b，c，d）、（b，c，A）、（b，c，B）、（b，d，A）、（b，d，B）、（b，A，B）、（c，d，A）、（c，d，B）、（c，A，B）、（d，A，B），共20种，恰好有2人是购买意愿的月份是12月的有（a，A，B）、（b，A，B）、（c，A，B）、（d，A，B），共4种，故所求概率为．【点评】本题考查线性回归方程的求法，训练了利用枚举法求古典概型的概率，是中档题．20．【分析】（1）通过直线与抛物线方程联立，结合△＝（2p）2﹣4×4p＝0，解得p＝4．即可．（2）设B（x1，y1），C（x2，y2），设过点P（m，0）的动直线的方程为x＝ty+m，代入y2＝8x，得y2﹣8ty﹣8m＝0，利用韦达定理，结合直线的斜率，转化求解即可．【解答】解：（1）由y＝x+2，得x＝y﹣2，代入y2＝2px，得y2﹣2py+4p＝0，因为拋物线y2＝2px（p＞0）与直线y＝x+2相切，所以△＝（2p）2﹣4×4p＝0，解得p＝4．（2）设B（x1，y1），C（x2，y2），则．设过点P（m，0）的动直线的方程为x＝ty+m，代入y2＝8x，得y2﹣8ty﹣8m＝0，所以△＝64t2+32m＞0，y1+y2＝8t，y1y2＝﹣8m，所以．若t变化，k AB+k AC为常数，则需满足，解得m＝﹣2．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．如果是考试，请参考：评分细则：（1）第（1）问，联立方程组不管是消x还是消y，只要是列出△＝0得（3分），正确解出p的值共得（4分）；（2）第（2）问，正确列出，本步骤得（2分），联立方程组消去一个变量正确得到一个二元一次方程，再得（1分），写出了韦达定理又得（1分），求出得（2分），全部正确解完得满分；（3）若在第（2）问中设过点P（m，0）的动直线的方程为y＝k（x﹣m），只要方法正确，参照评分标准按步骤给分．21．【分析】（1）求函数的导数，讨论a求函数的单调性．（2）由（1）可知：①当a≥0时，．函数f（x）恰有两个零点转换成f（x）＝ax2﹣（a﹣2）x﹣lnx≥ax2﹣（a﹣1）x+1．只需，分类讨论，解得a＞4+4ln2．【解答】解：（1）因为f（x）＝ax2﹣（a﹣2）x﹣lnx，其定义域为（0，+∞），所以．①当a≥0时，令f′（x）＜0，得；令f′（x）＞0，得，此时f（x）在上单调递减，在上单调递增．②当﹣2＜a＜0时，令f′（x）＜0，得或；令f′（x）＞0，得，此时f（x）在，上单调递减，在上单调递增．③当a＝﹣2时，f′（x）≤0，此时f（x）在（0，+∞）上单调递减．④当a＜﹣2时，令f′（x）＜0，得或；令f′（x）＞0，得，此时f（x）在，上单调递减，在上单调递增．（2）由（1）可知：①当a≥0时，．易证lnx≤x﹣1，所以f（x）＝ax2﹣（a﹣2）x﹣lnx≥ax2﹣（a﹣1）x+1．因为，，f（1）＝2＞0．所以f（x）恰有两个不同的零点，只需，解得a＞4+4ln2．②当﹣2＜a＜0时，，不符合题意．③当a＝﹣2时，f（x）在（0，+∞）上单调递减，不符合题意．④当a＜﹣2时，由于f（x）在，上单调递减，在上单调递增，且，又，由于，，所以，函数f（x）最多只有1个零点，与题意不符．综上可知，a＞4+4ln2，即a的取值范围为a∈（4+4ln2，+∞）．【点评】本题主要考查导数法研究函数的单调性，基本思路：当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，然后转化为求相应函数的最值问题．考查函数的零点问题，属于难题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【分析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用直线和曲线的位置关系的应用，利用一元二次次方程根和系数的关系式的应用求出直线的倾斜角，进一步求出直线的斜率．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为：ρ＝4sinθ．转换为直角坐标方程为x2+（y﹣2）2＝4．（2）把直线l的参数方程为：，代入圆的直角坐标方程x2+（y﹣2）2＝4，得到t2+（4cosα﹣4sinα）t+4＝0，（t1和t2为P、Q对应的参数），由于，所以，整理得，由于α∈[0，π]，所以，故直线的斜率k＝﹣1．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．【分析】（1）利用分段函数表示f（x）+f（x+3）的解析式，再解不等式，把最终答案写成解集形式；（2）由题意求出g（x）的最大值g（x）max，再解关于a的不等式．【解答】解：（1）当a＝2时，，当x＜﹣1时，由1﹣2x≤5，解得﹣2≤x＜﹣1；当﹣1≤x＜2时，由3≤5，解得﹣1≤x＜2；当x≥2时，由2x﹣1≤5，解得2≤x≤3；综上可知，原不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3}；（2）g（x）＝f（x）﹣f（x+2a）＝|x﹣a|﹣|x+a|，存在x0∈R使得成立，等价于；又因为|x﹣a|﹣|x+a|≤|x﹣a﹣x﹣a|＝2a，所以2a≥a2﹣2a，即a2﹣4a≤0，解得0≤a≤4，结合a＞0，所以实数a的取值范围为（0，4]．【点评】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，评分细则为：（1）第（1）问中，求出f（x）+f（x+3）的分段函数的形式，得（1分），每种情况正确解得各得（1分），最终的答案未写成解集形式，不扣分；（2）在第（2）问中，写出g（x）＝|x﹣a|﹣|x+a|，得（1分），不管用哪种方法，计算出g（x）max＝2a，都可得到该步骤分（2分），解得0≤a≤4而漏了a＞0，共得（9分）．。
2019届重庆市第一中学校高三下学期第四次月考数学(理)试题(解析版)
2019届重庆市第一中学校高三下学期第四次月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}220M x x x =-≥，{}2,1,0,1N =--，则M N ⋂的子集个数是（ ）A ．1个B ．3个C ．4个D ．8个【答案】C【解析】求出集合{|02}M x x =≤≤，则可得求出M N ⋂，进而可得子集个数. 【详解】解：由已知{}2|20{|02}M x x x x x =≥=-≤≤，又{}2,1,0,1N =--，{0,1}M N ∴=I ，则M N ⋂的子集个数是224=. 故选：C. 【点睛】本题考查集合交集的运算及集合子集个数的计算，是基础题.2．在复平面内，复数()12z i i =+（i 为虚数单位）对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B【解析】将z 整理为2i -+，可得对应的点的坐标，从而得到结果. 【详解】()21222z i i i i i =+=+=-+Q∴复数z 所对应的点为()2,1-，位于第二象限本题正确选项：B 【点睛】本题考查复数对应复平面内的点的问题，属于基础题.3．已知平面向量(3,0)a =r ，2(1,a b +=r r ，则a r 与b r的夹角等于（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π【解析】设(,)b x y =r，利用向量的坐标运算可得2(32,2)a b x y +=+rr，综合条件可列方程组求出b r ，再根据坐标运算可求a r 与b r的夹角. 【详解】解：设(,)b x y =r，则2(32,2)(1,a b x y +=+=rr，32112x x y y ⎧+==-⎧⎪⎪∴∴⎨⎨==⎪⎪⎩⎩(b ∴=-r，31cos ,322||||a b a b a b ⋅-∴〈〉===-⨯⋅r r r rr r ，则a r 与b r 的夹角等于23π. 故选：C. 【点睛】本题考查向量坐标的线性运算及向量夹角的坐标求解，是基础题.4．已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的一条渐近线与直线25y x =-平行，则双曲线的离心率等于（ ） A ．2 BC ．5D【答案】D【解析】先根据渐近线与直线25y x =-平行可得双曲线的一条渐近线，再根据,,a b c 的关系可得离心率. 【详解】解：由已知，双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的一条渐近线为2y x =，2ba∴=，c e a ∴====【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，关键是要找到,,a b c 的关系，是基础题. 5．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是单调函数的是（ ） A ．3y x x =+ B ．sin tan y x x =+ C ．1y x=D ．21x xy x -=- 【答案】A【解析】根据函数的奇偶性和单调性逐一判断. 【详解】解：A. ()()()()33f x x x x x f x -=-+-==---，奇函数，又3y x =单调递增，y x=也单调递增，则3y x x =+单调递增，符合； B. ()sin tan f x x x =+，有0π>得()()0f f π=，则sin tan y x x =+不是单调函数，不符合； C. 1y x=，反比例函数不是单调函数，不符合； D. 21x xy x -=-，定义域为{}|0x x ≠，不是奇函数，不符合.故选：A. 【点睛】本题考查简单函数的单调性和奇偶性的判断，是基础题.6．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23a ，32a ，4a 成等差数列，则33S a =（ ） A ．139B ．3或139C ．3D ．79【答案】B【解析】由等比数列通项公式可得2311143a q a q a q =+，可得1q =或3q =，将1q =和3q =分别代入33S a 求解即可. 【详解】解：由已知2311143a q a q a q =+，整理得2430q q -+=，1q ∴=或3q =，当1q =时，313133S a aa ==； 当3q =时，()21323191139139a q q S a a q ++++===， 所以333S a =或139. 故选：B. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式及其应用，是基础题.7．已知10个数的平均数为8，方差为6，现加入一个新数据8，这时这11个数的平均数记为()E X ，方差记为()D X ，则（ ） A ．()8E X <，()6D X > B ．()8E X <，()6D X < C ．()8E X =，()6D X > D ．()8E X =，()6D X <【答案】D【解析】利用条件分别求出()E X ，()D X 即可. 【详解】解：由已知1088()811E x ⨯+==，2610(88)10()661111D x ⨯+-==⨯<. 故选：D. 【点睛】本题考查平均数及方差的运算，熟练掌握公式是关键，是基础题.8．阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案. 【详解】解：当1,0i S ==时，有110lg lg 1,3123S i =+=>-=+， 当13,lg 5i S ==时，有131lg lg lg 1,5355S i =+=>-=，当15,lg 5i S ==时，有151lg lg lg 1,7577S i =+=>-=，当17,lg 7i S ==时，有171lg lg lg 1,9799S i =+=>-=，当19,lg 9i S ==时，有191lg lglg 191111S =+=<-，循环结束， 输出的结果为9i =. 故选：C. 【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答.9．将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >） 个单位长度得到点P'，若P'位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ） A ．12t =，s 的最小值为6πB ．32t =，s的最小值为6πC ．12t =，s 的最小值为3πD ．3t =，s的最小值为3π【答案】A 【解析】【详解】 由题意得，1sin(2)432t ππ=⨯-=， 可得，因为P'位于函数sin 2y x =的图象上所以，可得，s 的最小值为，故选A.【名师点睛】三角函数图象的变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意：①平移变换时，当自变量x的系数不为1时，要将系数先提出；②翻折变换要注意翻折的方向；③三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换.10．如图所示，在正四棱锥S-ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其．则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形最边界上运动，并且总是保持PE AC有可有是图中的()A．B．C．D．【答案】A【解析】如图：连BD交AC与o,F、G分别是SC、CD中点；易证SBD //,EFG AC SBD ⊥平面平面平面AC EFG ∴⊥平面；所以P 在FG 上．故选A11．已知过原点的直线与函数sin (0)y x x =≥的图像有且只有三个交点，α是交点中横坐标的最大值，则()21sin 2ααα+的值为（ ） A ．10 B ．8 C ．4 D ．2【答案】D【解析】作出sin (0)y x x =≥的图像，根据图像可得切点(,sin )A αα-，利用导数的几何意义可得切线方程为cos ()sin y x ααα=---，代入点(0,0)得0cos sin ααα=-，整理后代入()21sin 2ααα+计算，则答案可得.【详解】解：sin (0)y x x =≥的图像如图所示：由已知得当过原点的直线与函数sin (0)y x x =≥的图像相切与点A 时，有且只有三个交点，则切点(,sin )A αα-，设sin y x =-，则cos y x '=-，过点(,sin )A αα-的切线方程为：cos ()sin y x ααα=---， 代入点(0,0)得0cos sin ααα=-， 整理得sin cos ααα=，()2222sin 12sin cos 1sin 2cos 12cos 2sin cos cos ααααααααααα⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦==⋅=. 故选：D. 【点睛】本题考查正弦曲线的应用，考查导数的几何意义求切线方程，考查计算能力与分析能力，是中档题.12．已知平面向量,,a b c r r r，2a b ==r r ，1c =r ，()()0a c b c -⋅-=r r r r ，则a b -r r 的最大值是（ ） A．1 B1C1D．1+【答案】C【解析】由数量积运算展开，两边再平方，得出a b ⋅rr 的范围，从而得出结论. 【详解】解：()()0a c b c -⋅-=r r r rQ ，20a b a c b c c ∴⋅-⋅-⋅+=r r r r r r r ，即1()a b a b c ⋅+=+⋅r r r r r ， |1||()|||a b a b c a b ∴⋅+=+⋅≤+r r r r r r r ，两边平方得：222()21282a b a b a b a b a b ⋅+⋅+≤++⋅=+⋅r r r r rr r r r r ，a b ≤⋅≤rr222||282a b a b a b a b -=+-⋅=-⋅r r r r r r r r Q ，2||8a b ∴-≤+r r||1a b ∴-≤rr .故选：C. 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题.二、填空题13．若实数,x y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则23x y -的最大值为__________.【答案】6【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，23z x y =-表示直线在y 轴上截距的13-，只需求出直线在y 轴上的截距最小值即可. 【详解】解：不等式组表示的平面区域如图所示，当直线23z x y =-过点A 时， 在y 轴上截距最小，又()3,0A ， 此时max 236z =⨯=. 故答案为：6. 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题. 14．()52x y -的展开式中23x y 的系数为________． 【答案】－40【解析】二项式展开式的通项公式为：()()552rrrC x y --,令3r =可得：23x y 的系数为：()33252140C ⨯⨯-=-. 故答案为-40. 点睛：在T r ＋1＝rn rr n C ab - 中，r n C 是该项的二项式系数，与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指rn C ，而后者是字母外的部分，前者只与n 和r有关，恒为正，后者还与a ，b 有关，可正可负．15．六位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为0.第二位同学首次报出的数为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和：②若报出的是为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次. 当第50个数被报出时，六位同学拍手的总次数为__________. 【答案】13【解析】这样得到的数列这是历史上著名的数列，叫斐波那契数列，首先求出这个数列的每一项除以3所得余数的变化规律，再求所求就比较简单了. 【详解】解：这个数列的变化规律是：从第三个数开始递增，且是前两项之和，那么有0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987、L ， 分别除以3得余数分别是0、1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、L ， 由此可见余数的变化规律是按0、1、1、2、0、2、2、1循环， 循环周期是8.在这一个周期内第一个数和第五个数都是3的倍数， 当第50个数被报出时,其中包含6个周期再多2个数， 所以在6个周期内共有12个报出的数是三的倍数，后面2个报出的数中余数是0、1 ，只有一个是3的倍数，故3的倍数总共有13个， 也就是说拍手的总次数为13次. 故答案为：13. 【点睛】本题考查的知识点是带余除法，由已知我们不难得到数列为斐波那契数列，然后分析数列各项除3的余数，易得余数成周期变化.16．已知抛物线24x y =的焦点为F ，双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的右焦点为1(,0)F c ，过点1,F F 的直线与抛物线在第一象限的交点为M ，且抛物线在点M 处的切线与直线y =垂直，则ab 的最大值为__________. 【答案】32【解析】先求出过点1,F F 的直线方程，再根据导数的几何意义和抛物线在点M 处的切线与直线y =垂直，求出c 的值，再根据基本不等式即可求出. 【详解】解：抛物线24x y =的焦点为(0,1)F ，双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的右焦点为1(,0)F c ，∴过点1,F F 的直线为11y x c =+-，即11y x c=-+，∵抛物线在点M 处的切线与直线y =垂直，∴抛物线在点M 214y x =Q ， 12y x '∴=，设点M 的坐标为()00,x y ，012x ∴=，解得0x =， 2001143y x ∴==，13M ⎫∴⎪⎪⎝⎭，1113c ∴=-+，解得c =2223a b c ∴+==， 2232a b ab ∴=+≥，即32ab ≤，当且仅当a b ==时取等号， 故答案为：32. 【点睛】本题考查了双曲线的简单性质，以及导数的几何意义和基本不等式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.三、解答题17．在ABC ∆中，内角,,A B C 对边的边长分别是,,a b c ，己知sin cos c A C =.（1）求内角C ；（2）若边2c =，且sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.【答案】（1）3C π=；（2）3【解析】（1）由正弦定理得sin sin cos C A A C =，结合范围0C π<<，即可得解C 的值；（2）利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sinBcosA ＝2sinAcosA ，分类讨论分别求得a ，b 的值，利用三角形面积公式即可得解. 【详解】解：（1）由正弦定理得sin sin cos C A A C =，又sin 0A ≠，sin C C ∴=，即tan C =0C π<<3C π∴=；（2）∵sin sin()2sin 2C B A A +-=，可得：sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=，sin cos 2sin cos B A A A ∴=，∴当cos 0A =时，即2A π=时，,6B a b π===， 当cos 0A ≠时，可得sin 2sin B A =，由正弦定理可得：2b a =，联立方程组2242a b ab b a⎧+-=⎨=⎩，解得：33a b ==∴ABC ∆的面积11sin sin 223333S ab C π==⨯⨯⨯=.【点睛】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，余弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了分类讨论的思想，属于中档题.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点（1）证明：BE DC ⊥；（2）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求锐二面角F AB P --的余弦值. 【答案】（1）证明见详解；（2310【解析】（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明BE DC ⊥；（2）设(,,)F a b c ，由BF AC ⊥，求出113,,222F ⎛⎫⎪⎭⎝，求出平面ABF 的法向量和平面ABP 的法向量，利用向量法能求出二面角F AB P --的余弦值. 【详解】证明：（1）∵在四棱锥P −ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ， AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点.∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， B （1，0，0），P （0，0，2），C （2，2，0），E （1，1，1），D （0，2，0），(0,1,1)BE =u u u r，(2,0,0)DC =u u u r ，0BE DC ∴⋅=u u u r u u u r，∴BE DC ⊥；（2）∵F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，∴设(,,)F a b c ，,[0,1]PF PC λλ=∈u u u r u u u r，则(,,2)(2,2,2),(2,2,22)a b c F λλλλλλ-=-∴-，(21,2,22),(2,2,0)BF AC λλλ∴=--=u u u r u u u r， ∵BF AC ⊥，2(21)220BF AC λλ∴⋅=-+⋅=u u u r u u u r，解得1113,,,4222F λ⎛⎫=∴ ⎪⎝⎭，113(1,0,0),,,222ABAF ⎛⎫== ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，设平面ABF 的法向量(,,)n x y z =r，则0113222n AB x n AF x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩u u u v v u u u v v ，取1z =，得(0,3,1)n =-r ， 平面ABP 的一个法向量(0,1,0)m =u r，设二面角F AB P --的平面角为θ，则||310cos 10||||10m n m n θ⋅===⋅u r r u r r ，∴二面角F AB P --的余弦值为310. 【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.19．人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为025db -（分贝），并规定测试值在区间(0,5]为非常优秀，测试值在区间(5,10]为优秀，某班50名同学都进行了听力测试，所得测试值制成频率分布直方图：（Ⅰ）现从听力等级为(0,10]的同学中任意抽取出4人，记听力非常优秀的同学人数为X ，求X 的分布列与数学期望：（Ⅱ）现选出一名同学参加另一项测试，测试规则如下：四个音叉的发生情况不同，由强到弱的次序分别为1，2，3，4.测试前将音叉随机排列，被测试的同学依次听完后给四个音叉按发音的强弱标出一组序号1234,,,a a a a （其中1234,,,a a a a 为1，2，3，4的一个排列），记12341234Y a a a a =-+-+-+-，可用Y 描述两次排序的偏离程度，求2Y ≤的概率.【答案】（Ⅰ）分布列见解析，1.6；（Ⅱ）16. 【解析】（Ⅰ）根据频率分布直方图可得到听力等级分别为(]0,5和(]5,10的人数，根据超几何分布的概率公式可分别求得X 所有可能的取值对应的概率，从而得到分布列；根据数学期望的计算公式可求得期望；（Ⅱ）首先确定所有排列总数，利用列举法列出Y 0=和2Y =的所有可能的情况，根据古典概型概率公式求得结果. 【详解】（Ⅰ）听力等级为(]0,5的有0.0165504⨯⨯=人；为(]5,10的有0.0245506⨯⨯=人 则X 的所有可能取值为：0,1,2,3,4()46410151021014C P X C ====；()1346410808121021C C P X C ====；()224641*********C C P X C ====，()3146410244321035C C P X C ====；()4441014210C P X C ===X ∴的分布列为：()341471********* 1.621210E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （Ⅱ）序号1234,,,a a a a 的排列总数为4424A =种当Y 0=时，11a =，22a =，33a =，44a = 当123412342Y a a a a =-+-+-+-=时，1234,,,a a a a 的取值为11a =，22a =，34a =，43a =或11a =，23a =，32a =，44a =或12a =，21a =，33a =，44a =()412246P Y ∴≤== 【点睛】本题考查超几何分布的分布列与数学期望的求解、古典概型概率问题的求解，涉及到频率分布直方图的应用等知识；求解分布列问题的关键是能够结合频率分布直方图确定随机变量所有可能的取值，进而计算得到每个取值所对应的的概率，属于常考题型.20．椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的离心率等于12，它的一个长轴端点恰好是抛物线28y x =的焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，且直线l 与直线x a =和x a =-分别交于,M N 两点，试探究以线段MN 为直径的圆是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点，若不恒过定点，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）以线段MN 为直径的圆恒过定点，且定点为()()1,0,1,0- 【解析】（1）由离心率及抛物线的焦点是椭圆长轴的端点即,,a b c 的关系可得椭圆的标准方程；（2）设:l y kx b =+，则由22143y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得关于x 的二次方程，根据判别式等于0得2243b k -=，另外先求出点(2,2)M k b +，(2,2)N k b --+，则可求出以线段MN 为直径的圆的方程，整理得22224240x y by b k -+-+-=，将2243b k -=代入即可求出定点. 【详解】解：（1）由题意设椭圆C 的方程为22221x y a b+=（0a b >>），因为抛物线28y x =的焦点坐标为()2,0，则 2a =，由2221,2c e a b c a ===+，得23b = ∴椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）明显直线l 的斜率存在， 设:l y kx b =+，则由22143y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()2223484120k x kbx b x +++-=，()()2222644344120k b k b ∴∆=-+-=，整理得2243b k -=， 又由2y kx bx =+⎧⎨=⎩，得(2,2)M k b +，由2y kx b x =+⎧⎨=-⎩，得(2,2)N k b --+，所以以线段MN 为直径的圆为()()()()22220x x y k b y x b -+++---=， 整理得22224240x y by b k -+-+-=， 将2243b k -=代入得224230x y by -+-+=， 当0y =时，1x =±，所以以线段MN 为直径的圆恒过定点，且定点为()()1,0,1,0-. 【点睛】本题考查直线与椭圆相切的问题，考查圆过定点问题，关键是要求出圆的方程，注意以点()()1122,,,x y x y 连线为直径的圆的方程为：()()()()12120x x x x y y y y --+--=，本题考查了学生计算能力，是一道中档题. 21．已知函数()()22xf x esinx axa e =-+-,其中2.71828...a R e ∈=，为自然对数的底数.(1)当0a =时，讨论函数()f x 的单调性; (2)当112a ≤≤时，求证:对任意的[)()0,,0x f x ∈+∞<. 【答案】(1)()f x 在(),-∞+∞上单调递减. (2)证明见及解析. 【解析】【详解】分析：(1)将0a =代入()f x ，对函数求导即可判定函数的单调性． (2)将不等式转化为关于a 的一次函数，讨论在112a ≤≤时一次函数对任意的[)0,x ∈+∞两个端点都小于0，即可证明(),0f x <．详解：(1) ()()0,xa f x esinx e ==-()()'04x x f x e sinx cosx e e x e π⎤⎛⎫=+-=+-< ⎪⎥⎝⎭⎦;∴()f x 在(),-∞+∞上单调递减 (2)要证()220xesinx ax a e -+-<对[)0,x ∈+∞恒成立即证;220sinx ax a e -+-<对[)0,x ∈+∞恒成立 令()()22g a xa sinx e =-+-,即证当1,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()220g a x a sinx e =-+-<恒成立即证;()()()2211101221202g sinx x e g sinx x e ⎧⎛⎫=-+-<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=-+-<⎩成立 ∵sin 1x e +< ∴①式成立 现证明②式成立:令()()22,'2h x sinx x e h x cosx x =-+-=-设在[)00,x ∃+∞,使得()00'2,0h x cosx x --=,则006x π<<()h x 在()00,x 単调递增, 在[)0,x +∞単调递減∴()()220000cos 2sin 24x h x max h x sinx x e x e ==-+-=-+-,=200sin 7sin 44x x x e ++-∵006x π<<，∴01sin 0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ∴200sin 737sin 04416x x x e e ++-<-<综上所述.在[)0,x ∈+∞, ()0f x <恒成立.点睛：函数与导数的综合应用，是高考的热点和难点，充分理解导数与单调性、极值、最值的关系，证明在一定条件下不等式成立，解不等式或求参数的取值情况，属于难题．22．在平面直角坐标系xOy 中，己知直线:x tl y at =⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.点A 在曲线21:8cos 120C ρρθ-+=上运动，点B 为线段OA 的中点.（1）求动点B 的运动轨迹2C 的参数方程； （2）若直线l 与2C 的公共点分别为,M N ，当3OMON=时，求a 的值. 【答案】（1）2cos 2:sin x C y αα=+⎧⎨=⎩，α为参数；（2）0a =【解析】（1）设(),B ρθ，则()2,A ρθ，将点A 代入曲线1C ，即可得动点B 的运动轨迹2C 的极坐标方程，利用公式222,cos x y x ρρθ=+=转化为普通方程，再写出参数方程即可；（2）设点()()12,,,M N ρθρθ，则123ρρ=，代入2C 的极坐标方程解得221cos 1ρθ=⎧⎨=⎩，再通过22222cos 1cos cos sin 1tan θθθθθ==++求出tan θ，即a 可得. 【详解】解：（1）设(),B ρθ，则()2,A ρθ，又点A 在曲线21:8cos 120C ρρθ-+=上运动，则()2282cos 120ρρθ-⨯+=，即24cos 30ρρθ-+=，由222,cos x y x ρρθ=+=得动点B 的运动轨迹2C 的普通方程为：22430x y x +-+=，即()2221x y -+=化为参数方程为2cos 2:sin x C y αα=+⎧⎨=⎩，α为参数；（2）直线:x tl y at=⎧⎨=⎩（t 为参数）普通方程为：y ax =，则极坐标方程为tan a θ=，设点()()12,,,M N ρθρθ，因为3OMON=，则123ρρ=， 将点()()12,,,M N ρθρθ代入22:4cos 30C ρρθ-+=，得2112224cos 304cos 30ρρθρρθ⎧-+=⎨-+=⎩，即222222912cos 304cos 30ρρθρρθ⎧-+=⎨-+=⎩， 解得221cos 1ρθ=⎧⎨=⎩， 22222cos 1cos 1cos sin 1tan θθθθθ∴===++，解得tan 0θ=，即0a =. 【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查极坐标的应用，是中档题.23．已知a b c d ,,,均为实数. （1≥ （2）若0a >，0b >，222a b +=，证明：()55114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】（1）将不等式两边平方后作差即可；（2）利用柯西不等式()25511a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭证明即可. 【详解】 证明：（1）22-()2222222222a b c d a c b d ac bd =+++++++++()22c a bd =+，又()22ac bd -+()()222222222222202abcd a c a d b c b d a c b d ad bc =-++=-+++≥，()220ac bd ∴+≥，220∴-≥，≥ （2）由柯西不等式可得()()225522114a b a b a b ⎛⎫++≥=+= ⎪⎝⎭.第 21 页 共 21 页 即()55114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查作差法证明不等式，考查利用柯西不等式证明不等式，考查学生计算能力，是基础题.。
重庆市2019届高三4月调研测试(二诊)数学(文科)试题Word版含解析
重庆市2019届高三4月调研测试（二诊）数学（文科）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，∴，∴．选B．2. 复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，则，故选A．3. 设等差数列的前项和为，若，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，设等差数列的首项为，公差为，则，解得，所以，故选B．4. 已知两个非零向量，互相垂直，若向量与共线，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵向量与共线，∴存在实数，使得，即，又向量，互相垂直，故，不共线．∴，解得．选C．5. “”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由，可得或，即或，所以是成立的必要不充分条件，故选B．6. 执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的值的取值范围是（）A. 或B.C. 或D. 或【答案】C【解析】由题意知，该程序的功能是求函数的值域．①当时，在区间上单调递增，∴，即；②当时，，当且仅当，即时等号成立．综上输出的值的取值范围是或．选C．7. 曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，∴，∴，∴曲线在点处的切线方程为．令，得；令得．∴切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为．选B．8. 已知定义在上的奇函数满足，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵为奇函数，∴，又，∴，∴，∴函数是周期为4的周期函数，∴，又，∴．选A．点睛：函数的奇偶性、对称性和周期性是函数的三个重要性质，这三个性质具有紧密的联系，即已知其中的两个则可推出第三个性质，考查时常将这三个性质结合在一起，并结合函数的图象、零点等问题，这类问题的难度较大、具有一定的综合性。
2019年4月重庆市第一中学2019届高三下学期模拟考试数学(理)答案
所以 的最大值 .
23．解：（1）
存在 ，使得 ，
（2）由 知: 的最大值为1
当且仅当 时取“=”
②当 时, ,由 的单调性知 ,则 ,此时 有一个零点,不符合题意；
③当 时, ,由 的单调性知 ,则 ,此时 没有零点.
综上所述,当 无零点时,正数 的取值范围是 .
（二）选考题：
22.解：（1）曲线 的直角坐标方程为
曲线 的直角坐标方程为 .由 解得 或
故 与 交点的直角坐标为 , .
（2）不妨设 ,点 的极坐标分别为
重庆市第一中学2019届高三年级下学期模拟考试
数学（理）试题答案
2019年4月
一．选择题
CCABB ACDDC AA
二．填空题
13. 2 14. 15. 16.
三．解答题
17.解：（1）
数列 是公差为 的等差数列；
（2）由题意可得 ,所以
18.（1） 时, 元； 时, 元, ；
（2）（ ）当 时,利润
当 ,
又 ,所以利润 不少于 元时,需求量 ,共有60天,
按分层抽样抽取,则这 天中利润为 元的天数： ,
（ ）由
19.（1）证明：由题意易得 ,且 ,在 中, ,
, ,在 中, , 又 , ,又 , 平面 平面
（2）由（1）可知 ,所以以点 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则
,则 , ,
,
设平面 的一个法向量为
,
解得 或 （舍）故
20.解：（1）设切点 则有
由切线 的斜率为 得 的方程为
又点 在 上所以 即 所以点 的纵坐标
（2）由（1）得 ,切线斜率 设 ,切线方程为
由 得 又 ,所以
2019届重庆市第一中学校高三下学期第四次月考数学(理)试题(解析版)
2019届重庆市第一中学校高三下学期第四次月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}220M x x x =-≥，{}2,1,0,1N =--，则M N ⋂的子集个数是（ ）A ．1个B ．3个C ．4个D ．8个【答案】C【解析】求出集合{|02}M x x =≤≤，则可得求出M N ⋂，进而可得子集个数. 【详解】解：由已知{}2|20{|02}M x x x x x =≥=-≤≤，又{}2,1,0,1N =--，{0,1}M N ∴=I ，则M N ⋂的子集个数是224=. 故选：C. 【点睛】本题考查集合交集的运算及集合子集个数的计算，是基础题.2．在复平面内，复数()12z i i =+（i 为虚数单位）对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B【解析】将z 整理为2i -+，可得对应的点的坐标，从而得到结果. 【详解】()21222z i i i i i =+=+=-+Q∴复数z 所对应的点为()2,1-，位于第二象限本题正确选项：B 【点睛】本题考查复数对应复平面内的点的问题，属于基础题.3．已知平面向量(3,0)a =r ，2(1,a b +=r r ，则a r 与b r的夹角等于（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π【解析】设(,)b x y =r，利用向量的坐标运算可得2(32,2)a b x y +=+rr，综合条件可列方程组求出b r ，再根据坐标运算可求a r 与b r的夹角. 【详解】解：设(,)b x y =r，则2(32,2)(1,a b x y +=+=rr，32112x x y y ⎧+==-⎧⎪⎪∴∴⎨⎨==⎪⎪⎩⎩(b ∴=-r，31cos ,322||||a b a b a b ⋅-∴〈〉===-⨯⋅r r r rr r ，则a r 与b r 的夹角等于23π. 故选：C. 【点睛】本题考查向量坐标的线性运算及向量夹角的坐标求解，是基础题.4．已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的一条渐近线与直线25y x =-平行，则双曲线的离心率等于（ ） A ．2 BC ．5D【答案】D【解析】先根据渐近线与直线25y x =-平行可得双曲线的一条渐近线，再根据,,a b c 的关系可得离心率. 【详解】解：由已知，双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的一条渐近线为2y x =，2ba∴=，c e a ∴====【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，关键是要找到,,a b c 的关系，是基础题. 5．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是单调函数的是（ ） A ．3y x x =+ B ．sin tan y x x =+ C ．1y x=D ．21x xy x -=- 【答案】A【解析】根据函数的奇偶性和单调性逐一判断. 【详解】解：A. ()()()()33f x x x x x f x -=-+-==---，奇函数，又3y x =单调递增，y x=也单调递增，则3y x x =+单调递增，符合； B. ()sin tan f x x x =+，有0π>得()()0f f π=，则sin tan y x x =+不是单调函数，不符合； C. 1y x=，反比例函数不是单调函数，不符合； D. 21x xy x -=-，定义域为{}|0x x ≠，不是奇函数，不符合.故选：A. 【点睛】本题考查简单函数的单调性和奇偶性的判断，是基础题.6．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23a ，32a ，4a 成等差数列，则33S a =（ ） A ．139B ．3或139C ．3D ．79【答案】B【解析】由等比数列通项公式可得2311143a q a q a q =+，可得1q =或3q =，将1q =和3q =分别代入33S a 求解即可. 【详解】解：由已知2311143a q a q a q =+，整理得2430q q -+=，1q ∴=或3q =，当1q =时，313133S a aa ==； 当3q =时，()21323191139139a q q S a a q ++++===， 所以333S a =或139. 故选：B. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式及其应用，是基础题.7．已知10个数的平均数为8，方差为6，现加入一个新数据8，这时这11个数的平均数记为()E X ，方差记为()D X ，则（ ） A ．()8E X <，()6D X > B ．()8E X <，()6D X < C ．()8E X =，()6D X > D ．()8E X =，()6D X <【答案】D【解析】利用条件分别求出()E X ，()D X 即可. 【详解】解：由已知1088()811E x ⨯+==，2610(88)10()661111D x ⨯+-==⨯<. 故选：D. 【点睛】本题考查平均数及方差的运算，熟练掌握公式是关键，是基础题.8．阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案. 【详解】解：当1,0i S ==时，有110lg lg 1,3123S i =+=>-=+， 当13,lg 5i S ==时，有131lg lg lg 1,5355S i =+=>-=，当15,lg 5i S ==时，有151lg lg lg 1,7577S i =+=>-=，当17,lg 7i S ==时，有171lg lg lg 1,9799S i =+=>-=，当19,lg 9i S ==时，有191lg lglg 191111S =+=<-，循环结束， 输出的结果为9i =. 故选：C. 【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答.9．将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >） 个单位长度得到点P'，若P'位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ） A ．12t =，s 的最小值为6πB ．32t =，s的最小值为6πC ．12t =，s 的最小值为3πD ．3t =，s的最小值为3π【答案】A 【解析】【详解】 由题意得，1sin(2)432t ππ=⨯-=， 可得，因为P'位于函数sin 2y x =的图象上所以，可得，s 的最小值为，故选A.【名师点睛】三角函数图象的变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意：①平移变换时，当自变量x的系数不为1时，要将系数先提出；②翻折变换要注意翻折的方向；③三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换.10．如图所示，在正四棱锥S-ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其．则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形最边界上运动，并且总是保持PE AC有可有是图中的()A．B．C．D．【答案】A【解析】如图：连BD交AC与o,F、G分别是SC、CD中点；易证SBD //,EFG AC SBD ⊥平面平面平面AC EFG ∴⊥平面；所以P 在FG 上．故选A11．已知过原点的直线与函数sin (0)y x x =≥的图像有且只有三个交点，α是交点中横坐标的最大值，则()21sin 2ααα+的值为（ ） A ．10 B ．8 C ．4 D ．2【答案】D【解析】作出sin (0)y x x =≥的图像，根据图像可得切点(,sin )A αα-，利用导数的几何意义可得切线方程为cos ()sin y x ααα=---，代入点(0,0)得0cos sin ααα=-，整理后代入()21sin 2ααα+计算，则答案可得.【详解】解：sin (0)y x x =≥的图像如图所示：由已知得当过原点的直线与函数sin (0)y x x =≥的图像相切与点A 时，有且只有三个交点，则切点(,sin )A αα-，设sin y x =-，则cos y x '=-，过点(,sin )A αα-的切线方程为：cos ()sin y x ααα=---， 代入点(0,0)得0cos sin ααα=-， 整理得sin cos ααα=，()2222sin 12sin cos 1sin 2cos 12cos 2sin cos cos ααααααααααα⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦==⋅=. 故选：D. 【点睛】本题考查正弦曲线的应用，考查导数的几何意义求切线方程，考查计算能力与分析能力，是中档题.12．已知平面向量,,a b c r r r，2a b ==r r ，1c =r ，()()0a c b c -⋅-=r r r r ，则a b -r r 的最大值是（ ） A．1 B1C1D．1+【答案】C【解析】由数量积运算展开，两边再平方，得出a b ⋅rr 的范围，从而得出结论. 【详解】解：()()0a c b c -⋅-=r r r rQ ，20a b a c b c c ∴⋅-⋅-⋅+=r r r r r r r ，即1()a b a b c ⋅+=+⋅r r r r r ， |1||()|||a b a b c a b ∴⋅+=+⋅≤+r r r r r r r ，两边平方得：222()21282a b a b a b a b a b ⋅+⋅+≤++⋅=+⋅r r r r rr r r r r ，a b ≤⋅≤rr222||282a b a b a b a b -=+-⋅=-⋅r r r r r r r r Q ，2||8a b ∴-≤+r r||1a b ∴-≤rr .故选：C. 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题.二、填空题13．若实数,x y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则23x y -的最大值为__________.【答案】6【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，23z x y =-表示直线在y 轴上截距的13-，只需求出直线在y 轴上的截距最小值即可. 【详解】解：不等式组表示的平面区域如图所示，当直线23z x y =-过点A 时， 在y 轴上截距最小，又()3,0A ， 此时max 236z =⨯=. 故答案为：6. 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题. 14．()52x y -的展开式中23x y 的系数为________． 【答案】－40【解析】二项式展开式的通项公式为：()()552rrrC x y --,令3r =可得：23x y 的系数为：()33252140C ⨯⨯-=-. 故答案为-40. 点睛：在T r ＋1＝rn rr n C ab - 中，r n C 是该项的二项式系数，与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指rn C ，而后者是字母外的部分，前者只与n 和r有关，恒为正，后者还与a ，b 有关，可正可负．15．六位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为0.第二位同学首次报出的数为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和：②若报出的是为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次. 当第50个数被报出时，六位同学拍手的总次数为__________. 【答案】13【解析】这样得到的数列这是历史上著名的数列，叫斐波那契数列，首先求出这个数列的每一项除以3所得余数的变化规律，再求所求就比较简单了. 【详解】解：这个数列的变化规律是：从第三个数开始递增，且是前两项之和，那么有0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987、L ， 分别除以3得余数分别是0、1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、L ， 由此可见余数的变化规律是按0、1、1、2、0、2、2、1循环， 循环周期是8.在这一个周期内第一个数和第五个数都是3的倍数， 当第50个数被报出时,其中包含6个周期再多2个数， 所以在6个周期内共有12个报出的数是三的倍数，后面2个报出的数中余数是0、1 ，只有一个是3的倍数，故3的倍数总共有13个， 也就是说拍手的总次数为13次. 故答案为：13. 【点睛】本题考查的知识点是带余除法，由已知我们不难得到数列为斐波那契数列，然后分析数列各项除3的余数，易得余数成周期变化.16．已知抛物线24x y =的焦点为F ，双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的右焦点为1(,0)F c ，过点1,F F 的直线与抛物线在第一象限的交点为M ，且抛物线在点M 处的切线与直线y =垂直，则ab 的最大值为__________. 【答案】32【解析】先求出过点1,F F 的直线方程，再根据导数的几何意义和抛物线在点M 处的切线与直线y =垂直，求出c 的值，再根据基本不等式即可求出. 【详解】解：抛物线24x y =的焦点为(0,1)F ，双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的右焦点为1(,0)F c ，∴过点1,F F 的直线为11y x c =+-，即11y x c=-+，∵抛物线在点M 处的切线与直线y =垂直，∴抛物线在点M 214y x =Q ， 12y x '∴=，设点M 的坐标为()00,x y ，012x ∴=，解得0x =， 2001143y x ∴==，13M ⎫∴⎪⎪⎝⎭，1113c ∴=-+，解得c =2223a b c ∴+==， 2232a b ab ∴=+≥，即32ab ≤，当且仅当a b ==时取等号， 故答案为：32. 【点睛】本题考查了双曲线的简单性质，以及导数的几何意义和基本不等式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.三、解答题17．在ABC ∆中，内角,,A B C 对边的边长分别是,,a b c ，己知sin cos c A C =.（1）求内角C ；（2）若边2c =，且sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.【答案】（1）3C π=；（2）3【解析】（1）由正弦定理得sin sin cos C A A C =，结合范围0C π<<，即可得解C 的值；（2）利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sinBcosA ＝2sinAcosA ，分类讨论分别求得a ，b 的值，利用三角形面积公式即可得解. 【详解】解：（1）由正弦定理得sin sin cos C A A C =，又sin 0A ≠，sin C C ∴=，即tan C =0C π<<3C π∴=；（2）∵sin sin()2sin 2C B A A +-=，可得：sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=，sin cos 2sin cos B A A A ∴=，∴当cos 0A =时，即2A π=时，,6B a b π===， 当cos 0A ≠时，可得sin 2sin B A =，由正弦定理可得：2b a =，联立方程组2242a b ab b a⎧+-=⎨=⎩，解得：33a b ==∴ABC ∆的面积11sin sin 223333S ab C π==⨯⨯⨯=.【点睛】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，余弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了分类讨论的思想，属于中档题.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点（1）证明：BE DC ⊥；（2）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求锐二面角F AB P --的余弦值. 【答案】（1）证明见详解；（2310【解析】（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明BE DC ⊥；（2）设(,,)F a b c ，由BF AC ⊥，求出113,,222F ⎛⎫⎪⎭⎝，求出平面ABF 的法向量和平面ABP 的法向量，利用向量法能求出二面角F AB P --的余弦值. 【详解】证明：（1）∵在四棱锥P −ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ， AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点.∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， B （1，0，0），P （0，0，2），C （2，2，0），E （1，1，1），D （0，2，0），(0,1,1)BE =u u u r，(2,0,0)DC =u u u r ，0BE DC ∴⋅=u u u r u u u r，∴BE DC ⊥；（2）∵F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，∴设(,,)F a b c ，,[0,1]PF PC λλ=∈u u u r u u u r，则(,,2)(2,2,2),(2,2,22)a b c F λλλλλλ-=-∴-，(21,2,22),(2,2,0)BF AC λλλ∴=--=u u u r u u u r， ∵BF AC ⊥，2(21)220BF AC λλ∴⋅=-+⋅=u u u r u u u r，解得1113,,,4222F λ⎛⎫=∴ ⎪⎝⎭，113(1,0,0),,,222ABAF ⎛⎫== ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，设平面ABF 的法向量(,,)n x y z =r，则0113222n AB x n AF x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩u u u v v u u u v v ，取1z =，得(0,3,1)n =-r ， 平面ABP 的一个法向量(0,1,0)m =u r，设二面角F AB P --的平面角为θ，则||310cos 10||||10m n m n θ⋅===⋅u r r u r r ，∴二面角F AB P --的余弦值为310. 【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.19．人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为025db -（分贝），并规定测试值在区间(0,5]为非常优秀，测试值在区间(5,10]为优秀，某班50名同学都进行了听力测试，所得测试值制成频率分布直方图：（Ⅰ）现从听力等级为(0,10]的同学中任意抽取出4人，记听力非常优秀的同学人数为X ，求X 的分布列与数学期望：（Ⅱ）现选出一名同学参加另一项测试，测试规则如下：四个音叉的发生情况不同，由强到弱的次序分别为1，2，3，4.测试前将音叉随机排列，被测试的同学依次听完后给四个音叉按发音的强弱标出一组序号1234,,,a a a a （其中1234,,,a a a a 为1，2，3，4的一个排列），记12341234Y a a a a =-+-+-+-，可用Y 描述两次排序的偏离程度，求2Y ≤的概率.【答案】（Ⅰ）分布列见解析，1.6；（Ⅱ）16. 【解析】（Ⅰ）根据频率分布直方图可得到听力等级分别为(]0,5和(]5,10的人数，根据超几何分布的概率公式可分别求得X 所有可能的取值对应的概率，从而得到分布列；根据数学期望的计算公式可求得期望；（Ⅱ）首先确定所有排列总数，利用列举法列出Y 0=和2Y =的所有可能的情况，根据古典概型概率公式求得结果. 【详解】（Ⅰ）听力等级为(]0,5的有0.0165504⨯⨯=人；为(]5,10的有0.0245506⨯⨯=人 则X 的所有可能取值为：0,1,2,3,4()46410151021014C P X C ====；()1346410808121021C C P X C ====；()224641*********C C P X C ====，()3146410244321035C C P X C ====；()4441014210C P X C ===X ∴的分布列为：()341471********* 1.621210E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （Ⅱ）序号1234,,,a a a a 的排列总数为4424A =种当Y 0=时，11a =，22a =，33a =，44a = 当123412342Y a a a a =-+-+-+-=时，1234,,,a a a a 的取值为11a =，22a =，34a =，43a =或11a =，23a =，32a =，44a =或12a =，21a =，33a =，44a =()412246P Y ∴≤== 【点睛】本题考查超几何分布的分布列与数学期望的求解、古典概型概率问题的求解，涉及到频率分布直方图的应用等知识；求解分布列问题的关键是能够结合频率分布直方图确定随机变量所有可能的取值，进而计算得到每个取值所对应的的概率，属于常考题型.20．椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的离心率等于12，它的一个长轴端点恰好是抛物线28y x =的焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，且直线l 与直线x a =和x a =-分别交于,M N 两点，试探究以线段MN 为直径的圆是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点，若不恒过定点，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）以线段MN 为直径的圆恒过定点，且定点为()()1,0,1,0- 【解析】（1）由离心率及抛物线的焦点是椭圆长轴的端点即,,a b c 的关系可得椭圆的标准方程；（2）设:l y kx b =+，则由22143y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得关于x 的二次方程，根据判别式等于0得2243b k -=，另外先求出点(2,2)M k b +，(2,2)N k b --+，则可求出以线段MN 为直径的圆的方程，整理得22224240x y by b k -+-+-=，将2243b k -=代入即可求出定点. 【详解】解：（1）由题意设椭圆C 的方程为22221x y a b+=（0a b >>），因为抛物线28y x =的焦点坐标为()2,0，则 2a =，由2221,2c e a b c a ===+，得23b = ∴椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）明显直线l 的斜率存在， 设:l y kx b =+，则由22143y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()2223484120k x kbx b x +++-=，()()2222644344120k b k b ∴∆=-+-=，整理得2243b k -=， 又由2y kx bx =+⎧⎨=⎩，得(2,2)M k b +，由2y kx b x =+⎧⎨=-⎩，得(2,2)N k b --+，所以以线段MN 为直径的圆为()()()()22220x x y k b y x b -+++---=， 整理得22224240x y by b k -+-+-=， 将2243b k -=代入得224230x y by -+-+=， 当0y =时，1x =±，所以以线段MN 为直径的圆恒过定点，且定点为()()1,0,1,0-. 【点睛】本题考查直线与椭圆相切的问题，考查圆过定点问题，关键是要求出圆的方程，注意以点()()1122,,,x y x y 连线为直径的圆的方程为：()()()()12120x x x x y y y y --+--=，本题考查了学生计算能力，是一道中档题. 21．已知函数()()22xf x esinx axa e =-+-,其中2.71828...a R e ∈=，为自然对数的底数.(1)当0a =时，讨论函数()f x 的单调性; (2)当112a ≤≤时，求证:对任意的[)()0,,0x f x ∈+∞<. 【答案】(1)()f x 在(),-∞+∞上单调递减. (2)证明见及解析. 【解析】【详解】分析：(1)将0a =代入()f x ，对函数求导即可判定函数的单调性． (2)将不等式转化为关于a 的一次函数，讨论在112a ≤≤时一次函数对任意的[)0,x ∈+∞两个端点都小于0，即可证明(),0f x <．详解：(1) ()()0,xa f x esinx e ==-()()'04x x f x e sinx cosx e e x e π⎤⎛⎫=+-=+-< ⎪⎥⎝⎭⎦;∴()f x 在(),-∞+∞上单调递减 (2)要证()220xesinx ax a e -+-<对[)0,x ∈+∞恒成立即证;220sinx ax a e -+-<对[)0,x ∈+∞恒成立 令()()22g a xa sinx e =-+-,即证当1,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()220g a x a sinx e =-+-<恒成立即证;()()()2211101221202g sinx x e g sinx x e ⎧⎛⎫=-+-<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=-+-<⎩成立 ∵sin 1x e +< ∴①式成立 现证明②式成立:令()()22,'2h x sinx x e h x cosx x =-+-=-设在[)00,x ∃+∞,使得()00'2,0h x cosx x --=,则006x π<<()h x 在()00,x 単调递增, 在[)0,x +∞単调递減∴()()220000cos 2sin 24x h x max h x sinx x e x e ==-+-=-+-,=200sin 7sin 44x x x e ++-∵006x π<<，∴01sin 0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ∴200sin 737sin 04416x x x e e ++-<-<综上所述.在[)0,x ∈+∞, ()0f x <恒成立.点睛：函数与导数的综合应用，是高考的热点和难点，充分理解导数与单调性、极值、最值的关系，证明在一定条件下不等式成立，解不等式或求参数的取值情况，属于难题．22．在平面直角坐标系xOy 中，己知直线:x tl y at =⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.点A 在曲线21:8cos 120C ρρθ-+=上运动，点B 为线段OA 的中点.（1）求动点B 的运动轨迹2C 的参数方程； （2）若直线l 与2C 的公共点分别为,M N ，当3OMON=时，求a 的值. 【答案】（1）2cos 2:sin x C y αα=+⎧⎨=⎩，α为参数；（2）0a =【解析】（1）设(),B ρθ，则()2,A ρθ，将点A 代入曲线1C ，即可得动点B 的运动轨迹2C 的极坐标方程，利用公式222,cos x y x ρρθ=+=转化为普通方程，再写出参数方程即可；（2）设点()()12,,,M N ρθρθ，则123ρρ=，代入2C 的极坐标方程解得221cos 1ρθ=⎧⎨=⎩，再通过22222cos 1cos cos sin 1tan θθθθθ==++求出tan θ，即a 可得. 【详解】解：（1）设(),B ρθ，则()2,A ρθ，又点A 在曲线21:8cos 120C ρρθ-+=上运动，则()2282cos 120ρρθ-⨯+=，即24cos 30ρρθ-+=，由222,cos x y x ρρθ=+=得动点B 的运动轨迹2C 的普通方程为：22430x y x +-+=，即()2221x y -+=化为参数方程为2cos 2:sin x C y αα=+⎧⎨=⎩，α为参数；（2）直线:x tl y at=⎧⎨=⎩（t 为参数）普通方程为：y ax =，则极坐标方程为tan a θ=，设点()()12,,,M N ρθρθ，因为3OMON=，则123ρρ=， 将点()()12,,,M N ρθρθ代入22:4cos 30C ρρθ-+=，得2112224cos 304cos 30ρρθρρθ⎧-+=⎨-+=⎩，即222222912cos 304cos 30ρρθρρθ⎧-+=⎨-+=⎩， 解得221cos 1ρθ=⎧⎨=⎩， 22222cos 1cos 1cos sin 1tan θθθθθ∴===++，解得tan 0θ=，即0a =. 【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查极坐标的应用，是中档题.23．已知a b c d ,,,均为实数. （1≥ （2）若0a >，0b >，222a b +=，证明：()55114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】（1）将不等式两边平方后作差即可；（2）利用柯西不等式()25511a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭证明即可. 【详解】 证明：（1）22-()2222222222a b c d a c b d ac bd =+++++++++()22c a bd =+，又()22ac bd -+()()222222222222202abcd a c a d b c b d a c b d ad bc =-++=-+++≥，()220ac bd ∴+≥，220∴-≥，≥ （2）由柯西不等式可得()()225522114a b a b a b ⎛⎫++≥=+= ⎪⎝⎭.第 21 页 共 21 页 即()55114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查作差法证明不等式，考查利用柯西不等式证明不等式，考查学生计算能力，是基础题.。
最新重庆市2019届高三第二次月考数学试题(文科)有答案
重庆2019学部2019-2020学年度下期第2次月考文科数学1.已知集合，，则=（）A. ，B. ，C. ，D. ，2.设，则=（）D. 2A. B. C.3.若，满足，则的最小值为（）A. B. 7 C. 2 D. 54.阅读下图的程序框图，运行相应的程序，输出的值是（）A. 1B. 2C. 3D. 45.在中，“”是“为钝角三角形”的（）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件7.定义在上的函数，则满足的取值范围是（）A. ，B. ，C. ，D. ，8.设，，为的三个内角A,B,C的对边，，若，且，则角A,B 的大小分别为（ ）A.B.C.D.9. 在中，是边上一点，且，，则（ ）A.B. C. D.10. 给出下列三个命题：①函数的单调增区间是,②经过任意两点的直线，都可以用方程来表示；③命题：“，”的否定是“，”，其中正确命题的个数有（ ）个A. 0B.1C. 2D. 311. 设m ，，若直线与圆相切，则m+n 的取值范围是（） A.B.C.,D.12. 已知函数（，e 为自然对数的底数）与的图象上存在关于直线y=x 对称的点，则实数a 取值范围是（ ）A.B. C.D.13. 已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，则数列的通项公式为___________14. 已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为___________15. 学校艺术节对同一类的，，，四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下： 甲说：“是或作品获得一等奖”；乙说：“作品获得一等奖”； 丙说：“，两项作品未获得一等奖”；丁说：“是作品获得一等奖”．已知函数（Ⅰ）求的最大值；（Ⅱ）求的最小正周期与单调递增区间BD⊥平面ACC1A1；（Ⅱ）求证：直线AB1∥平面BC1D；（Ⅲ）设M为线段BC1上任意一点，在△BC1D内的平面区域（包括边界）是否存在点E，使CE⊥DM，并说明理由．20.已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆过点，且它的离心率（I）求椭圆的标准方程；（II）与圆相切的直线交椭圆于MN两点，若椭圆上一点C满足，求实数的取值范围21.已知函数（1）讨论的单调性并求最大值；（2）设，若恒成立，求实数a的取值范围22.选修4—4：坐标系与参数方程.在平面直角坐标系xOy中，直线L的参数方程是（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，且直线与曲线C交于P，Q两点（1）求曲线C的普通方程及直线L恒过的定点A的坐标；（2）在（1）的条件下，若，求直线L的普通方程23.选修4-5：不等式选讲.函数（Ⅰ）若a=-2求不等式的解集（Ⅱ）若不等式的解集非空，求a的取值范围参考答案1.C2. B3.D4.B5.C6.C7.D8.C9.A 10.B 11.D 12.A13. 14. 15.B 16.17.解：（Ⅰ）因为，最大值为2；（Ⅱ）最小正周期为令，解之得.单调递增区间为.18.解：（1）频率分布直方图如图所示：（2）质量指标的样本平均数为=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100，质量指标的样本的方差为S2=（-20）2×0.06+（-10）2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104，这种产品质量指标的平均数的估计值为100，方差的估计值为104；（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68，由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定19.（Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC-A1B1C1中，各个侧面均是边长为2的正方形，∴CC1⊥BC，CC1⊥AC，∴CC1⊥底面ABC，∵BD⊂底面ABC，∴CC1⊥BD，又底面为等边三角形，D为线段AC的中点．∴BD⊥AC，又AC∩CC1=C，∴BD⊥平面ACC1A1；（Ⅱ）证明：连接B1C交BC1于O，连接OD，如图则O为B1C的中点，∵D是AC的中点，∴AB1∥OD，又OD⊂平面BC1D，OD⊄平面BC1D∴直线AB1∥平面BC1D；（Ⅲ）在△BC1D内的平面区域（包括边界）存在点E，使CE⊥DM，此时E在线段C1D上；证明如下：过C作CE⊥C1D交线段C1D与E，由（Ⅰ）可知BD⊥平面ACC1A1，而CE⊂平面ACC1A1，所以BD⊥CE，由CE⊥C1D，BD∩C1D=D，所以CE⊥平面BC1D，DM⊂平面BC1D，所以CE⊥DM．20. 解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，由已知得：，解得，所以椭圆的标准方程为：．（Ⅱ）因为直线l：y=kx+t与圆（x-1）2+y2=1相切，所以，2k=，t≠0，把y=kx+t代入，并整理得：（3+4k2）x2+8ktx+4t2-24=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则有，y1+y2=kx1+t+kx2+t=k（x1+x2）+2t=，因为=（x1+x2，y1+y2），所以C（，），又因为点C在椭圆上，所以，，因为t2＞0，所以，所以0＜λ2＜2，所以λ的取值范围为（-，0）∪（0，）．21.解：（1）由题设有x>0，，可知f(x)在(0，1)单调递增，在单调递减；f(x)的最大值为；（2）由题有，令，则，设，则，当x>0时，可知为增函数，且，当，即时，当x>0时，，则单调递增，，则h(x)单调递增，则h(x)>h(0)=0，即恒成立，故；当2a>2，即a>1时，则唯一存在t>0，使得，则当，，则h'(x)单调递减，h'(x)<h'(0)=0，则h(x)单调递减，则h(x)<h(0)=0，则，不能在上恒成立，综上：实数a的取值范围是.22.解：（1）由、及已知得：；由直线的参数方程知直线的直角坐标方程为：，所以直线恒过定点A(2,0)；（2）将直线l的方程代入曲线C的方程得：，由t的几何意义知：，，因为点A在椭圆内，这个方程必有两个实根，所以，则，所以，因为，所以，，则，由此直线的方程为或.23.解：（Ⅰ）当a=-2时，f(x)=|x+2|，f(x)+f(2x)=|x+2|+|2x+2|>2，不等式可化为或或，解得；（Ⅱ），当时，f(x)=a-x+a-2x=2a-3x，则；当时，f(x)=x-a+a-2x=-x，则；当时，f(x)=x-a+2x-a=3x-2a，则，所以函数f(x)的值域为，因为不等式的解集非空，即为，解得a>-1，由于a<0，则a的取值范围为(-1，0).。